2016-2017年江苏省常州市溧阳市八年级上学期期中数学试卷和答案
苏科版2016-2017学年八年级(上)期中数学试卷 有答案
2016-2017学年八年级（上）期中数学试卷一、选择题1．4的平方根是( )A．2 B．C．±2 D．±2．在﹣0.101001，，，﹣，0中，无理数的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．今年我市参加中考的学生人数约为6.01×104人．对于这个近似数，下列说法正确的是( )A．精确到百分位 B．精确到百位C．精确到十位D．精确到个位4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，35．如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是( )A．x≠﹣B．x＜﹣C．x≥﹣D．x≥﹣6．与点P（a2+1，﹣a2﹣2）在同一个象限内的点是( )A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）7．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是( )A．①④B．②③C．①②④ D．①③④8．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为( )A．169 B．25 C．19 D．139．若A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=（a﹣2）x+1图象上的不同的两个点，当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是( )A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞210．在直角坐标系中，等腰直角三角形A1B1O、A2B2B1、A3B3B2、…、A n B n B n﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、A n均在一次函数y=kx+b的图象上，点B1、B2、B3、…、B n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，0），点B2的坐标为（3，0），则点A n的坐标为( )A．（2n﹣1，2n﹣1）B．（2n﹣1，2n﹣1﹣1）C．（2n﹣1，2n﹣1+1）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）二、填空题11．的平方根为__________．12．已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是__________．13．已知点A（x，1）与点B（2，y）关于y轴对称，则（x+y）2013的值为__________．14．下列说法：①无限小数是无理数；②5的平方根是；③8的立方根是±2；④使代数式有意义的x的取值范围是x≥﹣1；⑤与数轴上的点一一对应的数是有理数．其中正确的是__________（填写序号）．15．如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b=__________．16．过点（﹣1，﹣3）且与直线y=1﹣x平行的直线是__________．17．如图，函数y=﹣2x和y=kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的不等式kx+b+2x ＞0的解集为__________．18．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，点D是BC边上的点，BD=2，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处．若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是__________．三、解答题（共76分）19．计算或化简（1）（）2﹣﹣（2）（﹣）﹣1﹣+（1﹣）0﹣|﹣2|20．求下列各式中x的值：（1）（x﹣1）3﹣27=0；（2）（2x+1）2=．21．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，（1）请在正方形网格中画出格点△ABC；（2）求出这个三角形ABC的面积．22．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．23．已知一次函数y=kx+b的图象经过点（﹣1，﹣5），且与正比例函数y=x的图象相交于点（2，a）．（1）求a的值；（2）求一次函数y=kx+b的表达式；（3）在同一坐标系中，画出这两个函数的图象，并求这两条直线与y轴围成的三角形的面积．24．已知点P（m，n）在第一象限，并且在一次函数y=2x﹣1的图象上，求实数m的取值范围．25．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．26．为发展旅游经济，“黄石国家矿山公园”对门票采用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m 人）的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票．设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1（元），节假日购票款为y2（元）．y1，y2与x之间的函数图象如图所示．（1）观察图象可知：a=__________；b=__________；m=__________；（2）直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（3）某旅行社导游于5月1日带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A，B两个团队合计50人，求A，B两个团队各有多少人？27．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD．（1）求点A、B的坐标，并求边AB的长；（2）求点D和点C的坐标；（3）你能否在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小？如果能，请求出M点的坐标；如果不能，说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC垂直于x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时：①求直线AB相应的函数表达式；②当S△QOA=4时，求点P的坐标；（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年八年级（上）期中数学试卷一、选择题1．4的平方根是( )A．2 B．C．±2 D．±【考点】平方根．【专题】计算题．【分析】原式利用平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2，故选C【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．2．在﹣0.101001，，，﹣，0中，无理数的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：无理数有：，﹣共2个．故选B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3．今年我市参加中考的学生人数约为6.01×104人．对于这个近似数，下列说法正确的是( )A．精确到百分位 B．精确到百位C．精确到十位D．精确到个位【考点】近似数和有效数字．【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，即可得出答案．【解答】解：数字6.01×104精确到百位；故选B．【点评】此题考查了近似数，对于用科学记数法表示的数，精确到哪一位是需要识记的内容．4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、1.52+22=2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，难度适中．5．如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是( )A．x≠﹣B．x＜﹣C．x≥﹣D．x≥﹣【考点】二次根式有意义的条件．【分析】二次根式有意义被开方数为非负数，即可得出x的取值范围．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴3x+2≥0，解得：x≥﹣．故选C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，注意掌握二次根式有意义被开方数为非负数．6．与点P（a2+1，﹣a2﹣2）在同一个象限内的点是( )A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）【考点】点的坐标．【分析】根据平方数非负数的性质求出点P的横坐标与纵坐标的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征求出点P所在的象限，然后解答即可．【解答】解：∵a2≥0，∴a2+1≥1，﹣a2﹣2≤﹣2，∴点P在第四象限，（3，2），（﹣3，2）（﹣3，﹣2）（3，﹣2）中只有（3，﹣2）在第四象限．故选D．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．7．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是( )A．①④B．②③C．①②④ D．①③④【考点】估算无理数的大小；算术平方根；无理数；实数与数轴；正方形的性质．【分析】先利用勾股定理求出a=3，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的关系判断②；利用估算无理数大小的方法判断③；利用算术平方根的定义判断④．【解答】解：∵边长为3的正方形的对角线长为a，∴a===3．①a=3是无理数，说法正确；②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；③∵16＜18＜25，4＜＜5，即4＜a＜5，说法错误；④a是18的算术平方根，说法正确．所以说法正确的有①②④．故选C．