【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-3教学课件：第二章 随机变量及其分3、2-3-2
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【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-3教学课件：第二章 随机变量及其分3、2-3-1
1 1 k 5 3－k P(ξ＝k)＝C3 ，k＝0,1,2,3.
6 6
所以中奖人数 ξ 的分布列为 ξ P 0 125 216 1 25 72 2 5 72 3 1 216
人 教 A 版 数 学
125 25 5 1 1 E(ξ)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 216 72 72 216 2
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丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
(1)求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[ 解析 ]
①甲、乙、丙中奖与否是等可能事件，而甲
中奖与乙，丙未中奖是相互独立的．②中奖人数可为 0,1,2,3 且相互独立，由独立事件至少有一个发生的概率计 算即可． 解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C，那
2 4 甲解出该题的概率为3，乙解出该题的概率为5，设解出该 题的人数为 X ，求 E(X)．
[分析] 首先确定随机变量X所有可能的取值，X可取
0,1,2，然后分别求出它们对应的概率，再利用求期望的公
式计算．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
记“甲解出该题”为事件 A， “乙解出该题” B )＝
值的概率；③列出分布列；④利用期望公式进行计算．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例2] 已知随机变量X的分布列为 X P 求：(1)E(X)； (2)若Y＝5X＋4，求E(Y)． 0 0.4 2 m 4 0.3
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
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6 6
所以中奖人数 ξ 的分布列为 ξ P 0 125 216 1 25 72 2 5 72 3 1 216
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125 25 5 1 1 E(ξ)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 216 72 72 216 2
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丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
(1)求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[ 解析 ]
①甲、乙、丙中奖与否是等可能事件，而甲
中奖与乙，丙未中奖是相互独立的．②中奖人数可为 0,1,2,3 且相互独立，由独立事件至少有一个发生的概率计 算即可． 解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C，那
2 4 甲解出该题的概率为3，乙解出该题的概率为5，设解出该 题的人数为 X ，求 E(X)．
[分析] 首先确定随机变量X所有可能的取值，X可取
0,1,2，然后分别求出它们对应的概率，再利用求期望的公
式计算．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
记“甲解出该题”为事件 A， “乙解出该题” B )＝
值的概率；③列出分布列；④利用期望公式进行计算．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例2] 已知随机变量X的分布列为 X P 求：(1)E(X)； (2)若Y＝5X＋4，求E(Y)． 0 0.4 2 m 4 0.3
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
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【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-3教学课件：第二章 随机变量及其分3、2-1-2-1
(选修2-3)
[解析]
随机变量 X 的可能取值为 3,4,5,6.从袋中随机地取
出 3 个球，包含的基本事件总数为 C3 6，事件“X＝3”包含的基
1 2 人 本事件总数为 C3 ；事件 “ X ＝ 4 ” 包含的基本事件总数为 C 3 1C3； 教
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事件“X＝5”包含的基本事件总数为
2 C1 事件“X＝6”包含 1C4；
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
1 依题意，有 P(ξ＝1)＝3a，
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12 1n P(ξ＝2)＝( ) a，„，P(ξ＝n)＝( ) a， 3 3 由 P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋„＋P(ξ＝n)＝1，知 1 1 3(1－3n) 1 1 1 a(3＋32＋„＋3n)＝1.则 a· 1 ＝1. 1－3 2×3n ∴a＝ n . 3 －1
(选修2-3)
[答案] C
[ 解析 ] 对于离散型随机变量分布列中的参数的确定，
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应根据随机变量取所有值时的概率和等于1来确定，故选C.
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
二、填空题 4．随机变量 η 的分布列如下表： η P 1 0.2 2 x 3 4 5 6
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布列；能够运用概率分布求所给事件的概率． 2．通过实例，理解超几何分布的意义及其概率的推导 过程，并能运用公式解决简单问题．
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
本节重点：离散型随机变量分布列的概念、性质和分
【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-2教学课件：第二章 推理与证明 2、2章末
x
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方 法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一 步是命题成立的基础，称为“归纳基础”(或称特殊 性)．第二步解决的是延续性(又称传递性)问题．运用数学
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归纳法证明有关命题要注意以下几点：
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因为 f(x)＝sinx 在(0，π)上是凸函数，(小前提) 所以
A＋B＋C f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f ，(结论) 3
π 3 3 即 sinA＋sinB＋sinC≤3sin ＝ ， 3 2 3 3 因此 sinA＋sinB＋sinC 的最大值是 2 .
第二章 推理与证明
(选修2-2)
[解析] f(1)＝1，观察图可知 f(2)＝4，f(3)＝10，f(4) ＝20，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的 个数，而第一层的个数构成数列 1,3,6,10，„，其第 n 项 n(n＋1) n(n＋1) 是 ， 所以 f(n)＝f(n－1)＋ ， 所以有 f(2)－f(1) 2 2 2×(2＋1) 3×(3＋1) ＝ ， f(3) － f(2) ＝ ， f(4) － f(3) ＝ 2 2 4×(4＋1) n(n＋1) ，„，f(n)－f(n－1)＝ . 2 2
第二章 推理与证明
(选修2-2)
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的 一般判断为前提，而做出关于该类事物的判断的思维过程，
因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三
段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个 命题组成，大前提是一个一般性原理；小前提给出了适合 这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑 结果．
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方 法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一 步是命题成立的基础，称为“归纳基础”(或称特殊 性)．第二步解决的是延续性(又称传递性)问题．运用数学
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归纳法证明有关命题要注意以下几点：
人 教 A 版 数 学
因为 f(x)＝sinx 在(0，π)上是凸函数，(小前提) 所以
A＋B＋C f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f ，(结论) 3
π 3 3 即 sinA＋sinB＋sinC≤3sin ＝ ， 3 2 3 3 因此 sinA＋sinB＋sinC 的最大值是 2 .
第二章 推理与证明
(选修2-2)
[解析] f(1)＝1，观察图可知 f(2)＝4，f(3)＝10，f(4) ＝20，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的 个数，而第一层的个数构成数列 1,3,6,10，„，其第 n 项 n(n＋1) n(n＋1) 是 ， 所以 f(n)＝f(n－1)＋ ， 所以有 f(2)－f(1) 2 2 2×(2＋1) 3×(3＋1) ＝ ， f(3) － f(2) ＝ ， f(4) － f(3) ＝ 2 2 4×(4＋1) n(n＋1) ，„，f(n)－f(n－1)＝ . 2 2
第二章 推理与证明
(选修2-2)
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的 一般判断为前提，而做出关于该类事物的判断的思维过程，
因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三
段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个 命题组成，大前提是一个一般性原理；小前提给出了适合 这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑 结果．
【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-3教学课件：第一章 计数原理3、1-3-1
1 r x
＝(－1) · 2
3 r C9· x9－ r， 2
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3r ∴令 9－ 2 ＝0，得 r＝6.
6 3 3 ∴T 常＝C9 · (－1)6· 23＝C9 · 2 ＝672.
第一章 计数原理
(选修2-3)
5. x－
1 8 5 展开式中 x 的系数为________． x
)
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A．8
B．9
[答案] B
第一章 计数原理
(选修2-3)
[解析]
1r r n－r Tr＋1＝Cnx －
x
r n－2r ＝C r ( － 1) x n 3 n－6 ∴T4＝C3 n(－1) x
∴n－6＝3，∴n＝9，故选 B.
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第一章 计数原理
(选修2-3)
[例 1]
求 3
1 4 x＋ 的展开式． x
[分析] 可直接应用二项式定理展开，也可先化简再 展开．
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第一章 计数原理
(选修2-3)
[解析]
3
解法 1：(直接法)
1 4 4 1 3 1 2 2 1 2 x＋ ＝ (3 x ) ＋ C 4 (3 x ) ＋ C 4 (3 x ) ＋ C 3 4 x x x 1 12 1 3 4 1 4 2 ＋C4 ＝81x ＋108x＋54＋ x ＋x2. x x
(选修2-3)
3．(2010·江西文，3)(1－x)10展开式中x3项的系数为
( A．－720 C．120 [答案] D
[解析] 本题考查了二项式展开定理， 要认清项的系数与
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2.1 离散型随机变量及其分布 列
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
2.2 二项分布及其应用
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 服从二项分布的 随机变量取何值时概率最大
人教版高三数学选修2－3全册教 学课件目录
0002页 0090页 0167页 0211页 0276页 0360页 0445页 0487页 0560页 0589页 0660页 0731页
第一章 计数原理 探究与发现 子集的个数有多少 探究与发现 组合数的两个性质 探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密 复习参考题 2.1 离散型随机变量及其分布列 探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最 2.4 正态分布 小结 第三章 统计案例 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 小结
人教版高三数学选修2－3全册Fra bibliotek学 课件1.2 排列与组合
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探究与发现 组合数的两个性 质
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
第一章 计数原理
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
