2017高考一轮复习教案-函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值

1．函数的单调性

理解函数的单调性及其几何意义．

2．函数的最值

理解函数的最大值、最小值及其几何意义．

知识点一函数的单调性

1．单调函数的定义

增函数减函数

定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1

就说函数f(x)在区间A上是增加的

当x1f(x2)，那么就说函数

f(x)在区间A上是减少的

图象描述

自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的

2.单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．易误提醒求函数单调区间的两个注意点：

(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．

(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

必记结论

1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2

>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；

f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2

<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．

②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．

2．复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．

[自测练习]

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1x

B ．f (x )＝(x －1)2

C ．f (x )＝e x

D ．f (x )＝ln(x ＋1)

2．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．

3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )

A ．[－3,0)

B ．[－3，－2]

C．(－∞，－2] D．(－∞，0)

知识点二函数的最值

前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

对于任意x∈I，都有f(x)≤M

存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M 存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论M为最大值M为最小值易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性．

必备方法求函数最值的五个常用方法

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

[自测练习]

4．函数f(x)＝

1

1＋x2

(x∈R)的值域是()

A．(0,1) B．(0,1]

C．[0,1) D．[0,1]

5．已知函数f(x)＝x2＋2x(－2≤x≤1且x∈Z)，则f(x)的值域是()

A．[0,3]B．[－1,3]

C．{0,1,3} D．{－1,0,3}

考点一函数单调性的判断|

1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是() A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x

C．f(x)＝－1

x＋1

D．f(x)＝－|x|

给出解析式函数单调性的两种判定方法1．定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)．2．导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)．

考点二函数的单调区间的求法|

求下列函数的单调区间：

(1)y＝－x2＋2|x|＋1；

(2)y ＝log 1

2(x 2－3x ＋2)．

函数单调区间的四种求法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．

函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0)

B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)

D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞

考点三 函数单调性的应用|

函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：

1．求函数的值域或最值．

2．比较两个函数值或两个自变量的大小． 3．解函数不等式． 4．求参数的取值范围或值． 探究一 求函数的值域或最值

1．(2015·高考浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2x －3，x ≥1，

lg (x 2＋1)，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )

的最小值是________．

探究二 比较两个函数值或两自变量的大小

2．已知函数f (x )＝log 2x ＋1

1－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )

A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0

B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0

C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0

D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0

探究三 解函数不等式

3．(2015·西安一模)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 3，x ≤0，

ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值

范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C ．(－1,2)

D ．(－2,1)

探究四 利用单调性求参数的取值范围