【点评】本题主要考查了勾股定理，实数中无理数的概念，算术平方根的概念，实数与数轴的关系，估算无理数大小，有一定的综合性．8．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为( )A．169 B．25 C．19 D．13【考点】勾股定理；完全平方公式．【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据再根据直角三角形的边长求解即可．【解答】解：∵大正方形的面积13，小正方形的面积是1，∴四个直角三角形的面积和是13﹣1=12，即4×ab=12，即2ab=12，a2+b2=13，∴（a+b）2=13+12=25．故选B．【点评】注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．9．若A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=（a﹣2）x+1图象上的不同的两个点，当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是( )A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据一次函数的图象y=（a﹣2）x+1，当a﹣2＜0时，y随着x的增大而减小分析即可．【解答】解：因为A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=（a﹣2）x+1图象上的不同的两个点，当x1＞x2时，y1＜y2，可得：a﹣2＜0，解得：a＜2．故选C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．函数经过的某点一定在函数图象上．解答该题时，利用了一次函数的图象y=kx+b的性质：当k＜0时，y随着x的增大而减小；k ＞0时，y随着x的增大而增大；k=0时，y的值=b，与x没关系．10．在直角坐标系中，等腰直角三角形A1B1O、A2B2B1、A3B3B2、…、A n B n B n﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、A n均在一次函数y=kx+b的图象上，点B1、B2、B3、…、B n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，0），点B2的坐标为（3，0），则点A n的坐标为( )A．（2n﹣1，2n﹣1）B．（2n﹣1，2n﹣1﹣1）C．（2n﹣1，2n﹣1+1）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】规律型．【分析】首先，根据等腰直角三角形的性质求得点A1、A2的坐标；然后，将点A1、A2的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是y=x+1；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点B n﹣1的坐标，然后将其横坐标代入直线方程y=x+1求得相应的y值．【解答】解：如图，∵点B1的坐标为（1，0），点B2的坐标为（3，0），∴OB1=1，OB2=3，则B1B2=2．∵△A1B1O是等腰直角三角形，∠A1OB1=90°，∴OA1=OB1=1．∴点A1的坐标是（0，1）．同理，在等腰直角△A2B2B1中，∠A2B1B2=90°，A2B1=B1B2=2，则A2（1，2）．∵点A1、A2均在一次函数y=kx+b的图象上，∴，解得，，∴该直线方程是y=x+1．∵点A3，B2的横坐标相同，都是3，∴当x=3时，y=4，即A3（3，4），则A3B2=4，∴B3（7，0）．同理，B4（15，0），…B n（2n﹣1，0），∴当x=2n﹣1﹣1时，y=2n﹣1﹣1+1=2n﹣1，即点A n的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．故选D．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点B n的坐标的规律．二、填空题11．的平方根为．【考点】平方根；算术平方根．【分析】先计根据平方根的定义直接求解即可．【解答】解：=3，3多的平方根为．故答案为：．【点评】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是5．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】直角三角形中，斜边长为斜边中线长的2倍，所以求斜边上中线的长求斜边长即可．【解答】解：在直角三角形中，两直角边长分别为6和8，则斜边长==10，∴斜边中线长为×10=5，故答案为5．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理根据2直角边求斜边是解题的关键．13．已知点A（x，1）与点B（2，y）关于y轴对称，则（x+y）2013的值为﹣1．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到x、y 的值，进而计算出答案．【解答】解：∵点A（x，1）与点B（2，y）关于y轴对称，∴x=﹣2，y=1，∴（x+y）2013=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律．14．下列说法：①无限小数是无理数；②5的平方根是；③8的立方根是±2；④使代数式有意义的x的取值范围是x≥﹣1；⑤与数轴上的点一一对应的数是有理数．其中正确的是②④（填写序号）．【考点】无理数；平方根；立方根；实数与数轴；二次根式有意义的条件．【专题】推理填空题．【分析】根据无理数的定义判断即可；根据平方根、立方根的定义求出，即可判断②③；根据二次根式的定义即可判断④；根据实数与数轴上的点能建立一一对应，即可判断⑤．【解答】解：无限循环小数是有理数，∴①错误；5的平方根是±，∴②正确；8的立方根是2，∴③错误；要使有意义，必须x+1≥0，即x≥﹣1，∴④正确；与数轴上的点一一对应的数是实数，∴⑤错误；故答案为：②④．【点评】本题考查了无理数、平方根、立方根、实数与数轴、二次根式有意义的条件等知识点的应用，能熟练地运用进行说理是解此题的关键．15．如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b=2．【考点】坐标与图形变化-平移．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据平移前后的坐标变化，得到平移方向，从而求出a、b的值．【解答】解：∵A（1，0）转化为A1（2，a）横坐标增加了1，B（0，2）转化为B1（b，3）纵坐标增加了1，则a=0+1=1，b=0+1=1，故a+b=1+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣﹣平移，找到坐标的变化规律是解题的关键．16．过点（﹣1，﹣3）且与直线y=1﹣x平行的直线是y=﹣x+2．【考点】两条直线相交或平行问题．【专题】计算题．【分析】设所求直线解析式为y=kx+b，根据两直线平行的问题得到k=﹣1，然后把点（﹣1，3）代入y=﹣x+b中计算出b的值，从而得到所求直线解析式．【解答】解：设所求直线解析式为y=kx+b，∵直线y=kx+b与直线y=1﹣x平行，∴k=﹣1，把点（﹣1，3）代入y=﹣x+b得1+b=3，解得b=2，∴所求直线解析式为y=﹣x+2．故答案为y=﹣x+2．【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．17．如图，函数y=﹣2x和y=kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的不等式kx+b+2x ＞0的解集为x＞﹣．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，然后结合图象直接写出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y=﹣2x经过点A（m，3），∴﹣2m=3，解得：m=﹣，则关于x的不等式kx+b+2x＞0可以变形为kx+b＞﹣2x，由图象得：kx+b＞﹣2x的解集为x＞﹣，故答案为：x＞﹣．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集．18．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，点D是BC边上的点，BD=2，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处．若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是3+．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP 的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC 和BE长，代入求出即可．【解答】解：如图，连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，BD=2，∴CD=DE=，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠BAC=30°，∴∠B=60°，∵DE=，∴BE=1，即BC=2+，∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=2++1=3+．故答案为：3+．【点评】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置．三、解答题（共76分）19．计算或化简（1）（）2﹣﹣（2）（﹣）﹣1﹣+（1﹣）0﹣|﹣2|【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】（1）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果；（2）原式第一项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=4+3﹣10=﹣3；（2）原式=﹣2﹣+1﹣2+=﹣3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．求下列各式中x的值：（1）（x﹣1）3﹣27=0；（2）（2x+1）2=．【考点】立方根；平方根．【分析】（1）先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可；（2）直接开平方法解方程即可．