高一上学期月考数学答题卡
2024-2025学年四川省成都市高一上学期10月月考数学测试试卷(含解析)
2024-2025学年四川省成都市高一上学期10月月考数学测试试卷注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知实数a ，b 满足0a b >>，则下列不等式不成立的是（）A.22a b > B.22a b b a < C.22a b ab > D.11a b<2.下列选项中正确的是（）A.若ac bc >，则a b >B.若a b >，c d >，则ac bd >C.若a b >，则11a b< D.若22ac bc >，则a b>3.已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{}2x x >- B.{}22x x -<< C.{}22x x -≤< D.{}2x x <4.已知0.540.54,log 4,0.5,a b c ===那么a ，b ，c 的大小关系为A.b c a<< B.c b a<< C.b a c<< D.c a b<<5.若函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于()A.－1B.1C.2D.－26.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A.平行四边形 B.菱形C.矩形D.正方形7.已知函数()22(1),0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()2344121x x x x x ⋅-+的取值范围是（）A.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.94⎫⎪⎭C.74⎫⎪⎭ D.39,24⎛⎤⎥⎝⎦8.若实数x ，y 满足不等式组30200x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =-+的最大值为（）A.3- B.1- C.0D.3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关系式错误的是（）A.{0}∅∈ B.{2}{1,2}⊆C.⊆Q D.0∈Z10.已知集合{}2,2,{2}A B x kx =-==，且B A ⊆，则实数k 的取值可以为（）A.1- B.0C.1D.211.已知函数2()4,R f x x ax a =-+∈，则下列叙述正确的是（）A.若对R x ∀∈都有()0f x ≥成立，则44a -≤≤B .若[1,2]x ∃∈使得()0f x ≥有解，则4a ≤C.若12,0x x ∃>且12x x ≠使得()()120f x f x ==，则4a >D.若()0f x ≤的解集是[1,4]，则5a =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，t 变动的范围是________．13.已知222,1()5,13log ,3x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，则[](4)f f 的值为______.14.对于三次函数()()320f x ax bx a cx d =++≠+给出定义：设()f x ¢是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x ¢的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数()3211533212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）已知a ，b ，c 均为正实数，若函数()f x 的最小值为t ，且满足a b c t ++=，求证：1119a b c++≥.16.已知ln()()ln()()[0)x f x ax x g x x e x-=--=-∈-，，．（1）讨论1a =-时，()f x 的单调性、极值；（2）求证：在(1)的条件下，1()()2f xg x >+；（3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．17.已知二次函数2()2f x x x a =-+.（1）判断(0)f 与(3)f 的大小；（2）判断()f x 在区间[0,1]与[1,3]的平均变化率的大小.18.已知集合A 中有三个元素：3a -，21a -，21a +，集合B 中也有三个元素：0，1，x ．（1）若3A -∈，求实数a 的值；（2）若2x B ∈，求实数x 的值．19.已知命题p :函数321()3f x x ax =+对任意1212,()x x x x <均有1212()()0f x f x x x ->-;命题: 0x q e a +>在区间[)0,∞+上恒成立.（1）如果命题p 为真命题，求实数a 的值或取值范围；（2）命题“p q∨”为真命题，“p q∧”为假命题，求实数a的取值范围.注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符2024-2025学年四川省成都市高一上学期10月月考数学测试试卷合题目要求的．1. 已知实数a ，b 满足0a b >>，则下列不等式不成立的是（ ）A. 22a b > B.22a b b a < C. 22a b ab > D.11a b<【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质即可判断.【详解】对于A ，当0a b >>时，22a b >，A 选项成立，不符合题意，故A 错误；对于B ，当0a b >>时，220a b >>，则22110b a >>，22a b b a\>，即B 选项不成立，符合题意，故B 正确；对于C ，0a b >> ，0ab ∴>，()()a ab b ab \>，即22a b ab >，C 选项成立，不符合题意，故C 错误；对于D ，当0a b >>时，11a b<，D 选项成立，不符合题意，故D 错误；故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.2. 下列选项中正确的是（ ）A. 若ac bc >，则a b > B. 若a b >，c d >，则ac bd >C. 若a b >，则11a b< D. 若22ac bc >，则a b>【答案】D 【解析】【分析】利用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.【详解】A ：只有当0c >时，才能由ac bc >推出a b >，故本选项不正确；B ：只有当0,0b d >>时，才能由a b >，c d >推出ac bd >，故本选项不正确；C ：当0,1a b ==-时，显然a b >成立，但是11a b<显然不成立,因此本选项不正确；D ：因为22ac bc >，所以0c ≠，因此本选项正确.故选：D【点睛】本题考查了不等式性质的应用，属于基础题.3. 已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B = （ ）A. {}2x x >- B. {}22x x -<< C. {}22x x -≤< D. {}2x x <【答案】C 【解析】【分析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.【详解】解：∵{}2A x x =<,{}22B x x =-≤≤,∴{}22A B x x ⋂=-≤<,故选：C.【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.4. 已知0.540.54,log 4,0.5,a b c ===那么a ，b ，c 的大小关系为A. b c a <<B. c b a<< C. b a c<< D. c a b<<【答案】A 【解析】【分析】容易看出40.5＞1，log 0.54＜0，0＜0.54＜1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．详解】∵40.5＞40＝1，log 0.54＜log 0.51＝0，0＜0.54＜0.50＝1；∴b ＜c ＜a ．故选A ．【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题．5. 若函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A. －1B. 1C. 2D. －2【【答案】B 【解析】【详解】∵函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点处取得，∵f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，∴43{1a a a ->--=或43{431a aa -≤--=，解得a ＝1，∴选B.6. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ）A. 平行四边形 B. 菱形C. 矩形 D. 正方形【答案】B 【解析】【分析】作图，先证明出四边形EFGH 为平行四边形，再由对角线相等证明出菱形即可.【详解】如图所示，∵,E F 分别为,AB BC 的中点，∴EF 为ABC V 的中位线，∴EF AC ∥，12EF AC =，同理HG AC ∥，12HG AC =，∴EF HG ∥，且EF HG =，∴四边形EFGH 为平行四边形，又∵12EH BD =，AC BD =，∴EF EH =，则四边形EFGH 菱形，故选：B.7. 已知函数()22(1),0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()2344121x x x x x ⋅-+的取值范围是（ ）为A. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 94⎫⎪⎭C. 74⎫⎪⎭ D. 39,24⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】在同一平面直角坐标系中画出y =f (x )与y a =的图象，数形结合可得12341101222x x x x <-≤<<≤<≤<≤-且122x x +=-、341x x =，从而将()2344121x x x x x ⋅-+转化为4412x x +，令1()2g x x x=+，()12x <≤，判断函数的单调性，从而求出()g x 的值域，即可得解.【详解】因为()22(1),0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，所以()01f =，()21f -=，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()21f =，又函数()21y x =+对称轴为1x =-，在同一平面直角坐标系中画出y =f (x )与y a =的图象，因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，即y =f (x )与y a =有四个交点，所以01a <≤，由图可知12341101222x x x x <-≤<<≤<≤<≤-，又1x ，2x 关于1x =-对称，即122x x +=-，又341122x x ≤<<≤，且2324log log x x =，即2324log log x x -=，则2324log log 0x x +=，所以234log 0x x =，则341x x =；所以2344441244111()22x x x x x x x x x -=++-⋅-=，令1()2g x x x=+，()12x <≤，由对勾函数的性质可知()g x 在(]1,2上单调递增，又()312g =，()924g =，所以39(),24g x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，即234412139,()24x x x x x ⎛⎤⋅-∈ ⎥+⎝⎦．8. 若实数x ，y 满足不等式组30200x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =-+的最大值为（ ）A. 3-B. 1- C. 0D. 3【答案】D 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最大值.【详解】不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：由z x y =-+可得y =x+z ，平移直线y x =，则由图像可知：当直线y =x+z 经过点(0,3)A 时，直线y =x+z 在y 轴上的截距最大，此时z 的最大值为：3故选：D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列关系式错误的是（ ）A. {0}∅∈ B. {2}{1,2}⊆C.⊆Q D. 0∈Z【答案】AC【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.【详解】A 选项由于符号∈用于元素与集合间，∅是任何集合的子集，所以应为{0}∅⊆，A 错误；B 选项根据子集的定义可知正确；C 选项由于符号⊆用于集合与集合间，C 错误；D 选项Z 是整数集，所以0∈Z 正确.故选：AC.10. 已知集合{}2,2,{2}A B x kx =-==，且B A ⊆，则实数k 的取值可以为（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】ABC 【解析】【分析】先判断0k =时， B =∅符合题意，再由0k ≠时化简集合B ，即得22k=-或2，解得结果即可.【详解】依题意B A ⊆，当0k =时， B =∅A ⊆，满足题意；当0k ≠时，2B k ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，要使B A ⊆，则有22k=-或2，解得1k =±.综上，1k =-或0或1.故选：ABC.11. 已知函数2()4,R f x x ax a =-+∈，则下列叙述正确的是（ ）A. 若对R x ∀∈都有()0f x ≥成立，则44a -≤≤B. 若[1,2]x ∃∈使得()0f x ≥有解，则4a ≤C. 若12,0x x ∃>且12x x ≠使得()()120f x f x ==，则4a >D. 若()0f x ≤的解集是[1,4]，则5a =【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式恒成立以及不等式在区间上有解，转化为求判别式的符号以及函数的最值问题，即可判断A 、B ；根据方程或不等式解（集）的情况，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，列出关系式，求解即可判断C 、D.【详解】对于A 项，由已知可得，0∆≤，即2160a -≤，解得44a -≤≤，故A 项正确；对于B 项，由已知可得[1,2]x ∃∈使得2()40f x x ax =-+≥有解，即4a x x ≤+在[1,2]x ∈上有解，只需max 4a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭即可.设()4g x x x=+，12,[1,2]x x ∀∈，且12x x <，则()()()121212121212444x x g x g x x x x x x x x x --=+--=-⋅.因为12,[1,2]x x ∈，且12x x <，所以1214x x <<，且120x x -<，所以，()()120g x g x ->，()()12g x g x >.所以，()4g x x x=+在[1,2]x ∈上单调递减，所以，()max 145g x =+=，所以5a ≤，故B 错误；对于C 项，由已知可得，2()40f x x ax =-+=有两个不相等正实根，则1212204Δ160x x a x x a +=>⎧⎪=⎨⎪=->⎩，所以124x x a +=>，故C 项正确；对于D 项，由已知可得，1和4是方程240x ax -+=的两个根，则214016440160a a a -+=⎧⎪-+=⎨⎪∆=->⎩，解得5a =，故D 项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，t 变动的范围是________．【答案】[]3,5【解析】【分析】求出征收耕地占用税后每年损失耕地，乘以每亩耕地的价值后再乘以t%得征地占用税，由征地占用税大于等于9000求解t 的范围．详解】由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为（2052-t ）万亩，则税收收入为（2052-t ）×24000×t%．由题意（2054-t ）×24000×t%≥9000，整理得t 2﹣8t+15≤0，解得3≤t≤5．∴当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．∴t 的范围是[3，5]．故答案为:[3,5]【点睛】本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．13. 已知222,1()5,13log ,3x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，则[](4)f f 的值为______.【答案】1-【解析】【分析】先求()4f ，再根据()4f 的范围求出()4f f ⎡⎤⎣⎦即可.【详解】由题可知()24log 42f ==，故()()242251f f f ⎡⎤==-=-⎣⎦.故答案为：1-.【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.14. 对于三次函数()()320f x ax bx a cx d =++≠+给出定义：设()f x ¢是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x ¢的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数()3211533212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算【12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.【答案】2021【解析】【分析】由题设对()f x 求二阶导并确定零点，进而可得对称中心1(,1)2，利用()(1)2f x f x +-=求目标式的值即可.【详解】由题设，2()3f x x x '=-+，()21''=-f x x ，令()0f x ''=，则012x =，而1111115()3123824212f =⨯-⨯+⨯-=，所以1(,1)2是()f x 的对称中心，即()(1)2f x f x +-=，所以12021220201012...22022202220222102220102202022f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且10111120222f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2101012021⨯+=.故答案为：2021.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）已知a ，b ，c 均为正实数，若函数()f x 的最小值为t ，且满足a b c t ++=，求证：1119a b c++≥.【答案】（1）[]1,4- （2）证明见详解.【解析】【分析】（1）转化为分段函数解不等式即可；（2）由（1）知t ，运用基本不等式证明即可.【小问1详解】由条件可知：()32,1121,1223,2x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤时，()[]3251,1f x x x =-≤⇒∈-，当12x <<时，()()151,2f x x =≤⇒∈，当2x ≥时，()[]2352,4f x x x =-≤⇒∈，综上()5f x ≤的解集为[]1,4-；【小问2详解】由（1）可知当1x ≤时，()321f x x =-≥，1x =时取得最小值，当12x <<时，()1f x =，当2x ≥时，()231f x x =-≥，2x =时取得最小值，综上，故()min 1f x =，即1t a b c =++=，则1113a b c a b c a b c b a c a c b a b c a b c a b a c b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵a ，b ，c 均为正实数，∴2,2,2b a c a b c a b a c c b +≥=+≥=+≥=，当且仅当13a b c ===时取得等号，即332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故1119a b c++≥.16. 已知ln()()ln()()[0)x f x ax x g x x e x-=--=-∈-，，，．（1）讨论1a =-时，()f x 的单调性、极值；（2）求证：在(1)的条件下，1()()2f xg x >+；（3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 当1e x -≤<-时()f x 单调递减；当10x -<<时，此时()f x 单调递增；()f x 的极小值为(1)1f -=；(2) 证明过程见详解；(3)存在实数2a e =-，使得当[)0x e ∈-，时，()f x 有最小值3．【解析】【分析】(1) 先对函数求导，得到∵11'()1x f x x x+=--=-，利用导数的方法研究函数单调性，进而可求出极值；(2) 先由（1）求出min |()|1f x =；再令1ln()1()()22x h x g x x -=+=-+，用导数方法研究()h x 单调性，求出()h x 的最大值，进而可证明结论成立；(3) 先假设存在实数a ，使()ln()f x ax x =--有最小值3，用分类讨论的思想，分别讨论 1a e≥-，1a e<-两种情况，结合导数的方法，即可得出结果.