[推荐学习]2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线 理
高三数学二轮专题复习第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x[解析] 法一 由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .[答案] A2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A.5B.6C.7D.8[解析] 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. [答案] D3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点.若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A.1－32B.2－ 3C.3－12D.3－1[解析] 由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ， 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＋1＝3－1. [答案] D4.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .(1)解 当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x ，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2).所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明 当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN . 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0， 可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4. 直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 1＋y 2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝y 22y 12＋y 21y 22＋2（y 1＋y 2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝（y 1＋y 2）（y 1y 22＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝c a ＝1－b 2a 2.②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2.②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. (2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例1】 (1)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 (2)(2018·昆明诊断)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.[解析] (1)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. (2)由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1. 设点M (x 0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM→＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3. [答案] (1)C (2)3探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·临汾一中质检)已知等腰梯形ABCD 的顶点都在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝4，∠ADC ＝60°，则点A 到抛物线的焦点F 的距离是________.[解析] (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由题意设A (x 1，1)，D (x 1＋3，2)，所以1＝2px 1，4＝2p (x 1＋3)⇒p ＝32，x 1＝33，所以|AF |＝x 1＋p 2＝33＋34＝7312.[答案] (1)B (2)7312 热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2(2)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63B.33C.23D.13[解析] (1)法一 由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.(2)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即b a ＝13.∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. [答案] (1)D (2)A探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13B.12C.23D.34 (2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.[解析] (1)不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0. 由题意|－bc |b 2＋c 2＝12b ，且a 2＝b 2＋c 2，得b 2c 2＝14b 2a 2，所以e ＝c a ＝12. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2a 2p ， 又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ， ∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12⇒b a ＝22. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x . [答案] (1)B (2)y ＝±22x 热点三 直线与圆锥曲线考法1 直线与圆锥曲线的位置关系【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝pt x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ). 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N ，H 的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH 的方程与曲线C 联立，根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练3】 (2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且AB ＝2，延长BA 至P ，且A 为PB 的中点，记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，且l 与曲线C 交于M ，N 两点，Q 为曲线C 上一点，当四边形OMQN 为平行四边形，求k 的值. 解 (1)设P (x ，y )，A (x 0，0)，B (0，y 0)， 则有x 0＝x2，0＝y 0＋y 2，即y 0＝－y ，又|AB |＝2，得x 20＋y 20＝4.则x 24＋y 2＝4，∴曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1. (2)由l 与圆O 相切， 得|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2k 2＋2.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 216＋y 24＝1，消去y 整理得：(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km4k 2＋1，2m 4k 2＋1， ∵Q 在曲线C 上，∴64k 2m 216（4k 2＋1）2＋4m 24（4k 2＋1）2＝1.得m 2＝4k 2＋1，② 由①，②解得k 2＝12， 所以实数k 的取值为±22. 考法2 有关弦的中点、弦长问题【例3－2】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB→|. 证明 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m . 由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内， ∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故实数k <－12.(2)由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0).由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32.于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP→|＝|FA →|＋|FB →|. 探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练4】 (2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值. 