2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4：阶段质量检测(一) 坐 标 系
人教B版 高中数学 选修4-4 极坐标与参数方程 知识点归纳、题型归纳(含答案)
选修4—4 极坐标与参数方程一、伸缩变换设),(y x P 是平面直角坐标系中任意一点，在变换⎩⎨⎧='='yy x x μλϕ: )0()0(>>μλ的作用下，点),(y x P 对应),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换。
练习1．将1422=+y x 的横坐标压缩为原来的2，纵坐标伸长为原来的21倍，则曲线的方程变为 。
2．在平面直角坐标系中，方程122=+y x 所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 32，后的图形所对应的方程是 ．二、极坐标（一）极坐标系与极坐标1、极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox 一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系.O 点称为极点，Ox 称为极轴.2、极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画.这两个数组成的有序数对),(θρ称为点M 的极坐标.ρ称为极径，θ称为极角.注：①在通常情况下，总认为0≥ρ，只在事先说明的情况下，才允许取0<ρ； ①极点O 的坐标为：),0(θ)(R ∈θ①点),(θρ与),(θπρ+关于极点O 对称；点),(θρ与),(θρ-关于极轴对称①点),(θρ，)2,(θπρ+k ，)2.(ππρ+-k （允许ρ小于0时）表示同一点.（二）极坐标与直角坐标的关系设M 为平面上的点，它的直角坐标为),(y x ，极坐标为),(θρ，关系如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+===x y y x y x θρθρθρtan sin cos 222)0(≠x 注：在极坐标系中，αθ=)0(≥ρ表示以极点为起点的一条射线；αθ=)(R ∈ρ表示以极点为起点的一条直线.练习1、点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为 .2、极坐标为（1，π）的点M 的直角坐标为 .3、将以下极坐标方程化为对应的直角坐标方程（1）ρ=2cosθ﹣4sinθ （2）ρsin 2θ=4cosθ（3）ρ=4cosθ （4）1)3cos(=-πρx（5）ααρ222cos 3sin 42+=（6）34πθ= )(R ∈ρ（7）2=ρ4、在直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+πθρ，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.5、在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2-=x ，圆2C ：1)2()1(22=-+-y x ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 、2C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为4πθ=)(R ∈ρ，设2C 与3C 的交点为N M ,，求MN C 2∆的面积.三、参数方程（一）参数方程：在平面上取定了一个直角坐标系xOy ，把坐标y x ,表示为第三个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤，如果对于t 的每一个值（b t a ≤≤），由方程组所确定的点),(y x M 都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点),(y x M 都可由t 的某个值通过方程组得到，称方程组就叫做这条曲线的参数方程，其中，变量t 称为参数.（二）直线的参数方程1、直线的标准参数方程：直线l 过点),(00y x M ，倾斜角为α的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 推导如下：设直线的点斜式方程为：)(00x x k y y -=-，其中αtan =k )2(πα≠代入得)(tan 00x x y y -=-α )(cos sin 00x x y y -=-αα 即ααsin cos 00y y x x -=-，令上式的比值为t ，整理得⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 2、t 的几何意义：表示直线上任一点A 到定点0M 的距离.①当点A 在0M 的上方时，0>t ；①当点A 在0M 的下方时，0<t ；①当点A 与0M 重合时，0=t ；3、结论：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x )(为参数t ，其中),(00y x M ，B A ,为直线l 上的任一 点，且B A ,对应的参数分别为21,t t①A 到0M 的距离为1t ，B 到0M 的距离为2t①B A ,两点之间的距离为：21t t AB -=①点B A ,中点对应的参数为：221t t + ①0M 为B A ,中点时：021=+t t ①⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-+=-=+=+21212212121004)(t t t t t t t t t t B M A M )0()0(2121>⋅<⋅t t t t 2100t t B M A M ⋅=⋅4、运用直线l 的标准参数方程求弦长和弦的中点坐标（直线l 与曲线相交于不同的两点时）： 将直线l 的标准参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 代入圆锥曲线方程，得到关于t 的二次方程，得到⎪⎩⎪⎨⎧⋅+>∆21210t t t t ，所以弦长=21221214)(t t t t t t ⋅-+=-，弦的中点对应的参数为221t t +代入直线直线l 的标准参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 中，得到弦的中点坐标.5、直线l 的一般参数方程： 过点),(00y x M ，斜率a b k =的直线参数方程为：⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 )(为参数t。
高中数学选修4-4课后习题答案[人教版]
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⾼中数学选修4-4课后习题答案[⼈教版]⾼中数学选修4-4课后习题答案 fl ft ill-：的 h P,1 为 i* \ -⼬Ml ： 2fi HP. BKj A( - SH-o\?.曲：ar ?亦o "「⼯(⼀肛 rh A C < 7 ⼀ HC C ■ 4{' 由帼的⾎料戌h 程,W 直戏⽫J 的⽅⾴为達就卍帕岸时壮谨厅刊” 葩注-；⾎:【￥|.刖.BE.⼩仆慣丄丄伽⽬W 「的斥帕JR 边nifffifl-的“忧剧 f 的商⑴所征的愀为厲細建⽴直⽤望标系? 设⼉IL 「的世械俶狀为￡ “ * 0). (A-O). a <),则 * 畐H h 1励N 贞1 杯枚⽹宦点为m 仏以线⽤⼋”的⼩点为惶戊.w 祈釘徴为』軸it#⾎处唯标氛m 的电际⾻堆如-:讥［叽⼝* O)；为 yk ihUWil -r +y =1. ii 就屯也W 的執送h ffl.这圧以AH 的⼬点沟阴⼼.J 占半性的町 *fr ⽫代⼩「轴.汕庭⼋叭和帕f ［线⼒￥辅世，沖Iff 倆出标廉?即⽫M ⾋“占Uh ⽐AIIC 的蚌昜⽚P 仃?“?旧为P 昼?w ⽫的>a tt 平井如:的氐呃丄rc c 的慄标“别为〔r ⼀趴⑴.< J + 2. O). W 为/也打细3 AH 的朿|、平仆纯！ . M m PA PH .即v / (S :{1 /?□* 圍就.曲出渊说牒轴I 妇n K.⼚的坐怵値歐a ?eg "?“n (g 由厅祁Q ；T ⑵?HI fl} r-（—6>（x — -l ev （）?（D-②初妳“MU （）?闵为所以点“任⼋“边的阳役上?即AA/?'M 三廉胡线交「?点? 4. ?1）v 3 h ⑵：⼀⾷ 1 * <3> y ，' 2J>，(3.r>:4 9v : 9.化简鮒刘F +y=h这就⾒曲纯「的⽅⽤?（图略） 6. W ：（I ）计紳妳住快为｛严?i V PV*代⼈2Z / I 评列ZAr —I.椒Di —2y 2 (即2r 1y I)⽐较??U=1?⼃I ?故所求的仲坯变快为 J,.’I# =4y.⑵设伸的咚换为■(A>0. “>(Dy =w代⼊⼋\iiy 7(A.r)? — 16(py)? —lA-rIV16/ry 2 —Rr 0. 将①“ v" 2< 。