【详解】(1) ∵11()ln()'()1x f x x x f x x x+=---=--=-，∴ 当1e x -≤<-时，'()0f x <()f x ，此时单调递减；当10x -<<时，'()0f x >，此时()f x 单调递增；∴()f x 的极小值为(1)1f -=；(2) 因为()f x 的极小值即()f x 在[0)e -，上的最小值为1，所以min |()|1f x =；令1ln()1()()22x h x g x x -=+=-+又∵2ln()1'()x h x x --=∴ 当0e x -≤<时，'()0h x ≤；∴()[0)h x e -在，上单调递减；∴max min1111()()1()222h x h e f x e =-=+<+==∴ 当[0)x e ∈-，时，1()()2f xg x >+；(3) 假设存在实数a ，使()ln()f x ax x =--有最小值3，1[0)'()x e f x a x∈-=-，，①当1a e≥-时，由于[0)x e ∈-，，则1'()0f x a x=-≥；∴ 函数()ln()f x ax x =--是[0)e -，上的增函数，∴min ()()13f x f e ae =-=--=，41a e e=-<-解得（舍去）②当1a e <-时，则当1e x a -≤<时，1'()0f x a x =-<，此时()ln()f x ax x =--是增函数；当10x a <<，1'()0f x a x=->，此时()ln()f x ax x =--是增函数；∴min 11()()1ln()3f x f a a==--=，解得2a e =-；由①、②知，存在实数2a e =-，使得当[)0x e ∈-，时，()f x 有最小值3．【点睛】本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性、极值、证明不等式等问题，属于常考题型.17. 已知二次函数2()2f x x x a =-+.（1）判断(0)f 与(3)f 的大小；（2）判断()f x 在区间[0,1]与[1,3]的平均变化率的大小.【答案】（1）(0)f <(3)f（2）()f x 在区间[0,1]的平均变化率小于在[1,3]的平均变化率【解析】【分析】（1）将自变量代入函数式直接运算再比较大小；（2）直接根据平均变化率的定义求解并比较大小即可.【小问1详解】因为2()2f x x x a =-+，所以(0)f a =，(3)3f a =+，所以(0)f <(3)f .【小问2详解】()f x 在区间[0,1]的平均变化率为(1)(0)10f f f -=-（1）(0)11f a a -=--=-，()f x 在区间[1,3]的平均变化率(3)(1)42312f f -==-，所以()f x 在区间[0,1]的平均变化率小于在[1,3]的平均变化率.18. 已知集合A 中有三个元素：3a -，21a -，21a +，集合B 中也有三个元素：0，1，x ．（1）若3A -∈，求实数a 的值；（2）若2x B ∈，求实数x 的值．【答案】（1）a 的值为0或1- （2）x 的值为1-【解析】【分析】（1）若3A -∈，则33a -=-或213a -=-，再结合集合中元素的互异性，能求出a 的值．（2）当x 取0，1，1-时，都有2x B ∈，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数x 的值．【小问1详解】集合A 中有三个元素：3a -，21a -，21a +，3A -∈，33a ∴-=-或213a -=-，解得0a =或1a =-，当0a =时，{3A =-，1-，1}，成立；当1a =-时，{4A =-，3-，2}，成立．a ∴的值为0或1-．【小问2详解】集合B 中也有三个元素：0，1，x ，2x B ∈，当x 取0，1，1-时，都有2x B ∈，集合中的元素都有互异性，0x ∴≠，1x ≠，1x ∴=-．∴实数x 的值为1-．19. 已知命题p :函数321()3f x x ax =+对任意1212,()x x x x <均有1212()()0f x f x x x ->-; 命题: 0x q e a +>在区间[)0,∞+上恒成立.（1）如果命题p 为真命题，求实数a 值或取值范围；（2）命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a =（2）()()1,00,-+∞ 【解析】【分析】（1）根据p 为真命题先判断出()f x 的单调性，然后利用()0f x '≥分析a 的取值或取值范围；（2）先分别求解出,p q 为真时a 的取值范围，然后根据含逻辑联结词的复合命题的真假判断出,p q 的真假，从而求解出a 的取值范围.【详解】（1）121212()()0 ()()f x f x x x f x x x -><⇔-在R 上单调递增则2()20'=+≥f x x ax 对(),x ∈-∞+∞恒成立的∴2=400a a ∆≤⇒=；（2）0x e a +>在区间[)0,∞+上恒成立，即x a e >-在区间[)0,∞+上恒成立，命题q 为真命题：即()maxxa e>-，所以1>-a ，由命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题知,p q 一真一假若p 真q 假，a φ∈若p 假q 真，则()()1,00,-+∞ 综上所述，()()1,00,a ∈-+∞ 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据含逻辑联结词的复合命题真假求解参数范围，其中涉及到用分离参数法解决恒成立问题，属于综合型问题，难度一般.（1）注意定义法判断函数单调性的转换：121212()()0 ()()f x f x x x f x x x ->≠⇔-在定义域内单调递增，121212()()0 ()()f x f x x x f x x x -<≠⇔-在定义域内单调递减；（2）根据含逻辑联结词的复合命题的真假求解参数范围时，注意先判断各命题的真假..。
2024-2025学年广西贵港市桂平市高一上学期12月月考数学教学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年广西贵港市桂平市高一上学期12月月考数学教学质量检测试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第五章5.2．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．与角终边相同的角是（ ）20-︒A ．B ．C ．D ．300-︒280-︒320︒340︒2．已知集合，，则（ ）3{|log (32)1}A x x =-<121{|()3}3xB x -=<A B = A ．B ．C ．D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭(,1)-∞5(,)3-∞5(1,)33．小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，()y f x =()1,2x ∈()10f <，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（ ）()20f >()1.50f <A ．B ．C ．D ．()0.5f ()1.125f ()1.25f ()1.75f 4．已知，则的最大值为（ ）2246a b +=ab A ．B ．C ．D ．33432525．已知函数，则（ ）231221x x f x x +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭72f ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．B ．C ．3D ．5374236．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）17m <-()()23215f x x m x =-+--(],6-∞A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．已知，则（ ）tan 5α=2sin 3cos 3sin 2cos αααα+=-A ．B ．1C ．D ．1713357138．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，()f x R 0x ≤()2321f x x x a =-++()213f =则（ ）=a A ．1B ．3C ．D ．3-1-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）()f x xα=18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．是奇函数23α=-()f x C ．是偶函数D ．在上单调递增()f x ()f x (),0∞-10．下列每组函数不是同一函数的是（ ）A ．，()293x f x x -=+()3g x x =-B ．()f x =()g x x=C ．()f x =()g x =D ．，()32231f x x x =+-()32231g t t t =+-11．下列说法正确的是（ ）A ．若，则22a b cc <a b <B ．若，则,a b cd >>a c b d->-C ．若，则,a b c d >>ac bd >D ．若，则0,0a b m >>>b m ba m a+>+12．已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且()f x R x y ()()()1f x y f x f y -=-+，当时，．则下列选项正确的是（ ）()10f =0x >()1f x <A ．B ．()01f =()22f =-C ．为奇函数D ．为上的减函数()1f x -()f x R 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，则.()sin 0,2π=∈x x x =14．函数（且）的图象恒过定点.()log 325a y x =++0a >1a ≠15．已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则()f x R ()f x [0,)+∞(3)0f =不等式的解集为 .(21)0xf x -<16．已知实数，，且，则的最小值为．0a >0b >321a b +=1b a +四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知集合，集合．}0A =>113B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭(1)当时，求；0a =A B ⋂(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．x A ∈x B ∈a 18．已知函数是幂函数，且．()()2312443mm f x m m x+-=-()()35f f <(1)求实数m 的值；(2)若，求实数a 的取值范围．()()2134f a f a +<-19．已知函数．()223xxf x -+=(1)若，求实数x 的取值范围；()1f x ≥(2)求的值域．()f x 20．已知函数．235()log 3()4f x ax x a a ⎛⎫=+++∈ ⎪⎝⎭R (1)若的定义域为，求实数a 的取值范围；()f x R(2)若在上单调递增，求实数a 的取值范围．()f x 11,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭21．已知函数，且．2()f x ax x =+(2)1f -=(1)证明：在区间上单调递减；()f x (0,)+∞(2)若对恒成立，求实数的取值范围．1()21t f x t -≤+[1,)x ∀∈+∞t 22．已知函数.1134()49(83)3(R)93x x f x a a a a -=⨯+-⨯+-∈(1)若，求的值域；14a =()f x (2)若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，38a >m ()n m n <()f x [,]m n ()f x 11],[33m n ++求实数的取值范围.a1．D【分析】根据终边相等的角的集合即可取求解.1k =【详解】因为与角终边相同的角是，，20-︒20360k -︒+︒Z k ∈当时，这个角为，1k =340︒只有选项D 满足，其他选项不满足.Z k ∈故选：D.2．A【分析】根据指数函数与对数函数的性质解不等式求出集合，利用交集的运算求出结果.,A B 【详解】∵，(){}(){}{}33325log 321log 32log 30323,33A x x x x x x ⎛⎫=-<=-<=<-<= ⎪⎝⎭，{}()121211113121,1333x x B x x x x ∞---⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<=->-=-⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭∴.2,13A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故选：A.3．D【分析】根据二分法的计算方法即可判断.【详解】因为，，，则根应该落在区间内，()10f <()20f >()1.50f <()1.5,2根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即.()1.75f 故选：D.4．B【分析】根据基本不等式的变形形式直接求解.【详解】由题意得，，即，()222262422ba b a b a =+≥⋅=⋅+32ab ≤当且仅当，即2a b =a b ==a b ==所以的最大值为.ab 32故选：B 5．D【分析】令得，代入解析式求解.3172x x +=x 【详解】令得，3172x x+=2x =故，27321222222123f f ⨯+⨯⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故选：D 6．B【分析】根据函数的单调性可得出关于实数的不等式，解出的取值范围，利用集()f x m m 合的包含关系判断可得出结论.【详解】若函数在区间上单调递增，()()23215f x x m x =-+--(],6-∞则，解得，()2166m -≥17m ≤-因为，{}17m m <-{}17m m ≤-因此，“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要17m <-()()23215f x x m x =-+--(],6-∞条件，故选：B.7．B【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果．【详解】，2sin 3cos 2tan 325313sin 2cos 3tan 2352αααααα++⨯+===--⨯-故选：B ．8．D【分析】由偶函数的性质得列式求解．()213f -=【详解】因为函数是定义在上的偶函数，()f x R 所以，解得．()()2223222113f f a -==⨯+++=1a =-故选：D 9．ACD【分析】根据幂函数经过的点得其表达式()23f x x-==项逐一求解.【详解】因为函数的图象过点，所以，即，所以()f x xα=18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭184α=232223αα-=⇒-=，故A 正确：23α=-，定义域为，关于原点对称，所以()23f x x-==()()0,,0+∞⋃-∞，所以是偶函数，故B 错误，C 正确：()()f x f x -===()f x 又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递0α<()f x ()0,∞+()f x ()f x (),0∞-增，故D 正确．故选：ACD ．10．ABC【分析】利用函数的概念，从函数的三要素分析是否为同一函数，逐一研究每个选项即可.【详解】对于选项A ：的定义域是，的定义域为R ，定()293x f x x -=+{|3}x x ≠-()3g x x =-义域不同，故不是同一函数；对于选项B ：，对应法则不同，故不是同一函数；()||f x x ==()g x x=对于选项C ：由得或，所以的定义域是2410x -≥12x ≤-12x ≥()f x =，11(,[,)22-∞-+∞ 由得，所以，定义域不同，故不是210210x x -≥⎧⎨+≥⎩12x ≥()g x =1[,)2+∞同一函数；对于选项D ： 与三要素相同，仅表示自变量的字母不同，()32231f x x x =+-()32231g t t t =+-是同一函数.故选：ABC 11．AD【分析】根据不等式的性质即可判断A ，举反例即可求解BC ，作差法即可判断D.【详解】因为，所以，所以，故A 正确；22a bcc <20c >a b <当时，，故B 错误；1,0,0,2a b c d ====-a c b d -<-当时，，故C 错误；1,1,2,3a b c d ==-=-=-ac bd <，又，所以，即()()()()()b m a b a m a b mb m b a m a a m a a m a+-+-+-==+++0,0a b m >>>0b m ba m a +->+，故D 正确.b m ba m a +>+故选:AD.12．ACD【分析】特殊值代入计算即可得到A 正确，特殊值代入可得B 错误，经过变换可得到C 正确，根据函数的单调性的定义得到D 正确.()()()1f x y f x f y -=-+【详解】对于A ，由题可知，故，故A 正确；()()()0001f f f =-+()01f =对于B ，由题可知，，故B 错误；()()()10112f f f -=-+=()()()21111f f f =--+=-对于C ，，故，为奇函数，()()()()0012f x f f x f x -=-+=-()()11f x f x --=--⎡⎤⎣⎦()1f x -故C 正确；对于D ，当时，，12x x >()()()121210f x f x f x x -=--<，12120xx x x >∴-> ，()1210f x x ∴--<是上的减函数，故D 正确.()f x ∴R 故选：ACD 13．或5π47π4【分析】根据任意角三角函数的定义分析求解.【详解】因为，所以或.()sin 0,2π=∈x x 5π4x =7π4故或.5π47π414．1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】令可求出过定点的横坐标，代入函数中可求出其纵坐标，从而可求得结果.321x +=【详解】令，解得，又，321x +=13x =-1log 32553ay ⎡⎤⎛⎫=⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以函数（且）的图象恒过定点.()log 325a y x =++0a >1a ≠1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭故1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭15．()(),10,2-∞-⋃【分析】由偶函数的性质及在区间上单调递增，分别解不等式，()f x [0,)+∞()210f x -<，进而可得出答案.()210f x ->【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，()f x R ()()()f x f x f x -==又在区间上单调递增，()f x [)0,∞+由，得，解得.()()()212103f x f x f -=-<=213x -<12x -<<由，得，解得或.()()()212103f x f x f -=->=213x ->1x <-2x >所以，即或解得或，()210xf x -<()0,210x f x >⎧⎨-<⎩()0,210,x f x <⎧⎨->⎩02x <<1x <-所以不等式的解集为.()210xf x -<()(),10,2-∞-⋃故答案为.()(),10,2-∞-⋃16．5+5+【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】由已知可得，1132b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3223ab ab =+++3525ab ab =++≥+当且仅当，且，即32ab ab =321a b +=a =3b =所以，的最小值为.1b a +5+故答案为.5+17．(1)或；{=12A B x x ⋂<<}3x >(2)2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）当时，求出集合，求出集合，再由交集的定义求解即可；0a =A B （2）根据充分条件的定义，结合集合子集的性质进行求解即可.【详解】（1）当时，0a =}{}01A x x =>=>或，{1123B x x x x ⎧⎫=<=<⎨⎬-⎩⎭}3x >所以或；{=12A B x x ⋂<<}3x >（2），}{}031A x x a =>=>+或，{1123B x x x x ⎧⎫=<=<⎨⎬-⎩⎭}3x >因为若是的充分条件，x A ∈x B ∈所以.A B ⊆所以，解得.313a +≥23a ≥所以实数a 的取值范围是.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18．(1)1m =(2)11,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据幂函数定义可求得实数m 的所有可能取值，再根据即可得出()()35f f <结果；（2）根据幂函数的解析式可求得其定义域，再利用幂函数的单调性即可求出实数a 的取值范围.【详解】（1）因为是幂函数，所以，()()2312443mm f x m m x+-=-2431m m -=解得或．1m =14m =-当时，，此时，，显然不符合题意：14m =-()98f x x -=()9833f -=()9855f -=()()35f f >当时，，此时，，满足，符合题意．1m =()34f x x=()3433f =()3455f =()5(3)f f <综上，；1m =（2）因为，所以的定义域为，且在上单调递增，()34f x x =()f x [)0,∞+[)0,∞+由，()()2134f a f a +<-得，解得，2103402134a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩1123a -≤<即实数a 的取值范围为11,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭19．(1)[]0,2(2)(]0,3【分析】（1）根据指数函数单调性可得，结合二次不等式运算求解即可；220x x -+≥（2）根据二次函数分析可知，结合指数函数性质求值域.221x x -+≤【详解】（1）因为，且在定义域上单调递增，()220313x x f x -+=≥=3xy =R 则，解得，220x x -+≥02x ≤≤所以实数x 的取值范围为.