解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |， 从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，得9k 2＋4＝5(3k ＋2)， 两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0， 解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去； 当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意. 所以，k 的值为－12.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线.2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca .4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( ) A.13B.12C.22D.223[解析] 不妨设a >0，由焦点F (2，0)，知c ＝2. ∴a 2＝4＋c 2＝8，a ＝2 2.故离心率e ＝c a ＝222＝22.[答案] C2.(2018·南昌质检)已知抛物线C ：x 2＝4y ，过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线的两条切线PA ，PB ，P 为两切线的交点，O 为坐标原点，若PA →·PB →＝0，则直线OA 与OB 的斜率之积为( ) A.－14B.－3C.－18D.－4[解析] 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ，x 2A 4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ，x 2B 4，由x 2＝4y ，得y ′＝x 2.所以k AP ＝x A 2，k BP ＝x B 2，由PA →·PB →＝0，得PA ⊥PB .∴x A 2·x B 2＝－1，则x A ·x B ＝－4，又k OA ·k OB ＝x 2A 4x A ·x 2B 4x B ＝x A x B 16＝－14. [答案] A3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.32[解析] 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)， 将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32. [答案] D4.(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 2＝1D.x 2－y 23＝1[解析] 依题意知c ＝2，ba ＝tan 60°＝3，又a 2＋b 2＝c 2＝4，解得a 2＝1，b 2＝3，故双曲线方程为x 2－y23＝1.[答案] D5.设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 点且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，2，则该抛物线的方程为( )A.y 2＝2xB.y 2＝4xC.y 2＝8xD.y 2＝16x[解析] 易求直线l 的方程y ＝x －p2，① 又y 2＝2px ，②联立①，②，得x 2－3px ＋p 24＝0.不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24.又点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，2在以AB 为直径的圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2，y 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2，y 2－2＝0. 化简2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋2p ＋p 22＝0， ∴p 2－4p ＋4＝0，从而p ＝2. 故所求的方程为y 2＝4x . [答案] B 二、填空题6.(2018·北京卷)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.[解析] 由题意知，a >0，对于y 2＝4ax ，当x ＝1时，y ＝±2a ，由于l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，所以4a ＝4，所以a ＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0). [答案] (1，0)7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________.[解析] 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ， 所以|bc |a 2＋b 2 ＝b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ， 所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2. [答案] 28.抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，P (x 1，y 1)(x 1>1)、Q (x 2，y 2)是C 上不同的两点，若△PFQ 是以F 为顶点的等腰直角三角形，则|PF |＝________.[解析] 如图不妨设y 1>0，则Rt △PFQ 是以F 为顶点的等腰直角三角形， 由抛物线的定义及对称性，|FH |＝|PH |＝|HQ |＝y 1. 又x 1＝y 214>1，知y 1>2. ∴y 214－1＝y 1，解得y 1＝2＋2 2. 故|PF |＝2·|PH |＝4＋2 2.[答案] 4＋2 2 三、解答题9.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎨⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 10.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F (1，0). (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程.解(1)依题意可得⎩⎨⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1). 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2.∴y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k 2.∵OM ⊥ON ，∴OM →·ON→＝0.∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k 2＝0，∴k ＝±2.故直线l 的方程为y ＝±2(x －1).11.(2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12， 所以抛物线C 的方程为y 2＝x ， 焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12. 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1).直线ON的方程为y＝y2x2x，点B的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x1，y2x1x2.因为y1＋y2x1x2－2x1＝y1x2＋y2x1－2x1x2x2＝⎝⎛⎭⎪⎫kx1＋12x2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx2＋12x1－2x1x2x2＝（2k－2）x1x2＋12（x2＋x1）x2＝（2k－2）×14k2＋1－k2k2x2＝0.所以y1＋y2x1x2＝2x1.故A为线段BM的中点.。
高考数学二轮复习 专题六：第二讲《椭圆、双曲线、抛物线》 文 课件
(0，－a) (0，a) (1，＋∞) a 2 b 2 2a 2b
3．实轴和虚轴
y＝±x
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
D．(－4,0)
(2)(2010年湖南卷) 设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离
是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
答案：(1)B (2)B
曲线的方程与方程的曲线
四、曲线的方程与方程的曲线 若二元方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，或曲线C是方程 f(x，y)＝0的曲线，则必须满足以下两个条件： (1)曲线上点的坐标都是________(纯粹性)． (2)以这个方程的解为坐标的点都是________(完备性)．
即4k2－t2＋1＞0，即t2＜4k2＋1，且 x 1 ＋ x 2 ＝ － 1 ＋ ，8 k 4 t k 2 x 1 x 2 ＝ 1 4 ＋ t 2 － 4 k 4 2
专题六第2讲椭圆、双曲线、抛物线
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专 题 六 解 析 几 何
如图，设左焦点为 F′， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′| ＝6＋(|PA|－|PF′|)． 连接 AF′并延长交椭圆于 P1，反向延长线交椭 圆于 P2，P1、P2 分别使|PA|＋|PF|取得最大值和 最小值，且为 6＋ 10和 6－ 10.