高二数学人教B版选修4-5阶段质量检测(一) 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 Word版含解析
阶段质量检测(一) 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．若1a ＜1b ＜0，则下列结论不．正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b ＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b |2．设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件3．不等式⎩⎪⎨⎪⎧ x＞0，3－x3＋x ＞|2－x2＋x |的解集是( )A ．(0,2)B ．(0,2.5)C ．(0，6)D ．(0,3)4．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >ab5．若不等式x 2＋|2x －6|≥a 对于一切实数x 均成立，则实数a 的最大值是() A ．7 B ．9C ．5D ．116．“|x －1|＜2”是“x ＜3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(江苏高考)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A ．18B ．6C ．2 3 D.43 9．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A ．|a －b |≤|a －c |＋|b －c |B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC ．|a －b |＋1a －b≥2 D.a ＋3－a ＋1≤a ＋2－a10．已知a ，b ，c ，d ∈R ＋且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d a ＋b ＋d，则下列判断中正确的是( )A ．0<S <1B ．1<S <2C ．2<S <3D ．3<S <4 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知不等式|x －3|＜12(x ＋a )的解集为A ，且A ≠∅，则a 的取值范围是________． 12．若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________．13．设a ，b ，c ∈R ，且a ，b ，c 不全相等，则不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 成立的一个充要条件是________．14．用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是________cm 2.三、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数y ＝f (x )的图像；(2)解不等式|x －8|－|x －4|>2.16．(本小题满分12分)设a ，b ，c ，d 是正数，求证：下列三个不等式：①a ＋b <c ＋d ；②(a ＋b )(c ＋d )<ab ＋cd ；③(a ＋b )cd <ab (c ＋d )中至少有一个不正确．17．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．18.(本小题满分14分)(辽宁高考)设函数 f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1 的解集为M ，g (x )≤4 的解集为N .(1)求M ；(2)当 x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.答 案1．选D 法一：(特殊值法)：令a ＝－1，b ＝－2，代入A 、B 、C 、D 中，知D 不正确．法二：由1a ＜1b＜0，得b ＜a ＜0，所以b 2＞ab ，ab ＞a 2，故A 、B 正确． 又由b a ＞0，a b ＞0，且b a ≠a b ，得b a ＋a b＞2正确． 从而A 、B 、C 均正确，对于D ，由b ＜a ＜0⇒|a |＜|b |.即|a |－|b |＜0，而|a －b |≥0.2．选A 当a ＝b ＝c ＝2时，有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，所以必要性不成立；当abc ＝1时，1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab abc＝bc ＋ac ＋ab ，a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(b ＋c )(a ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ，所以充分性成立，故“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件．3．选C 用筛选法，容易验证x ＝2是不等式的解，否定A ；x ＝52不是不等式的解，否定D ；x ＝6使3－x 3＋x 与|2－x 2＋x|取“＝”，∵6＜52，故否定B. 4．选A a >b >0⇒1b >1a>0， ∴a ＋1b >b ＋1a. 5．选C 令f (x )＝x 2＋|2x －6|，当x ≥3时，f (x )＝x 2＋2x －6＝(x ＋1)2－7≥9；当x <3时，f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5.综上可知，f (x )的最小值为5，故原不等式恒成立只需a ≤5即可，从而a 的最大值为5.6．选A ∵|x －1|＜2⇔－2＜x －1＜2⇔－1＜x ＜3.∵－1＜x ＜3⇒x ＜3，反之不成立．从而得出“|x －1|＜2”是“x <3”的充分不必要条件．7．选C |x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥|x －1－x |＋|y －1－(y ＋1)|＝1＋2＝3.8．选B 3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝232＝6.9．选C 因为|a －b |＝|(a －c )－(b －c )|≤|a －c |＋|b －c |，所以选项A 恒成立；在选项B 两侧同时乘以a 2，得a 4＋1≥a 3＋a ⇒(a 4－a 3)＋(1－a )≥0⇒a 3(a －1)－(a －1)≥0⇒(a －1)2(a 2＋a ＋1)≥0，所以选项B 恒成立；在选项C 中，当a ＞b 时，恒成立，a ＜b 时，不成立；在选项D 中，分子有理化得 2a ＋3＋a ＋1≤2a ＋2＋a 恒成立．10．选B 用放缩法，a a ＋b ＋c ＋d <a a ＋b ＋c <a a ＋c ；b a ＋b ＋c ＋d <b b ＋c ＋d <b d ＋b ；c a ＋b ＋c ＋d <c c ＋d ＋a <c c ＋a ；d a ＋b ＋c ＋d <d d ＋a ＋b <d d ＋b.以上四个不等式相加，得1<S <2. 11．解析：∵A ≠∅，∴|x －3|＜12(x ＋a )⇒－12(x ＋a )＜x －3＜12(x ＋a )⇒6－a 3＜x ＜6＋a . ∴6－a 3＜6＋a .解得a ＞－3. 答案：(－3，＋∞)12．解析：原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝1，a ＋1＝3解得a ＝2.答案：213．