高中数学 人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(一)

的运用．利用诱导公式把求任意角的三角函数值转化为求锐角 的三角函数值，清晰地体现了化归的思想.
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（一）
1．设 α 为任意角，则 π＋α，－α，π－α 的终边与 α 的终边之间
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的对称关系.
相关角 π＋ α 与 α －α 与 α π－ α 与 α 终边之间的对称关系 关于 原点 对称 关于 x轴 对称 关于 y轴 对称
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由三角函数的定义得
§1.3（一）
y sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ x ，
－y y 本 又 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝ －x ＝ x ，
课 时 栏 ∴sin(π＋α)＝－sin α ， cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝ tan α . 目 开 关 (3)公式作用：第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三
§1.3（一）
(1)公式内容：
sinπ＋α＝－sin α，
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cosπ＋α＝－cos α， tanπ＋α＝tan α.
(2)公式推导： 如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P1(x， y)，则角 π＋α 的终边与单位圆的交点为 P2(－x，－y)，下面是根据三角函数定义推 导公式的过程，请你补充完整：
§1.3（一）
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§1.3（一）
【学习要求】 1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
本 课 化简和证明问题． 时 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、 栏 目 【学法指导】 开 关 1．本节将要学习的诱导公式既是
1 3 2π － ， 2 2 (4)角 的终边与单位圆的交点坐标为_______________ ，所以
3






3 1 2π 2π －2 2π － 3 2 sin ＝____，cos ＝____，tan ＝______. 3 3 3
3
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探究点二 诱导公式二
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§1.3（一）
2．诱导公式一～四 (1)公式一：sin(α＋2kπ)＝ sin α ，cos(α＋2kπ)＝ cos α ， tan(α＋2kπ)＝ tan α ，其中 k∈Z.
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(2)公式二：sin(π＋α)＝ －sin α ，cos(π＋α)＝ －cos α ， tan(π＋α)＝ tan α . (3)公式三：sin(－α)＝ －sin α ，cos(－α)＝ cos α ， tan(－α)＝ －tan α . (4)公式四：sin(π－α)＝ sin α ，cos(π－α)＝ －cos α ， tan(π－α)＝ －tan α .
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§1.3（一）
1 3 4π － ，－ 2 2 (2)角 的终边与单位圆的交点坐标为_______________ ，所以
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3 1 4π － 2 4π －2 4π 3 ； sin ＝_______，cos ＝_____，tan ＝____ 3 3 3 1 3 ，－ π 2 2 (3)角－ 的终边与单位圆的交点坐标为______________ ，所以 3 1 3 π π π －2 － 3 ； 2 ，tan － ＝______ sin－ 3 ＝______，cos－ 3 ＝____ 3
容的基础，广泛应用于求任意角的三角函数值以及有关三角函 数的化简、证明等问题．
§1.3（一）
2．这组诱导公式的推导思路是：首先确定角 180° ＋α、角－α 的终 边与角 α 的终边之间的位置关系，找出它们与单位圆交点的坐
本 课 标，再由正弦函数、余弦函数的定义得出结论． 时 栏 3．在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末．为什么确定 180° ＋ 目 开 α 角为第一研究对象，－α 角为第二研究对象，正是化归思想 关
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§1.3（一）
探究点一
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诱导公式的作用和意义
在前面的学习中， 我们知道终边相同的角的同名三角函数相等， 即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数 转化为 0° ～360° 内的角的三角函数值， 对于 90° ～360° 内的三角 函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？请你完 成下面的问题，并注意观察三角函数的符号规律． 1 3 3 π π 2， 2 ， (1)角 的终边与单位圆的交点坐标为_______ 2 ， 所以 sin ＝___ 3 3 1 π π 3； 2 ，tan ＝___ cos ＝___ 3 3
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§1.3（一）
sin(－α)＝－y＝－sin α；cos(－α)＝ x ＝ cos α ， y － tan(－α)＝ x ＝ －tan α .
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(3)公式作用：将负角的三角函数转化为正角的三角函数． 1 1 π － 例如，sin(－390° )＝ 2 ，cos－3 ＝ 2 ， 5 tan－4π＝－1 .
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探究点四 诱导公式四
角函数，例如： 2 1 7 5 sin π＝ －2 ，cos π＝ － 2 ，tan 240° ＝ 3 . 6 4
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探究点三 诱导公式三
§1.3（一）
(1)公式内容： sin－α＝－sin α，
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cos－α＝cos α， tan－α＝－tan α. (2)公式推导： 如图，设角 α 的终边与单位圆的交点为 P1(x，y)， 由于角－α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴 对称，因此角－α 与单位圆的交点为 P2 (x，－y) ， y 则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x；