2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义+强化训练+专题检测：第一章 集合与常用逻辑用语(4份)第一
2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义+强化训练+专题检测：第四章 三角函数、解三角形(7份)第四
§4.4 三角函数的图像和性质1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数．( √ ) (3)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( × ) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． ( × ) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1. ( × ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × ) 2． (2012·福建)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 方法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 3． 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2<f (π)，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－1B ．f ⎝⎛⎭⎫7π10>f ⎝⎛⎭⎫π5C ．f (x )是奇函数D ．f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) 答案 D解析 ∵f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立， ∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z .∵f ⎝⎛⎭⎫π2<f (π)，sin(π＋φ)＝－sin φ<sin(2π＋φ)＝sin φ，sin φ>0.∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z . 不妨取φ＝π6，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝sin 2π＝0，∴A 错；∵f ⎝⎛⎭⎫7π10＝sin ⎝⎛⎭⎫7π5＋π6＝sin 47π30＝－sin 17π30<0， f ⎝⎛⎭⎫π5＝sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋π6＝sin 17π30>0，∴B 错； ∵f (－x )≠－f (x )，∴C 错；∵2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴D 对．故选D.4． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图像向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12 B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.5． 设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.答案255解析 由f (x )＝sin x ＋2cos x 可得f (x )＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，当x ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时函数f (x )取得最大值，所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＋2k π＝sin φ＝255.题型一 求三角函数的定义域和最值例1 (1)(2012·山东)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为______________________．思维启迪 求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数最值或值域时要利用图像、三角变换、二次函数等知识．答案 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]答案 (1){x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z } (2)C解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1，可得y ∈[－54，1]．题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 思维启迪 (1)化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图像→y ＝|tan x |的图像→求单调性及周期． 解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图像可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.思维升华 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2(k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的奇偶性和对称性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图像关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图像关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.思维升华 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )A ．(－π8，0)B ．(0,0)C ．(－18，0)D ．(18，0)(2)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图像关于点(π4，0)对称；②图像关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 答案 (1)C (2)②④解析 (1)由条件得f (x )＝2sin(ax ＋π4)，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin(2πx ＋π4)．将x ＝－18代入得函数值为0.(2)∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)，由图像及性质可知②④正确．三角函数的单调性、对称性典例：(20分)(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2](2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3(3)(2012·课标全国)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4B.π3C.π2D.3π4(4)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24思维启迪 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像相邻两条对称轴之间的距离是T2；(4)可结合图像分析函数的单调性，周期性确定ω，φ.解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)利用三角函数的对称轴求得周期． 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.(4)函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像过点(π6，1)，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝12.答案 (1)A (2)C (3)A (4)A温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像与其对称轴的交点是最值点.方法与技巧1． 讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. 3． 对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 失误与防范1． 闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2． 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时情况．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 下列函数中，周期为π且在[0，π2]上是减函数的是( )A ．y ＝sin(x ＋π4)B ．y ＝cos(x ＋π4)C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x答案 D解析 对于函数y ＝cos 2x ，T ＝π，当x ∈[0，π2]时，2x ∈[0，π]，y ＝cos 2x 是减函数．2． (2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为 ( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 答案 B解析 将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解． ∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]．3． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．4． 函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[0,1]B ．[12，1]C ．[－1,2]D ．[0,2]答案 A解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2.∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．5． (2012·天津)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13 B ．1C.53D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 二、填空题6． 函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．7． 函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的最大值为________．答案 43π解析 由正弦函数的图像知(b －a )max ＝13π6－5π6＝4π3.8． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图像如图，则f (π24)＝________.答案3解析 由题中图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图像过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.又图像过定点(0,1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.三、解答题9． 设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 10．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx4＝3sin(πx 4－π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一 在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是( )A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )C ．[－π2＋k π，k π](k ∈Z )D ．[－π2＋2k π，2k π](k ∈Z )答案 A解析 |sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥1 ⇒sin 2x ≥0，∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，故原函数的定义域是[k π，k π＋π2](k ∈Z )．