解析：a 3＋b 3＋c 3－3abc＝(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc )＝12(a ＋b ＋c )[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]， 而a ，b ，c 不全相等⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2>0，∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc ⇔a ＋b ＋c ≥0.答案：a ＋b ＋c ≥014．解析：设矩形长为x cm(0<x <8)，则宽为(8－x ) cm ， 面积S ＝x (8－x )．由于x >0,8－x >0，可得S≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝8－x 即x ＝4时，S max ＝16. 所以矩形的最大面积是16 cm 2.答案：1615．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4， x ≤4，－2x ＋12， 4<x ≤8，－4， x >8，图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2.由－2x ＋12＝2，得x ＝5.由函数f (x )图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．16．证明：假设不等式①②③正确．∵a ，b ，c ，d 都是正数， ∴①②两不等式相乘得(a ＋b )2<ab ＋cd .④由③式，得(a ＋b )cd <ab (c ＋d )≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22·(c ＋d )． 又∵a ＋b >0，∴4cd <ab ＋cd ，∴3cd <ab ，即cd <ab 3. 由④式，得(a ＋b )2<4ab 3，即a 2＋b 2<－23ab ，与平方和为正数矛盾．∴假设不成立，即①②③式中至少有一个不正确．17．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab， 得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.18．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ∈[1，＋∞)，1－x ，x ∈(－∞，1).当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43， 故1≤x ≤43； 当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1. 所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤43. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4，得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34. 因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34， 故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14.。
【西城学探诊】人教B版高中数学选修4-4导学案：1.2.(1、2)极坐标系
§1.2.（1、2）极坐标及其与直角坐标的关系学习目标1.通过具体实例引入确定点的位置的新形式，即极坐标。
2.能够建立极坐标系并描出系中点的位置，在极坐标系中观察一些对称点的坐标关系。
学习过程【任务一】问题分析问题1：一艘军舰在海面上巡逻，发现附近水域里有一片水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？问题2：思考解决上述问题的关键因素是什么？【任务二】新知理解1.极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条 ，一个 及计算 的正方向（通常 ），合称为一个 。
2.在下图极坐标系中，O 点称为 ，Ox 称为 。
3.图中点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对 称为点M 的极坐标。
其中ρ称为 ，θ称为 。
【任务三】典型例题分析例1：在同一个极坐标系中，画出以下点：)62(π，A )66(π-，B )321(π，C )4(π，D )05(，E )4(π-，F注意：1.一般限定0≥ρ。
特别地：⎩⎨⎧<=,00ρρ， 2.与直角坐标不同，给定点的极坐标),(θρ，唯一确定平面上点，但是平面上点的极坐标并不唯一，比如例1中的 ,如何限定则除极点外一一对应？例2：建立极坐标系描出点)22()63(ππ，，，B A ，分别求点A 关于极轴，直线OB ，极点的对称点的极坐标。
小结：点),(θρ关于极轴的对称点是 ，关于某直线的对称点是 ，关于极点的对称点是 。
思考：极坐标系中，ρ恒为1的点的集合构成什么样的曲线？θ恒为4π的点呢？ 【任务四】探究极坐标与直角坐标的关系如图，在平面上取定一个极坐标系，一极轴作为直角坐标系的x 轴的正半轴，以2πθ=的射线作为y1.用θρ，表示y x ,。
2.用y x ,表示θρtan ，。
例3：把点M 的极坐标)65,3(π化为直角坐标形式。
例4：把点M 的直角坐标)1,1(-化为极坐标形式（限定πθπρ≤<-≥，0）【任务五】课后作业教材P10习题1-2，附纸交。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(答案解析)
一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 到直线l 的距离是（ ） A ．1B ．2CD．24．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称5．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ） A ．14BCD ．136．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1BC ．2D．7．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4D ．68．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=9．已知曲线C 与曲线5ρ=3cos?5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )A ．10cos ρ=-π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10cos ρ=π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A ．34B ．25C ．23D ．1311．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（ ） A ． B ． C ． D ．12．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（ ）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=二、填空题13．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．14．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______.15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C截直线l 所得弦长为___________． 17．两条直线sin 20164πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 20174πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的位置关系是_______ 18．点C 的极坐标是(2,)4π,则点C 的直角坐标为______________ 19．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。