【解答】解（1）（x﹣1）3﹣27=0，（x﹣1）3=27，x﹣1=3，x=4；（2）（2x+1）2=，2x+1=4，或2x+1=﹣4，x1=，x2=﹣．【点评】此题主要考查了利用立方根和平方根的性质解方程．要灵活运用使计算简便．21．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，（1）请在正方形网格中画出格点△ABC；（2）求出这个三角形ABC的面积．【考点】勾股定理．【专题】作图题．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据三角形的面积=正方形的面积﹣三个角上三角形的面积即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3=9﹣1﹣﹣3=．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【考点】平方根；立方根；估算无理数的大小．【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．【解答】解：根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；故a=5，b=2；又∵2＜＜3，∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∴9的平方根为±3．【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．23．已知一次函数y=kx+b的图象经过点（﹣1，﹣5），且与正比例函数y=x的图象相交于点（2，a）．（1）求a的值；（2）求一次函数y=kx+b的表达式；（3）在同一坐标系中，画出这两个函数的图象，并求这两条直线与y轴围成的三角形的面积．【考点】两条直线相交或平行问题．【专题】计算题．【分析】（1）把（2，a）代入正比例函数解析式即可得到a的值；（2）把（﹣1，﹣5）、（2，1）代入y=kx+b中可得关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b即可；（3）先利用描点法画哈图象，再求出两直线与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）把（2，a）代入y=x得a=1；（2）把（﹣1，﹣5）、（2，1）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=2x﹣3；（3）如图，直线y=2x﹣3与y轴的交点坐标为（0，﹣3），直线y=x与y轴的交点为原点，这两条直线与y轴围成的三角形的面积=×3×2=3．【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．24．已知点P（m，n）在第一象限，并且在一次函数y=2x﹣1的图象上，求实数m的取值范围．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据第一象限的特点和一次函数的点的坐标解答即可．【解答】解：把x=m，y=n代入一次函数的解析式可得：n=2m﹣1，因为点P在第一象限，可得：，解得：m＞0.5．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．25．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】证明题．【分析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证；（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC，∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE；（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=，在Rt△CDF中，CF===2，∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2，∴AD=AF+DF=2+．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．26．为发展旅游经济，“黄石国家矿山公园”对门票采用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m 人）的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票．设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1（元），节假日购票款为y2（元）．y1，y2与x之间的函数图象如图所示．（1）观察图象可知：a=6；b=8；m=10；（2）直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（3）某旅行社导游于5月1日带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A，B两个团队合计50人，求A，B两个团队各有多少人？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值，由图可求m的值；（2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1，分x≤10与x＞10，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可；（3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50﹣n），然后分0≤n≤10与n＞10两种情况，根据（2）的函数关系式列出方程求解解即可．【解答】解：（1）∵=0.6，∴非节假日打6折，a=6，∵=0.8，∴节假日打8折，b=8，由图可知，10人以上开始打折，所以，m=10；（2）设y1=k1x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，300），∴10k1=300，∴k1=30，∴y1=30x；0≤x≤10时，设y2=k2x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，500），∴10k1=500，∴k1=50，∴y1=50x，x＞10时，设y2=kx+b，∵函数图象经过点（10，500）和，∴，∴，∴y2=40x+100；∴y2=；（3）设A团有n人，则B团的人数为（50﹣n），当0≤n≤10时，50n+30（50﹣n）=1900，解得n=20（不符合题意舍去），当n＞10时，40n+100+30（50﹣n）=1900，解得n=30，∴50﹣n=50﹣30=20，答：A团有30人，B团有20人．故答案为：a=6；b=8；m=10．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．27．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD．（1）求点A、B的坐标，并求边AB的长；（2）求点D和点C的坐标；（3）你能否在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小？如果能，请求出M点的坐标；如果不能，说明理由．【考点】一次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）对于直线解析式，分别令x=0与y=0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，得到OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；（2）过D作DE垂直于x轴，过C作CF垂直于y轴，根据四边形ABCD的正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用同角的余角相等得到三个角相等，利用AAS得到三角形EDA，三角形AOB以及三角形BFC全等，利用全等三角形的对应边相等得到DE=OA=BF=4，AE=OB=CF=2，进而求出OE与OF的长，即可确定出D与C的坐标；（3）找出B关于y轴的对称点B′，连接DB′，交x轴于点M，此时BM+MD=DM+MB′=DB′最小，即△BDM周长最小，设直线DB′解析式为y=kx+b，把D与B′坐标代入求出k与b 的值，确定出直线DB′解析式，令y=0求出x的值，确定出此时M的坐标即可．【解答】解：（1）对于直线y=x+2，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），即OA=4，OB=2，则AB==2；（2）过D作DE⊥x轴，过C作CF⊥y轴，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=∠BFC=∠DEA=∠AOB=90°，∵∠FBC+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∠DAE+∠BAO=90°，∴∠FBC=∠OAB=∠EDA，∴△DEA≌△AOB≌△BFC（AAS），∴AE=OB=CF=2，DE=OA=FB=4，即OE=OA+AE=4+2=6，OF=OB+BF=2+4=6，则D（﹣6，4），C（﹣2，6）；（3）如图所示，连接BD，找出B关于y轴的对称点B′，连接DB′，交x轴于点M，此时BM+MD=DM+MB′=DB′最小，即△BDM周长最小，∵B（0，2），∴B′（0，﹣2），设直线DB′解析式为y=kx+b，把D（﹣6，4），B′（0，﹣2）代入得：，解得：k=﹣1，b=﹣2，∴直线DB′解析式为y=﹣x﹣2，令y=0，得到x=﹣2，则M坐标为（﹣2，0）．【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．28．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC垂直于x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时：①求直线AB相应的函数表达式；②当S△QOA=4时，求点P的坐标；（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）①利用待定系数法求解即可，②由①知点P坐标为（a，﹣a+3），可求出点Q坐标，再利用S△QOA=×|OA|×|﹣a+3|求出a的值，即可得出点P的坐标．（2）分两种情况①当∠QAC=90°且AQ=AC时，QA∥y轴，②，当∠AQC=90°且QA=QC 时，过点Q作QH⊥x轴于点H，分别求解即可．【解答】解：（1）①设直线AB的函数表达式为：y=kx+b（k≠0），将A（2，0），B（0，3）代入得，解得，所以直线AB的函数表达式为y=﹣x+3，②由①知点P坐标为（a，﹣a+3），∴点Q坐标为（﹣a，﹣a+3），。
江苏省2016-2017学年八年级上期中考试数学试题及答案
M苏科版八年级数学上册期中试卷一、选择题(每题3分，共18分)1. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有..............（ ）A ．B ．C ．D ．2．在下列各组条件中不能说明△ABC ≌△DEF 的.........................( )A ．AB=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠FB ．AC=DF ， BC=EF ，∠C=∠FC ．AB=DE ，∠A=∠D ，∠B=∠F D ．AB=DE ，BC=EF ，AC=DF 3．下列语句中正确的有几个...........................................( ) ①关于一条直线对称的两个图形一定能重合； ②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.； ④角平分线是角的对称轴. A.1 B.2 C.3 D.44．下列三条线段不能构成直角三角形的是 （ ） A ．32 ,42 ,52 B ．5,12,13 C ．24,25,7 D ．1,2,3 5．给出下列说法：①﹣4是16的平方根；②16的算术平方根是4；③；④ a 的算术平方根是a 。
其中，正确的说法有（ ） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个6．如图，一根长为a 的木棍(AB)，斜靠在与地面（OM ） 垂直的墙上，设木棍的中点为P ，若木棍A 端沿墙下滑， 且B 端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP 的长度 A ．减小B ．增大C ．不变D ．先减小再增大二、填空题(每题3分，共30分) 7．比较大小：8．如图：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是 ．9．如图，已知AB ∥CF ，E 为DF 的中点，若AB=7 cm ，CF=4 cm ，则BD= cm ．10．如图，一张长方形纸片宽AB=8cm ，长BC=10cm ，现将纸片折叠，使顶点D 落在BC边上的点F 处（折痕为AE ），则EC= ．11. 等腰三角形ABC 中，∠A=40°，则∠B= °12. 等腰三角形的两边长分别是3和6，则这个等腰三角形的周长是______13．如图，AB 垂直平分CD ，6AC =㎝，4BD =㎝，则四边形ADBC 的周长是 ㎝.14．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C /的位置上，如果BC ＝4，那么B C '的长等于 ．15. 如图，△ABC 为等边三角形，BD ⊥AB ，BD=AB ，则∠DCB = ．16．如图，四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，△ABC 是等边三角形，∠ADC=30°，并且AD = 4.5，BD = 7.5，则CD 的长为 ．三、解答题（本大题共有10小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．求下列各式中x 的值（每小题5分，共10分） （1）6442=x（2）()813-=+x18．（本题10分）已知31x y --x+4y 的平方根。
【苏科版】2016-2017学年八年级数学上期中试题(含答案)
2016/2017学年度第一学期期中考试试卷八年级数学试题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（▲ ）A．清华大学 B．北京大学 C．中国人民大学 D．浙江大学2．如图，已知AB＝AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（▲ ）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°3．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（▲ ）A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA4．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（▲ ）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6（第2题）（第3题）（第5题）5．等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm．则该等腰三角形的底长为（▲ ）A．3 cm或5 cm B．3 cm或7 cm C．3 cm D．5 cm6．如果a、b、c是一个直角三角形的三边，则a:b:c可以等于（▲ ）A．1:2:4 B．2:3:4 C．3:4:7 D．5:12:13 7．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，若FD＝4，AF＝2．则线段BC的长度为（▲ ）A．6 B．8 C．10 D．128．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2＋CF2的值为（▲ ）A．36 B．9 C．6 D．18（第7题）（第8题）二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．如图，△OAD≌△OBC，且OA=2，OC=6，则BD= ▲ ．10．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC，若∠1=25°，则∠2的度数为▲ ．（第9题）（第10题）（第11题）（第12题）11．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝▲ ．12．如图，∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是▲ ．（填上一个条件即可）13．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是▲ ．14．如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝▲ ．15．如图，∠BAC ＝100°，若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ ＝ ▲ ．（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）16．如图，AB //CD ，O 为∠BAC 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE =1，则AB 与CD之间的距离等于 ▲ ．17．一个直角三角形的两边长分别为3、4，则它的第三条边的平方是 ▲ ．18．把两个三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ∠=∠=︒，45A ∠=︒，30D ∠=︒，斜边12AB =，14CD =，把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15︒得到△11D CE （如图乙），此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长度为 ▲ ．乙甲D 1ACB ABE DE 1CO（第18题）三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 19．（8分）如图，△ABC 与△C B A '''关于直线l 对称，若∠A ＝76°，∠C '＝48°．求∠B 的度数．20．（8分）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内再涂黑4个小正方形，使它们成为轴对称图形．21．（8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，∠BAD =36°．求∠BAC ，∠C 的度数．22．（8分）如图，△ABC 中，AB =AC ，两条角平分线BD 、CE 相交于点O ．（1）证明：△ABD ≌△ACE ； （2）证明：OB =OC ．23．（10分）如图，AD ∥ BC ，∠ A =90°，以点B 为圆心、BC 长为半径作弧，交射线AD 于点E ，连接BE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ．求证：AB =FC ．FEDCBADEOCBA24．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=20，AC=15，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长25．（10分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长为14 cm，AC=6 cm，求DC长．26．（10分）如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度；（2）当t为多少时，△PQB是以BP为底的等腰三角形？27．（12分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于F，AD交CE于H，连接FH．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求证：AH=BF；（3）求证：△CFH为等边三角形．28．（12分）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在DC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：<Ⅰ>如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．<Ⅱ>如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，<Ⅰ>中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．