2． 设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.3． 已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π； ③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图像关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________． 答案 ③④解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图像关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．4． 已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1.(1)当x ∈[π4，π2]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)求f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1.∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3)≤2，于是2≤2sin(2x －π3)＋1≤3，∴f (x )的最大值是3，最小值是2. (2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z得f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z . 5． 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-1函数及其表示课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-1函数及其表示课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x [答案]C[解析]本题考查了代入法求函数解析式．f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件，故选C.代入法求函数解析式是最基本的求解析式的方法．2．(文)(2013·某某高考)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) [答案]C[解析]本题考查函数的定义域．⎭⎪⎬⎪⎫x －2>0x －2≠1⇒x >2且x ≠3，故选C. (理)已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于( ) A ．π2B ．π C.πD ．不确定 [答案]B[解析]f (x )＝π为常数函数，所以f (π2)＝π.3．(文)(教材改编题)下列各组函数中是同一函数的是( ) A ．y ＝|x |x 与y ＝1B ．y ＝xx与y ＝x 0C ．y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x >1)1－x (x <1)D ．y ＝|x |＋|x －1|与y ＝2x －1[答案]B[解析]当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有B ，A 中第一个函数x ≠0，第二个函数x ∈R ，C 中第二函数x ≠1，第一个函数x ∈R ，D 当x <0时，第一个函数为y ＝－2x ＋1，显然与第二函数不是同一函数．(理)下列四组函数，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝log a a x ，g (x )＝a log a x (a >0，a ≠1) B ．f (x )＝(x )2，g (x )＝3x 3C ．f (x )＝2x －1(x ∈R )，g (x )＝2x －1(x ∈Z )D ．f (x )＝x 2－4x －2，g (t )＝t 2－4t －2[答案]D[解析]选项A 、B 、C 中函数的定义域不同．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4 D ．－2或2 [答案]B[解析]本题主要考查分段函数求函数值等基础知识． 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α>0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2. 综上可得：α＝－4或2，选B.5．(2013·全国大纲)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)[答案]B[解析]本题考查复合函数定义域的求法． f (x )的定义域为(－1,0) ∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x <－12.6．在给定的映射f ：(x ，y )→(2x ＋y ，xy )(x ，y ∈R )作用下，点(16，－16)的原像是( )A ．(16，－136)B ．(13，－12)或(－14，23)C ．(136，－16)D ．(12，－13)或(－23，14)[答案]B[解析]由已知得：⎩⎨⎧2x ＋y ＝16xy ＝－16解方程组得⎩⎨⎧ x ＝13y ＝－12或⎩⎨⎧x ＝－14y ＝23故选B.二、填空题7．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． [答案](0，6][解析]本题考查函数定义域的求法，此题应该让被开方数大于或等于零． 由题意知1－2log 6x ≥0，∴log 6x ≤12，∴log 6x ≤log 6 6.∴0<x ≤6，∴函数的定义域为(0，6]．求函数的定义域要根据函数的解析式的不同表达形式分别对待，另外此题易错点为对数的真数x >0.8．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.[答案]f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1≤x ≤2[解析]由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，(1，32)和(1，32)，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.9．已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出x 1 2 3 f (x )132x 1 2 3 g (x )321则f [g (1)]的值为________________． [答案]2 2[解析]f [g (1)]＝f (3)＝2.x 1 2 3 f [g (x )] 2 3 1 g [f (x )]312故f [g (x )]>g [f (x )]的解为x 三、解答题10．已知扇形周长为10cm ，求扇形半径r 与扇形面积S 的函数关系S ＝f (r )，并确定其定义域．[解析]设弧长为l ，则l ＝10－2r ，所以S ＝12lr ＝(5－r )r ＝－r 2＋5r .由⎩⎨⎧r >0，l >0，l <2πr得5π＋1<r <5. ∴S ＝f (r )＝－r 2＋5r ，其定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋1，5. 能力强化训练一、选择题1．(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15B ．3 C.23D.139 [答案]D[解析]本题考查分段函数“代入问题”，f (3)＝23，f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.(理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg101B ．2C ．1D ．0 [答案]B[解析]本题考查了分段函数与函数值的求解．f (10)＝lg10＝1，f (1)＝1＋1＝2，故选B ，分段函数是由于定义域的不同引起函数的表达式不同，它是一个函数，解分段函数问题要注意函数的定义域与解析式的对应．2．(改编题)设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2015(x )＝( )A.1＋x 1－xB.x －1x ＋1 C ．x D ．－1x[答案]B[解析]由已知条件得到f 2(x )＝f [f 1(x )]＝1＋f 1(x )1－f 1(x )＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x1－x ＝－1x ，f 3(x )＝f [f 2(x )]＝1＋f 2(x )1－f 2(x )＝1－1x 1＋1x ＝x －1x ＋1，f 4(x )＝f [f 3(x )]＝1＋f 3(x )1－f 3(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f [f 4(x )]＝1＋x1－x，易知f n (x )是以4为周期的函数，而2 015＝503×4＋3， 所以f 2015(x )＝f 3(x )＝x －1x ＋1. 二、填空题3．(2013·某某高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.[答案]－x (x ＋1)2[解析]本题主要考查了求函数解析式． ∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1 ∴f (x )＝f (x ＋1)2＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－(x ＋1)2·x .4．(文)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号) [答案]②③④[解析]该题为信息考查题，考查学生迁移知识的能力，考查“单函数”的意义．由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①不正确；对于f (x )＝2x ，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②正确；当f (x )为单函数时，有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，则其逆否命题f (x )为单函数时，x 1≠x 2⇒f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，故④正确．(理)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案]②③[解析]当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整个定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.三、解答题5．求下列函数的定义域： (1)y ＝25－x 2＋lgcos x ； (2)y ＝log 12(x 2－1)； (3)y ＝lg ⎝⎛⎭⎫1－1x . [解析](1)由⎩⎪⎨⎪⎧25－x 2≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5. (2)由log 12(x 2－1)≥0，得0<x 2－1≤1，∴－2≤x <－1或1<x ≤ 2.∴函数的定义域为{x |－2≤x <－1或1<x ≤2}． (3)由1－1x >0，得x >1或x <0，∴函数的定义域为{x |x >1或x <0}．6．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图像关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，某某数λ的取值X 围． [解析](1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)． f (x )图像的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1， 即a －2a ＝－1，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x . ∵函数g (x )的图像与f (x )的图像关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h (x )图像对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理需λ－1λ＋1≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值X围是(－∞，0]．。
2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义+强化训练+专题检测：第二章 函数(10份)第二章 2.8
