人教A版高中数学必修5第二章等差数列前n项和同步练习

1. 若数列{}n a 的前4项分别为0，则下列各式中可作为{}n a 的通项公式的是（ ）①(1)12n n a ⎡⎤=-+⎣⎦；②n a =)0()n n a n =⎪⎩为偶数为奇数，．Ａ．①②③Ｂ．①②Ｃ．②③Ｄ．①2. 下面三个结论：①数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立点． ②数列的项数是无限的． ③数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是（ ） Ａ．①②Ｂ．①Ｃ．②③Ｄ．①②③3.数列通项是n a =，当其前n 项和为9时，项数n 是（ ）Ａ．9Ｂ．99Ｃ．10Ｄ．1004. 在数列{}n a 中，已知前n 项和278n S n n =-，则100a 的值为（）Ａ．69200Ｂ．1400Ｃ．1415Ｄ．13855. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（）Ａ．36Ｂ．72Ｃ．18Ｄ．1146. 首项为24-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ）Ａ．83d >Ｂ．3d >Ｃ．833d <≤ Ｄ．833d <≤ 7. 已知等差数列{}n a 共有21n +项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于（）Ａ．9 Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．不确定8. 若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n S T ，，已知73n n S n T n =+，则55a b 等于（ ） Ａ．7Ｂ．23 Ｃ．278Ｄ．2149. ABC △中，a b c ，，分别为A B C ∠∠∠，，的对边，如果a b c ，，成等差数列，30B ∠=o，ABC △的面积为32，那么b =（ ）Ｂ．1Ｄ．2+10. 已知{}n a 满足，对一切自然数n 均有1n n a a +>，且2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是（）Ａ．0λ>Ｂ．0λ<Ｃ．0λ=Ｄ．3λ>-11. 在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +=．12. 若数列{}n a 满足132()3n n a a n *++=∈N ，且10a =，则7a = ． 13. 一个凸多边形内角成等差数列，其中最小角为120o，公差为5o，则多边形的边数是 ．14．等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=L ，98n n n a a a q --+++=L ，则其前n 项和n S = ．15.设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(123)n n n n n a na a a n +++-+==g L ，，， ，则它的通项公式是n a = ．16. 等差数列的前n 项和为n S ，若1284S =，20460S =，求28S ．17. 已知数列{}n a 的前n 项的和为212443n S n n =++，求这个数列的通项公式．18. 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知10203050a a ==，．（１） 求通项n a ；（2）若242n S =，求n ．19. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，且121300S S ><，．（１） 求公差d 的范围；（２） 该数列前几项的和最大？说明理由．20. 已知数列{}n a 各项均不为0，且满足关系式1133n n n a a a --=+(2)n ≥．（１）求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （２）当112a =时，求数列{}n a 的通项公式．21. 已知数列{}n a 的前n 项和210()n S n n n *=-∈N ，数列{}n b 的每一项都有n n b a =，求{}n b 的前n 项和n S '．22、△ABC的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且（a ﹣c ）2=b 2﹣ac ．（1）求B 的大小；（2）若b=2，且sinA 、sinB 、sinC 成等差数列，求△ABC 的面积．23、已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足，（n ∈N *），且a 1=1（I ）求a n ；（II ）设数列前n 项和为T n ，求T n ．24、已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 5＝27a 23，S 7＝63.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b 1＝a 1且b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .25、已知函数222(sin cos )1()cos sin x x f x x x+-=-，方程()f x =(0,)+∞上的解按从小到大的顺序排成数列{}n a (*)n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23(41)(32)nn a b n n =--，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的表达式．一、选择题1. Ａ2. Ｂ．3. Ｂ．4. Ｄ．5. Ｂ．6. Ｄ．7. Ｂ．8. Ｄ．9. Ｂ．10. Ｃ．二、填空题11.180 12. 4 13.9 14. ()20n p q + 15. 1n三、解答题16. 解：（方法１）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差d ，则11(1)2n S na n n d =+-． 122084460S S ==，∵，11112121184212020194602a d a d ⎧+⨯⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩∴．解得1154a d =-=，．