2016/2017学年度第一学期期中考试试卷八年级数学答题纸二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）三、解答题19．（8分）20．（8分）21．(8分)22．（8分）DEOCBA23．（10分）FE DCBA24．（10分）25．（10分）26．（10分）2016/2017学年度第一学期期中考试八年级数学答案一、选择题B C D C C D C A二、填空题9．4 10．70°11．50°12．BE=CE（或∠BAE=∠CAE，或∠ABE=∠ACE）13．914．50°15．20°16．2 17．25或7 18．10 三、解答题19．56°20．略 21．72°；54° 22．略23．略24．12，16 25．35°，4 26．5，6 27．略28．（1）AF=BD．证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）．同理知，DC=CF，∠DCF=60°．∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF．在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，∴△BCD≌△ACF（SAS）．∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）．（2）AF=BD仍然成立．通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD．（3）<Ⅰ>AF+BF′=AB．证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF．同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD．∴AF+BF′=BD+AD=AB．<Ⅱ> <Ⅰ>中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′．证明如下：在△BCF′和△ACD中，∵BC=AC，∠BC F′=∠ACD，F′C=DC，∴△BCF′≌△ACD（SAS）．∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）．又由（2）知，AF=BD，∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．。
2016—2017学年度第一学期八年级数学期中考试题带答案
2016—2017学年度第一学期八年级数学科期中检测题时刻：100分钟 总分值：100分 得分：一、选择题（每题2分，共28分）在以下各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你以为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号的方格内.题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答 案1．16的平方根是A ． 4B ．±14C ．±4D ．－4 2．以下说法正确的选项是A ．4=±2 B. 64的立方根是±4 C. 7平方根是7 D. 0.01的算术平方根是0.1 3．以下实数中，无理数是A ．45-B ．16C ．12D ．0 4．以下运算中，正确的选项是A ．624a a a ÷=B ．532a a a =+C ．33a a a ⋅= D ．336()a a = 5．假设3,2mna a ==，那么3m na+=A ．6B ．54C ．24D ．12 6．比较23，3，11的大小，正确的选项是A ．11＜3＜23B ．23＜11＜3C ．11＜23＜3D ．3＜11＜237．以下因式分解正确的选项是A. 24414(1)1m m m m -+=-+B. 222()x y x y +=+C.222()2a b a ab b +=++ D. 241(12)(12)x x x -+=+- 8．一个多项式除以y x 22-，其商为y x y x 22353+-，那么此多项式为A ．5342610x y x y --B ．2435106y x y x +-C ．2435106y x y x -D ．5342610x y x y + 9．计算991000.125(8)⨯-的结果是A. 1B. 8C. -1D. -8 10．假设()()3x a x -+-的积不含x 的一次项，那么a 的值为 A. 3 B. -3 C .13 D. 13- 11．以下命题中，是真命题的为A ．相等的角是对顶角B ．三角形的一个外角等于两个内角之和C ．若是两直线平行，那么内错角相等D ．面积相等的两个三角形全等12．如图1，把一个等腰梯形剪成两块上底为b ，下底为a ，高为（a –b ）的直角梯形（a ＞b ）（如左图），拼成如右图所示的图形。
2016-2017学年八年级上学期期中考试数学试题(word版有答案)
CAD BE2016-2017学年第一学期期中教学质量检测卷八年级 数学试卷（时间100分钟，总分100分）得分：一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1、下列各数中是无理数的是（ ）ABCD 2、在△ABC 中AB=1、、BC=2则这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 3、设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个数是（ ） A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和54、函数y kx =的图象经过点P （3，－1）则k 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．13D ．13-5）A ．12±B ．12C ．D 6、面积为9㎝2的正方形以对角线为边长的正方形面积为（ ）A ．18㎝2B ．20㎝2C ．24㎝2D ．28㎝27、若点A （2，m ）在x 轴上，则点B （m-1，m+1）在（ ）A ．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8、下列计算正确的是（ ）A=B=C4=D =9、函数已知一次函数y kx b =+，y 随x 的增大而减小，且kb ＜0则在直角坐标系内大致图象是（A B C D10、“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打6折，设购买种子数量为x 千克，付款金额为y 元，则y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A B C D 二、填空题（本大题8小题，每小题3分共24分）11、在电影院5排3号用（5,3）表示，那么6排2号可表示为。
12= ；= 。
13、一次函数21y x =-的图象经过点（a ，3），则a = 。
14、已知x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则P 点坐标为 。
152(3)0b +=，则M (,)a b 关于x 轴对称的点的坐标为 。
16、写出一个图象不经过第二象限的一次函数表达式 。
17、已知过点A (52,2)a a -+，B (1,4)a a --的直线与y 轴平行，则a 的值为 。
八年级上期中考试数学试题及答案
2016-2017学年度第一学期期中质量监测八年级数学试题一、选择题：本题共10个小题.每小题3分.共30分 1.16的平方根为（ ）A.±2B. 2C.±4D. 42.下列各式中，正确的是( )A. a 3+a 2=a 5B. 2a 3∙a 2=2a 6C.(-2a 3)2=4a 6D. - (a-1)=-a-l3.下列各式中，正确的是( ) A.25=5 B.38-=2 C 16-=-4 D.393=4.实数8,722，，1.412，π32，16，1.2020020002…，327，0. 121121112, 2-5中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C.4个 D.5个5.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A.(x+2) (x-2) =x 2-4B.x 2-4=(x+2) (x-2)C. x 2-4+3x= (x+2) (x-2)+3xD.x 2+4=(x+2)26.如果x 2+y 2=8,x+y=3,则xy=( ) A.1 B.21 C.2 D.-217.下列式子中，不能用平方差公式计算的是( )A.(m-n)(n-m)B.(x 2-y 2)(x 2+y 2)C.(-a-b)(a-b)D.(a 2-b 2)(b 2+a 2)8.若(a+b)2加上一个单项式后等干((a-b)2,则该个单项式为( )A. 2abB.-2abC.4abD.-4ab9.若((3x+a) (3x+b)的结果中不含有x 项，则a ，b 的关系是:（ ）A. ab=1B. ab=0C. a-b=0D. a+b=010.下列说法中:①有理数和数轴上的点一一对应;②不带根号的数一定是有理数;③负数没有立方根;④-17是17的相反数.正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题:每小题3分，共30分。
11.立方根等于本身的数有12.计算:(-4a 2b 3)÷(-2ab)2= ;(-a 2)3+(-a 3)2= .13.若3×9m ×27m =321，则m=14.命题“对顶角相等”的逆命题是15.计算20172016)2517()1781(-⨯= 16.如图，AD 平分∠BAC,要使△ABD ≌ △ACD ，可添加条件 .(添加一个即可)17.己知x 2-kx+9是完全平方式，则k=18.若a m =2,a n =5,则a 2m+n = .19.若355+-+-=x x y ，则x+y= .20.若31=+x x ，则221xx += . 三、解答题:21.计算。
2016～2017学年第一学期八年级期中考试数学试卷及答案
2017学年第一学期八年级期中考试数学试卷（答题时间：90分钟满分：100分）一、 CAABD DBBCB二、（11） 120,60︒︒ （12） 〈 （13）（3，2） （ 14）4 （15）36三、（16）解：16、①解：原式=24222+-····················2分=25····················4分②解：原式=12+···················2分=3+··················4分 ③解：原式=4)3()7(22--····················2分 =437--····················3分=0····················4分④解：原式=3333632-⨯+····················2分 =333232-+····················3分=3····················4分（17）略（18）过程略（每个1.5分）A (0,BCD ( 19、（答案不唯一）答：是平行四边形···················1分 理由：如图，连接DB ，与AC 交于O 点。
常州市2016-2017学年八年级上期中数学试卷含答案
八年级数学参考答案及评分意见一、选择题（每小题2分，共16分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案D A C B C B A B 二、填空题（每小题2分，共20分）9．58°10．12 11．20：05（晚上8：05或8:05都对）12．6413．75°14．10 15．2411916．13517．10 18．320或4三、作图题（共13分）19．画对任意三种即可，每种情况2分，共6分．20．⑴如图，点C为所作点 ----------------------------------------------------------------⑵如图，CBA'''△为所作三角形---------------------------------------------------⑶如图，点P为所作点 ----------------------------------------------------------------四、解答题（共51分）21．∵点C是AB的中点∴AC＝CB --------------------------------------------------------- 2分∵CD∥BE∴∠ACD＝∠B--------------------------------------------------------------- 4分∵AD∥CE∴∠A＝∠BCE --------------------------------------------------------------- 6分在△ACD和△CBE中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BACDCBACBCEA∴△ACD≌△CBE(ASA) ------------------------------------------------------------------------ 8分22．∵ 点E 是AD 的中点 ∴ AD ED AE 21== ------------------------------------ 1分 ∵ AB ＝DC ＝21AD ∴ AB ＝AE ，ED ＝CD ------------------------------------- 2分 ∴ ∠ABE ＝∠AEB ，∠DCE ＝∠DEC ---------------------------------------------------- 3分 ∵ ∠AEB ＝∠DEC ∴ ∠ABE ＝∠DCE --------------------------------------------- 4分 在△ABC 和△DCB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB BC DCE ABE DC AB ∴ △ABC ≌△DCB (SAS ) -------------------------------- 6分 ∴ AC ＝BD ，∠ACB ＝∠DBC -------------------------------------------------------------- 7分 ∴AC ∥BD ----------------------------------------------------------------------------------------- 8分23．设旗杆的高度为x 米，则绳子的长度为(x ＋0.5)米 ------------------------------------- 2分 根据题意可得：222)5.0(5.3+=+x x -------------------------------------------------- 5分解这个方程得：12=x ------------------------------------------------------------------------ 7分 答：旗杆的高度为12米. -------------------------------------------------------------------- 8分24．⑴ 由AB ＝15，BC ＝12 得8112152222=-=-BC AB由81922==AC 得222AC BC AB =- 即：222AB AC BC =+∴ ∠ACB ＝90° --------------------------------------------------------------------------- 2分 ∵ 点D 是AB 的中点 ∴ CD ＝AB 21＝215 ------------------------------------- 4分 ⑵ 由∠ACB ＝90°可得：CE AB BC AC S ABC ·21·21==△ ∴ CE ·152112921⨯=⨯⨯ 解得：CE ＝536 --------------------------------------- 6分 Rt △CDE 中：DE ＝1021)536(2152222=-=-）（CE CD ---------------- 8分 25．AF ⊥DC 且AF ＝2CD （不重复得分，结论各1分）∵ CE ⊥AB ∴ ∠BEC ＝∠AEC ＝90°∴ ∠ECB ＋∠B ＝90° ----------------------------------------------- 1分又∵ ∠BAC ＝45° ∴ ∠ACE ＝45°∴ ∠BAC ＝∠ACE ∴ AE ＝EC --------------------------------- 2分∵ AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线∴ BC ＝2DC ，AD ⊥BC 即有：AF ⊥CD -------------------- 4分 F E D CB A∴ ∠ADC ＝∠ADB ＝90° ∴ ∠BAD ＋∠B ＝90 ----------- 5分 ∴ ∠BAD ＝∠BCE -------------------------------------------------- 6分 ∵ ∠BAD ＝∠BCE ，AE ＝EC ，∠AEC ＝∠BEC∴ △AEF ≌△CEB ---------------------------------------------------- 7分 ∴ AF ＝BC ------------------------------------------------------------- 8分 ∴ AF ＝2CD ------------------------------------------------------------ 9分26．⑴ ∵ ∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点∴ AB CD DB AD 21=== ------------------------------ 1分 ∴ ∠ACD ＝∠A ＝75° ∴ ∠ADC ＝30° ---------- 2分 ∵ CD A '△由△ACD 沿CD 翻折得到 ∴ CD A '△≌△ACD ∴ D A AD '=，︒=∠='∠30ADC DC A ∴ DB D A AD ='=，︒='∠60A AD --------------- 3分 ∴ ︒='∠120DB A∴ ︒='∠='∠30B A D A DB∴ ∠ADC ＝∠DBA ' --------------------------------------- 4分 ∴ CD ∥B A ' ------------------------------------------------- 5分 ⑵ 连接A A '∵ D A AD '=，︒='∠60A AD∴ A AD '△是等边三角形 ---------------------------------- 6分∴ AB AD A A 21=='，︒='∠60A DA --------------- 7分 ∴ ︒='∠'∠︒='∠90180A AB AB A B A A －－ -------- 8分 ∵ AB ＝4∴ 2='A A ----------------------------------------------------- 9分 ∴ 122422222=='='－－A A AB B A --------------- 10分 DB ACA'D B A C A'。
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2016-2017学年江苏省常州市溧阳市八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）1．（3.00分）如图图形中，是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（3.00分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．0.2，0.3，0.4 D．10，20，303．（3.00分）到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点4．（3.00分）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC的是（）A．∠B=∠D=90°B．∠BCA=∠DCA C．∠BAC=∠DAC D．CB=CD 5．（3.00分）如图，△ABC中，AB=8，AC=10，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB 交于点D，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．206．（3.00分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小正方格有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（3.00分）在△ABC中，AB=12cm，BC=16cm，AC=20cm，则△ABC的面积是（）A．