§2.8函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像与零点的关系3．其中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N ”的含义：方程解满足要求的精度；“P ”的含义：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x 轴的交点．( × ) (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图像连续不断)，则f (a )·f (b )<0. ( × ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值． ( × ) (5)函数y ＝2sin x －1的零点有无数多个．( √ ) (6)函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则－1<k <－12.( × ) 2． (2013·天津)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点． 当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1， 令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.3． (2013·重庆)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图像是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. 4． 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)答案 C解析 ∵f (x )＝e x ＋4x －3，∴f ′(x )＝e x ＋4>0. ∴f (x )在其定义域上是严格单调递增函数．∵f (－14)＝e 41-－4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f (14)＝e 41－2<0，f (12)＝e 21－1>0， ∴f (14)·f (12)<0.5． 已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1) (k ∈N ＋)，则k 的值为________． 答案 3解析 由题意知，当x >1时，f (x )单调递减，因为f (3)＝ln 3－1>0，f (4)＝ln 4－2<0，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k ＝3.题型一 函数零点的判断和求解例1 (1)函数f (x )＝e x ＋2x －3的零点所在的一个区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫1，32 (2)(2012·湖北)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7思维启迪 (1)利用零点存在性定理判断；(2)函数零点的确定问题． 答案 (1)C (2)C解析 (1)由于函数f (x )的图像在R 上是连续的，且f ⎝⎛⎭⎫－12＝e 21-＋2×(－12)－3＝e 21-－4<0， 即f ⎝⎛⎭⎫－12<0； f (0)＝e 0＋2×0－3＝－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 21＋2×12－3＝e 21－2＝e －2<0， f (1)＝e 1＋2×1－3＝e －1>0， ∴f ⎝⎛⎭⎫12·f (1)<0， 故函数f (x )＝e x ＋2x －3的一个零点所在的区间是⎝⎛⎭⎫12，1. (2)当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈[0,4]， 所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2，所以函数y ＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为6.思维升华 函数零点的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定，②零点个数的确定，③两函数图像交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判断或数形结合法．(1)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个答案 (1)B (2)B解析 (1)∵f ′(x )＝2x ln 2＋3>0， ∴f (x )＝2x ＋3x 在R 上是增函数． 而f (－2)＝2－2－6<0，f (－1)＝2－1－3<0，f (0)＝20＝1>0，f (1)＝2＋3＝5>0，f (2)＝22＋6＝10>0， ∴f (－1)·f (0)<0.故函数f (x )在区间(－1,0)上有零点． (2)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图像，如下：观察图像可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． 题型二 二次函数的零点问题例2 是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．思维启迪 可将问题转化为f (x )＝0在[－1,3]上有且只有一个实数根，结合二次函数的图像特征转化题中条件．解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8 ＝9(a －89)2＋89>0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可． f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1) ＝4(1－a )(5a ＋1)≤0， ∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.思维升华 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式； (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系； (3)利用二次函数的图像列不等式组．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解 方法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0， 即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1. 方法二 函数图像大致如图， 则有f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0， ∴－2<a <1.题型三 函数零点的应用例3 若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．思维启迪 方程的根也就是与方程对应的函数零点，判断方程的根是否存在，可以通过构造相应的函数，将其转化为函数零点的存在性问题求解，也可直接通过分离参数，转化为函数的值域问题求解． 解 方法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0， (*)原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]． 方法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎡⎦⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.思维升华 对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域来解决．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1<x ≤1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有5个零点，则a 的取值范围是( )A ．(1,5)B ．(0，15)∪[5，＋∞)C ．(0，15]∪[5，＋∞)D ．[15，1]∪(1,5]答案 B解析 依题意知函数f (x )的周期为2，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与函数y ＝log a |x |的图像，如图所示，结合图像，可知要使函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有5个零点，则有0<a <15或a ≥5，即实数a 的取值范围是(0，15)∪[5，＋∞)．函数与方程思想的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．思维启迪 (1)y ＝g (x )－m 有零点即y ＝g (x )与y ＝m 的图像有交点，所以可以结合图像求解；(2)g (x )－f (x )＝0有两个相异实根⇔y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像有两个不同交点，所以可利用它们的图像求解． 规范解答解 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，[3分] 因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点．[6分] 方法二 作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图像如图．[3分] 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.[6分](2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图像有两个不同 的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图像如图．[8分]∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图像的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.[10分]故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有 两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．[12分]温馨提醒 (1)求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解．(2)本题的易错点是确定g (x )的最小值和f (x )的最大值时易错．要注意函数最值的求法．方法与技巧1． 函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.2． 研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．3． 转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题． 失误与防范1． 函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标．2． 函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 C解析 设f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33＋3－3＝1>0， ∴f (x )＝0在(2,3)有零点，又f (x )为增函数，∴f (x )＝0的零点在(2,3)内． 2． 方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图像如图，∴y ＝|x 2－2x |的图像与y ＝a 2＋1的图像总有两个交点．3． 若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝m 2－4>0，∴m >2或m <－2.4． 已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b答案 B解析 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，且f (x )为单调递增函数．故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)． ∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2；∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0， 且h (x )为单调递增函数，∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b .5． 