[]0,2（2）因为，当且仅当时等号成立，()222111x x x -+=--+≤1x =且在定义域上单调递增，则，3x y =R ()221333x x f x -+=≤=又因为，所以的值域为.()2230x x f x -+=>()f x (]0,320．(1)(1,)+∞(2)8,617⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意，对恒成立，讨论的范围，列出条件解出即25304ax x a +++>x ∈R a 可；（2）讨论的范围，根据复合函数的单调性的性质结合定义域列出条件，解出即可.a 【详解】（1）若的定义域为，()f x R即对恒成立．25304ax x a +++>x ∈R 当时，不符合题意；0a ≤当时，，0a >Δ0<即，解得，59404a a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭1a >所以实数a 的取值范围是；(1,)+∞（2）当时，，符合题意；0a =35()log 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，a<031,2811530,1644a a a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪+⨯-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩解得，所以；817a ≥-8017a -≤<当时，解得．0a >11530,164431,24a a a ⎧⎛⎫+⨯-++≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-≤-⎪⎩06a <≤综上，实数a 的取值范围是．8,617⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21．(1)证明见解析；(2).12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由条件列方程求，再根据减函数的定义证明在区间上单调递减；a ()f x (0,)+∞(2)由条件可得，解不等式求的取值范围．[]max 1()21t f x t -≤+t 【详解】（1）因为，，所以，解得，所以2()f x ax x =+(2)1f -=2212a -+=-1a =-，()2f x x x =-+任取实数，且，则()12,0,x x ∈+∞12x x <，()()()12122112122221f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，所以，，120x x <<210x x ->12210x x +>所以，即，所以在区间上单调递减；()()120f x f x ->()()12f x f x >()f x ()0,∞+（2）由（1）知，在上单调递减，所以，()f x [)1,+∞()()max 1121f x f ==-+=⎡⎤⎣⎦因为对恒成立，所以，()121t f x t -+≤[)1,x ∀∈+∞()max 121t f x t -⎡⎤≤⎣⎦+即，化简得，解得，1121t t -+≤2021t t +≤+122t -<-≤即实数t 的取值范围是．12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭22．(1)[)1,-+∞(2)12,113⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）首先得到解析式，令结合二次函数的性质求出函数的值()f x ()3,0,x u u ∞=∈+域；（2）首先可得在上单调递增，则问题转化为在上有两个不同的实数解，()f x R ()13x f x +=R 令，则问题转化为在上有两个不同的实数解，根据3x t =28134440393a a at t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭()0,∞+一元二次方程根的分布得到不等式组，解得即可.【详解】（1）若则，令，14a =()1359336x x f x -=--()3,0,x u u ∞=∈+令，二次函数开口向上，对称轴为，()235,0,336u y u u ∞=--∈+16u =所以当时，16u =2min 11135163636y ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭所以的值域为；()f x [)1,-+∞（2）因为，所以在上单调递增，38a >()f x R 所以当的定义域为时，的值域为，()f x [],m n ()f x ()(),f m f n ⎡⎤⎣⎦即，()()1133m n f m f n ++⎧=⎪⎨=⎪⎩即在上有两个不同的实数解，()13x f x +=R 即在上有两个不同的实数解，813449430393x x a a a ⎛⎫⨯+-⨯+-= ⎪⎝⎭R 令，所以在上有两个不同的实数解，()3,0,xt t =∈+∞28134440393a a at t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭()0,∞+所以，解得，2843081340938134Δ4440393a a a a a a ⎧-⎪->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫⎛⎫=--⨯->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎩12113a <<所以实数的取值范围为.a 12,113⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2024-2025学年甘肃省兰州市高一上学期12月月考数学质量检测试题(含答案)
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间122024-2025学年甘肃省兰州市高一上学期12月月考数学检测试题0分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.）1．已知集合()(){}140A x x x =∈--≤N ，{}03B x x =<<，则A B = （）A ．{}1,2B ．()1,3C ．{}2,3D ．[)1,32．函数3()lg 1f x x x=-+的零点所在区间为（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．已知 1.133log 2,2,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．b c a>>D ．c b a>>4．幂函数()223()1mm f x m m x+-=--在(0,)+∞上是增函数，则实数m 的值为（）A ．2或1-B ．1-C ．2D ．2-或1-5．若()0,πα∈，且1cos sin 2αα-=，则tan α=（）ABCD6．已知函数()()()()f x x a x b a b =-->的图象如下图所示，则()xg x a b =-的图象可能是（）A ．B．C ．D ．7．若函数212()log (3)f x x ax a =-+在区间(2,)+∞上是减函数，则a 的取值范围为（）A ．(,4]-∞B ．(4,4]-C ．[4,4)-D ．[4,4]-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．下列结论正确的是（）A ．若角α为锐角，则角2α为钝角B ．4π3-是第三象限角C ．若角α的终边过点()43P ,-，则4cos 5α=-D ．若圆心角为π6的扇形的弧长为π2，则该扇形面积为3π410．下列说法正确的是（）A ．函数()2212x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是()1,+∞B ．函数1y x =+与1y =是同一函数C ．函数()2321x x f x +=+，则函数=的值域是(1,3)D ．已知函数()f x 的定义域为[)1,3-，则2+1定义域为[]1,1-11．已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<第Ⅱ卷（非选择题）三、非选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.）12．已知π1sin()33α+=，则πcos()6α-的值为.13．已知函数11x y a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点(),k b ，若m n k +=且0m >，0n >，则41m n+的最小值为.14．若函数()21,0221,0xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩，若()f x 在区间(),m n 上既有最大值，又有最小值，则n m -的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(13分)计算下列各式的值：(1)21103227()(0.002)2)8---+-+；(2)5log 45551log 452log log log 18550+-+；(3)化简：()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πααααα⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⋅-.16．(15分)已知π2sin(π)sin 323π135cos 3cos(2π)2x x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭.(1)求tan x 的值；(2)若sin x ,cos x 是方程20x mx n -+=的两个根，求23+m n 的值.1()42.0()()x x f x m m f x f x m +=--=17.(15分)已知函数（1）当时，求函数的零点；（2）若函数有两个零点，求实数 的取值范围.18．(17分)某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量y （毫克）与开始注射后的时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线，y 与t 的函数关系为(0t y m a a =>且1)a ≠.根据图中提供的信息：(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y （毫克）关于时间t （小时）的函数关系式；(2)据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）.（参考值：ln20.69,ln5 1.61≈≈）19．(17分)已知函数()2()log 41xf x mx =++.(1)若()f x 为偶函数，求实数m 的值；(2)当0m =时，若不等式[]441log (21)2x x f a ->+对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0m >时，关于x 的方程()242148log 2log 41f x x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦在区间[1,上恰有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.）题号12345678答案ACCCDCDD二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.第Ⅱ卷（非选择题）三、非选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.）12．1313．914．(]1,3四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(13分)解（1）原式213323142)112500954--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭416720199=++=-.（2）原式()11125255log 592log 2log 50log 184--=⨯+--+()5551log 91log 50log 184=++-+-+()555log 9log 252log 184=+⨯-+555log 92log 2log 184=++-+()55log 292log 1846=⨯+-+=；（3）()()()()()π3πsin cos tan πcos sin tan 22cos tan πsin πtan sin ααααααααααα⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪-⋅⋅-⎝⎭⎝⎭==--⋅--⋅-题号91011答案CDABCCD高一数学答案16．(15分)解（1）因为π2sin(π)sin 323π135cos 3cos(2π)2x x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，所以2sin cos 35sin 3cos 13x x x x -=+，所以2tan 135tan 313x x -=+，解得tan 2x =；（2）因为sin x ，cos x 是方程20x mx n -+=的两个根，所以sin cos sin cos x x m x x n+=⎧⎨=⎩，∴()223sin cos 3sin cos 15sin cos m n x x x x x x +=++=+，又2222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1215x x x x x x x x ====+++，∴2231535m n +=+⨯=．17.（15分）.1)(.1,22,0240)(24)(0m .11211的零点是函数即则令时，当）（解：x f x x f x f x x x x x x ∴===-=-==+++.01.01,,022044,0)0(0022)(.2,02.22)2(222)(22x 2x 22），的取值范围是（实数）上有两解，，在（方程是单调函数，有两个零点，且函数则，显然令）（-∴<<-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->+=∆>-=∴∞+=--∴=--=>=-⋅-=-⋅-=m m m m f m t t t x f m t t y t t m m x f x x x x 18.(17分)（1）当102t ≤≤时，设y kt =，将1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kt =得122k =，解得4k =，此时，4y t =；当12t >时，设(0t y ma a =>且1)a ≠，将1,22⎛⎫⎪⎝⎭､（1，1)代入t y ma =得1221ma ma⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得144a m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，此时，11444tt y -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.综上：114,0214,2t t t y t -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩.（2）当102t <≤时，40.08t ≥，解得10.022t ≤≤当12t >时，140.08t -≥，即ln51ln22t ≤+而ln51 2.83ln22+≈，故12.832t ≤≤药效时间 2.830.02 2.81=-=所以，药效时间2.81小时.19．(17分)解（1）()2()log 41xf x mx =++定义域为R.因为()f x 为偶函数，所以(1)(1)f f -=，即()()2112log 41log 41m m -+-=++，解得：m =-1.此时，()2()log 22x xf x -=+所以()2()log 22()x xf x f x --=+=所以()2()log 22x xf x -=+为偶函数，所以m =-1.（2）当0m =时，不等式[]441log (21)2x x f a ->+可化为：241log (22)2x x a ->+，即241log (22)2x x a ->+对任意1x ≥恒成立.记()()14122,2x x x x g x x --==-≥，只需()2min log (22)g x a >+.因为2x y =在()1,+∞上单增，2x y -=-在()1,+∞上单增，所以()22x xg x -=-在()1,+∞上单增，所以()()min 131222g x g ==-=，所以()23log 222210a a ⎧+<⎪⎨⎪+>⎩，解得：112a -<<，即实数a的取值范围为112⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3）当0m >时，()2log 41xy =+在R 上单增，y mx =在R 上单增，所以()()2log 41x f x mx =++在R 上单增且()()020log 411f =+=.则()242148log 2log 41f x x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦可化为()()242148log 2log 40f x f x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦.又因为()f x 在R 上单增，所以()242148log 2log 40x x m ++-=，换底得：2222log 482log 40log 4x x m ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即()22242log 2log 40x x m -+-=.令2log t x =，则30,2t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，问题转化为242240t t m -+-=在30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两根，即243224,0,2t t t m ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦，令213224,0,2y t t t ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦，24y m =，分别作出图像如图所示：只需4942m ≤<，解得：819m <≤.即实数m 的取值范围为8,19⎛⎤⎥⎝⎦.。
2024-2025学年重庆市江北区高一上学期10月月考数学检测试题(含解析)
2024-2025学年重庆市江北区高一上学期10月月考数学检测试题考试范围：1.1-3.1；考试 注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，集合，则（{}13A x x =-<<{}24B x x =≤<{}14C x x =-<<）A. B. C. D.A B B= A B =∅C B =∅I A C C= 2. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）0a b c >>>R d ∈A. B.44a b>11a c +>+C. D. ad cd>211bc c +>+3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A .B. 2(),()x f x x g x x ==()(),()()f x x x Rg x x x Z =∈=∈C.D. ,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩2(),()f x x g x ==4. 函数的图象是（）xyx x =+A. B.C.D.5. 已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（ ）:12p x -≤:q x a >q p A. B. C. D. 3a >1a ≤-1>-a 1a <-6. 若不等式，，则的取值范围是12ab <-≤24a b ≤+<42a b -A.B.C.D.[]5,10()5,10[]3,12()3,127. 定义，若函数，且在区{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+()f x 间上的值域为，则区间长度的最大值为（ ）[,]m n 37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦[,]m n A. 1B. C. D. 74114728. 设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有R ()f x ()02f =x R y ∈，则()()()()1223f xy f x f y f y x +=⋅--+y =A.B.C. D.[)2,-+∞[)1,-+∞(−∞,1](],2∞-二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 已知全集，集合，，则图{}2,1,0,1,2,3,4U =--{}2Z 6A x x x =∈-<{}2,0,1,3B =-中阴影部分所表示的集合为（ ）A.B. C.D.{}1,2-()A B B ⋃ð()U A B ⋂ð()()UUA B ⋂ðð10. 已知正数满足，则（ ）,a b 44a b +=A. B. 1ab≤5a +≤C. D. 414184ab ab a b +++≥14254a b+≥11. 波恩哈德·黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：[]0,1，下列关于黎曼函数的说法正确的是（）1,(,Z ,,)()001(0,1)p x p q p q qq L x x *⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩互质，或或内的无理数A.B.()()1L x L x =-()()()L a L b L ab ≤C.D. 