测控指导高中数学人教B版选修4-4课件：1.5 柱坐标系和球坐标系
【做一做1-2】 柱坐标满足方程ρ=2的点所构成的图形 是 . 答案:以z轴所在直线为轴,以2为底面半径的圆柱的侧面
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2.球坐标系 (1)定义:设空间中一点M的直角坐标为(x,y,z),点M在xOy坐标面上 的投影点为M0,连接OM和OM0.如图所示,设z轴的正向与向量������������ 的夹角为������, ������轴的正向与������������0 的夹角为������, ������点到原点������的距离为������, 则由三个数������, ������, ������构成的有序数组(������, ������, ������) 称为空间中点������的球坐标. 若设投影点������0在������������������平面上的极坐标为 (������, ������), 则极坐标������就是上述的第二个球坐标������. 在球坐标中限定������ ≥0,0≤θ<2π,0≤φ≤π.
1 = ������cos������, 则有 1 = ������sin������, ������ = 1,
解得ρ= 2, ������ = .
因此,点M的柱坐标为 2 , ,1 .
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π 4
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反思由直角坐标求柱坐标,可以先设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),代入变 ������ = ������cos������, ������ 换公式 ������ = ������sin������, 求ρ;也可以利用ρ2=x2+y2求ρ,利用tan θ= 求θ, ������ ������ = ������ 在求θ时,要特别注意角θ的终边所在的象限,从而确定θ的取值.
人民教育出版社B版高中数学目录(全)
人民教育出版社B版高中数学目录(全)高中数学（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算整合提升第二章函数2.1 函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（I）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法整合提升第三章基本初等函数（I）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数-3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）整合提升高中数学（B版）必修二第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系(第1课时)空间中的平行关系(第2课时)1.2.3空间中的垂直关系(第1课时)空间中的垂直关系(第2课时)综合测试阶段性综合评估检测(一)第2章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系综合测试高中数学（B版）必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关单元回眸第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用单元回眸高中数学（B版）必修四第一章基本初等函数(2)1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角单元回眸第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用单元回眸第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积单元回眸高中数学（B版）必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例复习与小结第一章综合测试第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和复习与小结第二章综合测试第三章不等式. 3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.2 简单的线性规划复习与小结第三章综合测试高中数学（人教B）选修2-1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质.2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测（一）第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离第3章综合测试题阶段性综合评估检测（二）高中数学人教B选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理本章整合提升第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法本章整合提升第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法本章整合提升高中数学人教B选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角单元回眸第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布单元回眸第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析单元回眸高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.2极坐标系本章小结第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程本章小结附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏著名数学家柯西第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式、贝努利不等式本章小结。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测(包含答案解析)(2)
一、选择题1．点P 对应的复数为33i -+，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A ．332,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．532,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．33,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2±B ．(2,2)-C ．[1,1)-D ．[1,1)-或23．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称4．在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）两点，则|AB|＝（ ） A ．2B ．3C ．1D ．55．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A ．34B ．25C ．23D ．136．()04πθρ=≥表示的图形是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一条射线D ．圆7．在极坐标系中，点到直线的距离是（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知点P 的直角坐标(2,23)--，则它的一个极坐标为（ ）A ．(4，3π) B ．(4，43π) C ．(-4，6π) D ．(4，76π) 9．