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题型三 例3
专 题 六 解 析 几 何
圆锥曲线的最值或定值问题
已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作两条互
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相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求证：直线MN恒过定点；
(2)求|MN|的最小值．
【解】(1)证明：由题意可知直线 AB，CD 的斜率 都存在且不等于零，F(1,0)． 设 lAB：y＝k(x－1)，代入 y2＝4x， 得 k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.
节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞ |F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|.
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变式训练 专 题 六 解 析 几 何
x2 y2 1．已知定点 A(2,1)，F(1,0)是椭圆 m＋ 8 ＝1 的一个焦 点， 是椭圆上的点， P 求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．
， 1F2|＝2 3， 又|F
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1 由余弦定理可得 cos∠F1PF2＝－3.
【精选】高考数学二轮复习专题六解析几何6.2椭圆双曲线抛物线课件理
5．(2017·广东省综合测试)设 A，B 分别为双曲线ax22－by22＝1(a>0， b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离 为 3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 33x－2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在 双曲线的右支上存在点 D，使O→M＋O→N＝tO→D，求 t 的值及点 D 的 坐标．
这样可以避免讨论和烦琐的计算． 对于ax22＋by22＝1 和ax22－by22＝1 来说，抓住 a、b、c 间的关系是关 键．
1．已知椭圆中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)是
椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( ) A.x82＋y62＝1 B.1x62 ＋y62＝1 C.x82＋y42＝1 D.1x62 ＋y42＝1
解析：(1)由题意知 a＝2 3，
又∵一条渐近线为 y＝bax，即 bx－ay＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为 3，得 b|b2＋c| a2＝ 3. 又∵c2＝a2＋b2， ∴b2＝3，∴双曲线的方程为1x22 －y32＝1.
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则 x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 将直线方程 y＝ 33x－2 代入双曲线方程1x22 －y32＝1 得 x2－16 3x ＋84＝0，
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
高考数学(理)二轮专题复习：专题六 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线
对称中心：__原__点____
A1_(_－__a_,_0_) _， A2__(_a_,0_)___
A1_(_0_，__－__a_) ， A2_(_0_，__a_)__
x a±Biblioteka y b＝0x b
±
y a
＝0
e＝ac ，e∈(_1_，__＋__∞_)_，其中c＝___a_2＋__b_2_
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答案：B
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2．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．(－4,0)
解析：由y2＝－8x，易知焦点坐标是 故选B.
－p2，0＝(－2,0)，
答案：B
3．(2012年上海卷)对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2
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1．(2013年福建卷)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的 距离等于( )
1 A.2
2 B. 2
C．1
D. 2
解析：求出双曲线的顶点和渐近线，再利用点到直线的距
离公式求解．
双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y＝±x，
∴x±y＝0，∴顶点到渐近线的距离为 d | 1 0 | 2 . 22
长轴A1A2的长为__2_a___短轴B1B2的长为___2_b__
|F1F2|＝_2__a_2_－_b_2_
e＝
c a
∈__(_0_,_1_) __
c2＝_a_2_－__b_2__
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双曲线的定义与几何性质
1．双曲线的定义． 平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件： (1)到两个定点F1，F2的距离的_差__的__绝__对__值__等于常数2a. (2)2a___＜_____|F1F2|.
【配套K12】2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线 文
第二讲椭圆、双曲线、抛物线对圆锥曲线的方程与性质的考查是高考的重点，一般是综合题，常用到一元二次方程根与系数的关系、平面向量等知识，该类试题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、不等式、向量知识交汇，形成求方程、求参数、求面积、定值的证明等综合题．预测2016年高考多以解答题形式出现，考查学生利用数学知识分析、解决问题的能力，考查论证、推理、运算能力，考查数形结合的思想．椭圆的定义与几何性质1．椭圆的定义．平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件．(1)到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a.(2)2a＞|F1F2|.2．椭圆的标准方程和几何性质．双曲线的定义与几何性质1．双曲线的定义．平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.(2)2a＜|F1F2|.2．双曲线的标准方程和几何性质．3.等轴双曲线．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率ey＝±x．抛物线的定义与几何性质1．抛物线的定义．平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质．曲线的方程与方程的曲线若二元方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，或曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，则必须满足以下两个条件：1．曲线上点的坐标都是二元方程f(x，y)＝0的解(纯粹性)．2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线C上的点(完备性)．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(√)(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．(√) (5)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)1．平面内到点A (0，1)、B (1，0)距离之和为2的点的轨迹为(A ) A ．椭圆 B ．一条射线 C ．两条射线 D ．一条线段解析：因为点到两定点AB 距离之和为2＞|AB |＝2，所以该点的轨迹为椭圆．故选A. 2．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为__________________________________________________________．解析：注意到A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F ′(4，0)， 于是由双曲线性质|PF |－|PF ′|＝2a ＝4， 而|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5，两式相加得|PF |＋|PA |≥9，当且仅当A 、P 、F ′三点共线时等号成立． 答案：93．(2015·新课标Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.答案：(x －32)2＋y 2＝2544．(2015·北京卷)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________．解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a ＞0，所以1a ＝3，所以a ＝33. 答案：33。
高考数学二轮复习专题六解析几何6.2椭圆、双曲线、抛物线课件理
这样可以避免讨论和烦琐的计算． 对于ax22＋by22＝1 和ax22－by22＝1 来说，抓住 a、b、c 间的关系是关 键．
1．已知椭圆中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)是
椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( ) A.x82＋y62＝1 B.1x62 ＋y62＝1 C.x82＋y42＝1 D.1x62 ＋y42＝1
心率 e 与渐近线的斜率的关系．
例 2(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、
右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx－ay＋
2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( A )
6
3
2
1
A. 3
B. 3 C. 3
D.3
(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线ax22－by22＝1(a
解析：设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
由点(2， 3)在椭圆上得a42＋b32＝1. 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， 则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即 2a＝2·2c，ac＝12. 又 c2＝a2－b2，联立得 a2＝8，b2＝6. 即椭圆方程为x82＋y62＝1. 答案：A
高考数学二轮复习第二编专题六解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件文0212384
2．圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系
□ ①在椭圆中： 01 a2＝b2＋c2 ；离心率为 e＝ac＝
1－ab22；
□ ②在双曲线中： 02 c2＝a2＋b2 ；离心率为 e＝ac＝
1＋ab22.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程
(2)(2018·福建泉州五校联考)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0) 的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若|BC| ＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝32x C．y2＝92x
B．y2＝3x D．y2＝9x
解析 如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准 线于点 E，D，
A．x＝－1 B．y＝－1 C．x＝－2 D．y＝－2
解析 画出图形，过 A 作 AB⊥x 轴，AC 垂直于准线 l， 因为|AF|＝4，所以|BF|＝2，由已知得∠AFB＝60°，根据抛 物线的定义知|AC|＝4 且|AC|＝|BF|＋p，所以 p＋2＝4，p＝ 2.即抛物线的准线方程为 x＝－1，故选 A.
第二编 讲专题 专题六 解析几何
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
「考情研析」 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、 双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦 长、中点等)．
核心知识回顾
1．圆锥曲线的定义式 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M(l 为抛物线的准线方程)．
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专题六解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线1．椭圆的定义．平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件．(1)到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a.(2)2a＞|F1F2|.1．双曲线的定义．平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.(2)2a＜|F1F2|.3.等轴双曲线．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，离心率ey ＝±x ．1．抛物线的定义．平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．若二元方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，或曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，则必须满足以下两个条件：1．曲线上点的坐标都是二元方程f (x ，y )＝0的解(纯粹性)． 2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点(完备性)．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(√)(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．(√) (5)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)1．平面内到点A (0，1)、B (1，0)距离之和为2的点的轨迹为(A ) A ．椭圆 B ．一条射线 C ．两条射线 D ．一条线段解析：因为点到两定点AB 距离之和为2＞|AB |＝2，所以该点的轨迹为椭圆．故选A. 2．以知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为9．解析：注意到A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F ′(4，0)， 于是由双曲线性质|PF |－|PF ′|＝2a ＝4， 而|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5，两式相加得|PF |＋|PA |≥9，当且仅当A 、P 、F ′三点共线时等号成立．3．(2015·新课标Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.4．(2015·北京卷)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________．解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a ＞0，所以1a ＝3，所以a ＝33. 答案：33一、选择题1．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则实数m 等于(A )A.32或83B.32 C.83 D.38或23解析：若m ＞2，则m －2m ＝14，解得m ＝83.若0＜m ＜2，则2－m 2＝14，解得m ＝32.2. (2015·新课标Ⅱ卷)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝(C )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. ∴ 圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴ M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)，∴ |MN|＝46，故选C.3．(2015·福建卷)若双曲线E ：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于(B )A ．11B ．9C ．5D ．34．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q(2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为(A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1，2) D ．(1，－2)解析：如图，抛物线的焦点F(1，0)，准线方程l ：x ＝－1，点P 到准线的距离为|PD|.由抛物线的定义知|PF|＝|PD|，显然D ，P ，Q 共线时，|PD|＋|PQ|最小，即|PF|＋|PQ|最小．此时y P ＝－1，代入抛物线方程知x p ＝14，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1. 5. (2014·江西卷)过双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为(A )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y24＝1 解析：因为C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ba x ，所以A(a ，b)或A(a ，－b)．因此OA ＝c＝4，从而三角形OAC 为正三角形，即tan 60°＝b a ，a ＝2，b ＝23，双曲线C 的方程为x24－y212＝1. 6．(2014·全国大纲卷)双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于(C )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：由已知可知渐近线的斜率k ＝b a ＝3c 2－3且c a ＝2，即b 2a 2＝3c 2－3且1＋b 2a 2＝4解得c2－3＝1，所以c ＝2，2c ＝4.故选C.二、填空题7．(2015·北京卷)已知(2，0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b解析：由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b>0，所以b ＝ 3.8．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF解析：由y 2＝4x ，可求得焦点坐标为F(1，0)，因为倾斜角为60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，利用点斜式，直线的方程为y ＝3x －3，将直线和曲线方程联立，⎩⎨⎧y ＝3x －3，y 2＝4x⇒A(3，23)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，因此S △OAF ＝12×OF ×y A ＝12×1×23＝ 3.三、解答题9．已知圆O′过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心O′在抛物线C ：x 2＝2py 上运动，MN 为圆O′在x 轴上所截得的弦．(1)当点O′运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且M ，N 在原点O 的右侧时，试判断抛物线C 的准线与圆O′是相交、相切还是相离，并说明理由．解析：(1)设O′(x 0，y 0)，则x 20＝2py 0(y 0＞0)，则⊙O′的半径|O ′A|＝x 20＋（y 0－p ）2，⊙O ′的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－p)2.令y ＝0，并把x 20＝2py 0代入得x 2－2x 0x ＋x 20－p 2＝0. 解得x 1＝x 0－p ，x 2＝x 0＋p ， ∴|MN|＝|x 1－x 2|＝2p ， ∴|MN|不变化，为定值2p.(2)设MN 的中点为B ，则|OM|＋|ON|＝2|OB|且O′B⊥MN.又∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项，∴|OM|＋|ON|＝2|OA|，可得B(p ，0)，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2. ∴|O ′A|＝p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－p 2＝52p. 即圆O′的半径为52p. 又∵点O′到抛物线C 的准线的距离为p 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝p ＜52p.∴圆O′与抛物线C 的准线相交．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a ＋y2b ＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P(0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解析：(1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，所以c ＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l 的斜率显然存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0， 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得： k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝ 2.或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 11．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py(p ＞0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q.证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解析：(1)依题意，|OB|＝83，∠BOy ＝30°.设B(x ，y)，则x ＝|OB|sin 30°＝43，y ＝|OB|cos 30°＝12. 因为点B(43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y.(2)证法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x. 设P(x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 设M(0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立． 由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.①由于①式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0，1)．证法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x ，设P(x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 取x 0＝2，此时P(2，1)，Q(0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0，1)，M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0，1)，M 4⎝⎛⎭⎪⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M(0，1)．以下证明点M(0，1)就是所要求的点． 因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2，所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0，1)．。