关于的不等式的()()()L a b L a L b +≥+x ()1155L x x >+解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数，则______________．1=+fx ()f x =13. 若不等式的解集为，则不等式的解集为2510ax x ++≤1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭13x a x -≤-______.14. 已知，，则的最小值是______.当取最小0,0,0a b c >>>22950a ab b c -+-=c ab cab 值时，恒成立，则的取值范围是_______.2133m m a b c-≥+-m 四、解答题：本题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知集合，，.122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭|{}21B x m x m =≤≤+|（1）当时，求；0m =R ()A B ð（2）若，求实数的取值范围.A B A = m 16. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，p []0,1x ∈2234x m m -≥-q []1,1x ∈-使得不等式成立.2210x x m -+-≤（1）若为真命题，求实数的取值范围；p m （2）若p ，q 一真一假，求实数的取值范围.m 17. 已知函数，()222y ax a x =-++a ∈R（1）恒成立，求实数的取值范围；32y x <-a （2）当时，求不等式的解集；0a >0y ≥18. 安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提《》出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标.识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过.新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果.树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：.P（）x （），且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如()()242(02)36(26)1x x P x xx x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩16x （培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，）(2005)x +./且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元．()f x ）（1）求函数的解析式f x （）;（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少?19. 已知集合A 为非空数集.定义：{}|,,,{|,,}S x x a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈（1）若集合，直接写出集合S ，T ；{1,3}A =（2）若集合且．求证：；{}12341234,,,,,A x x x x x x x x =<<<T A =423x x =（3）若集合记为集合A 中元素的个数，求{}|02024,N ,A x x x S T ⊆≤≤∈⋂=∅，A的最大值.A2024-2025学年重庆市江北区高一上学期10月月考数学检测试题考试范围：1.1-3.1；考试 注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，集合，则（{}13A x x =-<<{}24B x x =≤<{}14C x x =-<<）A. B. C. D.A B B= A B =∅C B =∅I A C C= 【正确答案】D【分析】根据交集、并集的定义计算可得.【详解】因为集合，集合，集合，{}13A x x =-<<{}24B x x =≤<{}14C x x =-<<所以，，{}|14A B x x B ⋃=-<<≠{}|23A B x x ⋂=≤<≠∅，，{}24C B x x B ⋂=≤<=≠∅{}14A C x x C⋃=-<<=故正确的只有D.故选：D2. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）0a b c >>>R d ∈A. B.44a b>11a c +>+C. D. ad cd >211bc c +>+【正确答案】A【分析】利用不等式性质，结合特殊值法逐项判断即可.【详解】对于A ，由，得，A 正确；0a b >>44a b >对于B ，取，，则，B 错误；1a =4c =-1231|a c +==+对于C ，取时，得，C 错误；0d =0ad cd ==对于D ，取，，得，D 错误.1b =1c =-21021bc c +=<=+故选：A3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.B. 2(),()x f x x g x x ==()(),()()f x x x Rg x x x Z =∈=∈C.D.,0(),(),0x x f x x g x x x≥⎧==⎨-<⎩2(),()f x x g x ==【正确答案】C【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数的定义域为，函数的定义域为()f x x =R 2()x g x x =，(,0)(0,)-∞+∞ 两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数和的定义域不同，不是同一函数；()()f x x x R =∈()()g x x x Z =∈对于C 中，函数与的定义域相同，对应法则也相,0(),0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩同，所以是同一函数；对于D 中，函数的定义域为，的定义域为，两函数的定义()f x x =R 2()g x =[0,)+∞域不同，不是同一函数.故选：C.本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.4. 函数的图象是（）xyxx =+A. B.C.D.【正确答案】D【分析】将函数分段表示出，再直接判断即可.【详解】依题意，，因此函数的图象为选项D.1,01,0x x xy x x x x +>⎧=+=⎨--<⎩x y x x =+故选：D 5. 已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（ ）:12p x -≤:q x a >q p A. B. C. D. 3a >1a ≤-1>-a 1a <-【正确答案】D【分析】解不等式，根据充分必要性列出不等式，进而得解.【详解】，即，:12p x -≤ 13x -≤≤又是的必要不充分条件，q p 所以，1a <-故选：D.6. 若不等式，，则的取值范围是12a b <-≤24a b ≤+<42a b -A.B.C.D.[]5,10()5,10[]3,12()3,12【正确答案】B【详解】分析：用变量替换，再得出解集,a b x a b y -=+=详解：(),,12,244a 2b 3x y 5,10a b x a b y x y -=+=<≤≤<∴-=+∈点睛：不等式只能线性运算,．7. 定义，若函数，且在区{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+()f x 间上的值域为，则区间长度的最大值为（ ）[,]m n 37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦[,]m n A. 1B. C. D. 7411472【正确答案】B【分析】根据定义作出函数的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利()f x 用数形结合进行判断即可．【详解】其中，，(1,1)A (3,3)B 即，()233,133313x x x f x x x x ⎧--≤≥=⎨-+⋅<<⎩或当时，当或时，由，得，3()4f x =3x ≥1x ≤33|3|4x --=9|3|4x -=即或，34C x =214G x =当时，当时，由，得，7()4f x =13x <<27334x x -+=52E x =由图象知若在区间，上的值域为，，则区间，长度的最大值为()f x [m ]n 3[47]4[m ]n ，537244E C x x -=-=故选：．B 利用数形结合思想作出函数的图象，求解的关键是对最小值函数定义的理解.8. 设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有R ()f x ()02f =x R y ∈，则()()()()1223f xy f x f y f y x +=⋅--+y =A.B.C. D.[)2,-+∞[)1,-+∞(−∞,1](],2∞-【正确答案】A【分析】通过赋值法求出函数解析式，然后令，即可求出函数()y f x =()0f x ≥的定义域.y =【详解】令，得，0x y ==()()()2102033f f f =-+=令，则，①1y =()()()()132123323f x f x f x f x x +=--+=--令，则，即，②1x =()()()()132231f y f y f y f y +=--+=+()()11f x f x +=+联立①②得，解得，()()()()132311f x f x xf x f x⎧+=--⎪⎨+=+⎪⎩()2f x x =+对于函数，令，解得.y ==20x +≥2x ≥-因此，函数，故选A.y =[)2,-+∞本题考查抽象函数解析式的求解，解题时要充分利用已知条件利用赋值法求解，考查运算求解能力，属于中等题.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 已知全集，集合，，则图{}2,1,0,1,2,3,4U =--{}2Z 6A x x x =∈-<{}2,0,1,3B =-中阴影部分所表示的集合为（）A.B. C.D.{}1,2-()A B B ⋃ð()U A B ⋂ð()()UUA B ⋂ðð【正确答案】ABC【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断各个选项即可.【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，B ，C 正确，D 错误，(),A B U B A B ⋃⋂ðð因为}，，{}{}2Z 61,0,1,2A x x x =∈-<=-{}1,2,4U B =-ð所以，故A 正确.(){}1,2U A B ⋂=-ð故选:ABC.10. 已知正数满足，则（ ）,a b 44a b +=A. B. 1ab≤5a +≤C.D.414184ab ab a b +++≥14254a b +≥【正确答案】ABD【分析】A 直接应用基本不等式判断；B 由代入目标式，结合二次函数性质判断；44a b =-C 、D 利用基本不等式“1”的代换判断.【详解】对于A ，因为，且，所以，0,0a b >>44a b +=44a b =+≥则，当且仅当时等号成立，正确．1ab ≤12,2a b ==对于B ，由，得，又，所以，则，44a b +=44a b =-0,0a b >>01b <<01<<所以，即时等号a +21444552b ⎫=-+=--+≤⎪⎭12=14b =成立，正确．对于C ，，4141111144444ab ab a b a b a b a b +++=+++=++因为，11111(444a a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭144)2144b a b a b ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立，所以，错误．44b a a b =12,2a b ==414154ab ab a b +++≥对于D ，由，()14114144141717444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝425=当且仅当，即时等号成立，正确．44b aab =45a b ==故选：ABD11. 波恩哈德·黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：[]0,1，下列关于黎曼函数的说法正确的是（）1,(,Z ,,)()001(0,1)p x p q p q qq L x x *⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩互质，或或内的无理数A.B.()()1L x L x =-()()()L a L b L ab ≤C.D. 关于的不等式的()()()L a b L a L b +≥+x ()1155L x x >+解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【正确答案】AB【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果.【详解】对于选项A ，当时，，当时，，而，0x =11x -=1x =10x -=(0)(1)0L L ==当时，，若是无理数，则是无理数，有，(0,1)x ∈1(0,1)x -∈x 1x -()()10L x L x =-=若是有理数，则是有理数，当（为正整数，为最简真分数），x 1x -px q =,p q p q 则（为正整数，为最简真分数），此时11p q p x q q --=-=,q q p -q pq -，()()11L x L x q =-=综上，时，所以选项A 正确，[]0,1x ∈()()1L x L x =-对于选项B ，当和无理数时，，显然有，,0,1a b =()()0L a L b =()()()L a L b L ab ≤当是正整数，是最简真分数时，12112212,(,,,p p a b p q p q q q ==1212,p p q q )，，故，()1212121(p p L ab L q q q q =≥()()111L a L b p q =()()()L a L b L ab ≤当时，，有0,pa b q ==()()0L a L b =()()()L a L b L ab ≤当时，，，有1,p a b q ==()()0L a L b =()1L ab q =()()()L a L b L ab ≤当为无理数，时，，有a pb q =()()()0L a L b L ab ==()()()L a L b L ab ≤综上，所以选项B 正确；()()()L a L b L ab ≤对于选项C ，取，则，而12,33a b ==()(1)0L a b L +==，所以选项C 错误，()()122()(0333L a L b L L +=+=>对于选项D ，若或或内的无理数，此时，显然不0x =1x =(0,1)()0L x =()1155L x x >+成立，当（为正整数，互质），由，得到，p x q =,p q ,p q ()1155L x x >+1155p q q >+整理得到，又为正整数，互质，所以或均满足，5p q +<,p q ,p q 1,2p q ==1,3p q ==所以可以取或，所以选项D 错误，x 1213故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数，则______________．1=+fx ()f x =【正确答案】()210x x +≥【分析】利用换元法可得答案.【详解】令，则且，代入，t =2x t =0t ≥1=+f x 即.2()1(0)f x x x =+≥故答案为.()210x x +≥13. 若不等式的解集为，则不等式的解集为2510ax x ++≤1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭13x a x -≤-______.【正确答案】{}3x x >【分析】由三个二次的关系求，根据分式不等式的解法求不等式的解集.a 13x ax -≤-【详解】∵不等式的解集为2510ax x ++≤11{|}23x x -≤≤-∴，是方程的两根，12-13-2510ax x ++=∴ ，6a =∴ 可化为13x a x -≤-303x -≤-∴3x >∴不等式的解集为，13x ax -≤-{|3}x x >故答案为.{|3}x x >14. 已知，，则的最小值是______.当取最小0,0,0a b c >>>22950a ab b c -+-=c ab cab 值时，恒成立，则的取值范围是_______.2133m m a b c-≥+-m 【正确答案】①. 1②.(][),14,-∞-+∞ 【分析】由可得，然后利用22950a ab b c -+-=221919155c a ab b a b ab ab b a ⎛⎫-+⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭基本不等式可得的最小值及此时的关系，然后可解出的取值范围.cab ,,a b c m 【详解】因为22950a ab bc -+-=所以，2219191111555c a ab b a b ab ab b a ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫==+-≥-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当即时等号成立， 9a b b a =3a b =当时，，所以当时取得最大值43a b =23c b =2143a b c b b +-=-+2b =13a b c +-所以由恒成立可得，解得2133m m a b c-≥+-234m m -≥(][),14,m ∈-∞-+∞故1；(][),14,m ∈-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知集合，，.122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭|{}21B x m x m =≤≤+|（1）当时，求；0m =R ()A B ð（2）若，求实数的取值范围.A B A = m 【正确答案】（1） 1|02x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或（2）1[1,](1,)2--⋃+∞【分析】（1）将代入，利用交集和补集的定义计算即得；0m =（2）根据题设得到，因集合含参数，故要就集合是否为空集进行分类讨论，再B A ⊆B B 取其并集即得.【小问1详解】当时，，于是，0m ={|01}B x x =≤≤1{|0}2A B x x ⋂=≤≤故.R 1(|02)x x A B x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭=或I ð【小问2详解】由，可得.A B A = B A ⊆当时，，即，此时符合题意；B =∅21m m >+1m >当时，由可得：，解得.B ≠∅B A ⊆111222m m m ≤⎧⎪⎪+≤⎨⎪≥-⎪⎩112m -≤≤-故实数的取值范围为.m 1[1,](1,)2--⋃+∞16. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，p []0,1x ∈2234x m m -≥-q []1,1x ∈-使得不等式成立.2210x x m -+-≤（1）若为真命题，求实数的取值范围；p m （2）若p ，q 一真一假，求实数的取值范围.m 【正确答案】（1） [1,3]（2）(1)(23],,∞-⋃【分析】（1）为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为p [0,1]x ∈2234x m m -≥-，求解即可()2min 234x m m -≥-（2）化简命题，由（1）结合条件列不等式即可求出的取值范围.q m 【小问1详解】因为为真命题，p 所以对任意，不等式恒成立，[0,1]x ∈2234x m m -≥-所以，其中，()2min 234x m m -≥-[0,1]x ∈所以，解得，234m m -≥-13m ≤≤所以的取值范围；m [1,3]【小问2详解】若为真命题，即存在，使得不等式成立，q [1,1]x ∈-2210x x m -+-≤则，其中，()2min21xx m -+-≤[1,1]x ∈-而，()2min212x x m m-+-=-+所以，故；20m -+≤2m ≤因为一真一假，,p q 所以为真命题，为假命题或为假命题为真命题，p q p q 若为真命题，为假命题，则，所以；p q 132m m ≤≤⎧⎨>⎩23m <≤若为假命题，为真命题，则或，所以.p q 12m m <⎧⎨≤⎩32m m >⎧⎨≤⎩1m <综上，或，1m <23m <≤所以的取值范围为.m (1)(23],,∞-⋃17. 已知函数，()222y ax a x =-++a ∈R（1）恒成立，求实数的取值范围；32y x <-a （2）当时，求不等式的解集；0a >0y ≥【正确答案】（1）{}|40a a -<≤（2）答案见解析【分析】（1），即恒成立，时，恒成立，时，32y x <-210ax ax --<0a =10-<0a ≠只需，，求解即可．0a <0∆<不等式，即，讨论的取值情况，从而求出不等式的解集．2（）0y ≥()()210ax x -->a 【小问1详解】因为函数，()222y ax a x =-++所以恒成立，32y x <-等价于恒成立，()22232ax a x x-++<-即恒成立，210ax ax --<当时，恒成立，满足题意0a =10-<;当时，要使恒成立，0a ≠210ax ax --<则，即,0Δ0a <⎧⎨<⎩2040a a a <⎧⎨+<⎩解得．40a -<<综上所述，实数的取值范围是.a {}|40a a -<≤【小问2详解】由得,，0y ≥()2220ax a x -++≥即,又因为，()()210ax x -->0a >所以：当，即时，21>a 02a <<不等式的解集为 或 ；()()210ax x -->{1x x ≤∣2x a ⎫≥⎬⎭当，即时，21a =2a =可得，不等式的解集为;()210x -≥0y ≥R 当，即时，21a <2a >不等式的解集为或 ．()()210ax x -->2|x x a ⎧≤⎨⎩1}x ≥综上，时，不等式的解集为 或 ，02a <<{1xx ≤∣2x a ⎫≥⎬⎭时，不等式的解集为，2a =R 时，不等式的解集为 或 ．2a >2|x x a ⎧≤⎨⎩1}x ≥18. 安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提《》出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标.识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过.新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果.树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：.P（）x （），且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如()()242(02)36(26)1x x P x xx x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩16x （培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，）(2005)x +./且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元．()f x ）（1）求函数的解析式f x （）;（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少?【正确答案】（1）；2842132(02)()75621200(26)1x x x f x xx x x ⎧--≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩（2）千克，最大利润是元．5325【分析】（1）利用利润公式直接求解即可；（2）分段求解，时，利用二次函数的性质求解最值；时，利用基本不等02x ≤≤26x <≤式求解最值．【小问1详解】根据题意知()21()16(2005)f x P x x x =--+，284(2)16(2005)(02)75616(2005)(26)1x x x x xx x x x ⎧+--+≤≤⎪=⎨--+<≤⎪+⎩整理得；2842132(02)()75621200(26)1x x x f x xx x x ⎧--≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩【小问2详解】当时，，02x ≤≤()2842132f x x x =--由一元二次函数图象可知在时取得最大值，2x =f x （）()2262f =当时，26x <≤()()7561756756756()2120021117957721(1)111x x f x x x x x x x +-⎡⎤=--=-+-=-++⎢⎥+++⎣⎦,5775772126325≤-=-⨯=当且仅当，即时等号成立，75621(1)1x x =++5x =，的最大值是，(2)(5f f <∴f x ∴（）(5)325f =当单株施肥量为千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是元．∴532519. 已知集合A 为非空数集.定义：{}|,,,{|,,}S x x a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈（1）若集合，直接写出集合S ，T ；{1,3}A =（2）若集合且．求证：；{}12341234,,,,,A x x x x x x x x =<<<T A =423x x =（3）若集合记为集合A 中元素的个数，求{}|02024,N ,A x x x S T ⊆≤≤∈⋂=∅，A的最大值.A【正确答案】（1）， {2,4,6}S ={0,2}T =（2）证明见解析（3）1350.【分析】（1）根据新定义直接求出；,S T （2）首先根据定义得出，然后由213141,,}{0,T x x x x x x =---234{0,,,}x x x =，得出结论，再验证也是中元素即得；324240x x x x x <-<-<43x x -T （3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造{}12,,k A a a a = 12k a a a <<< ，k a 1a 也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用S T 21,S k T k≥-≥，得，再由中最小的元素0与最大的元素得S T ⋂=∅31S T S T k ⋃=+≥-S T 2k a 到，然后构造一个集合，由得出的范1350k ≤{,1,2,,2024}A m m m =++ S T ⋂=∅m 围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论．S T 【小问1详解】由已知，则，；{1,3}A ={2,4,6}S ={0,2}T =【小问2详解】由于集合且，{}12341234,,,,,A x x x x x x x x =<<<T A =所以T 中也只包含四个元素，因为2131410x x x x x x <-<-<-，即且，即，213141,,}{0,T x x x x x x =---10x =234{0,,,}T x x x =又，3242410x x x x x x <-<-<-所以，从而，322423,x x x x x x -=-=3242322,3x x x x x x ==+=此时满足题意，所以；243x x x -=423x x =【小问3详解】设满足题意，其中，{}12,,k A a a a = 12k a a a <<< 2，1121312312k k k k k a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+< k a ，112131121,,k S k a a a a a a a a T k≥--<-<-<<-∴≥ ∵，∴，S T ⋂=∅31S T S T k ⋃=+≥-又中最小的元素为0，最大的元素为，S T 2k a 则()*21,31214049N ,1350k k S T a k a k k ⋃≤+∴-≤+≤∈∴≤设，，{,1,2,,2024}A m m m =++ N m ∈则，{2,21,22,,4048},{0,1,2,,2024}S m m m T m =++=- 因为，可得，即，S T ⋂=∅20242m m -<26743m >故m 的最小值为675，于是当时，A 中元素最多，675m =即时满足题意，675,676,6},{77,2024A = 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1350.方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中A {}12,,k A a a a = ，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确12k a a a <<< S T定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值．k S T。
2024-2025学年辽宁省高一上学期12月月考数学检测试卷(含解析)
2024-2025学年辽宁省高一上学期12月月考数学检测试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）{}2A x y x ==-{}21B y y x ==+A. B. C. D.A B =∅ A B A = A B A= R B A⊆ð2. 下列函数中是奇函数，且在定义域内单调递减的是（）A.B.C.D.2()f x x=||()2x f x =2()log f x x=()e e 2x xf x --=3. 已知某种污染物的浓度（单位：摩尔/升）与时间（单位：天）的关系满足指数裺型C ，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），是常数，第天（即(1)0e k t C C -=0C 1t =k 2）测得该污染物的浓度为摩尔/升，第天测得该污染物的浓度为摩尔/升，若第2t =5415天测得该污染物的浓度变为，则（）n 09C n =A. B. C. D. 45674. 函数的图象大致为（）()2e e ()ln1x xf x x x -+=+-A. B.C. D.已知函数()(f x x a =-，，R a ∈3b =0a ≠3b =，，R a ∈3b =-0a =3b =C.D.()4,0-74,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列命题中，假命题为（）A. 命题“，”的否定是“，”(0,)x ∃∈+∞ln 1x x =-(0,)x ∀∉+∞ln 1x x =-B. 与是同一个函数21log 1xy x +=-22log (1)log (1)y x x =+--C. 函数的增区间为()22()log 2f x x x=-(,1)-∞D. 函数的最小值是22232x y x +=+10. 若，，且，则下列不等式中正确的是（）0a >0b >221111log log a bb a ->-A.B. 11a b >1133a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D.11a ab b +>+log log a b b a>11. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）()21x f x x =-+A. ()()4f x f x -+=B. ，都有12x x ∀≠()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦C.的值域为()f x ()0,4D. ，，都有1x ∀()20,x ∈+∞()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12已知，，则130.25042782(2023)64P -⎛⎫=⨯+-- ⎪⎝⎭333322log 2log log 89Q =-+___________.P Q +=13. 甲说：已知是上的减函数，乙说：存在，使得关于的不242,1,()4,1x a x f x x ax x -+≥⎧=⎨-+<⎩R x x 等式在时成立，若甲、乙两人说的话都不对，则的取值范围是2210x ax -+>1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦a ___________．14. 已知函数（且）只有一个零点，()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭0a >1a ≠则实数的取值范围为______．m 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知，全集，集合，函数的定R a ∈R U =1|284x a A x -⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭()12log 32y x =-义域为.B （1）当时，求；2a =()UA B ð（2）若是成立的充分不必要条件，求a 的取值范围.x B ∈x A ∈16. 已知函数，其中且．()log a f x x=0a >1a ≠（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；()y f x =()4,2()()22f x f x -<（2）若存在实数，使得，求的取值范围；x ()()()122f x f x f ax +++=a 17. 已知函数.()33()x xf x a a -=⋅-∈R （1）当时，求函数的零点；1a =()f x （2）若函数为偶函数，求的值；()f x a （3）当时，若关于的不等式在时恒成立，求1a =x ()99140x xf x ----≤λ(0,)x ∈+∞的取值范围.λ18. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且R ()f x ,x y ()()()f xy f x f y =，当时，．(1)1f -=-01x <<()(0,1)f x ∈（1）判断的奇偶性；()f x（2）判断在上的单调性，并证明；()f x (0,)+∞（3）若对任意，，，总有恒成立，1x 2[1,1]x ∈-[1,5]a ∈-()()21222f x f x m am -≤--求的取值范围．m 19. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中()y f x =()y f x =(,)P a b 心对称图形的充要条件是函数为奇函数．()y f x a b =+-（1）判断函数的奇偶性，求函数的图像的对称中心，并说21()21x xf x -=+12()21xg x -=-+明理由；（2）已知函数，问是否有对称中心？若有，求出123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++()f x 对称中心；若没有，请说明理由；（3）对于不同的函数与，若的图像都是有且仅有一个对称中心，分()f x ()g x (),()f x g x 别记为和．(,)m p (,)n q （i ）求证：当时，的图像仍有对称中心；m n =()()f x g x +（ii ）问：当时，的图像是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；m n ≠()()f x g x +若不一定有，请举出具体的反例．答案：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）{}2A x y x ==-{}21B y y x ==+A. B. C. D.A B =∅ A B A = A B A= R B A⊆ð【正确答案】B【分析】分别求出集合，结合补集以及集合的交集、并集运算，一一判断各选项，即得,A B 答案.由题意可得，，{}2[2,)A x y x ∞==-=+{}21[1,)B y y x ∞==+=+故，A 错误;[2,)A B ⋂=+∞由于，故，，所以B 正确，C 错误；A B ⊆A B A = A B B = ，则不是A 的子集，D 错误，R (,1)B =-∞ðR B ð故选：B2. 下列函数中是奇函数，且在定义域内单调递减的是（）A.B.C.D.2()f x x=||()2x f x =2()log f x x=()e e 2x xf x --=【正确答案】D【分析】根据函数的性质逐一判断即可.对于A 项，的定义域为，2()f x x =(,0)(0,)-∞+∞ 在，上单调递减，但不能说在定义域内单调递减，故A 项错误；2()f x x =(,0)-∞(0,)+∞对于B 项，的定义域为，且，()f x ||2x =R ||||()22()x x f x f x --==≠-所以不是奇函数，故B 项错误；||()2x f x =对于C 项，的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故C 项错误；2()log f x x =(0,)+∞对于D 项，的定义域为，且，()1()e e 2x x f x -=-R ()1()e e ()2x x f x f x --=-=-所以为奇函数，又在上单调递减，故D 项正确．()1()e e 2x x f x -=-()1()e e 2x x f x -=-R 故选：D ．3. 已知某种污染物的浓度（单位：摩尔/升）与时间（单位：天）的关系满足指数裺型C ，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），是常数，第天（即(1)0e k t C C -=0C 1t =k 2）测得该污染物的浓度为摩尔/升，第天测得该污染物的浓度为摩尔/升，若第2t =5415天测得该污染物的浓度变为，则（）n 09C n =A. B. C. D. 4567【正确答案】B【分析】根据条件进行赋值，联立方程组求得解析式，再结合函数值直接求解即可.由题意可得则，解得．030e 5,e 15,k k C C ⎧=⎨=⎩2e 3k =ln 32k =函数A. B.C.D.【正确答案】C【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在上函数值符号，即可得确定图象由解析式，知的定义域为()f x故选：C5. 已知函数为偶函数，则（）()()1ln31bx f x x a x +=--A. ， B. ，R a ∈3b =0a ≠3b =C. ， D. ，R a ∈3b =-0a =3b =【正确答案】D【分析】利用定义法结合性质法判断函数奇偶性，解方程.若函数有意义，则，()()1ln31bx f x x a x +=--1031bx x +>-当时，不等式解集为，即函数定义域为，0b >11,,3b ∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,,3b ∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又函数为偶函数，则，解得；()f x 1103b -+=3b =当时，不等式的解集为，即函数定义域为，0b =1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭此时函数不是偶函数，舍；()f x 当时，不等式的解集为，即函数的定义域为，30b -<<11,3b ⎛⎫- ⎪⎝⎭11,3b ⎛⎫- ⎪⎝⎭又函数为偶函数，则，解得，不满足，舍；()f x 1103b -+=3b =30b -<<当时，不等式的解集为，舍；3b =-∅当时，不等式的解集为，即函数的定义域为，3b <-11,3b ⎛⎫- ⎪⎝⎭11,3b ⎛⎫- ⎪⎝⎭又函数为偶函数，则，解得，不满足，舍；()f x 1103b -+=3b =0b <综上所述，3b =此时函数，()()31ln31x f x x a x +=--设，则，()31ln31x g x x +=-()()3131ln ln 3131x x g x g x x x -++-==-=----即函数为奇函数，()31ln31x g x x +=-所以若使为偶函数，()()()()31ln31x f x x a x a g x x +=-=-⋅-则需函数为奇函数，()h x x a=-即，即，解得，()()h x x a h x -=--=-x a x a --=-+0a =综上所述，()31ln31x f x x x +=-满足，即为偶函数，()()31ln31x f x x f x x -+-=-=--()f x 综上所述，，0a =3b =故选：D.6. 已知，且函数在上有最小值，则a 的取值范围为(0,1)(1,)a ∈+∞ 2,2(),2x a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩R （）A.B.C.D.()0,1()()0,11,2⋃(]1,2[)2,+∞【正确答案】A【分析】对分类讨论，求出分段函数两段的值域，结合题意即可作出判断.a 当时，；2x >2()4f x x =>当时，，2x ≤()xf x a =若时，，且，(0,1)a ∈2()x f x a a ≥=24a <∴函数在上有最小值，2,2(),2x a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩R 2a 当时，，(1,)∈+∞a (20(),x f x a a ⎤∈=⎦此时，显然函数在上没有有最小值，最小值无限趋近于零；2,2(),2x a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩R 综上：a 的取值范围为()0,1故选：A本题考查分段函数的最值问题，考查指数与二次函数的图象与性质，考查分类讨论思想，属于中档题.7. 已知为偶函数，若对任意，，总有()1y f x =+,1,)[a b ∈+∞()a b ≠成立，则不等式的解集为（）()()()()af b bf a af a bf b +<+()()24f x f <A.B.()1,2-()2,2-C. D. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】A【分析】根据题意确定函数的单调性和对称轴即可求解.由可得，()()()()af b bf a af a bf b +<+()()()()af b bf b af a bf a -+<-即，也即，()()()()a b f b a b f a -<-()()()0a b f b f a ⎡⎤--<⎣⎦当时，，当时，，1a b >≥()()f a f b >1b a >≥()()f b f a >所以函数在单调递增，()f x [)1,+∞又因为为偶函数，所以的图象关于对称，()1y f x =+()f x 1x =所以在单调递减，且，()f x (],1-∞(4)(2)f f =-所以由得解得,()()24f x f <224x -<<12x -<<故选:A.关于的方程 x ()(2f x a -+方程在区间∴()280t a t a -+-=令，则.()()28g t t a t a =-+-()()10,30,Δ0,81 3.2g g a ⎧>⎪>⎪⎪⎨>⎪+⎪<<⎪⎩，1544t ∴-<<-故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列命题中，假命题为（）A. 命题“，”的否定是“，”(0,)x ∃∈+∞ln 1x x =-(0,)x ∀∉+∞ln 1x x =-B. 与是同一个函数21log 1xy x +=-22log (1)log (1)y x x =+--C. 函数的增区间为()22()log 2f x x x=-(,1)-∞D. 函数的最小值是22232x y x +=+【正确答案】ACD【分析】求得存在量词的否定可判断A ；求出两函数的定义域，结合对应法则可判断B ；先求出定义域，再根据复合函数同增异减求出单调区间可判断C ；利用基本不等式计算可判断D.对于A 选项，命题“，”的否定是“，”，故(0,)x ∃∈+∞ln 1x x =-()0,x ∞∀∈+ln 1x x ≠-A 错误；对于B 选项，由，解得，故的定义域为，101x x +>-11x -<<21log 1xy x +=-(1,1)-由，解得，故的定义域为，1010x x +>⎧⎨->⎩11x -<<22log (1)log (1)y x x =+--(1,1)-又，故B 正确；222log (1)log (1)1log 1x xx y x ++-=-=-对于C 选项，由，解得或，220x x ->0x <2x >其中在上单调递增，在上单调递减，222(1)1=-=--t x x x (2,)+∞(,0)-∞又在上单调递增，2log y t =(0,)+∞由复合函数单调性可知，的增区间为，故C 错误；()22()log 2f x x x=-(2,)+∞对于D 选项，因为，所以220x +>，22222221112222222x y x x x x x ++==++≥+⨯=+++当且仅当时等号成立，无实数解，所以，故22122x x +=+22122x x +=+2y >D 错误.故选：ACD.10. 若，，且，则下列不等式中正确的是（）0a >0b >221111log log a bb a ->-A.B. 11a b >1133a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D.11a ab b +>+log log a b b a>【正确答案】AB【分析】根据已知条件构造函数，注意的范围，利用函数单调性的性质2()log f x x x =+x 及不等式的性质，结合特殊值法即可求解.】令，则()2()log ,0f x x x x =+>由一次函数知，在上单调递增，x ()0,∞+由对数函数知，在上单调递增，2log x ()0,∞+所以在上单调递增，2()log f x x x =+()0,∞+由，得，即，221111log log a bb a ->-221111log log a a b b +>+11f f a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，故A 正确；11a b >由A 知，，又，，，所以，11a b >0a >0b >11a b >0a b <<因为在上单调递减，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,∞+所以，故B 正确，1133ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由B 知，，令，，，此时，故C 错0a b <<1,2a b ==112,213a a b b +==+1223<11a a b b +<+误；由B 知，，令，，0a b <<1,22a b ==122log log 21,l 1log og 1,2a b b a ==-==-，此时，故D 错误；11-=-log log a b b a =故选：AB.11. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）()21xf x x =-+A. ()()4f x f x -+=B. ，都有12x x ∀≠()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦C.的值域为()f x ()0,4D. ，，都有1x ∀()20,x ∈+∞()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【正确答案】ABD【分析】利用可判断A ；分、求单调性值域可判断()()4f x f x +-=0x ≥0x <()f x B ；分、讨论可得的值域可判断C ；作差利0x ≥0x <()f x ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭用基本不等式可判断D ．对于A ：，A 正确；()()22411x xf x f x x x +-=-++=++对于B ：当时，，因为单调递减，0x ≥()111f x x =++11y x =+所以单调递减，且，，()111f x x =++()12f x <≤()101201=+=+f 当时，，因为单调递减，0x <()131=+-f x x 11y x =-所以单调递减，且，()131=+-f x x ()23f x <<所以，则在R 上单调递减，故B 正确；()11,0113,01x x f x x x ⎧+≥⎪⎪+=⎨⎪+<⎪-⎩()f x 对于C ：当时，，0x ≥()12f x <≤当时，，综上的值域为，故C 不正确；0x <()23f x <<()f x ()1,3对于D ：当，时，1x ()20,x ∈+∞()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()()()()12121211211211+++=-+++++x x x x x x ，仅当等号成立，()()()()()()1221212112111124+++≤-=++++++⎡⎤⎣⎦⋅x x x x x x 12x x =故，，都有，故D 正确．1x ∀()20,x ∈+∞()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭关键点点睛：解题的关键点是根据给定的函数解析式的特征判断函数单调性及值域.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知，，则130.25042782(2023)64P -⎛⎫=⨯+-- ⎪⎝⎭333322log 2log log 89Q =-+___________.P Q +=【正确答案】133【分析】利用指数与对数的运算性质即可求解.，1131330.25442734782(2023)(82)12164433P --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+--=⨯+-=+-=⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以.3333332322log 2log log 8log 48log 9299Q ⎛⎫=-+=÷⨯== ⎪⎝⎭133P Q +=故13313. 甲说：已知是上的减函数，乙说：存在，使得关于的不242,1,()4,1x a x f x x ax x -+≥⎧=⎨-+<⎩R x x 等式在时成立，若甲、乙两人说的话都不对，则的取值范围是2210x ax -+>1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦a ___________．【正确答案】或524a ≤<3a >【分析】结合分段函数的单调性和不等式能成立问题，分别分析甲、乙说的话对，能够得到的取值范围，即可求出结果.a 若甲对，则，解得．121442aa a⎧≥⎪⎨⎪-+≥-+⎩23a ≤≤若乙对，由存在，使得关于的不等式在时成立．x x 2210x ax -+>1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得，，1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦12x ax +>因为在内单调递减，在内单调递增，1()g x x x =+1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭(]1,2且，可知在内的最大值为，15(2)22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭()g x 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦52可得，解得．522a >54a <若甲说的话不对，则或，2a <3a >若乙说的话不对，则，54a ≥若甲、乙说的话都不对，则或，524a ≤<3a >故的取值范围是或.a 524a ≤<3a >故或524a ≤<3a >14. 已知函数（且）只有一个零点，()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭0a >1a ≠则实数的取值范围为______．m 【正确答案】或或1m ≤-12m =-m =∵函数（且）只有一个零点，()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭a >01a ≠∴22210mx m x+=++>∴()()2mx 10x -+=当时，方程有唯一根2，适合题意m 0=当时，或m 0≠x =21x m=-显然符合题意的零点1x m =-∴当时，12m -=1m 2=-当时，，即12m -≠220m +≤1m ≤-综上：实数的取值范围为或或m 1m ≤-12m =-m =故答案为或或1m ≤-12m =-m =点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知，全集，集合，函数的定R a ∈R U =1|284x a A x -⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭()12log 32y x =-义域为.B （1）当时，求；2a =()UA B ð（2）若是成立的充分不必要条件，求a 的取值范围.x B ∈x A ∈【正确答案】（1）(]20,1,53⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦（2）82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)求得集合A 和集合B ，根据补集和交集的定义即可求解；(2)由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集.根据真包含关系建立x B ∈x A ∈B A 不等式求解即可.【小问1】，{}{}231|28|222|234---⎧⎫=<≤=<≤=-<≤+⎨⎬⎩⎭x a x a A x x x a x a 即.](2,3=-+A a a 由，得，解得，即. 12log (32)0,-≥x 0321x <-≤213x <≤]2(,13=B 当时，.2a =(]()20,5,,1,3U A B ∞∞⎛⎤==-⋃+ ⎥⎝⎦ð∴.()(]20,1,53UB A ⎛⎤⋂=⋃⎥⎝⎦ð【小问2】由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集.x B ∈x A ∈B A 所以解得，22,331a a ⎧-≤⎪⎨⎪+≥⎩823a -≤≤经检验符合集合是集合的真子集，所以a 的取值范围是.B A 82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16. 已知函数，其中且．()log a f x x=0a >1a ≠（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；()y f x =()4,2()()22f x f x -<（2）若存在实数，使得，求的取值范围；x ()()()122f x f x f ax +++=a 【正确答案】（1）()1,2（2）()1,+∞【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出()2log f x x=的解集；()()22f x f x -<（2）根据的定义域将问题转化为时，()log a f x x=0x >有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的()()()122f x f x f ax +++=性质进行求解即可.【小问1】，则，()42f = log 42a =，24a ∴=，0a > ，2a ∴=，定义域为，()2log f x x∴=(0,+∞)要解不等式，则，()()22f x f x -<(),220,x x ∞-∈+．()1,x ∞∴∈+又在定义域内是严格增函数，()2log f x x=由，则，解得．()()22f x f x -<22x x -<2x <综上所述，不等式的解集为．()()22f x f x -<()1,2【小问2】的定义域为，则在方程中，应满足()f x (0,+∞)()()()212f ax f x f x =+++，10200x x ax +>⎧⎪+>⎨⎪>⎩由，解得，问题转化为时，方程有实数0a >0x >0x >()()()122f x f x f ax +++=解．又，则，()log a f x x=()()log 1log 22log a a a x x ax+++=即．()()222log log 32a a a x x x =++为严格单调函数，()f x ，22232a x x x ∴=++，两边同除以得．0x >2x 22231a x x =++令，由，则，1t x =0x >()0,t ∞∈+在有解．22231a t t ∴=++0t >又在上严格增函数，2231231248y t t t ⎛⎫=++=+-⎪⎝⎭(0,+∞)，即，()22311,y t t ∞∴=++∈+()21,a ∞∈+又，则.0a >()1,a ∞∈+17. 已知函数.()33()x xf x a a -=⋅-∈R （1）当时，求函数的零点；1a =()f x （2）若函数为偶函数，求的值；()f x a （3）当时，若关于的不等式在时恒成立，求1a =x ()99140x xf x ----≤λ(0,)x ∈+∞的取值范围.λ【正确答案】（1）零点为0（2）1-（3）(,8]-∞【分析】（1）利用函数零点定义即可得解；（2）由函数奇偶性的定义即可得解；（3）由题意将条件转化为在时恒成立，再利用基本不等式即991433x x x x λ--++≤-(0,)x ∈+∞可得解.【小问1】当时，1a =()33xxf x -=-令，解得，()330x xf x -=-=0x =所以当时，函数的零点为0.1a =()f x 【小问2】因为函数为偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=即，所以，3333xx x xa a --⋅-=⋅-()(1)330x x a -+-=又不恒为0，所以，即.33xx --10a +=1a =-【小问3】当时，，0x >()330x xf x -=->因为关于的不等式在时恒成立，x ()99140x xf x ----≤λ(0,)x ∈+∞所以，()2331699141633333333x xxxx xx x x x x x -------+++≤==-+---λ又因为，()16163323383333x x x x x xx x-----+≥-⋅=--当且仅当，即时等号成立，163333x x x x ---=-3log (52)x =+所以，即的取值范围是.8λ≤λ(,8]-∞18. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且R ()f x ,x y ()()()f xy f x f y =，当时，．(1)1f -=-01x <<()(0,1)f x ∈（1）判断的奇偶性；()f x （2）判断在上的单调性，并证明；()f x (0,)+∞（3）若对任意，，，总有恒成立，1x 2[1,1]x ∈-[1,5]a ∈-()()21222f x f x m am -≤--求的取值范围．m 【正确答案】（1）奇函数（2）在上单调递增，证明见解析()f x (0,)+∞（3）．(,3][6,)-∞-⋃+∞【分析】（1）令，结合得，利用奇函数定义即可证明；1y =-()11f -=-f (−x )=−f (x )（2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断0x >()0f x >函数单调性即可；（3）先判断在R 上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为()f x ()f x 恒成立，即对恒成立，()()2max 2min 2f x f x m am ⎡⎤-≤--⎣⎦260m am --≥[]1,5a ∈-列不等式组求解即可.【小问1】函数为R 上的奇函数.证明如下：()f x 易知函数的定义域为，令，则，()f x R 1y =-()()()1f x f x f -=-又，所以，所以函数为奇函数.()11f -=-f (−x )=−f (x )()f x 【小问2】在上的单调递增，证明如下：()f x (0,+∞)由（1）知，，()()111f f =--=当时，，所以，0x >()()11110f f x fx f x x ⎛⎫⎛⎫=⋅==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0f x ≠从而，()()()20f x fx x f x =⋅=>，则210x x ∀>>()()()()()1121222222x x f x f x f x f x f x f x fx x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1221x f x f x ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦因为，所以，又当时，，210x x >>()1220,01x f x x ><<01x <<()()0,1f x ∈所以，所以，所以，1201x f x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()()210f x f x ->()()21f x f x >故在上的单调递增.()f x (0,+∞)【小问3】由（1）知，函数为R 上的奇函数，所以，()f x ()00f =由（2）知，当时，，且在上的单调递增，0x >()0f x >()f x (0,+∞)所以在上的单调递增，()f x R所以当时，函数的最大值为，最小值为，[]1,1x ∈-()f x ()11f =()11f -=-又任意，总有恒成立，[]12,1,1x x ∈-()()21222f x f x m am -≤--所以，即，()()2max 2min 2f x f x m am ⎡⎤-≤--⎣⎦260m am --≥由题意，对恒成立，令，则，260m am --≥[]1,5a ∈-()26g a ma m =-+-()min 0g a ≥所以，解得或，2260560m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩3m ≤-6m ≥故实数的取值范围是.m (][),36,∞∞--⋃+19. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中()y f x =()y f x =(,)P a b 心对称图形的充要条件是函数为奇函数．()y f x a b =+-（1）判断函数的奇偶性，求函数的图像的对称中心，并说21()21x xf x -=+12()21xg x -=-+明理由；（2）已知函数，问是否有对称中心？若有，求出123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++()f x 对称中心；若没有，请说明理由；（3）对于不同的函数与，若的图像都是有且仅有一个对称中心，分()f x ()g x (),()f x g x 别记为和．(,)m p (,)n q （i ）求证：当时，的图像仍有对称中心；m n =()()f x g x +（ii ）问：当时，的图像是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；m n ≠()()f x g x +若不一定有，请举出具体的反例．【正确答案】（1）为奇函数，对称中心是，理由见解析21()21x xf x -=+(1,1)-（2）有对称中心，对称中心为5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）（i ）证明见解析；（ii ）答案见解析【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判断的奇偶性；易证明，经过()f x 1()(1)g x f x +=-变形即可得到的对称中心；()g x （2）假设具有对称中心，则，代入的解析式求解()f x (,)a b ()(2)2f x f a x b +-=()f x 即可；（3）（i ）只需证明等于一个常数即可；（ii ）给出一个()(2)()(2)f x f n x g x g n x +-++-具体的反例说明即可.【小问1】为奇函数，证明如下：21()21x xf x -=+首先的定义域为，关于原点对称，()f x R 又，故为奇函数，211221()()211221x x x x xx f x f x ------===-=-+++()f x ，111112212211()1(1)212121x x x x x g x f x -----+--+=-===-+++所以，于是是奇函数，()(1)1g x f x =--(1)1()g x f x ++=由题意知图像的对称中心是．()g x (1,1)-【小问2】根据题意()()12322122232123421222324x x x x a x a x a x a x f x f a x x x x x a x a x a x a x +++--+-+-++-=+++++++++++-+-+-+-+，12311412342122x x x x x x x x x a x a +++=++++++++++----112324x a x a ++----取，上式计算得，此时，52a =-()(5)8f x f x +--=4b =所以有对称中心，对称中心为5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭【小问3】根据题意，，．()(2)2f x f m x p +-=()(2)2g x g n x q +-=（i ）证明：当时，，m n =()(2)()(2)222()f x f n x g x g n x p q p q +-++-=+=+所以此时的图像仍有对称中心，对称中心为．()()f x g x +(,)n p q +（ii ）当时，不一定有对称重心．m n ≠()()f x g x +设，易知函数的图像关于对称，得，，1()f x x =()f x (0,0)0m =0p =设，易知函数的图像关于对称．得，，()1xg x x =+()g x (1,1)-1n =-1q =此时，，其图像不关于某一点对称，即没有对称中心．1()()1x f x g x x x +=++关键点点睛：本题的关键点是理解：函数的图像关于点成中心对称图形的()y f x =(,)P a b 充要条件是函数为奇函数．()y f x a b =+-。
北京市中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷含答案
北京市2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷班级______姓名______学号______2024.09.30（答案在最后）一、选择题（共8个小题，每题5分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案．．．．．．．填在答题纸相应的题号处．．．．．．．．．．．）1.已知集合{10}A xx =-≤≤∣，集合{1,0,1,2}B =-，则A B = （）A.RB.{10}x x -≤≤∣C.{1,0}- D.{1,0,1}-【答案】C【解析】【分析】根据交集运算求解即可.【详解】因为集合{10}A xx =-≤≤∣，集合{1,0,1,2}B =-，所以{}1,0A B ⋂=-.故选：C2.下列命题中，正确的是（）A.若a b >，则22ac bc > B.若,a b c d >>，则a c b d +>+C.若,a b c d >>，则ac bd> D.若a b >，则11a b >【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质及举反例即可判断.【详解】对A 选项，当0c =时不等式不成立,故A 选项错误；B 选项，满足不等式的同向可加性，故B 选项正确；C 选项，当2,1,1,2a b c d ===-=-，则ac bd =，故C 选项错误；D 选项，当1,2a b =-=-时，11a b<，故D 选项错误.故选：B 3.方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.{(1,1),(1,1)}-- B.{(1,1),(1,1)}--C.{(2,2),(2,2)}-- D.{(2,2),(2,2)}--【答案】B【解析】【分析】根据消元法求得不等式组的解，结合集合的表示方法，即可求解.【详解】由题意，将y x =-代入222x y +=，可得21x =，即1x =±，当1x =时，1y =-；当1x =-时，1y =，所以方程组的解集为{(1,1),(1,1)}--.故选：B.4.下列不等式中，解集为{1xx <∣或3}x >的不等式是（）A .2430x x -+≥ B.2430x x -+< C.103x x -≥- D.|2|1x ->【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法、分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别解各选项不等式即可求解.【详解】由2430x x -+≥可得()()130x x --≥，解得1x ≤或3x ≥，故A 错误；由2430x x -+<可得13x <<，故B 错误；由103x x -≥-可得()()()13030x x x --≥-≠，解得1x ≤或3x >，故C 错误；由|2|1x ->可得21x ->或21x -<-，即1x <或3x >，故D 正确.故选：D5.“0a b >>”是“22a b >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.【详解】当0a b >>时，22a b >；当22a b >时，a b >，不一定0a b >>，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件.故选：A.6.平流层是指地球表面以上10km (不含)到50km (不含)的区域,下述不等式中,x 能表示平流层高度的是A.|10|50x +< B.|10|50x -< C.|30|20x +< D.|30|20x -<【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的几何意义即可得解|30|20x -<.【详解】解析:如图：设(10),(50)A B ,则AB 的中点为(30)M ,由距离公式可得|30|20x -<.答案:D【点睛】此题考查根据绝对值的几何意义解决实际问题，关键在于正确理解绝对值的几何意义.7.若不等式04x <<是||x a <成立的充分条件，则a 的取值范围是（）A.1a ≥ B.4a ≥ C.1a ≤ D.4a ≤【答案】B【解析】【分析】由题意知()()0,41,1a a ⊆-+可得1014a a -≤⎧⎨+≥⎩，解不等式即可得出答案.【详解】由题设，不等式a x a -<<且>0成立的充分条件是04x <<，则()()0,4,a a ⊆-，所以4a ≥，所以实数a 的取值范围是4a ≥.故选：B.8.已知集合{}{}2221,N ,21,N P yy x x x Q y y x x x ==+-∈==-+-∈∣∣，则P Q = （）A.{}1- B.{0} C.∅ D.N 【答案】A【解析】【分析】由两个方程相等可求得两曲线交点的横坐标，根据集合的几何意义求出纵坐标的值即为交集的结果.【详解】由222121x x x x +-=-+-，解得0x =，当0x =时，2221211x x x x +-=-+-=-，所以1{}P Q ⋂=-.故选：A二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题卡相应的题号处．．．．．．．．．．．．．．．．．）．9.命题2R,230x x x ∀∈-+>的否定是______．【答案】R x ∃∈，2230x x -+≤【解析】【分析】根据全称量词命题的否定求解.【详解】命题2R,230x x x ∀∈-+>的否定是R x ∃∈，2230x x -+≤.故答案为：R x ∃∈，2230x x -+≤10.已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，则（U P ð）∪Q ＝____．【答案】{1，2，4，6}，【解析】【分析】由已知，先求出U P ð，再求（U P ð）∪Q ．【详解】∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，∴U P ð＝{2，4，6}，∴（U P ð）∪Q ＝{1，2，4，6}，故答案为：{1，2，4，6}，11.已知集合{1,2,3}A ⊆，集合A 可以为______（写出符合要求的所有A ）【答案】{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3∅【解析】【分析】写出集合的子集即可得解.【详解】因为集合{1,2,3}A ⊆，所以集合A 可以为{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3∅.故答案为：{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3∅12.已知12,x x 是关于x的一元二次方程210x -+=的两根，则12x x +=______；1211x x +=______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解.【详解】由一元二次方程根与系数的关系可知，12x x +=，121x x ⋅=，所以12121211x x x x x x ++==⋅.故答案为：；13.若2{{1,2,4,}a ⊆，则a =________________________【答案】4，16，0【解析】【分析】依题意有{}21,2,4,a，逐个列方程求解，并检验元素的互异性.【详解】依题意有{}21,2,4,a1≠，2=时，216a =，满足题意，则4a =；4=时，2256a =，满足题意，则16a =；2a =时，0a =或1a =，0a =时满足题意，1a =时与元素的互异性矛盾.综上，4a =或16a =或0a =时满足题意，故答案为：4，16，014.若对2R,230x ax ax ∀∈-+>恒成立是真命题，则实数a 的取值范围是______【答案】[)0,3【解析】【分析】分0,0a a =≠讨论，根据一元二次不等式恒成立求解.【详解】当0a =时，原不等式为30>，对任意实数都成立，满足题意；当0a ≠时，2R,230x ax ax ∀∈-+>恒成立，需满足()202120a a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，即003a a >⎧⎨<<⎩，解得0<<3a .综上，实数a 的取值范围是[)0,3.故答案为：[)0,3三、解答题（共3个小题，每题10分，其30分，请将解题过程和答案写在规定的区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）15.已知a ，b 为正数，且a b ≠，比较33+a b 与22a b ab +的大小．【答案】3322a b a b ab +>+【解析】【分析】通过作差，提取公因式便可得出33222()()()a b a b ab a b a b +-+=-+，并根据条件可以判断2()()0a b a b -+>，这样即可得出所比较两个式子的大小关系【详解】33223322()()a b a b ab a b a b ab +-+=+-- 22()()a ab b a b =---22()()a b a b =--2()()a b a b =-+；0a > ，0b >且a b ≠；2()0a b ∴->，0a b +>；2()()0a b a b ∴-+>；即3322()()0a b a b ab +-+>；3322a b a b ab ∴+>+．【点睛】本题主要考查作差法比较两个代数式的大小关系，分解因式法的运用，以及平方差公式，属于基础题．16.一元二次方程210ax bx ++=的解集是12,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，求实数a ，b 的值，并求方程230bx ax b +--=的解集．【答案】13,2a b =-=,{}1,7-【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求,a b ，再解一元二次方程得解.【详解】因为一元二次方程210ax bx ++=的解集是12,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，所以122312123b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩，解得13,2a b =-=，所以方程230bx ax b +--=为2670x x --=，解得7x =或1x =-，所以方程的解集为{}1,7-.17.已知集合{}22,(,1)A x a x a B ∞=<<-=-∣．（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若U B A ⊆ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦（2）[)1,-+∞【解析】【分析】（1）分类讨论，根据子集列出不等式求解；（2）分集合是否为空集讨论，根据子集关系列不等式得解.【小问1详解】当22a a -≤时，即12a -≤≤时，A =∅，满足A B ⊆；当A ≠∅时，若A B ⊆，则需22221a a a ⎧<-⎨-≤⎩，解得1a ≤<-，综上，实数a的取值范围2⎡⎤⎣⎦.【小问2详解】由（1）知，当12a -≤≤时，A =∅，所以R U A =ð，满足U B A ⊆ð；当1a <-或2a >时，(])2,2,U A a a ⎡=-∞-+∞⎣ ð，由U B A ⊆ð可得1a ≤，又2a >，所以2a >.综上，实数a 的取值范围[)1,-+∞.。
2024-2025学年福州市一中高一数学上学期10月考试卷及答案解析
2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考高一数学（完卷时间：120分钟；满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知全集(](]0,4,2,4U U A B A C B =⋃=⋂=，则集合B =（ ）A. (],2∞- B. (),2∞- C. (]0,2 D. ()0,2【答案】C【解析】【分析】集合运算可得()=I U U B C A C B ，即可求出结果【详解】(0,4]A B = ，(2,4]=I U A C B 所以()(0,2]==I U U B C A C B 故选：C2. 某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y 1（万件），市场供应量y 2（万件）与市场价格x （百元/件）分别近似地满足下列关系：150y x =-+，2210y x =-，当12y y =时的需求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（ ）A. 6百元B. 8百元C. 9百元D. 18百元【答案】C【解析】【分析】求出封城前平衡需求量，可计算出解封后的需求量，利用需求量计算价格差距即为补贴金额.【详解】封城前平衡需求量时的市场价格x 为5021020x x x -+=-⇒=，平衡需求量为30，平衡价格为20，解封后若要使平衡需求量增加6万件，则11365014x x =-+⇒=，223621023x x =-⇒=，则补贴金额为23149-=.故选：C.3. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，对任意实数x ，下面式子正确的是（ ）A. []x = |x|B. []xC. []x >-xD. []x > 1x -【答案】D 的【解析】【详解】分析：[]x 表示不超过x 最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除．详解：设 1.5x =，[]1x =， 1.5x =1.5=，10.5x -=，排除A 、B ，设 1.5x =-，[]2x =-， 1.5x -=，排除C ．故选D点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一．4. 已知函数2943,0()2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数(())y f f x =的零点所在区间为（ ）A. (1,0)- B. 73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. (4,5)【答案】B【解析】【分析】当0x …时，()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解，此时，(())y f f x =无零点；当0x >时，根据()f x 为增函数，且(3)0f =可得函数(())y f f x =的零点为3()2log 12x g x x =+-的零点，根据零点存在性定理可得结果.【详解】当0x …时，()430x f x =+>，()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解，此时，(())y f f x =无零点；当0x >时，293()2log 92log 9x x f x x x =+-=+-为增函数，且(3)0f =.令(())0(3)f f x f ==，得3()2log 93x f x x =+-=，即32log 120x x +-=，令3()2log 12x g x x =+-，则函数(())y f f x =的零点就是3()2log 12x g x x =+-的零点，因为()3332log 31230g =+-=-<，72377()2log 1222g =+-37log 1202=+->，所以函数(())y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间，考查了根据的解析式判断函数的单调性，属于中档题.5. 设函数()2,11,1x a x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()1f 是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A [)1,2- B. []1,0- C. []1,2 D. [)1,+∞【答案】C【解析】【分析】由1x >，求得()f x 的范围；再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a …时函数()f x 在1x …的最小值，即可得到所求范围．【详解】解：函数2,1()1,1x a x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩…，若1x >，可得()12f x x =+>，由()1f 是()f x 的最小值，由于||()2x a f x -=可得在x a >单调递增，在x a <单调递减，若1a <，1x …，则()f x 在x a =处取得最小值，不符题意；若1a …，1x …，则()f x 在1x =处取得最小值，且122a -…，解得12a ……，综上可得a 的范围是[1，2]．故选：C ．【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．6. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()0f x y f x y f x f y ++--=，()11f -=，则（ ）A. ()00f = B. ()f x 为奇函数C. ()81f =- D. ()f x 的周期为3【答案】C【解析】【分析】令 0x y ==，则得(0)2f =，再令0x =即可得到奇偶性，再令1y =-则得到其周期性，最后根.据其周期性和奇偶性则得到()8f 的值.【详解】令 0x y ==， 得()()22000f f -=得 (0)0f = 或 (0)2f =，当 (0)0f = 时，令0y =得 ()0f x = 不合题意， 故 (0)2f =， 所以 A 错误 ；令 0x = 得 ()()f y f y =-， 且()f x 的定义域为R ，故 ()f x 为偶函数， 所以B 错误 ；令 1y =-， 得 (1)(1)()f x f x f x -++=， 所以 ()(2)(1)f x f x f x ++=+，所以 (2)(1)f x f x +=--， 则(3)()f x f x +=-，则()(6)(3)f x f x f x +=-+=，所以 ()f x 的周期为 6 ， 所以 D 错误 ；令 1x y ==， 得 2(2)(0)(1)f f f +=， 因为()()111f f -==所以 (2)1f =-，所以 ()(8)21f f ==-， 故C 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出函数值即可.7. 函数()(),f x g x 的定义域均为R ，且()()()()4488f x g x g x f x +-=--=，，()g x 关于4x =对称，()48g =，则()1812m f m =∑的值为（ ）A. 24- B. 32- C. 34- D. 40-【答案】C【解析】【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解.【详解】因为()()44f xg x +-=①， ()()88g x f x --=②，对于②式有：()()88g x f x +-=③，由①+③有：()()8412g x g x ++-=，即()()1212g x g x +-=④，又()g x 关于4x =对称，所以()()8g x g x =-⑤，由④⑤有：()()81212g x g x -+-=，即()()81212g x g x +++=，()()4812g x g x +++=，两式相减得：()()1240g x g x +-+=，即()()124g x g x +=+，即()()8g x g x +=，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()g x 的周期为8，又()48g =，所以()()()412208g g g ==== ，由④式()()1212g x g x +-=有：()66g =，.所以()()()614226g g g ==== ，由()48g =，()()1212g x g x +-=有：()84g =，所以()()()816244g g g ==== ，由⑤式()()8g x g x =-有：()()266g g ==，又()()8g x g x +=，所以()()1026g g ==，由②式()()88g x f x --=有：()()88f x g x =+-，所以()()()()()()()18122436101244818m f m f f f g g g ==+++=+++-⨯∑ ()686446881834=+++⨯++-⨯=-，故A ，B ，D 错误.故选：C.8. 已知函数()()()lg 2240f x x a x a a =+--+>，若有且仅有两个整数1x 、2x 使得()10f x >，()20f x >，则a 的取值范围是（ ）A. (]0,2lg 3- B. (]2lg 3,2lg 2--C. (]2lg 2,2- D. (]2lg 3,2-【答案】A【解析】【分析】由题意可知，满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数，即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，然后利用数形结合思想得出()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩以及0a >，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】由()()lg 2240f x x a x a =+--+>，得()lg 224x a x a >-+-.由题意可知，满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数，即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点.如下图所示：由图象可知，由于()()()22422y a x a a x =-+-=--，该直线过定点()2,0.要使得函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，则有()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩，即22lg 3a a <⎧⎨-≥⎩，解得2lg 3a ≤-，又0a >，所以，02lg 3a <≤-，因此，实数a 的取值范围是(]0,2lg 3-.故选A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键利用数形结合思想找到一些关键点来得出不等关系，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9. 下列命题正确的是（ ）A. “1a >”是“21a >”的充分不必要条件B. “M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C. 命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D. 