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－3π)＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为（ ）A ．3(1,)3B ．23(,)36πC ．2333π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．2323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，10．直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的位置关系是（ ）． A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离11．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ2=的交点为A,B ，则AB =（ ）A ．4B ．22C ．2D ．112．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =二、填空题13．已知圆M 的极坐标方程为242cos()604πρρθ--+=，则ρ的最大值为______.14．将曲线C 按伸缩变换'2'3x x y y=⎧⎨=⎩变换后所得曲线方程为22''1x y +=，则曲线C 的方程为________.15．在极坐标系中，点(2,)3π到直线(cos 3sin )6ρθθ+=的距离为_________．16．在极坐标系中，O 是极点，设点(1,)6A π，(2,)2B π，则OAB ∆的面积是__________．17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则线段AB 的长为__．19．将曲线221x y +=按伸缩变换公式'2'3x xy y =⎧⎨=⎩变换后得到曲线C ，则曲线C 上的点(,)P m n 到直线:260l x y +-=的距离最小值为_____________.20．过点P (2，4π)并且与极轴垂直的直线的方程是___________________________． 三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为()22cos26ρθ+=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1,6A πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭，23,B πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，求2211OA OB +的值．23．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C ：222x ax y -+=0(a >0)，曲线2C 的参数方程为cos {1sin x y αα==+(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系；(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程; (2)已知极坐标方程为θ=6π的直线与曲线1C ，2C 分别相交于P ，Q 两点（均异于原点O ），若|PQ|=1，求实数a 的值； 24．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为 sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以原点O 为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程;（2）设P 为曲线1C 上的动点,求点P 到曲线2C 上的距离的最小值. 25．在极坐标系下，已知圆C ：2cos 2sin =+和直线:40l x y -+= （1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．26．在直角坐标系中，圆1C ：221x y +=经过伸缩变换32x xy y''=⎧⎨=⎩，后得到曲线2C 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为102cos sin θθρ+=()1求曲线2C 的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；()2在2C 上求一点M ，使点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：先求出点P 的直角坐标，P 到原点的距离r ，根据点P 的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P 的极坐标． 详解：点P 对应的复数为33i -+，则点P 的直角坐标为()3,3-，点P 到原点的距离r =，且点P 第二象限的平分线上，故极角等于34π，故点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选A ．点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P 的极角是解题的难点．2．D解析：D 【解析】 【分析】先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解.【详解】因为曲线1C 的极坐标方程为2sin ,42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即222(sin cos )222a ρθθ+= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：221x y +=，由于0θπ，故0y ≥如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122O l d a -==∴=由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-2 故选：D 【点睛】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.3．A解析：A 【分析】由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系.【详解】解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.故选：A. 【点睛】考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.4．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，由AB 的坐标分析可得|OA |＝1，|OB |＝2，且∠AOB 2333πππ=-=，由余弦定理计算可得答案 【详解】在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）， 则|OA|＝1，|OB|＝2，且∠AOB 2πππ333=-=， 则|AB|2＝2OA +2OB ﹣2|OA||OB|cos ∠AOB ＝1+4﹣2×1×2×cos π3=3，则|AB|= 故选：B ． 【点睛】本题考查极坐标的应用，涉及余弦定理的应用，属于基础题．5．C解析：C 【解析】分析：先由曲线C 的直角坐标方程得到其极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=，设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，将射线M 的极坐标方程为θα=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得到关于α的三角函数，利用三角函数性质可得结果.