1.1 分类加法计数原理与分步 乘法计数原理
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 子集的个数有多 少
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
1.3 二项式定理
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 “杨辉三角”中的 一些秘密
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
小结
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
复习参考题
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
第二章 随机变量及其分布
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【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-3教学课件：第一章 计数原理3、1-2-1-2
＝192 种． 解法 2：乙、丙的排法有 2 种，乙、丙可在甲的左边也可 在右边，每边都有 2 种位置，乙、丙站好后其余 4 人任意排
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第一章 计数原理
(选修2-3)
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第一章 计数原理
(选修2-3)
本节重点：有限制条件的排列问题解题思路．
本节难点：定元素与定位置分析的方法．
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第一章 计数原理
(选修2-3)
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第一章 计数原理
(选修2-3)
1．直接法：以 元素 为考察对象，先满足 特殊元素 一般元素 的要求，再考虑 ( 又称为元素分析
1 2 种)， 十位和百位从余下的数字中选 (有 A2 种 ) ， 于是有 A A4个； 4 4· 1 2 第三类：4 在个位时，与第二类同理，也有 A4 · A4个．
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由分类加法计数原理知，共有四位偶数：
3 2 A5 ＋2A1 · A 4 4＝156(个)．
第一章 计数原理
(选修2-3)
(2)五位数中 5 的倍数的数可分为两类：个位上的数字是
4 3 0 的五位数有 A5 个； 个位数上的数字是 5 的五位数有 A1 A4 个． 4·
故满足条件的五位数的个数共有：
4 3 A5 ＋A1 · A 4 4＝216(个)．
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第一章 计数原理
(选修2-3)
(3)比 1325 大的四位数可分为三类： 第一类：形如 2 ，共
元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将 其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的 空隙及两端位置，故称“插空法”．
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【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-3教学课件：第二章 随机变量及其分3、2-2-3
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例4]
有10台都为7.5千瓦的机床，如果每台机床的使
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用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12min， 问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大？(保留两位有Fra bibliotek效数字)
[ 分析 ] 解答本题的关键是明确某一时刻正常工作的 机床台数X服从二项分布，即X～B(10,0.2)．
5
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5
9 25
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
(4)在第二、第三两次击中目标的概率为
3 32 36 2 1－ ＝ P＝5 · 5 625.
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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2
枚硬币，恰有 2 枚朝上的概率为
2 8
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
3．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放 回 地 每 次 摸 取 一 个 球 ， 定 义 数 列 {an} ： an ＝
－1 1
第n次摸取红球， 第n次摸取白球， 如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和，那么 S7＝3 的概率为 ( 12 25 5 A．C7× ×
，
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(4)刚好在第二、第三两次击中目标．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
这里 4 个问题， 都是在同一条件下事件的发生
情况，所以均属独立重复试验．所以 (1)恰命中一次的概率为 33 3 1 P＝C4× × 1－ ＝ 5
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例4]
有10台都为7.5千瓦的机床，如果每台机床的使
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用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12min， 问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大？(保留两位有Fra bibliotek效数字)
[ 分析 ] 解答本题的关键是明确某一时刻正常工作的 机床台数X服从二项分布，即X～B(10,0.2)．
5
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5
9 25
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
(4)在第二、第三两次击中目标的概率为
3 32 36 2 1－ ＝ P＝5 · 5 625.
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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2
枚硬币，恰有 2 枚朝上的概率为
2 8
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
3．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放 回 地 每 次 摸 取 一 个 球 ， 定 义 数 列 {an} ： an ＝
－1 1
第n次摸取红球， 第n次摸取白球， 如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和，那么 S7＝3 的概率为 ( 12 25 5 A．C7× ×
，
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(4)刚好在第二、第三两次击中目标．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
这里 4 个问题， 都是在同一条件下事件的发生
情况，所以均属独立重复试验．所以 (1)恰命中一次的概率为 33 3 1 P＝C4× × 1－ ＝ 5
【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-2教学课件：第二章 推理与证明 2、2-1-1-2
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1 lr 应扇形的弧长，所以可猜测 S 扇＝ rl＝ .故应选 C. 2 2
第二章 推理与证明
(选修2-2)
3．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为
类比对象较合适 A．三角形 B．梯形 C．平行四边形
人 教 A 版 数 学
(
)
D．矩形
[答案] C [ 解析 ] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关 系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类 比对象较为合适．
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
[分析] 考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角
形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面积
相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似结论时，可 考虑利用体积相等的方法证明相应的结论．
[解析] 在四面体 V－BCD 中，任取一点 O，连结
第二章 推理与证明
Байду номын сангаас
(选修2-2)
本节重点：类比推理．
本节难点：类比推理的特点及应用．
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
1．类比推理
由两类对象具有某些 类似 特征和其中一类对象的某 些 已知特征 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理称 为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理．
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OA′ OB′ BO、 CO 并延长交对边分别于 A′、 B′、 C′， 则 ＋ AA′ BB′ OC′ ＋ ＝1. CC′
第二章 推理与证明
(选修2-2)
1 lr 应扇形的弧长，所以可猜测 S 扇＝ rl＝ .故应选 C. 2 2
第二章 推理与证明
(选修2-2)
3．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为
类比对象较合适 A．三角形 B．梯形 C．平行四边形
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(
)
D．矩形
[答案] C [ 解析 ] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关 系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类 比对象较为合适．
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
[分析] 考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角
形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面积
相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似结论时，可 考虑利用体积相等的方法证明相应的结论．
[解析] 在四面体 V－BCD 中，任取一点 O，连结
第二章 推理与证明
Байду номын сангаас
(选修2-2)
本节重点：类比推理．
本节难点：类比推理的特点及应用．
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
1．类比推理
由两类对象具有某些 类似 特征和其中一类对象的某 些 已知特征 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理称 为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理．
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OA′ OB′ BO、 CO 并延长交对边分别于 A′、 B′、 C′， 则 ＋ AA′ BB′ OC′ ＋ ＝1. CC′
第二章 推理与证明
(选修2-2)
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∵D(X)＝1.56. ∴D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24. [点评] 求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一是先求y 的分布列，再求其均值，最后求方差；二是应用公式 D(aX
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＋b)＝a2D(X)求．
第二章 随机变量及其分布来自(选修2-3)[例3] 已知某运动员投篮命中率p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数X的期望与方差； (2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值与方差．
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7．若X服从二项分布，即X～B(n，p)， 则D(X)＝ np(1－p) ．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例1] 已知随机变量X的分布列为
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求X的均值、方差和标准差．
第二章 随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例2] 已知随机变量X的分布列是
X P
0 0.2
1 0.2
2 0.3
3 0.2
4 0.1
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试求D(X)和D(2X－1)． [ 分析 ] 公式计算． 已知分布列求方差，可先求出均值，再套用
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析] 4×0.1＝1.8.
P(η＝k)
A.甲 B．乙
0.2
0.4
C．一样
0.4
D．无法比较
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[答案] B
[解析] E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)
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＝0.56<D(ξ)，乙稳定．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
2．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
本节重点：离散型随机变量方差的概念与计算．
本节难点：对方差刻画随机变量稳定性的理解与方差 的计算．
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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∴E(2X－1)＝2.6. ∴D(2X － 1) ＝ ( － 1 － 2.6)2×0.2 ＋ (1 － 2.6)2×0.2 ＋ (3 － 2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
方法2：利用方差的性质D(aX＋b)＝a2D(X)．
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
5．随机变量X的分布列如下表： X P 0 x 1 y 2 z
，则D(X)的值
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其中x、y、z成等差数列，若E(X)＝
是______．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
1 E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝ ， 3
(2)由题意，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，
即η～B(5,0.6)． 由二项分布期望与方差的计算公式，有 E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[ 点评 ]
求离散型随机变量的期望与方差的关键环节
是以下两点： (1)写出离散型随机变量的分布列； (2)正确应用均值与方差的公式进行计算(要熟练掌握两 点分布、二项分布的期望与方差的公式)．
2
1 ＝(3 ＋2 ＋1 ＋0＋1 ＋2 ＋3 )×7＝4，
2 2 2 2 2 2
∴ D(X)＝ 4＝2.
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[点评] 已知随机变量的分布列求方差时，首先要计
算均值，然后代入方差公式D(X)＝ (xi－E(X))2·pi，在应
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用方差公式时要注意(xi－E(X))2·pi中的平方，总之，分布 列、均值、方差以及标准差这几个特征量是密不可分的， 对它们的求解方法一定要熟练．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
2．3.2
离散型随机变量的方差
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
1．通过实例，理解离散型随机变量方差的概念，能计
算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 2．通过本节的学习，体会离散型随机变量的方差在实 际生活中的意义和应用，提高数学应用意识，激发学习兴 趣．
则 ( A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 )
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C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45 [答案] A
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
因为 X～B(n， p)， 所以 E(X)＝np， D(X)＝np(1 ，
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np＝1.6 －p)，从而有 np(1－p)＝1.28
(选修2-3)
[分析]
由题目可获取以下主要信息：①给出X的分布
列；②求X的期望、方差和标准差． 解答本题可先弄清楚题目的要求，再直接应用相应的 定义求解．
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[ 解析 ]
1 1 1 1 1 E(X) ＝ 1× 7 ＋ 2× 7 ＋ 3× 7 ＋ 4× 7 ＋ 5× 7 ＋
1 1 1 1 6×7＋7×7＝7×(1＋2＋3＋…＋7)＝7×28＝4. 1 1 1 2 2 D(X) ＝ (1 － 4) × 7 ＋ (2 － 4) × 7 ＋ (3 － 4) × 7 ＋ (4 －
2
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1 1 1 1 2 2 2 4) × ＋(5－4) × ＋(6－4) × ＋(7－4) × 7 7 7 7
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
2．样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的 偏离程度
，用它可以刻画样本数据的 稳定性 ．
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3．随机变量的方差、标准差的定义： 设离散型随机变量的分布列如下表. X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
4．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值
偏离于 均值 的 平均 程度，方差或标准差越小，则随机 变量偏离于均值的平均程度 越小 ． 5．若a，b为常数，则D(aX＋b)＝ a2D(X) ． 6．若X服从两点分布，则D(X)＝ p(1－p) ．
E(X) ＝ 0×0.2 ＋ 1×0.2 ＋ 2×0.3 ＋ 3×0.2 ＋
∴D(X) ＝ (0 － 1.8)2×0.2 ＋ (1 － 1.8)2×0.2 ＋ (2 －
1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56. 对于D(2X－1)，可用两种方法求解． 方法1：2X－1的分布列如下表： 2X－1 P －1 0.2 1 0.2 3 0.3 5 0.2 7 0.1
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2 1 又 x＋y＋z＝1，且 2y＝x＋z，∴x＝3，y＝3，z＝0， 12 2 12 1 12 2 ∴D(X)＝(0－ ) × ＋(1－ ) × ＋(2－ ) ×0＝ . 3 3 3 3 3 9
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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[分析 ]
(1) 投篮一次可能投中，也可能不中，投中次
数X服从两点分布． (2)重复五次投篮的投中次数η服从二项分布．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析] (1)投篮一次命中次数X的分布列为
X P 0 0.4 1 0.6
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则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6， D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
一、选择题
1．甲，乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下 表．其中射击比较稳定的运动员是 ( 环数k P(ξ＝k) 8 0.3 9 0.2 10 0.5 )
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解之得 n＝8，p＝0.2.
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
3．设随机变量 X 服从二项分布 值为
1 B4，3，则
D(X)的
( 4 A.3 8 C. 9
[答案] C
)
8 B.3 1 D. 9
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
二、填空题
4．某射手击中目标的概率为 p，则他射击一次击中目 标的次数X的均值是________，方差是________． [答案] p 1－p
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＋b)＝a2D(X)求．
第二章 随机变量及其分布来自(选修2-3)[例3] 已知某运动员投篮命中率p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数X的期望与方差； (2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值与方差．
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7．若X服从二项分布，即X～B(n，p)， 则D(X)＝ np(1－p) ．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例1] 已知随机变量X的分布列为
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求X的均值、方差和标准差．
第二章 随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例2] 已知随机变量X的分布列是
X P
0 0.2
1 0.2
2 0.3
3 0.2
4 0.1
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试求D(X)和D(2X－1)． [ 分析 ] 公式计算． 已知分布列求方差，可先求出均值，再套用
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析] 4×0.1＝1.8.
P(η＝k)
A.甲 B．乙
0.2
0.4
C．一样
0.4
D．无法比较
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[答案] B
[解析] E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)
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＝0.56<D(ξ)，乙稳定．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
2．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
本节重点：离散型随机变量方差的概念与计算．
本节难点：对方差刻画随机变量稳定性的理解与方差 的计算．
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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∴E(2X－1)＝2.6. ∴D(2X － 1) ＝ ( － 1 － 2.6)2×0.2 ＋ (1 － 2.6)2×0.2 ＋ (3 － 2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
方法2：利用方差的性质D(aX＋b)＝a2D(X)．
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
5．随机变量X的分布列如下表： X P 0 x 1 y 2 z
，则D(X)的值
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其中x、y、z成等差数列，若E(X)＝
是______．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
1 E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝ ， 3
(2)由题意，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，
即η～B(5,0.6)． 由二项分布期望与方差的计算公式，有 E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[ 点评 ]
求离散型随机变量的期望与方差的关键环节
是以下两点： (1)写出离散型随机变量的分布列； (2)正确应用均值与方差的公式进行计算(要熟练掌握两 点分布、二项分布的期望与方差的公式)．
2
1 ＝(3 ＋2 ＋1 ＋0＋1 ＋2 ＋3 )×7＝4，
2 2 2 2 2 2
∴ D(X)＝ 4＝2.
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[点评] 已知随机变量的分布列求方差时，首先要计
算均值，然后代入方差公式D(X)＝ (xi－E(X))2·pi，在应
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用方差公式时要注意(xi－E(X))2·pi中的平方，总之，分布 列、均值、方差以及标准差这几个特征量是密不可分的， 对它们的求解方法一定要熟练．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
2．3.2
离散型随机变量的方差
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
1．通过实例，理解离散型随机变量方差的概念，能计
算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 2．通过本节的学习，体会离散型随机变量的方差在实 际生活中的意义和应用，提高数学应用意识，激发学习兴 趣．
则 ( A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 )
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C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45 [答案] A
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
因为 X～B(n， p)， 所以 E(X)＝np， D(X)＝np(1 ，
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np＝1.6 －p)，从而有 np(1－p)＝1.28
(选修2-3)
[分析]
由题目可获取以下主要信息：①给出X的分布
列；②求X的期望、方差和标准差． 解答本题可先弄清楚题目的要求，再直接应用相应的 定义求解．
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[ 解析 ]
1 1 1 1 1 E(X) ＝ 1× 7 ＋ 2× 7 ＋ 3× 7 ＋ 4× 7 ＋ 5× 7 ＋
1 1 1 1 6×7＋7×7＝7×(1＋2＋3＋…＋7)＝7×28＝4. 1 1 1 2 2 D(X) ＝ (1 － 4) × 7 ＋ (2 － 4) × 7 ＋ (3 － 4) × 7 ＋ (4 －
2
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1 1 1 1 2 2 2 4) × ＋(5－4) × ＋(6－4) × ＋(7－4) × 7 7 7 7
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
2．样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的 偏离程度
，用它可以刻画样本数据的 稳定性 ．
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3．随机变量的方差、标准差的定义： 设离散型随机变量的分布列如下表. X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
4．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值
偏离于 均值 的 平均 程度，方差或标准差越小，则随机 变量偏离于均值的平均程度 越小 ． 5．若a，b为常数，则D(aX＋b)＝ a2D(X) ． 6．若X服从两点分布，则D(X)＝ p(1－p) ．
E(X) ＝ 0×0.2 ＋ 1×0.2 ＋ 2×0.3 ＋ 3×0.2 ＋
∴D(X) ＝ (0 － 1.8)2×0.2 ＋ (1 － 1.8)2×0.2 ＋ (2 －
1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56. 对于D(2X－1)，可用两种方法求解． 方法1：2X－1的分布列如下表： 2X－1 P －1 0.2 1 0.2 3 0.3 5 0.2 7 0.1
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2 1 又 x＋y＋z＝1，且 2y＝x＋z，∴x＝3，y＝3，z＝0， 12 2 12 1 12 2 ∴D(X)＝(0－ ) × ＋(1－ ) × ＋(2－ ) ×0＝ . 3 3 3 3 3 9
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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[分析 ]
(1) 投篮一次可能投中，也可能不中，投中次
数X服从两点分布． (2)重复五次投篮的投中次数η服从二项分布．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析] (1)投篮一次命中次数X的分布列为
X P 0 0.4 1 0.6
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则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6， D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
一、选择题
1．甲，乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下 表．其中射击比较稳定的运动员是 ( 环数k P(ξ＝k) 8 0.3 9 0.2 10 0.5 )
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解之得 n＝8，p＝0.2.
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
3．设随机变量 X 服从二项分布 值为
1 B4，3，则
D(X)的
( 4 A.3 8 C. 9
[答案] C
)
8 B.3 1 D. 9
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第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
二、填空题
4．某射手击中目标的概率为 p，则他射击一次击中目 标的次数X的均值是________，方差是________． [答案] p 1－p