已知x 0是函数f (x )＝11－x＋ln x 的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 答案 D解析 令f (x )＝11－x ＋ln x ＝0.从而有ln x ＝1x －1，此方程的解即为函数f (x )的零点．在同一坐标系中作出函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图像如图所示．由图像易知，1x 1－1＞ln x 1，从而ln x 1－1x 1－1＜0，故ln x 1＋11－x 1＜0，即f (x 1)＜0.同理f (x 2)＞0. 二、填空题6． 定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________． 答案 3解析 函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x 在区间(0，12 015)内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f (x )在R 上的零点的个数为3.7． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0－x 2－2x ，x ≤0的图像，如图． 由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图像得：0<m <1，即m ∈(0,1)．8． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．答案 {x |－32<x <1} 解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a －2×3＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6. ∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为{x |－32<x <1}． 三、解答题9． 已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14. 证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0. 证明 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g (12)＝f (12)－12＝－18， ∴g (0)·g (12)<0. 又函数g (x )在[0，12]上连续， ∴存在x 0∈(0，12)，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0. 10．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)，∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1． 已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则 ( )A.1e <x 1x 2<1B ．1<x 1x 2<eC ．1<x 1x 2<10D ．e<x 1x 2<10 答案 A解析 在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图像，结合图像不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln x 1x 2∈(－1,0)，于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e<x 1x 2<1. 2． 若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图像上；②P ，Q关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( ) A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 C解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0的图像及函数f (x )＝－x 2－ 4x (x ≤0)的图像关于原点对称的图像如图所示，则A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图像上，故函数f (x )的“友好点对”有2对，选C.3． 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．答案 (512，34]解析 作出函数y 1＝4－x 2和y 2＝k (x －2)＋3的图像如图所示，函数y 1的图像是圆心在原点，半径为2的圆在x 轴上方的半圆(包括端点)，函数y 2的图像是过定点P (2,3)的直线，点A (－2,0)，k P A＝3－02－(－2)＝34.直线PB 是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，|3－2k PB |k 2PB ＋1＝2，得 k PB ＝512.由图可知当k PB <k ≤k P A 时，两函数图像有两个交点，即原方程有两个不等实根．所 以512<k ≤34. 4． 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围．解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如右图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56. 即－56<m <－12，故m 的取值范围是(－56，－12)． (2)抛物线与x 轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如右图所示，列不等 式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)>0Δ≥00<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2. 故m 的取值范围是(－12，1－2]． 5． 已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解 f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a. ①当－12a ≤－1，即0≤a ≤12时， 须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1， ∴a 的解集为∅.②当－1<－12a <0，即a >12时， 须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－12a )≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．。
高考理科数学(北师大版)一轮复习练习第1章 集合与常用逻辑用语 第4讲知能训练轻松闯关 Word版含答案
．(·高考全国卷Ⅰ改编)设命题：存在∈，>，则綈为( )．存在∈，≤．对任意的∈，>．存在∈，＝．对任意的∈，≤解析：选.因为“存在∈，()”的否定是“对任意的∈，綈()”，所以命题“存在∈，>”的否定是“对任意的∈，≤”．．(·高考湖北卷改编)命题“存在∈(，＋∞)，＝－”的否定是( )．对任意的∈(，＋∞)，≠－．对任意的∉(，＋∞)，＝－．存在∈(，＋∞)，≠－．存在∉(，＋∞)，＝－解析：选.特称命题的否定为全称命题，所以存在∈(，＋∞)，＝－的否定是对任意的∈(，＋∞)，≠－，故选.．将＋＋＝(＋)改写成全称命题是( )．存在，∈，＋＋＝(＋)．存在<，>，＋＋＝(＋)．对任意的>，>，＋＋＝(＋)．对任意的，∈，＋＋＝(＋)解析：选.全称命题含有量词“任意”，故排除、，又等式＋＋＝(＋)对于全体实数都成立，故选.．下列命题中的假命题是( )．存在∈，＝．存在∈，＝．对任意的∈，>．对任意的∈，>解析：选.当＝时，＝，故命题“存在∈，＝”是真命题；当＝时，＝，故命题“存在∈，＝”是真命题；由于＝－时，<，故命题“对任意的∈，>”是假命题；根据指数函数的性质，对对任意的∈，>，故命题“对任意的∈，>”是真命题．．命题：对任意的∈(－∞，]，≤，则( )．是假命题；綈：存在∈(－∞，]，>．是假命题；綈：对任意的∈(－∞，]，≥．是真命题；綈：存在∈(－∞，]，>．是真命题；綈：对任意的∈(－∞，]，≥解析：选.因为对任意的∈(－∞，]，≤＝，所以是真命题．又因为綈：存在∈(－∞，]，>.故选.．已知命题：若＞，则－＜－；命题：若＞，则＞.在命题①且；②或；③且(綈)；④(綈)或中，真命题是( )．①③．①④．②④．②③解析：选.当＞时，－＜－，故命题为真命题，从而綈为假命题．当＞时，＞不一定成立，故命题为假命题，从而綈为真命题．由真值表知，①且为假命题；②或为真命题；③且(綈)为真命题；④(綈)或为假命题．故选.．“命题‘存在∈，＋－<’为假命题”是“－≤≤”的( )．充要条件．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要条件解析：选.因为“存在∈，＋－<”为假命题，所以“对任意的∈，＋－≥”为真命题．所以Δ＝＋≤，即－≤≤.所以“命题‘存在∈，＋－<’为假命题”是“－≤≤”的充要条件．．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．或(綈)．(綈)或(綈)．或．(綈)且(綈) 解析：选.命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．或者是命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否定，即“且”的否定．选.．(·江西省三校联考)下列四个结论：①若>，则>恒成立；②命题“若－＝，则＝”的逆命题为“若≠，则－≠”；③“命题或为真”是“命题且为真”的充分不必要条件；④命题“对任意的∈，－>”的否定是“存在∈，－≤”．其中正确结论的个数是( )．．．．解析：选.记()＝－，>，则′()＝－≥，函数()在(，＋∞)上是增函数，因此当>时，()>()，即－>，>，①正确；命题“若－＝，则＝”的逆命题为“若＝，则－＝”，②不正确；由命题“或”为真不能得知命题“且”为真，反过来，由命题“且”为真命题可得知命题“或”为真，因此“命题或”为真是“命题且”为真的必要不充分条件，③不正确；命题“对任意的∈，－>”的否定是“存在∈，－≤”，④正确．综上所述，正确结论的个数是，故选.．(·昆明联考)若“：存在∈[，]，≤”是真命题，则实数的最小值是( )．．．－．－解析：选.问题转化为＝在∈[，]的取值范围，则∈[－，]，故选.．(·辽宁省五校联考)下列选项中，说法正确的是( )．命题“存在∈，－≤”的否定是“存在∈，－>”．命题“或为真”是命题“且为真”的充分不必要条件．命题“若≤，则≤”是假命题．命题“在△中，若<，则<”的逆否命题为真命题解析：选中命题的否定是：对任意的∈，－>，故不对；中当为假命题、为真命题时，或为真，且为假，故不对；中当＝时，，∈，故的说法正确；中命题“在△中，若<，则<”为假命题，所以其逆否命题为假命题．故选.．(·山东省实验中学第一次诊断)下列有关命题的叙述错误的是( )．若綈是的充分条件，则是綈的必要条件．若且为假命题，则，均为假命题．命题“对任意的∈，－>”的否定是“存在∈，－≤”．“>”是“<”的充分不必要条件解析：选.易知，正确；且为假，，至少有一个为假，错误；“任意”的否定是“存在”，“>”的否定是“≤”，正确；“>”一定能推出“<”，但当＝－时，满足<，但不满足>，所以“>”是“<”的充分不必要条件，正确．综上可知，选.．(·郑州调研)命题“存在∈，>”的否定是．答案：对任意的∈，≤．已知命题：存在∈，－＝，：对任意的∈，＋＋≥，若或(綈)为假命题，则实数的取值范围是．解析：若或(綈)为假命题，则假真．命题为假命题时，有≤<；命题为真命题时，有Δ＝－≤，。
2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件压轴题目突破练——函数与导数
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3．函数 y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a2k)处的切线与 x 轴的交点的 横坐标为 ak＋1，其中 k∈N＋.若 a1＝16，则 a1＋a3＋a5 的值是 ____2_1___．
解析 因为 y′＝2x，所以过点(ak，a2k)处的切线方程为 y－ak2＝2ak(x－ak)．
又该切线与 x 轴的交点为(ak＋1,0)， 所以 ak＋1＝12ak，即数列{ak}是等比数列， 首项 a1＝16，其公比 q＝12， 所以 a3＝4，a5＝1.
解析 设圆柱高为 x，底面半径为 r，
则
r
＝
6－x 2π
，
圆
柱
体
积
V
＝
π
6－x 2π
2x
＝
1 4π
(x3
－
12x2
＋
36x)(0<x<6)，
V′＝43π(x－2)(x－6)．
当 x＝2 时，V 最大．
此时底面周长为 6－x＝4,4∶2＝2∶1.