2115(1)42172n S n n n n n =-+-⨯=-∴，22822817281092S =⨯-⨯=∴．（方法２）由已知不妨设2n S an bn =+，221212802020460a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩∴，27a b ==-，∴，2217n S n n =-∴，22822817281092S =⨯-⨯=∴．17. 59,1,1265, 1.12n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩18. 解：（１）201050302201010a a d--===-，1019a a d =+，13092a =+⨯∴，112a =∴．1(1)122(1)210n a a n d n n =+-=+-=+∴．（２）242n S =，1(1)2422n n na d -+=g ，(1)1222422n n n -+⨯=，2112420n n +-=∴，11n =或22-（舍）故11n =．19． 解：（１）1111211120213121302212a d a d a d ⨯⎧+>⎪⎪⨯⎪+<⎨⎪+=⎪⎪⎩，，． 整理，得1111266013780212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩，，． 解之得：2437d -<<-． （２）解法一：由0d <可知，{}n a 为一个递减函数列．因此，在112n ≤≤中，必存在一个自然数n ，使得n a ≥0，10n a +<，此时对应的n S 就是1212S S S L ，，，中的最大值．由于12671376()0130S a a S a =+>⎧⎨=<⎩于是70a <，从而60a >．因此6S 最大．20. 解：（１）111311133n n n n a a a a ---+==+， 11113n n a a -∴-=是常数， ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（２）35n a n =+．21．15. 解：∵数列{}n a 的前n 项和210()n S n n n *=-∈N ，9(1)112(2)n n a n n =⎧=⎨-⎩，．∴ ≥即112()n a n n *=-∈N ． 又n n b a =∵，而567000a a a ><<L ，，，． (15)(6)n n n a n b a n ⎧=⎨-⎩ ≤≤∴ ≥，2210(5)1050(6)n n n n n S n n n n **⎧-∈⎪'=⎨-+∈⎪⎩N N ，，，．≤∴ ≥22、解：（Ⅰ）由（a ﹣c ）2=b 2﹣ac ，可得a 2+c 2﹣b 2=ac…∴…∵B ∈（0，π）∴…（Ⅱ）∵b=2，，∴由余弦定理得b 2=4=a 2+c 2﹣ac=（a +c ）2﹣3ac…又∵sinA 、sinB 、sinC 的值成等差数列，∴SinA +SinC=2 SinB 由正弦定理得a +c=2b=4，∴4=16﹣3ac ，解得ac=4．… 由，得，∴△ABC 的面积．…23、解：（1）由，则4S n =a n +12+2a n +1+1，当n ≥2时，4S n ﹣1=a n 2+2a n +1，4a n =4S n ﹣4S n ﹣1=（a n +12+2a n +1+1）﹣（a n 2+2a n +1），整理得：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0， 由a n ≠0，则a n ﹣a n ﹣1=2，则数列{a n }是以a 1=1为首项，d=2为公差的等差数列，a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，∴a n =2n ﹣1；（2）数列的通项公式数列==（﹣），T n =（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=（1﹣+﹣+…+﹣），=（1﹣），=，即数列前n 项和T n =，24、(1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，易知a n ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝27(a 1＋2d )27a 1＋21d ＝63，解得⎩⎨⎧a 1＝3d ＝2，∴a n ＝2n ＋1.法二：(等差数列的性质)∵{a n }是等差数列且a 1＋a 5＝27a 23，∴2a 3＝27a 23，又a n ＞0，∴a 3＝7. ∵S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝63，∴a 4＝9，∴d ＝a 4－a 3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n ＋1.(2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1且a n ＝2n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝2n ＋3，当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝(2n ＋1)＋(2n －1)＋…＋5＋3＝n (n ＋2)，当n ＝1时，b 1＝3满足上式，故b n ＝n (n ＋2)． ∴1b n＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1＋1b n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).25、解：（Ⅰ）222(sin cos )12sin cos sin 2()tan 2cos sin cos 2cos 2x x x x xf x x x x x x+-====-, …………2分等差数列前n 项和由()f x =0x >得2,3x k ππ=+∴()26k x k Z ππ=+∈ ………4分方程()f x =(0,)+∞的解从小到大依次排列构成首项为6π， 公差为2π的等差数列∴(32)(1)626n n a n πππ-=+-=. ………………6分 （Ⅱ）23(32)(41)(32)62(21)(21)n n b n n n n ππ-=⋅=---+111()42121n n π=--+， 111111(1)()()(1)4335212142142n n S n n n n πππ⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦L .……12分。