【南京一轮复习】第3课函数的单调性

第3课 函数的单调性【课前自主探究】※考纲链接（1）理解和熟记函数的单调性和最值的定义；（2）掌握求解函数的值域和最值的基本方法，并能解决与函数值域和最值有关的问题．※ 教材回归◎基础重现：1．函数单调性的定义：（1）一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当 时，都有 〔或都有 〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）；（2）如果函数y =f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有单调性，这一区间叫做f （x ）的 ；如函数是增函数则称区间为 ，如函数为减函数则称区间为 ．2．对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意自变量x ，都有0()()f x f x ≤（0()()f x f x ≥），则0()f x 叫做函数在此区间上的最 值． 3．复合函数的单调性：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果当),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(x g u =在区间),(b a 上和)(u f y =在区间),(n m 上同时具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有 ，并且具有这样的规律： ．基础重现答案：1．(1) x 1＜x 2，f （x 1）＜f (x 2）(f （x 1）＞f （x 2）)；（2）单调区间；增区间， 减区间．2． 大（小）．3． 单调性，增增（或减减）则增，增减（或减增）则减． ◎思维升华：1．判断函数的单调性的常用方法有哪些？证明函数的单调性要用怎样的规范方法？ 2．你对函数xax y +=的单调性质熟悉吗？试着说说看! 思维升华答案：1．判断函数的单调性常用图象法、定义法、导数法；而要证明函数在区间上的单调性必须用定义法或导数法．2．函数xax y +=，0,a <时在区间(0),(0)-∞+∞，，上为增函数；递减，在时)0,[],0(,0a a a ->，(-∞在)+∞递增．※ 基础自测1．（2010·北京卷改编）给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是答案：②③2．（2010·届苏北四市联考模拟）函数y =的单调减区间是 ．答案：(,3]-∞-3．(2010·江苏省百校联考)若函数f (x )=x 2+ax ，x ∈[1，3]是单调函数，则实数a 的取值范围是___ __答案： (-∝，-6]∪[-2，+∞)4．（2010·广州模考）已知函数()()21,1,log ,1.a a x x f x x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．答案：(]2,3 解析：因()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则有201(2)11log 1a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-⨯-≤⎩，即得23a <≤．5．（2010·江苏卷）已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__ __．答案：(11)- 解析： 由函数的图象可知，函数在[0,)x ∈+∞ 时为增函数，则有2212(1)10x xx x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩． 【课堂师生共探】※ 经典例题○题型一 函数单调性的判定和证明例1 试判断函数2()f x x x=+在)+∞上的单调性．分析：可以先通过计算(2)(3)f f 、的值，可猜得函数在区间)+∞上为增函数，后利用定义来证明．解：设12,x x ≤<则有12121212122222()()()()()f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+- 21121212121212122222()()()(1)()()x x x x x x x x x x x x x x x x --=-+=--=-，12121212,020,0x x x x x x x x <-<->>且，所以1212()()0,()()f x f x f x f x -<<即．则函数在区间)+∞上单调递增． 点评：判断函数的单调性常用定义法，其着力点在于对12()()f x f x -的变形上，一般地，对差式进行因式分解、配方等变换，最终结果要容易判断差式的正负号；当函数式为单项式时，可用作商来比较．变式训练：设函数f （x ）＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性．解析：在定义域内任取x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝1222x a x a x b x b ++-++121212()()()()()()x a x b x b x a x b x b ++-++=++ ))(())((2121b x b x x x a b ++--=，∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，x 1－x 2＜0，只有当x 1＜x 2＜－b 或－b ＜x 1＜x 2时函数才单调．当x 1＜x 2＜－b 或－b ＜x 1＜x 2时f （x 1）－f （x 2）＞0．∴f （x ）在（－b ，＋∞）上是单调减函数，在（－∞，－b ）上是单调减函数．○题型二 函数单调区间的求法例2（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 分析：求解函数的单调区间，要先求出函数的定义域，再利用复合函数的单性的判定或求导的方法来解决问题．解：（1）函数的定义域为),2()1,(+∞⋃-∞， 分解基本函数为t y 7.0log =、232+-=x x t显然t y 7.0log =在),0(+∞上是单调递减的，而232+-=x x t 在),2(),1,(+∞-∞上分别是单调递减和单调递增的．根据复合函数的单调性的规则：所以函数20.7log (32)y x x =-+在),2(),1,(+∞-∞上分别单调递增、单调递减． （2）解法１：函数的定义域为R ，分解基本函数为82)(2++-==x t t f g 和22t t -=．显然82)(2++-==x t t f g 在),1(+∞上是单调递减的，)1,(-∞上单调递增；而22x t -=在),0(),0,(+∞-∞上分别是单调递增和单调递减的．且1122±=⇒=-x x ， 根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-．解法2：222()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<<．∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-．点评：该题考察了复合函数的单调性．要记住“同向增、异向减”的规则．○题型三 函数单调性的应用例3 已知函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间[2,4]-上是单调函数，求实数a 的取值范围． 分析：函数在指定的区间上是单调的，即在区间上可以是单调递增，也可以是单调递减，要利用二次函数的对称轴与区间的关系判断函数的单调性．解：函数的对称轴是1x a =-，由于()f x 在区间[2,4]-上是单调函数，由二次函数的图象知，只要1214a a -≤--≥或即可，即实数a 的取值范围是：15a a ≤-≥或．点评：函数的单调性有两种情形，单调递增产单调递减，解题时利用数形结合思想往往直观、简洁．变式训练1：已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，试求a 的取值范围． 解析：设212x x >>-，则212121211211(21)()()()22(2)(2)ax ax a x x f x f x x x x x ++---=-=++++． 2121212,220,0x x x x x x >>-∴+>+>-> ， 函数()f x 在区间(2,)-+∞上是增函数，21()()0f x f x ∴->，故1210,2a a ->>即，所以a 的取值范围是1(,)2+∞． 变式训练2：已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1，试解不等式f(x)+f(x-8)≤2．解：根据题意，由f(3)=1，得f(9)=f(3)+f(3)=2．又f(x)+f(x-8)=f ［x(x-8)］，故f ［x(x-8)］≤f(9)．∵f （x ）在定义域（0，+∞）上为增函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,9)8(080x x x x ，，解得:8＜x ≤9．※高考新题零距离1．（2010·天津卷文）设函数f (x )=x-1x，对任意[1,),()()0x f mx mf x ∈+∞+<恒成立，则实数m 的取值范围是________答案：1m <- 解析：已知f （x ）为增函数且m ≠0，若m>0，由复合函数的单调性可知f （mx ）和mf （x ）均为增函数，此时不符合题意．当m <0，时有22111102()012m mx mx mx m x mx x m x m-+-<⇒--∙<⇒+<因为22y x =在[1,)x ∈+∞上的最小值为2，所以1+212m<即2m >1，解得m<-1． 2．（2010福建理数15）．已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：①对任意x 0∈+∞（，），恒有f(2x)=2f(x)成立；当x ]∈（1，2时，f(x)=2-x ．给出如下结论： ①对任意m Z ∈，有m f(2)=0；②函数f(x)的值域为[0+∞，）；③存在n Z ∈，使得n f(2+1)=9；④“函数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)k k a b +⊆”．其中所有正确结论的序号是 ． 答案：①②④ 解析：对①，因为m2>0，所以m f(2)=0，故①正确；经分析，容易得出②④也正确．※典型错误警示1．概念不清，导致判断错误．例如判断函数1()3xy -=的单调性．常见错解：1101,()33x y -<<∴= 是减函数；这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化．当然这个函数可化为3x y =，从而可判断出其在定义域上是增函数．2．忽视了函数的定义域，导致了解题的错误．例如求函数y=245x x --的单调增区间．常见错解：因为函数2()54g x x x =--的对称轴是2x =-，图像是抛物线，开口向下，由图可知2()54g x x x =--在(,2]-∞-上是增函数，所以y=245x x --的增区间是(,2]-∞-；在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而出错．正确解法为y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]--◎典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径． 请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！我的错题：错因：反思：※学以致用第3课 函数的单调性【基础级】1．函数f(x)=ln(4+3x-x 2)的单调递减区间是 ． 答案 ［23，4）2．函数f(x)(x ∈R )的图象如下图所示，则函数g(x)=f(log a x) (0＜a ＜1)的单调减区间是 ．答案 ［a ，1］3．（2009福建卷理改编）下列函数①()f x =1x；②()f x =2(1)x -；③()f x =x e ④；()ln(1)f x x =+中，满足 “对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的有 （填序号）．答案：① 解析：依题意可得函数()f x =1x应在(0,)x ∈+∞上单调递减，其它都不是，故只有①．5．（2010·如东市期中）若函数()21f x ax x =++在区间[)2,-+∞上为单调增函数，则实数a 的取值范围是 ．答案：104a ≤≤解析：当0a =时，()1f x x =+显然成立；当0a ≠时，必须0122a a>⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，解得104a <≤，综上可得104a ≤≤． 6．已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是 ．答案 (-)32,21 7．已知f(x)=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx a x a a 是（-∞，+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是 ．答案 ［71，31） 解析：由函数性质和图象可知，31001(31)4log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得1173a ≤<． 【升华级】8．（2010·苏北四市模拟）已知函数()1pf x x x =+-（p 为常数且0p >），若()f x 在区间(1,)+∞的最小值为4，则实数p 的值为 ．答案：94解析：()(1)111p f x x x =-++≥-，则有914,4p ==即．9．已知f(x)=ax x-(x ≠a)．（1）若a=-2，试证f(x)在（-∞，-2）内单调递增；（2）若a ＞0且f(x)在（1，+∞）内单调递减，求a 的取值范围． 证明（1） 任设x 1＜x 2＜-2，则f(x 1)-f(x 2)=121212122()22(2)(2)x x x x x x x x --=++++， ∵(x 1+2）(x 2+2)＞0，x 1-x 2＜0，∴f(x 1)＜f(x 2)，∴f(x)在(-∞，-2)内单调递增． 解 (2） 任设1＜x 1＜x 2，则 f(x 1)-f(x 2)=12211212()()()x x a x x x a x a x a x a --=----, ∵a ＞0，x 2-x 1＞0，∴要使f(x 1)-f(x 2)＞0，只需(x 1-a)(x 2-a)＞0恒成立， ∴a ≤1．综上所述知0＜a ≤1．10．求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间．解析：由4x-x 2＞0，得函数的定义域是（0，4）．令t=4x-x 2，则y= 21log t ．∵t=4x-x 2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x 2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］．又 y=21log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y=21log （4x-x 2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4)．(☆) 11．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m ，使f (c os2θ－3)+f (4m －2mc os θ)>f (0)对所有θ∈［0，2π］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由．解析：∵f (x )是R 上的奇函数，且在［0，+∞］上是增函数，∴f (x )是R 上的增函数，于是不等式可等价地转化为f (c os2θ－3)>f (2mc os θ－4m )，即c os2θ－3>2mc os θ－4m ，即c os 2θ－mc os θ+2m －2>0．设t =c os θ，则问题等价地转化为函数g (t )=t 2－mt +2m －2=(t －2m )2－42m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g (t )在［0，1］上的最小值为正．∴当2m <0，即m <0时，g (0)=2m －2>0⇒m >1与m <0不符；当0≤2m≤1时，即0≤m ≤2时，g (m )=－42m +2m －2>0⇒4－22<m <4+22，∴4－22<m ≤2；当2m>1，即m >2时，g (1)=m －1>0⇒m >1．∴m >2．综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m >4－22． ◎典型错题反思 我的错题：错因：反思：。