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9．(2013·重庆)设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)． (1)确定 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
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4．点 P 是曲线 x2－y－2ln x＝0 上任意一点，则点 P 到直线
4x＋4y＋1＝0 的最短距离是
高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结全文编辑修改
精选全文完整版可编辑修改高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ∉；两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n-个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集Bx ∈A A=∅=∅A B A⊆B B ⊆ B{|x x x ∈A A =A ∅=⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相（3）A B A ⊇A B B⊇补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 （%1%1%1 %1同时；二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有 、 、 .§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式；就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域；就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域；就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中；与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法；就是优先考虑 ；取决于 ；常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）例如：① 形如y ＝221x +；可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ；可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ；可采用 法；④ y ＝x －x-1；可采用 法；⑤ y ＝x －21x -；可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2；当x 1、<x 2时；①都有 ；则称f (x )在这个区间上是增函数；而这个区间称函数的一个 ；②都有 ；则称f (x )在这个区间上是减函数；而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间；则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法；若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导；①若 ；则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ；则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数；则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数；则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数；若f (x )与g(x )的单调相同；则f [g(x )]为 ；若 f (x ), g(x )的单调性相反；则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ；则称f (x )为奇函数；若 ；则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质；则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数；0>a ）；都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称；均可以得到)(x f 周期第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0；a≠1；x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ；a >0；且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ；对于任意给定的整数m ；n (m ；n 互素)；存在唯一的正实数b ；使得b n ＝a m ；我们把b 叫作a 的mn 次幂；记作b＝m na ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝nam(a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na-＝__________________(a >0；m 、n ∈N ＋；且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)； (3)(ab )n＝________(a >0；b >0)．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地；________________叫做指数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0；且a ≠1)的图像和性质§4 对数(二)1．对数的运算性质如果a >0；且a ≠1；M >0；N >0；则： (1)log a (MN )＝________________； (2)log a MN＝________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式 log b N ＝logaNlogab(a ；b >0；a ；b ≠1；N >0)； 特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0；且a ≠1；b >0；且b ≠1)．a >10<a <1图像定义域 R 值域(0；＋∞) 性 质过定点过点______；即x ＝____时；y ＝____ 函数值 的变化 当x >0时；______； 当x <0时；________ 当x >0时；________； 当x <0时；________ 单调性是R 上的________是R 上的________§5 对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地；我们把______________________________叫做对数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是________．________为常用对数函数；y ＝________为自然对数函数. 2．对数函数的图像与性质 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根；也就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标．定义 y ＝log a x (a >0；且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1 图像定义域 ______ 值域 ______单调性 在(0；＋∞)上是增函数 在(0；＋∞)上是减函数共点性 图像过点______；即log a 1＝0函数值 特点 x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时；y ∈______.x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时； y ∈______.对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log a x 的图像关于______对称3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a；b]上的图像是连续曲线；并且在区间端点的函数值符号相反；即f(a)·f(b)____0；则在区间(a；b)内；函数y＝f(x)至少有一个零点；即相应的方程f(x)＝0在区间(a；b)内至少有一个实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点；将区间__________；再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系；可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a；b]；使____________．(2)求区间(a；b)的中点；x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0；则________________；②若f(a)·f(x1)<0；则令b＝x1(此时零点x0∈(a；x1))；③若f(x1)·f(b)<0；则令a＝x1(此时零点x0∈(x1；b))．(4)继续实施上述步骤；直到区间[a n；b n]；函数的零点总位于区间[a n；b n]上；当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时；这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点；计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．。
【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数及其表示 理 北师大版
第一节 函数及其表示【考纲下载】1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数与映射的概念2.函数的构成要素函数由定义域、对应关系、值域三个要素构成，对函数y ＝f (x )，x ∈A ，其中， (1)定义域：自变量x 的取值的集合A . (2)值域：函数值的集合{f (x )|x ∈A }． 3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．1．函数概念中的“集合A 、B ”与映射概念中的“集合A 、B ”有什么区别？提示：函数概念中的A 、B 是两个非空数集，而映射中的集合A 、B 是两个非空的集合即可．2．函数是一种特殊的映射，映射一定是函数吗？ 提示：不一定．3．已知函数f (x )与g (x )．(1)若它们的定义域和值域分别相同，则f (x )＝g (x )成立吗？(2)若它们的定义域和对应关系分别相同，则f (x )＝g (x )成立吗？ 提示：(1)不成立；(2)成立．1．下列各图形中是函数图象的是( )解析：选D 由函数的定义可知选项D 正确． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1²x －1，g (x )＝x 2－1解析：选A 对于A ，g (x )＝x 2＝|x |，且定义域相同，所以A 项表示同一函数；对于B 、C 、D ，函数定义域都不相同．3．(2013²江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：选B 要使函数y ＝x ln(1－x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，即0≤x <1.4．(2014²青岛模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f的值为________． 解析：由题易知，f (2)＝4，1f＝14，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.答案：15165．(教材习题改编)A ＝{x |x 是锐角}，B ＝(0,1)，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是________；与B 中元素32相对应的A 中的元素是________． 解析：当x ＝60°时，y ＝cos 60°＝12；当x ∈(0°，90°)，cos x ＝32时，x ＝30°.答案：1230°[例1] A. 12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭ B. 12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C. 112x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且D. 112x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭且 (2)已知函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解得x >－12且x ≠1.(2)因为函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，所以－1≤x 2－1≤8，故函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]．[答案] (1)D (2)[－1,8] 【互动探究】本例(2)改为：f (x )的定义域为[0,3]，求y ＝f (x 2－1)的定义域．解：因为f (x )的定义域为[0,3]，所以0≤x 2－1≤3，即1≤x 2≤4，解得1≤x ≤2或－2≤x ≤－1，故函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－2，－1]∪[1,2]．【方法规律】1．简单函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．2．抽象函数的定义域(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．1．(2014²咸阳模拟)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选D ∵－2x ＋a >0，∴x <a 2，∴a2＝1，∴a ＝2.2．已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是________．解析：由f (x )的定义域为[0,4]，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，解得1≤x ≤3，即函数f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．答案：[1,3][例2] (1)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋2x ＋1，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，求f (x )的解析式．[自主解答] (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝12(t －1)，所以，f (t )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤12t －2＋2³12(t －1)＋1＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t 2－t ＋1.即f (x )＝x 2－x ＋1.(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，所以a ＝b ＝12.因此f (x )＝12x 2＋12x .(3)由2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f x ＝3x ，得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．【方法规律】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．求下列两个函数的解析式： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)定义在(－1,1)内，且函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)． 解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)．代入原式，有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．1．分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对分段函数的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知分段函数解析式，求函数值(或最值)； (2)已知分段函数解析式与方程，求参数的值； (3)已知分段函数解析式，求解不等式； (4)已知分段函数解析式，判断函数的奇偶性； (5)新定义运算，分段函数与方程的交汇问题．[例3] (1)(2012²江西高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0(2)(2014²上饶模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞)(3)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[自主解答] (1)f (10)＝lg 10＝1，f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2. (2)当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，又因为x ≤1，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，又因为x >1，所以x >1.故x 的取值范围是[0，＋∞)．(3)①当1－a ＜1，即a ＞0时，1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )， 得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，解得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34.[答案] (1)B (2)D (3)－34分段函数问题的常见类型及解题策略(1)求函数值．弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．(2)求函数最值．分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．(3)解不等式．根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．(4)求参数．“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程． (5)奇偶性．利用奇函数(偶函数)的定义判断．1．(2014²南平模拟)定义a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ³b ，a ³b ≥0，ab，a ³b <0.设函数f (x )＝ln x x ，则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．4ln 2 B ．－4ln 2 C ．2 D ．