平面向量知识点总结

（1）模： ；
（2）方向：当 时， 的方向与 的方向相同，当 时， 的方向与 的方向相反，当 时， ，
注意： .
五、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ， ，则把 称为向量 ， 的夹角.
当 时， ， 同向；当 时， ， 反向；当 时， ， 垂直.
2.平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积或点积），记作： ，即 .
2. 的符号与分点 的位置之间的关系
（1） 内分线段 ，即点 在线段 上 ；
（2） 外分线段 时，①点 在线段 的延长线上 ，②点 在线段 的反向延长线上 .
注：若点 分有向线段 所成的比为 ，则点 分有向线段 所成的比为 .
举例16若点 分 所成的比为 ，则 分 所成的比为. 结果： .
3.线段的定比分点坐标公式：
（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 ，为什么？
八、向量平行(共线)的充要条件
.
举例14(1)若向量 ， ，当 _____时， 与 共线且方向相同.结果：2.
（2）已知 ， ， ， ，且 ，则 .结果：4.
（3）设 ， ， ，则 _____时， 共线.结果： 或11.
九、向量垂直的充要条件
.
特别地 .
是 、 同向的充要分条件；
当 、 反向时， ， 是 、 反向的充要分条件；
当 为锐角时， ，且 、 不同向， 是 为锐角的必要不充分条件；
当 为钝角时， ，且 、 不反向； 是 为钝角的必要不充分条件.
（3）非零向量 ， 夹角 的计算公式： ；④ .
举例6（1）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是______.结果： 或 且 ；
平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.
注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.
举例1已知 ， ，则把向量 按向量 平移后得到的向量是_____. 结果：
2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： ，规定：零向量的方向是任意的；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有 )；
④三点 共线 共线.
6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量. 的相反向量记作 .
举例2如下列命题：（1）若 ，则 .
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
（1）向量的加减法运算： ， .
举例8（1）已知点 ， ， ，若 ，则当 ____时，点 在第一、三象限的角平分线上. 结果： ；
（2）已知 ， ，且 ， ，则 .结果： 或 ；
（3）已知作用在点 的三个力 ， ， ，则合力 的终点坐标是.结果： .
（2）实数与向量的积： .
（3）若 ， ，则 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
3.向量 在向量 上的投影： ，它是一个实数，但不一定大于0.
举例5已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为______. 结果： .
4. 的几何意义：数量积 等于 的模 与 在 上的投影的积.
5.向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则：
（1） ；
（2）当 、 同向时， ，特别地， ；
（3）若 ，则 是平行四边形.
（4）若 是平行四边形，则 .
（5）若 ， ，则 .
（6）若 ， 则 .其中正确的是. 结果：（4）（5）
二、向量的表示方法
1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；
2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；
3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐标， 叫做向量 的坐标表示.
（2）函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 ，则 ________.结果： .
十二、向量中一些常用的结论
1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
2.模的性质： .
（1）右边等号成立条件： 同向或 中有 ；
（2）左边等号成立条件： 反向或 中有 ；
（3）当 不共线 .
3.三角形重心公式
（6）两点间的距离：若 ， ，则 .
举例12如图，在平面斜坐标系 中， ，平面上任一点 关于斜坐标系
的斜坐标是这样定义的：若 ，其中 分别为与 轴、 轴同方向的单
位向量，则 点斜坐标为 .
（1）若点 的斜坐标为 ，求 到 的距离 ；
（2）求以 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系 中的方程.
结果：（1）2；（2） .
运算形式：若 ， ，则向量 叫做 与 的和，即 ；
作图：略.
注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.
（2）向量的减法
运算法则：三角形法则.
运算形式：若 ， ，则 ，即由减向量的终点指向被减向量的终点.
作图：略.
注：减向量与被减向量的起点相同.
举例7（1）化简：① ；② ；③ .结果：① ；② ；③ ；
举例3（1）若 ， ， ，则 .结果： .
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是B
A. ， B. ， C. ， D. ，
（3）已知 分别是 的边 ， 上的中线,且 ， ,则 可用向量 表示为.结果： .
（4）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 的值是.结果：0.
四、实数与向量的积
实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下：
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
三、平面向量的基本定理
定理设 同一平面内的一组基底向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对 ，使 .
（1）定理核心： ；（2）从左向右看，是对向量 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量 的合成.
（3）向量的正交分解：当 时，就说 为对向量 的正交分解．
（2）若正方形 的边长为1， ， ， ，则 . 结果： ；
（3）若 是 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为.结果：直角三角形；
（4）若 为 的边 的中点， 所在平面内有一点 ，满足 ，设 ，则 的值为.结果：2；
（5）若点 是 的外心，且 ，则 的内角 为. 结果： .
2.坐标运算：设 ， ，则
（2）已知 ， ，直线 与线段 交于 ，且 ，则 .结果：２或 .
十一、平移公式
如果点 按向量 平移至 ，则 ；曲线 按向量 平移得曲线 .
说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！
举例18（1）按向量 把 平移到 ，则按向量 把点 平移到点______.结果： ；
举例15(1)已知 ， ，若 ，则 .结果： ；
（2）以原点 和 为两个顶点作等腰直角三角形 ， ，则点 的坐标是.结果：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知 向量 ，且 ，则 的坐标是.结果： 或 .
十、线段的定比分点
1.定义：设点 是直线 上异于 、 的任意一点，若存在一个实数 ，使 ，则实数 叫做点 分有向线段 所成的比 ， 点叫做有向线段 的以定比为 的定比分点.
举例9设 ， ，且 ， ，则 的坐标分别是__________. 结果： .
（4）平面向量数量积： .
举例10已知向量 ， ， .
（1）若 ，求向量 、 的夹角；
（2）若 ，函数 的最大值为 ，求 的值.结果：（1） ；（2） 或 .
（5）向量的模： .
举例11已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 ＝. 结果： .
七、向量的运算律
1.交换律： ， ， ；
2.结合律： ， ， ；
3.分配律： ， ， .
举例13 给出下列命题：① ；② ；③ ；
④ 若 ，则或 ；⑤若 则 ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ .
其中正确的是. 结果：①⑥⑨.
说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；
设 ， ，点 分有向线段 所成的比为 ，则定比分点坐标公式为 .
特别地，当 时，就得到线段 的中点坐标公式
说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ， 、 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.
（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 .
举例17（1）若 ， ，且 ，则点 的坐标为.结果： ；
7.向量 中三终点 共线 存在实数 ，使得 且 ．
举例20平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 ， ，若点 满足 ,其中 且 ,则点 的轨迹是. 结果：直线 .
规定：零向量与任一向量的数量积是0.
注：数量积是一个实数，不再是一个向量.
举例4（1） 中， ， ， ，则 _________. 结果： .
（2）已知 ， ， ， ， 与 的夹角为 ，则 ____. 结果：1.
（3）已知 ， ， ，则 ____. 结果： .
（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 与 的夹角为____. 结果： .
3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 共线的单位向量是 ）；
4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作： ∥ ，
规定：零向量和任何向量平行.
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；