详解：∵曲线C 的方程为22162x y +=，即2236x y +=，∴曲线C 的极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，联立()221+2sin 6ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，得221112sin 6θρ+=，同理得222cos 163πθρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=， 根据极坐标的几何意义可得22222212cos 111112sin 663OA OBπθθρρ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+=+1+1cos 21cos 23sin 23666ππθθθ⎛⎫⎛⎫-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即可得其最大值为23，故选C. 点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中ρ的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．6．C解析：C【解析】 【分析】利用极坐标方差化为直角坐标方程即可得出． 【详解】()04πθρ=≥表表示的图形是一条射线：y=x （x≥0）．故选C ． 【点睛】本题考查了射线的极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．C解析：C 【解析】 点到直线分别化为直角坐标系下的坐标与方程：，直线点到直线的距离，点到直线的距离是，故选C.8．B解析：B 【解析】22(2)(23)4ρ=-+-=，23tan 32θ-==-，3(,)2πθπ∈，所以43πθ=，即极坐标为4(4,)3π．故选B ． 9．B解析：B 【分析】先求出曲线C 的平面直角坐标系的方程，求出M N 、中点在平面直角坐标系的坐标，然后再求出其极坐标 【详解】 由cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得：13cos sin 122ρθρθ+= ∴曲线C 的直角坐标方程为13122x y +=，即320x -=故点M N 、在平面直角坐标系的坐标为()23200⎛ ⎝⎭，，， ∴点P 坐标为313⎛ ⎝⎭，则极坐标为6P π⎫⎪⎪⎝⎭， 故选B 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系与极坐标之间的转化，只要掌握转化方法然后就可以计算出答案，较为基础．10．C解析：C 【解析】分析：直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，求出圆心到直线距离，与半径比较即可得结论. 详解：直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 4sin ρθρθ+= ,422x y +=,0y x +-=， 圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭可化成2cos sin ρθθ=+,22((4x y -+-=，圆心到直线的距离2d r ===，所以圆与直线相切．故选C ．点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可以把极坐标与直角坐标互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 11．C解析：C 【解析】联立极坐标方程：π14sin ρθρ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得：110ρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩222ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，利用勾股定理可得2AB ==.故选C.12．C解析：C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化． 二、填空题13．【分析】先将原极坐标方程中的三角式利用和角公式化开后再化成直角坐标方程再利用直角坐标方程进行求解到原点的距离最大值即可【详解】将原极坐标方程化为：化成直角坐标方程为：它表示圆心在半径为的圆圆上的点到解析：【分析】先将原极坐标方程中的三角式利用和角公式化开后再化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解到原点的距离最大值即可． 【详解】将原极坐标方程2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭化为：24+0cos sin ρρθθ-+=（）6 ， 化成直角坐标方程为：2244+60x y x y +--= ， 它表示圆心在22（，）的圆，圆上的点到原点的最远距离是=故答案为 【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，属基础题.14．【解析】【分析】设曲线上任意一点为与之对应的曲线上的点为将变换公式代入曲线的方程化简即可求解【详解】由题意设曲线上任意一点为与之对应的曲线上的点为将代入曲线方程整理得故答案为：【点睛】本题主要考查了 解析：22491x y +=【解析】 【分析】设曲线C 上任意一点为(,)x y 与之对应的曲线22''1x y +=上的点为(',')x y ，将变换公式，代入曲线的方程，化简即可求解． 【详解】由题意，设曲线C 上任意一点为(,)x y ，与之对应的曲线22''1x y +=上的点为(',')x y ，将'2'3x xy y=⎧⎨=⎩,代入曲线方程22''1x y +=，整理得22491x y +=， 故答案为：22491x y +=． 【点睛】本题主要考查了伸缩变换公式的应用，其中解答中理解变换的公式，代入准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．1【解析】由极坐标与直角坐标的互化关系可得点直线由点到直线的距离公式可得应填答案解析：1 【解析】由极坐标与直角坐标的互化关系cos ,sin x y ρθρθ==可得点P ，直线60x +-=，由点到直线的距离公式可得1d ==，应填答案1． 16．【解析】分析：由题意结合三角形面积公式整理计算即可求得三角形的面积详解：的面积点睛：本题主要考查三角形面积公式的应用极坐标的几何意义等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：2【解析】分析：由题意结合三角形面积公式整理计算即可求得三角形的面积.详解：OAB 的面积11sin 1223222OABSOA OB π=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 点睛：本题主要考查三角形面积公式的应用，极坐标的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化简即可；解析：1【分析】根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，1101a a a =∴=±>∴=+，，【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.18．8【解析】分析：先根据加减消元法得直线的普通方程再根据将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程联立方程组解得交点坐标最后根据两点间距离公式求结果详解：由得或因此点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程只要解析：【解析】分析：先根据加减消元法得直线l 的普通方程，再根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组解得交点坐标，最后根据两点间距离公式求结果.详解：12322x tx y y t ⎧=-⎪⎪∴+=⎨⎪=+⎪⎩2222sin 4cos sin 4cos 4y x ρθθρθρθ=∴=∴= ， 由234x y y x +=⎧⎨=⎩ 得12x y =⎧⎨=⎩或96x y =⎧⎨=-⎩，因此AB =点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.19．【解析】伸缩变换即：则伸缩变换之后曲线设曲线上点的坐标为：结合点到直线距离公式有：结合三角函数的性质可得当时距离取得最小值【解析】伸缩变换即：'2'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则伸缩变换之后曲线22:149x y C +=， 设曲线上点的坐标为：()2cos 3sin P θθ,，结合点到直线距离公式有：d ==，结合三角函数的性质可得，当()sin 1θϕ+=时，距离取得最小值min d =20．