0解析：选D 由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ≥1，ln xx，0<x <1，所以f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2ln 2＋2ln 12＝0.2．(2014²永州模拟)设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，－1，x ∈∁R Q ，g (x )＝e x－1e x ＋1，则函数h (x )＝f (x )²g (x )( )A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是偶函数也不是奇函数解析：选A 当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴f (－x )＝f (x )＝－1.综上，对∀x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．∵g (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－e x－11＋e x ＝－g (x )，∴函数g (x )为奇函数，∴h (－x )＝f (－x )²g (－x )＝f (x )²(－g (x ))＝－f (x )g (x )＝－h (x )， ∴函数h (x )＝f (x )²g (x )是奇函数．又因为h (1)＝f (1)²g (1)＝e －1e ＋1，h (－1)＝f (－1)²g (－1)＝1³e －1－1e －1＋1＝1－e1＋e ，∴h (－1)≠h (1)，∴函数h (x )不是偶函数．综上可知，h (x )是奇函数但不是偶函数．3．(2014²日照模拟)已知函数f (x )＝2x－12x ，且g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________．解析：因为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－12x，x ≥0，2－x－12－x，x <0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，故函数g (x )的最小值为g (0)＝20－120＝0.答案：0———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.种方法——函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有：(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．具体内容见例2[方法规律]．个注意点——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．数学思想(一)分类讨论在分段函数中的应用由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．[典例] (2014²西城模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x，x ，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为________．[解题指导] 本题可由条件f (－2)＝f (0)及f (－1)＝－3求出f (x )的解析式，但在解方程f (x )＝x 时应分x ≤0和x >0两种情况讨论．[解析] 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧－2－2b ＋c ＝c ，－2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －x ，x当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x ＝－2或x ＝1(1>0，舍去)． 当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}． [答案] {－2,2}[题后悟道] 解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝ ( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1 解析：选D 因为f (－1)＝－－＝1，所以f (a )＝1，当a ≥0时，a ＝1，所以a＝1；当a <0时，－a ＝1，所以a ＝－1.故a ＝±1.[全盘巩固] 1．函数y ＝xx －－lg 1x的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x <0}D ．{x |0<x ≤1} 解析：选B 要使函数y ＝xx －－lg 1x有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x x －，x >0，解得x ≥1.2．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是 ( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B 因为g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，所以g (x )＝2x －1. 3．下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t | D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1解析：选C g (t )＝|t |＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥0，－t ，t <0.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 解析：选C f (0)＝20＋1＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ，所以4＋2a ＝4a ，即a ＝2.5．(2014²南昌模拟)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋11x ＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．6．(2014²安康模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0，f x －－f x －，x >0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－3解析：选D f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3.7．函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，解得－2≤x ≤2.答案：[－2,2]8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________．解析：∵π是无理数，∴g (π)＝0，∴f (g (π))＝f (0)＝0. 答案：09．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x ＋1|，x ≤0，x 2－1，x >0，则不等式f (x )<0的解集为________．解析：画出此分段函数的图象，可知当函数图象处在x 轴下方时f (x )<0，此时x 的取值范围是{x |x <1且x ≠－1}．答案：{x |x <1且x ≠－1}10．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.求f (x )的解析式． 解：设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x .∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.11．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0，故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋x <c ，2－xc2＋c ≤x满足f (c 2)＝98，其中0＜c ＜1.(1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1. 解：(1)∵0<c <1，∴0<c 2<c ，由f (c 2)＝98，得c 3＋1＝98，解得c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，2－4x＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x <1.由f (x )>28＋1，知 当0<x <12时，有12x ＋1>28＋1，解得24<x <12；当12≤x <1时，有2－4x＋1>28＋1，解得12≤x <58. 所以f (x )>28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 24<x <58. [冲击名校]1．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(ⅰ)T ＝{f (x )|x ∈S }；(ⅱ)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．A ＝N *，B ＝NB ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}C ．A ＝{x |0<x <1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q解析：选D 对选项A ，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，应排除A ；对选项B ，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，应排除B ；对选项C ，取f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，应排除C.2．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4.对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，则f 1(x )＝________，f 2(x )＝________；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，则x 的取值范围为________． 解析：(1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34，∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3.(2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1，∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12. 答案：(1)1 3 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫716，12。
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习强化训练+专题检测第八章 8.6
§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1． 直线的方向向量：在空间直线l 上任取两点A ，B ，则称AB →为直线l 的方向向量．平面的法向量：如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的方向向量叫作平面α的法向量． 2． 用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3． 用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的． ( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( × ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行． ( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( × ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行． ( × ) 2． 若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确答案 B解析 a ·b ＝－12＋36－24＝0，故a ⊥b ，即l 1⊥l 2选B.3． 已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是 ( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)答案 A解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1,4,1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ， ∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．4． 若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________. 答案 2∶3∶(－4)5． 已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________． 答案407，－157，4 解析 由题意知，BP →⊥AB →，BP →⊥BC →.所以⎩⎪⎨⎪⎧AB →·BC →＝0，BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1×3＋5×1＋(－2)×z ＝0，(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，3(x －1)＋y －3z ＝0，解得，x ＝407，y ＝－157，z ＝4.题型一 证明平行问题例1 (2013·浙江改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点， 点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC . 证明：PQ ∥平面BCD.思维启迪 证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量． 证明 方法一 如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD 、OP 所在射线为y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知， A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)． 因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)． 又P 为BM 的中点，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ 平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .方法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A 、B 、C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0,0)． ∵CF →＝14CD →，设F 点坐标系(x ，y,0)则(x －x 0，y －y 0,0)＝14(－x 0，2－y 0,0)∴⎩⎨⎧x ＝34x 0y ＝24＋34y∴OF →＝(34x 0，24＋34y 0,0)又由证法一知PQ →＝(34x 0，24＋34y 0,0)，∴OF →＝PQ →，∴PQ ∥OF .又PQ 平面BCD ，OF 平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD .思维升华 用向量证明线面平行的方法有(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、 CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形，∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、 E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →＝(1,1，－1)， 设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →、FE →与FG →共面． ∵PB 平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 题型二 证明垂直问题例2 如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .思维启迪 证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平 面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行．证明 方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0. 故AB 1→⊥m ，结论得证．方法二 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →为x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)， A (0,0，3)，B 1(1,2,0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →＝(－2,1,0)． 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1,2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1,2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD .思维升华 用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角． (1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .证明 以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ， ∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4.∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)， M (32，0，32)，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)， CM →＝(32，0，32)，(1)令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →，又CM 平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .(2)取AP 的中点E ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)． ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面P AD ， 又∵BE 平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面P AD . 题型三 解决探索性问题例3 (2012·福建)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点． (1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由．思维启迪 利用向量法建立空间直角坐标系，将几何问题进行转化；对于存在性问题可通过计算下结论．(1)证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)． 设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)， E ⎝⎛⎭⎫a2，1，0，B 1(a,0,1)， 故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0. ∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1.(2)解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)． 使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP 平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证．另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．如图所示，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． (1)求证：AC ⊥SD .(2)若SD ⊥平面P AC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC . 若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由． (1)证明 连接BD ，设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD .由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0， B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，SD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0.故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .(2)解 棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC . 理由如下：由已知条件知DS →是平面P AC 的一个法向量， 且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0.设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ， 而BE →·DS →＝0⇔t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →.而BE 不在平面P AC 内，故BE ∥平面P AC .利用向量法解决立体几何问题典例：(12分)(2012·湖南)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面P AE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．思维启迪 本题中的(1)有两种证明思路：(1)利用常规方法，将证明线面垂直转化为证明线线垂直，利用线面垂直的判定定理证之； (2)将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题，证明向量垂直；然后计算两个向量的数量积． 规范解答方法一 (1)证明 如图，连接AC .由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5. [1分] 又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .[2分]因为P A ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，所以P A ⊥CD .[4分] 而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线， 所以CD ⊥平面P AE .[5分](2)解 过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于点F ，G ，连接PF . 由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE . 于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角， [6分]且BG ⊥AE .由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． [7分]由题意得∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝P A PB ，sin ∠BPF ＝BF PB ，所以P A ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC .又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形． 故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以 BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是P A ＝BF ＝855.[10分]又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为 V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.[12分]方法二 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分 别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝h ，则A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)， P (0,0，h )．[2分](1)证明 易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )． 因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，[4分]所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线， 所以CD ⊥平面P AE .[5分] (2)解 由题设和(1)知，CD →，P A →分别是平面P AE ，平面ABCD 的法向量． [6分]而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈P A →，PB →〉|， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·PB →|CD →|·|PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·PB →|P A →|·|PB →|.[8分]由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，P A →＝(0,0，－h )， 又PB →＝(4,0，－h )，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025·16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋h 2h ·16＋h 2. 解得h ＝855.[10分]又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为 V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.[12分]温馨提醒 (1)利用向量法证明立体几何问题，可以建立坐标系或利用基底表示向量；(2)建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线； (3)对于和平面有关的垂直问题，也可利用平面的法向量．方法与技巧用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．失误与防范用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则() A．l∥α或lαB．l⊥αC．lαD．l与α斜交答案 A2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是() A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)答案 D解析若l∥α，则a·n＝0，D中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0，∴a⊥n.3．设平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量b＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为() A．－2 B．－8 C．0 D．－6答案 C解析 由α∥β得a ∥b ，∴－21＝h 2＝k －2， ∴h ＝－4，k ＝4，∴h ＋k ＝0.4． 已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607 D.657答案 D解析 由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ5＝－t ＋4μλ＝3t －2μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337μ＝177λ＝657.5． 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( ) A ．60° B ．45°C ．90°D ．以上都不正确答案 C解析 以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，依题意，可得，D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)， M (2，2,0)．∴PM →＝(2，1，－3)， AM →＝(－2，2,0)，∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM . 二、填空题6． 已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________.答案 －4解析 ∵a·b ＝x －2＋6＝0，∴x ＝－4.7． 设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________. 答案16解析 P A →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)． 根据共面向量定理，设PC →＝xP A →＋yPB →(x 、y ∈R )， 则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.8． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系 是________． 答案 平行解析 ∵正方体棱长为a ，A 1M ＝AN ＝2a 3， ∴MB →＝23A 1B →，CN →＝23CA →，∴MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23A 1B →＋BC →＋23CA →＝23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →) ＝23B 1B →＋13B 1C 1→. 又∵CD →是平面B 1BCC 1的法向量， ∴MN →·CD →＝⎝⎛⎭⎫23B 1B →＋13B 1C 1→·CD →＝0， ∴MN →⊥CD →.又∵MN 平面B 1BCC 1， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 三、解答题9． 如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射 线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .依题意有 Q (1，1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0)． ∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，又DQ ∩DC ＝D ，故PQ ⊥平面DCQ ， 又PQ 平面PQC ，∴平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ACBD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC .证明 (1)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴， AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)， B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，∴E (12，1，12)，F (0,1，12)，EF →＝(－12，0,0)，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →＝(1,0,0)． ∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →，即EF ∥AB ，又AB 平面P AB ，EF 平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB .(2)∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，∴DC ⊥平面P AD . ∵DC 平面PDC ，∴平面P AD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 已知a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)，c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 与a 及b 都垂直，则m ，n 的值分别为 ( )A ．－1,2B ．1，－2C ．1,2D ．－1，－2答案 A解析 由已知得c ＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)， 故a·c ＝3m ＋n ＋1＝0，b·c ＝m ＋5n －9＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.2． 已知平面ABC ，点M 是空间任意一点，点M 满足条件OM →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则直线AM( )A ．与平面ABC 平行B ．是平面ABC 的斜线 C ．是平面ABC 的垂线D ．在平面ABC 内 答案 D解析 由已知得M 、A 、B 、C 四点共面．所以AM 在平面ABC 内，选D.3． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的有________个． 答案 2解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)， O (1,1,0)，∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.4． 如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的 中点．求证： (1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .证明 (1)如图建立空间直角坐标系Axyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4)．取AB 中点为N ，连接CN ， 则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)， ∴DE →＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)， ∴DE →＝NC →，∴DE ∥NC ，又∵NC 平面ABC ，DE 平面ABC . 故DE ∥平面ABC .(2)B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0)． B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩FE ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .5． 在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．(1)证明 如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系， 设AD ＝a ，则D (0,0,0)、 A (a,0,0)、B (a ，a,0)、 C (0，a,0)、E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0、 P (0,0，a )、F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)． ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(a,0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a2＝0， 得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0，得z ＝0. ∴G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a2，0，0，即G 点为AD 的中点．。
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易错题目辨析练——集合与常用逻辑用语
A组专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1．已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，R＝{x|y＝x2＋1}，M＝{(x，y)|y＝x2＋1}，N ＝{x|x≥1}，则( ) A．P＝M B．Q＝R
C．R＝M D．Q＝N
答案 D
解析集合P是用列举法表示的，只含有一个元素，即函数y＝x2＋1.集合Q，R，N中的元素全是数，即这三个集合都是数集，集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，集合R是一切实数．集合M的元素是函数y＝x2＋1图像上所有的点．故选D.
2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( ) A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
答案 C
解析由已知得，对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0，是全称命题．它的否定是特称命题，“任意的”的否定是“存在”，“≤0”的否定是“>0”，故选C.
3．“2a>2b”是“log2a>log2b”的( ) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析若2a>2b，只能得到a>b，但不能确定a，b的正负性，
当0>a>b时，log2a，log2b均无意义，更不能比较其大小，从而未必有“log2a>log2b”；
若log2a>log2b，则可得a>b>0，从而有2a>2b成立．
综上，“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件．
4．已知集合A＝{x|x2－m x＋1＝0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围为( ) A．m<4 B．m>4
C．0<m<4 D．0≤m<4
答案 A
解析∵A∩R＝∅，则A＝∅，即等价于方程x2－m x＋1＝0无实数解，即Δ＝m－4<0，即m<4，选A.
注意m<0时也表示A＝∅.
5．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{1,2}，B＝{3,4}，则集合A⊙B所有元素之积为( ) A．4 500 B．342 000
C．345 600 D．135 600
答案 C
解析依题意，x，y的取值应为
x＝1，y＝3；x＝1，y＝4；x＝2，y＝3；x＝2，y＝4.
从而A⊙B＝{12,20,30,48}．
故所有元素之积为12×20×30×48＝345 600.
二、填空题
6．设集合M＝{y|y＝2－x，x<0}，N＝{a|a＝b－1}，则M∩N＝________.
答案{x|x>1}
解析∵y＝2－x，x<0，∴M＝{y|y>1}，
∴集合M代表所有大于1的实数；
由于N＝{a|a＝b－1}，
∴a＝b－1≥0，∴N＝{a|a≥0}，
∴集合N代表所有大于或等于0的实数，
∴M∩N代表所有大于1的实数，即M∩N＝{x|x>1}．
7．设集合A、B是全集U的两个子集，则“A∪B＝B”是“∁U A⊇∁U B”的________条件．答案充要
解析由Venn图知∁U A⊇∁U B⇔A⊆B，而A∪B＝B⇔A⊆B.
8．设A，B为两个集合，给出下列三个命题：
①A B是A∩B≠A的充要条件；
②A B是A⊇B的必要条件；
③A B是“存在x∈A，使得x∉B”的充要条件．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
答案①③
解析因为A⊆B⇔A∩B＝A，A⊆B⇔A∪B＝B，
又原命题与它的逆否命题是等价的，所以①是真命题；
对于②，由于A ⊇B 包含了A ＝B 的情形，而此时A ⊆B 成立，故②是假命题； 对于③，它的正确性不言自明． 三、解答题
9． 已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，若A ＝B ，求x ，y 的值．
解 由A ＝B 知需分多种情况进行讨论， 由lg(xy )有意义，则xy >0.
又0∈B ＝A ，则必有lg(xy )＝0，即xy ＝1. 此时，A ＝B ，即{0,1，x }＝{0，|x |，y }．
∴⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝|x|，xy ＝1，y ＝1，
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝y ，
xy ＝1，|x|＝1，
解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝－1.
当x ＝y ＝1时，
A ＝
B ＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去； 当x ＝y ＝－1时，
A ＝
B ＝{0，－1,1}满足题意，故x ＝y ＝－1.
10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且
綈
p 是
綈
q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10.
由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m . ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 是必要不充分条件，
即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且qD ⇒/p ， ∴{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m>0，
1－m<－2，1＋m≥10，
或⎩⎪⎨⎪
⎧
m>0，
1－m≤－2，1＋m>10.
即m ≥9或m >9.
∴m ≥9.∴实数m 的取值范围为m ≥9.
B 组 专项能力提升
(时间：25分钟)
1．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若“a ＝1”，则函数f (x )＝|x －a |＝|x －1|在区间[1，＋∞)上为增函数；而若f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数，则0≤a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，选A. 2． 下列命题的否定中真命题的个数是
( )
；
无实根)R ∈c ，b ，a ，0≠a (0＝c ＋bx ＋2ax 方程，<0时Δ当：p ① ；
上是单调函数)∞，＋0[1在＋bx ＋2x )＝x (f 使函数，b 存在一个整数：q ② ．
0不成立≥1＋x ＋2x 使，R ∈x 存在：r ③ A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 B
解析 由于命题p 是真命题，∴命题①的否定是假命题；
命题q 是真命题，∴命题②的否定是假命题； 命题r 是假命题，∴命题③的否定是真命题．
故只有一个是正确的，故选B.
3． 已知集合M ＝{x |x ＝a 2－3a ＋2，a ∈R }，N ＝{x |y ＝log 2(x 2＋2x －3)}，则M ∩N ＝________.
答案 {x |x >1}
，
1
4－≥14
－2
⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32＝2＋a 3－2a ∵ 解析 ；
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x|x≥－14＝M ∴ ，
>0)3＋x )(1－x (，即3>0－x 2＋2x 由 解得x >1或x <－3，故N ＝{x |x >1或x <－3}．
∴M ∩N ＝{x |x >1}．
4． 若x ∈A ，则1
x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬
⎫－1，0，13，1
2，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________． 答案 15
解析 子集只有1个元素的有{－1}，{1}共2个； 子集有2个元素的有{－1,1}，{13，3}，{1
2
，2}，共3个；
子集有3个元素的有{－1，1
3，3}，{－1，12，2}，{1，13，3}，{1，1
2，2}，共4个；
子集有4个元素的有{－1,1，13，3}，{－1,1，12，2}，{2，12，1
3，3}，共3个；
子集有5个元素的有{－1,2，12，13，3}，{1,2，12，1
3，3}，共2个；
子集有6个元素的有{－1,1,2，12，1
3
，3}，共有1个，共15个．
5． 已知命题p ：函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭⎪⎫
ax2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式
2x ＋1
<1＋ax 对一切正实数x 均成立．如果命题p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围． 解 命题p 为真命题等价于ax 2－x ＋
1
16a >0对任意实数x 均成立．当a ＝0时，－x >0，其解集不是R ，∴a ≠0.
于是有⎩⎪⎨⎪⎧
a>0，1－1
4
a2<0，
解得a >2，故命题p 为真命题等价于a >2. 命题q 为真命题等价于a >
2x ＋1－1
x ＝错误!＝错误!对一切实数x 均成立． 由于x >0，∴
2x ＋1>1，
2x ＋1＋1>2，
∴
2
2x ＋1＋1
<1，从而命题q 为真命题等价于a ≥1.
根据题意知，命题p 、q 有且只有一个为真命题， 当p 真q 假时实数a 不存在；
当p 假q 真时，实数a 的取值范围是1≤a ≤2.。