96cm2B．120cm2C．160cm2D．200cm28．（3.00分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对9．（3.00分）已知，如图长方形ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．cm2B．6cm2C．cm2D．18cm2二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）10．（2.00分）如果△ABC≌△DEF，∠B=60°，∠C=40°，那么∠F=．11．（2.00分）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=．12．（2.00分）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为．13．（2.00分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为．14．（2.00分）如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=度．15．（2.00分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，正方形A的面积为9cm2，则正方形A，B，C，D 面积之和为cm2．16．（2.00分）在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是．17．（2.00分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为．18．（2.00分）如图，长为10cm的弹性皮筋直放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升12cm至D点，则弹性皮筋被拉长了cm．19．（2.00分）如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP2的值为．三、解答题（共8小题，满分53分）20．（4.00分）如图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．21．（7.00分）已知：如图，AD=BC，AC=BD，求证：△ABC≌△BAD．22．（7.00分）如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数；（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；（3）如果m表示大于1的整数，且a=4m，b=4m2﹣1，c=4m2+1，请你根据勾股数的定义，说明a、b、c为勾股数．23．（7.00分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA=FB．求证：AB=CD．24．（7.00分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DA⊥AC．（1）求证：BD=AD；（2）取DC的中点E，连接AE，请确定线段AD与BC的数量关系，并说明理由．25．（7.00分）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是（如图）：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB，则△ABD就是直角三角形．（1）请你说明其中的道理；（2）请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°（不写作法，保留作图痕迹）．26．（7.00分）如图，在△ABC中，AB=AC，D在边AC上，且BD=DA=BC．（1）如图1，填空∠A=°，∠C=°．（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC与点N、E．①求证：△BNE是等腰三角形；②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．27．（7.00分）已知：在△ABC中，AB=AC．（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，求证：DB=EC．（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）实际运用：如图3，某小区在A、B、C三幢楼之间有一片等腰直角三角形的绿地，为了方便居民之间的沟通和休闲，决定在绿地上建造一个休闲亭P，使它到A楼的距离为30m，到B楼的距离为10m，到C楼的距离为20m．建好后，住在该小区的初二学生小明通过计算得到∠BPC刚好等于135°，聪明的你知道为什么吗？请说明理由．2016-2017学年江苏省常州市溧阳市八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）1．（3.00分）如图图形中，是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：第一个图形不是轴对称图形；第二个图形是轴对称图形；第三个图形不是轴对称图形；第四个图形是轴对称图形；第五个图形不是轴对称图形；是轴对称图形的有2个，故选：B．2．（3.00分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．0.2，0.3，0.4 D．10，20，30【解答】解：A、∵42+52≠62，∴此时三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵1.52+22=2.52，∴此时三角形是直角三角形，故本选项符合题意；C、∵0.22+0.32≠0.42，∴此时三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵102+202≠302，∴此时三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．3．（3.00分）到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点【解答】解：三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．故选：D．4．（3.00分）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC的是（）A．∠B=∠D=90°B．∠BCA=∠DCA C．∠BAC=∠DAC D．CB=CD【解答】解：A、∵∠B=∠D=90°，∴在Rt△ABC和Rt△ADC中∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），故本选项错误；B、根据AB=AD，AC=AC，∠BCA=∠DCA不能推出△ABC≌△ADC，故本选项正确；C、∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（SAS），故本选项错误；D、∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（SSS），故本选项错误；故选：B．5．（3.00分）如图，△ABC中，AB=8，AC=10，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB 交于点D，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．20【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，同理DF=CF，∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=18，故选：C．6．（3.00分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小正方格有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．故选：D．7．（3.00分）在△ABC中，AB=12cm，BC=16cm，AC=20cm，则△ABC的面积是（）A．96cm2B．120cm2C．160cm2D．200cm2【解答】解：∵AB2+BC2=AC2∴△ABC是直角三角形∴∠B=90°∴△ABC的面积=AB•BC=×12×16=96cm2．故选：A．8．（3.00分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【解答】解：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，∴OC=OB，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SAS）；同理：△COD≌△BOD，在△AOC和△AOB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS）；∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°，在Rt△OAE和Rt△OCE中，，∴Rt△OAE≌Rt△OCE（HL）．故选：C．9．（3.00分）已知，如图长方形ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．cm2B．6cm2C．cm2D．18cm2【解答】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=DE，设AE=x，则BE=DE=12﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AB2+AE2=BE2，即62+x2=（12﹣x）2，解得x=，所以，△ABE的面积=AB•AE=×6×=cm2．故选：C．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）10．（2.00分）如果△ABC≌△DEF，∠B=60°，∠C=40°，那么∠F=40°．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠E，∠C=∠F，∵∠B=60°，∠C=40°，∴∠F=40°．故答案为：40°．11．（2.00分）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=20．【解答】解：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=20，即x=20．故答案为：20．12．（2.00分）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为80°或50°．【解答】解：当该角为顶角时，顶角为50°；当该角为底角时，顶角为80°．故其顶角为50°或80°．故填50°或80°．13．（2.00分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为20．【解答】解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是8，但是4+4=8，故不构成三角形，舍去．②若4是底，则腰是8，8．4+8＞8，符合条件．成立．故周长为：4+8+8=20．故答案为：20．14．（2.00分）如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=60度．【解答】解：∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC∵AD=CE∴△ADC≌△CEB∴∠ACD=∠CBE∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°．故答案为60．15．（2.00分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，正方形A的面积为9cm2，则正方形A，B，C，D 面积之和为49cm2．【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49cm2．故答案为：49．16．（2.00分）在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是5：3．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=5：3，故答案为：5：3．17．（2.00分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为60°或120°．【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是120°；当高在三角形外部时，顶角是60°．故答案为：60°或120°．18．（2.00分）如图，长为10cm的弹性皮筋直放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升12cm至D点，则弹性皮筋被拉长了16cm．【解答】解：根据题意得：AD=BD，AC=BC，AB⊥CD，则在Rt△ACD中，AC=AB=5cm，CD=12cm；根据勾股定理，得：AD===13（cm）；所以AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=26﹣10=16（cm）；即橡皮筋被拉长了16cm；故答案为：16．19．（2.00分）如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP2的值为3或7或1．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO==1，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠ABP=60°，∴∠BAP=30°，∴AP=，AP2=3；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===，在直角三角形ABP中，AP==，∴AP2=7；当∠APB=90°时如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=1，∴AP2=1；故答案为：3或7或1．三、解答题（共8小题，满分53分）20．（4.00分）如图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．【解答】解：如图所示．21．（7.00分）已知：如图，AD=BC，AC=BD，求证：△ABC≌△BAD．【解答】解：如图，因为在△ABC与△BAD中，，所以△ABC≌△BAD（SSS）．22．（7.00分）如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数；（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数12，16，20；（3）如果m表示大于1的整数，且a=4m，b=4m2﹣1，c=4m2+1，请你根据勾股数的定义，说明a、b、c为勾股数．【解答】解：（1）∵3、4、5是正整数，且32+42=52，∴3、4、5是一组勾股数；（2）∵122+162=202，且12，16，20都是正整数，∴一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；故答案为12，16，20（3）∵m表示大于1的整数，∴由a=4m，b=4m2﹣1，c=4m2+1得到a、b、c均为正整数；又∵a2+b2=（4m）2+（4m2﹣1）2=16m2+16m4﹣8m2+1=16m4+8m2+1，而c2=（4m2+1）2=16m4+8m2+1，∴a2+b2=c2，∴a、b、c为勾股数．23．（7.00分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA=FB．求证：AB=CD．【解答】证明：∵EA∥FB，∴∠A=∠FBD，∵EC∥FD，∴∠D=∠ECA，在△EAC和△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（AAS），∴AC=BD，∴AB+BC=BC+CD，∴AB=CD．24．（7.00分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DA⊥AC．（1）求证：BD=AD；（2）取DC的中点E，连接AE，请确定线段AD与BC的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DA⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAD=30°，∴∠B=∠BAD，∴BD=AD；（2）AD=BC，理由：∵∠DAC=90°，∠C=30°，∴CD=2AD，∵AD=BD，∴AD=BC．25．（7.00分）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是（如图）：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB，则△ABD就是直角三角形．（1）请你说明其中的道理；（2）请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°（不写作法，保留作图痕迹）．【解答】解：（1）理由：方法一：连接BC，由作图可知，AC=BC=CD，∴∠A=∠ABC，∠CBD=∠CDB，∵∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB=180°，∴2∠ABC+2∠CBD=180°，∴∠ABC+∠CBD=90°．即∠ABD=90°，∴△ABD是直角三角形；方法二：连接BC，由作图可知，AC=BC=CD，AD=AC+CD∴BC=AD∴△ABD是直角三角形；（2）如图所示，已知线段EF，分别以点E，F为圆心，以EF的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接EC；再以点C为圆心，以EC长为半径画弧，交EC延长线于点G，连接FG．则△EFG就是所求作的直角三角形，其中∠EGF=30°．26．（7.00分）如图，在△ABC中，AB=AC，D在边AC上，且BD=DA=BC．（1）如图1，填空∠A=36°，∠C=72°．（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC与点N、E．①求证：△BNE是等腰三角形；②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：（1）∵BD=BC，∴∠BDC=∠C，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠A=∠DBC，∵AD=BD，∴∠A=∠DBA，∴∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠C，∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，∴∠A=36°，∠C=72°；故答案为：36，72；（2）①∵∠A=∠ABD=36°，∠B=∠C=72°，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵BH⊥EN，∴∠BHN=∠EHB=90°，在△BNH与△EBH中，，∴△BNH≌△EBH，∴BN=BE，∴△BNE是等腰三角形；②CD=AN+CE，理由：由①知，BN=BE，∵AB=AC，∴AN=AB﹣BN=AC﹣BE，∵CE=BE﹣BC，∵CD=AC﹣AD=AC﹣BD=AC﹣BC，∴CD=AN+CE．27．（7.00分）已知：在△ABC中，AB=AC．（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，求证：DB=EC．（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）实际运用：如图3，某小区在A、B、C三幢楼之间有一片等腰直角三角形的绿地，为了方便居民之间的沟通和休闲，决定在绿地上建造一个休闲亭P，使它到A楼的距离为30m，到B楼的距离为10m，到C楼的距离为20m．建好后，住在该小区的初二学生小明通过计算得到∠BPC刚好等于135°，聪明的你知道为什么吗？请说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，∵DE∥BC，∴=，∵AB=AC，∴DB=EC，（2）解：成立．理由：如图2中，由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=20，AE=BP=10，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2 0，在△PEA中，PE2=（2 0）2=800，AE2=102=100，PA2=302=900，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。