【解析】设是直线上任意一点如图由于所以应填答案 解析：cos ρθ=【解析】设(,)M ρθ是直线上任意一点，如图，由于2OH ==，所以cosOH ρθ==cos ρθ= 三、解答题21．（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）2+. 【分析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C 1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程． （2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MONSOM ON sin π==2sin （23πθ+）△MON 面积的最大值． 【详解】（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为(()2214x y -+-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos26432MON S OM ONπππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin22sin 23πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．（1）4cos ρθ=；（2）23【分析】（1）将1C 首先化为普通方程，再化为极坐标方程，代入点6P π⎛⎫⎪⎝⎭可求得2r ，整理可得所求的极坐标方程；（2）将,A B 代入2C 方程，从而将2212,ρρ代入2222121111OAOBρρ+=+整理可得结果. 【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程得：()2222x y r -+=由cos x ρθ=，siny ρθ=得1C 的极坐标方程为：224cos 40r ρρθ-+-=将点6P π⎛⎫⎪⎝⎭代入1C 中得：212406r π-+-=，解得：24r =代入1C 的极坐标方程整理可得：4cos ρθ=1C ∴的极坐标方程为：4cos ρθ=（2）将点1,6A πρα⎛⎫-⎪⎝⎭，23,B πρα⎛⎫+⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程得： 212cos 263πρα⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，222222cos 22cos 2633ππραρα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2222122cos 22cos 2111123363OA OBππααρρ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+=+== 【点睛】本题考查极坐标方程的求解、极坐标中ρ的几何意义的应用，关键是根据几何意义将所求的2211OAOB+变为221211ρρ+，从而使问题得以求解.23．(1)2cos ,2sin a ρθρθ== (2)2 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用极径求出参数的值． 【详解】（1）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x 2﹣2ax+y 2=0（a ＞0）， 转换为极坐标方程为：ρ2=2aρcosθ， 即：ρ=2acosθ． 曲线C 2的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：x 2+（y ﹣1）2=1， 转换为极坐标方程为：ρ=2cosθ． （2）已知极坐标方程为θ=的直线与曲线C 1，C 2分别相交于P ，Q 两点， 由，得到：P （），Q （）， 由于：|PQ|=2﹣1，所以：，解得：a=2． 【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．24．(1) 221,2x y +=6x y +=.(2) 6322. 【解析】试题分析：（1）1C 消参数即可得普通方程，2C 利用极坐标化为直角坐标公式化为普通方程；（2）根据点到直线距离公式及三角函数有界性可求出最小值. 试题（1）由曲线1:x C y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线1C 的普通方程为：2212x y +=，由曲线2:sin 4C πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭)sin cos 2ρθθ⨯+= 化为：6x y +=.（2）椭圆上的点),sin Pαα到直线O 的距离为d ==tan ϕ=所以当()sin 1αϕ+=时，P 的最小值为.25．（1）()()22112x y -+-=，cos sin 40ρθρθ-+=；（2. 【分析】（1）根据圆C ：2cos 2sin =+，直线:40l x y -+=，利用222,cos ,sin x y x y =+==求解.（2）先求得圆心到到直线l 的距离，再利用圆C 上的点到直线l 的最短距离为d r -求解. 【详解】（1）因为圆C ：2cos 2sin =+，所以22cos 2sin =+ρρθρθ，所以2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=.因为直线:40l x y -+=， 所以cos sin 40ρθρθ-+=.（2）因为圆心到到直线l 的距离为d ==．所以求圆C 上的点到直线l 的最短距离d r -= 【点睛】本题主要考查极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.26．（1）22194x y += 2100x y +-=； （2【分析】（1）由'3'2x x y y =⎧⎨=⎩后得到曲线C 2，可得：1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆C 1：x 2+y 2=1，化简可得曲线C 2的直角坐标方程，将直线l 的极坐标方程为cosθ+2sinθ=10ρ化为：ρcosθ+2ρsinθ=10，进而可得直线l 的直角坐标方程.（2）将直线x+2y ﹣10=0平移与C 2相切时，则第一象限内的切点M 满足条件，联立方程求出M 点的坐标，进而可得答案. 【详解】 （1）因为32x xy y''=⎧⎨=⎩后得到曲线2C ， 1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，代入圆1C ：221x y +=得：'2'2194x y +=，故曲线2C 的直角坐标方程为22194x y +=；直线l 的极坐标方程为102cos sin θθρ+=．即210cos sin ρθρθ+=，即2100x y +-=.()2将直线2100x y +-=平移与2C 相切时，则第一象限内的切点M 满足条件，设过M 的直线为20x y C ++=，则由2220194x y C x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：222599360424x Cx C ++-=， 由229259()4360244C C ⎛⎫=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭得：52C =±， 故95x =，或95x =-，(舍去)， 则85y =，即M 点的坐标为98,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则点M 到直线l 的距离d ==【点睛】本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．。
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阶段质量检测(一) 坐标系(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．将点M的直角坐标(－，－1)化成极坐标为( )A. B.C. D.2．原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－2)的极坐标是( )A. B.C. D.3．可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为( )A. B.C. D.4．极坐标方程Á＝2sin的图形是( )5．圆Á＝(cos ¸＋sin ¸)的圆心坐标是( )A. B.C. D.6．已知点P的坐标为(1，π)，则过点P且垂直于极轴的直线方程是( )A．Á＝1 B．Á＝cos ¸C．Á＝－ D．Á＝7．曲线¸＝与Á＝6sin ¸的两个交点之间的距离为( )A．1 B.C．3 D．68．把函数y＝sin 2x的图像变成y＝sin的图像的变换是( )A．向左平移 B．向右平移C．向左平移 D．向右平移9．(江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )A．Á＝，0≤¸≤B．Á＝，0≤¸≤C．Á＝cos ¸＋sin ¸，0≤¸≤D．Á＝cos ¸＋sin ¸，0≤¸≤10．圆Á＝r与圆Á＝－2r sin(¸＋)(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )A．2Á(sin ¸＋cos ¸)＝rB．2Á(sin ¸＋cos ¸)＝－rC.Á(sin ¸＋cos ¸)＝rD.Á(sin ¸＋cos ¸)＝－r二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)11．直线x cos ±＋y sin ±＝0的极坐标方程为________．12．(陕西高考)在极坐标系中，点到直线Ásin＝1的距离是________．13．(天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆Á＝4sin ¸和直线Ásin ¸＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．14．已知柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________.三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知一条长为6的线段两端点A，B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求动点M的轨迹方程．16．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知两圆C1：Á＝2cos ¸和C2：Á＝2sin ¸，求过两圆圆心的直线的极坐标方程．17．(本小题满分12分)极坐标方程Á＝－cos ¸与Ácos¸＋＝1表示的两个图形的位置关系是什么？18.(本小题满分14分)已知线段BB′＝4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P，P′，使OP·OP′＝9.建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．答案1．选B 因为Á＝＝＝2，tan ¸＝＝，点M在第三象限，¸＝.所以点M的极坐标为.2．选B 由直角坐标与极坐标互化公式：Á2＝x2＋y2，tan ¸＝(x≠0)，把点(－2，－2)代入即可得Á＝4，tan ¸＝.因为点(－2，－2)在第三象限，所以¸＝.3．选D 法一：将椭圆方程＋＝1化为＋＝4，∴2＋2＝4.令得X2＋Y2＝4，即x2＋y2＝4，∴伸缩变换为所求．法二：将x2＋y2＝4改写为X2＋Y2＝4.设满足题意的伸缩变换为代入X2＋Y2＝4得a2x2＋b2y2＝4，即＋＝1.与椭圆＋＝1比较系数得解得∴伸缩变换为即4．选C ∵Á＝2sin＝(sin ¸＋cos ¸)，∴Á2＝Ásin ¸＋Ácos ¸，化为普通方程为x2＋y2＝x＋y，∴2＋2＝1，∴圆心的坐标为.结合四个图形，可知选C.5．选A 法一：圆Á＝(cos ¸＋sin ¸)＝2sin ，可以看成由圆Á＝2sin ¸顺时针旋转得到．而Á＝2sin ¸的圆心为，顺时针旋转得到，∴Á＝(cos ¸＋sin ¸)的圆心坐标为.法二：圆Á＝(cos ¸＋sin ¸)的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，∴2＋2＝1.圆心的直角坐标为，化为极坐标为.6．选C 由点P的坐标可知，过点P且垂直于极轴的直线方程在直角坐标系中为x＝－1，即Ácos ¸＝－1.7．选C 极坐标方程¸＝，Á＝6sin ¸分别表示直线与圆，如图所示，圆心为C(3，)，∠AOC＝，∴|AO|＝2×3×cos＝6×＝3.8．选A 设y′＝sin 2，变换公式为将其代入y′＝sin 2，得¼y＝sin 2，∴¼＝1，»＝－，∴由函数y＝sin 2x的图像得到y＝sin的图像所作的变换为故是向左平移个单位．9．选A 因为x＝Ácos ¸，y＝Ásin ¸，且y＝1－x，所以Ásin ¸＝1－Ácos ¸，所以Á(sin ¸＋cos ¸)＝1，Á＝.又0≤x≤1，所以0≤y≤1，所以点(x，y)都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤¸≤.10．选D 圆Á＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2.①圆Á＝－2r sin＝－2r＝－r(sin ¸＋cos ¸)．两边同乘以Á得Á2＝－r(Ásin ¸＋Ácos ¸)．∵x＝Ácos ¸，y＝Ásin ¸，Á2＝x2＋y2，∴x2＋y2＋rx＋ry＝0.②①－②整理得(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线(x＋y)＝－r化为极坐标方程为Á(cos ¸＋sin ¸)＝－r.11．解析：Ácos ¸cos ±＋Ásin ¸sin ±＝0，cos (¸－±)＝0.取¸－±＝.答案：¸＝＋±12．解析：点化为直角坐标为(，1)，直线方程可化为Ásin ¸－Ácos ¸＝1，即x－y＋2＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝1.答案：113．解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y＝x，联立消去y，得x2＝x，解得x＝或x＝0，所以y＝x＝3，即a＝3.答案：314．解析：设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．∵MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，∴PN⊥直线Oy.∴|OP|＝Á＝2，|PN|＝＝1，∴|OM|＝＝＝3.在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，∴|MN|＝＝＝.答案：3 15．解：设A(a,0)，B(0，b)，M(x，y)，∵|AB|＝6，∴a2＋b2＝36.①M.∴⇒②将②式代入①式，化简为＋＝1.16．解：由极坐标系与直角坐标系的互化关系知：圆C1的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，C1(1,0)，圆C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，C2(0,1)．∴过两圆圆心的直线方程为x＋y－1＝0，∴对应的极坐标方程为Á(cos ¸＋sin ¸)＝1.17．解：Á＝－cos ¸可变为Á2＝－Ácos ¸，化为普通方程为x2＋y2＝－x，即2＋y2＝.它表示圆心为，半径为的圆．将Ácos＝1化为普通方程为x－y－2＝0.∵圆心(－，0)到直线的距离为＝＞1，∴直线与圆相离．18．解：以O为原点，BB′为y轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B′(0，－2)．设P(a,0)(a≠0)，则由OP·OP′＝9，得P′，直线BP的方程为＋＝1，直线B′P′的方程为＋＝1，即lBP：2x＋ay－2a＝0，l B′P′：2ax－9y－18＝0.设M(x，y)，则由解得(a为参数)．消去a，可得4x2＋9y2＝36(x≠0)，所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B′)．。