设函数()f x 的导数为()f x '，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.10. 若函数()f x 的定义域为R ，且()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，(2)1f =-，则（ ）A. (0)0f =B. ()f x 为偶函数C. ()f x 的图象关于点(1)0，对称 D. 301()1i f i ==-∑【答案】BCD【解析】【分析】对于A ，令2,0x y ==,可得(0)1f =；对于B ，令0,x y x ==，可得()()f x f x =-，即可判断；对于C ，令1x y ==得f (1)=0，再令1,x y x ==即可判断；对于D ，根据条件可得()()2f x f x =--,继而()()2f x f x =-+，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.【详解】对于A ，令2,0x y ==，则()()()22220f f f =⋅，因为(2)1f =-，所以()220f -=-，则(0)1f =，故A 错误；对于B ，令0,x y x ==，则()()()2(0)()2f x f x f f x f x +-==，则()()f x f x =-，故B 正确；对于C ，令1x y ==得，()()()220210f f f +==，所以f (1)=0，令1,x y x ==得，(1)(1)2(1)()0f x f x f f x ++-==，则()f x 的图象关于点(1)0，对称，故C 正确；对于D ，由(1)(1)0f x f x ++-=得()()2f x f x =--，又()()f x f x =-，所以()()2f x f x -=--，则()()2f x f x =-+，()()24f x f x +=-+，所以()()4f x f x =+，则函数()f x 的周期为4，又f (1)=0，(2)1f =-，则()()()3310f f f =-==，()()401f f ==，则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，所以()()301()12701i f i f f ==++⨯=-∑，故D 正确，故选：BCD.11. 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x R ∈，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=-x f x ，给出下列结论，其中正确的是（ ）A. (2)0f =B. 点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C. 函数()y f x =在[6,2]--上单调递增D. 函数()y f x =在[6,6]-上有3个零点【答案】AB【解析】【分析】由(4)()(2)f x f x f +=+，赋值2x =-，可得(4)()f x f x +=，故A 正确；进而可得(4,0)是对称中心，故B 正确；作出函数图象，可得CD 不正确.【详解】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =-，得(2)0f -=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =-=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]--上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]-上有7个零点，故D 不正确.故选：AB【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12. 设函数()()x x f x e ae a R -=+∈，若()f x 为奇函数，则a =______.【答案】-1【解析】【分析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()x x x x ae ae e e --+=-+，即()()10x x e a e -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.故答案为：-1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.13. 422log 30.532314964log 3log 2225627--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______【答案】1-【解析】【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.【详解】原式=4123232log 3494122563-⨯⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=42log 379121616-++131=-+1=-．故答案为：1-.14. 设m 为实数，若{}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，，则m 的取值范围是 ．【答案】403m ≤≤【解析】【详解】如图可得440033m m -≤-≤∴≤≤四、解答题：本题共5小题，共77分.15. 阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，（1）求f （－2）与f （2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ．因为2＞0，所以f （2）＝ ② ．（2）因为x≤0时，有f(x)＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f(x)在(,0]-∞上的最大值为 ③ ．又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…，而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上最大值为1．综上，f(x)的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A ．（－2）＋3＝1 B ．2(2)2(2)8--+⨯-=-②A.2＋3＝5 B ．22220-+⨯=③A.3B.0④A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0的⑤ A.1 B.3【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ．【解析】【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3．又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…，而且()11f =，所以()f x 在(0,+∞)上的最大值为1．综上，()f x 的最大值为3．16. 如图，某小区要在一个直角边长为30m 的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为ABC V ，花园为矩形DEFG ．根据规划需要，花园的顶点F 在三角形的斜边BC 上，边DG 在三角形的直角边AC 上，顶点G 到点C 的距离是顶点D 到点A 的距离的2倍．（1）设花园的面积为S （单位：2m ），AD 的长为x （单位：m ），写出S 关于x 的函数解析式；（2）当AD 的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）()()2303,010S x x x =-<<（2）当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为1502m .【解析】【分析】（1）根据矩形面积即可求解，（2）根据基本不等式即可求解.【小问1详解】,AD x =则2CG GF x ==，302303GD x x x =--=-，所以()()2303,010S GD GF x x x =⋅=-<<【小问2详解】()()()233032223033303150332x x S x x x x +-⎡⎤=-=⋅-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3303x x =-，即5x =时等号成立，故当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为1502m .17. 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：0x ≥时，21()21x x f x -=+.（1）求()f x 的表达式；（2）若关于x 的不等式()2(23)10f ax f ax ++->恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）21()21x x f x -=+ （2）(]4,0-【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得当0x <时的解析式，即可得到结果；（2）根据定义证明函数()f x 在R 上单调递增，然后再结合()f x 是定义在R 上的奇函数，化简不等式，求解即可得到结果.【小问1详解】设0x <，则0x ->，因为0x ≥时，21()21x x f x -=+，所以()21122112x xx xf x -----==++又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，即()()12211221x x x x f x f x --=--=-=++所以当0x <时，21()21x x f x -=+综上，()f x 的表达式为21()21x x f x -=+【小问2详解】由（1）可知，212()12121x x x f x -==-++，设在R 上任取两个自变量12,x x ，令12x x <则()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()1221212222221212121x x x x x x -=-=++++因为12x x <，则12220x x -<，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<所以函数()f x 在R 上单调递增.即()()22(23)10(23)1f ax f ax f ax f ax ++->⇒+>--，由()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()()2211f ax f ax ---=即()21(23)f ax f ax >-+，由函数()f x 在R 上单调递增，可得22231240ax ax ax ax +>-⇒--<恒成立，当0a =时，即40-<，满足；当0a ≠时，即20Δ4160a a a <⎧⎨=+<⎩，解得40a -<<综上，a 的取值范围为(]4,0-18. 已知0,a b a c d >≥≥≥，且ab cd ≥．（1）请给出,,,a b c d 的一组值，使得2()a b c d ++≥成立；（2）证明不等式a b c d ++≥恒成立．【答案】（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）找到一组符合条件的值即可；（2）由a c d ≥≥可得()()0a c a d --≥,整理可得2()a cd c d a ++≥,两边同除a 可得cd a c d a ++≥,再由ab cd ≥可得cd b a ≥,两边同时加a 可得cd a b a a+≥+,即可得证.【详解】解析:（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明:由题意可知,0a ≠,因为a c d ≥≥,所以()()0a c a d --≥.所以2()0a c d a cd -++≥,即2()a cd c d a ++≥.因为0a b >≥,所以cd a c d a++≥,因为ab cd ≥,所以cd b a≥,所以cd a b a c d a +++≥≥.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.19. 对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数．（1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可）（2）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【答案】（1）{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．（2）{0,,,}b c b c +；证明见解析．（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，由0S ∈知0a =；由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=，分别讨论两种情况可的结果；（3）记1009n =，则21S n =+，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤，从而得到22n M x nm ==，从而得到S ，可知存在元素m 满足题意.【详解】（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2．（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =，考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=，若d c c -=，则考虑,b c ，2c b c c d <+<= ，c b S ∴-∈，则c b b -=，{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．（3）记1009n =，则21S n =+，首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=，分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，2n M x ∴=，对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈，特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=，以此类推：()1i x im i n =≤≤，22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.。
河南省新乡市九师联盟2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
高一数学试题（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第五章第3节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与2024-︒角终边相同的角是（）A.24︒B.113︒C.136︒D.224︒2.已知集合{34},{20}A x x B x x =∈-<≤=->N∣∣，则()B A ⋂=R ð（）A.{}1,2 B.{}2,1,0-- C.{}0,1,2 D.{}2,1,0,1,2--3.已知函数()2,0πsin ,03x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩则(1)f -=（）A.2B.12-C.12D.24.函数3()ln(1)f x x x=--的零点所在区间为（）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)5.“lg 0x >”的一个必要条件是（）A.22x -<<B.42x -<≤-C.2x >- D.||2x >6.设13π21log 3,2,log 3a b c ===，则（）A.b a c >>B.a b c >>C.c a b>> D.a c b>>7.已知1m >，点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =-的图象上，则（）A.123y y y <<B.321y y y <<C.132y y y =< D.213y y y <=8.若函数()222,143,1x m x f x x mx m x ⎧-<=⎨-+≥⎩有3个零点，则实数m 的取值范围是（）A .1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.()[),01,-∞⋃+∞C.[)1,2 D.[)1,12,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角α和β的终边关于x 轴对称，则（）A.sin sin αβ=-B.tan tan αβ=C .πsin cos 2αβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D.cos(π)cos αβ-=10.下列说法正确的是（）A.若0x >，则1x x+有最小值2B.若x ∈R ，则241xx +有最大值2C.若x y >，则33x y > D.若0x y <<，则11x y>11.关于幂函数()()1mf x m x -=-，下列结论正确的是（）A.()f x 的图象经过原点B.()f x 为偶函数C.()f x 的值域为()0,∞+ D.()f x 在区间()0,∞+上单调递增12.设函数()f x 的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,,,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数()22f x x x =+，则（）A.()323f = B.()3f x 的最小值为1-C.()3f x 在[]1,1-上单调递减D.()31f x -为偶函数三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某扇形所在圆的半径为3，扇形的面积为3π，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.14.已知集合{}{}21,xA xB x x a =<=≥∣∣，若,x A x B ∃∈∈，则实数a 的取值范围是__________.15.函数()4323x f x x -=+的单调递增区间为__________.16.已知函数3322y x =+与函数1122x x y +--=-的图象交于,,M N P 三点，则此三点中最远的两点间的距离为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知角α的终边经过点()sin 30,1P ︒．（1）求sin α，cos α的值；（2）求sin(π)cos 5πcos 2ααα++⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知,x y 均为正数，且1x y +=，求证：4925x y+≥；（2）已知0a b >>，求证：3322a b ab a b+>+.19.已知函数21()21x x f x -=+．（1）求证：函数()f x 是定义域为R 的奇函数；（2）判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明．20.已知f x b =++（a ，b 均为常数），且(0)1,(1)2f f ==-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对(1,2)x ∀∈，不等式3log [()]2f x m +≤成立，求实数m 的取值范围．21.已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =-.（1）求函数()g x 的解析式；（2）若函数()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上单调递减，求实数λ的取值范围.22.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之x，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明垃圾和.记C点到城A的距离为km处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为9.（1）若垃圾处理厂建在圆弧AB的中点处，求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度；（2）求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度的最小值.高一数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第五章第3节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与2024-︒角终边相同的角是（）A.24︒B.113︒C.136︒D.224︒【答案】C 【解析】【分析】将2024-︒改写为20241363606︒-=-︒⨯︒，根据终边相同角的定义即可求解.【详解】因为20241363606︒-=-︒⨯︒，所以2024-︒角与136︒角终边相同.故选：C2.已知集合{34},{20}A x x B x x =∈-<≤=->N∣∣，则()B A ⋂=R ð（）A.{}1,2 B.{}2,1,0-- C.{}0,1,2 D.{}2,1,0,1,2--【答案】C 【解析】【分析】根据集合的补集与交集的概念计算即可.【详解】由题意可得，{0,1,2,3,4},{|2}A B x x ==>，∴{|2}B x x =≤R ð，∴(){}0,1,2B A =R ð．故选：C ．3.已知函数()2,0πsin ,03x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩则(1)f -=（）A.2B.12-C.12D.2【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入计算可得.【详解】由题意可得()π1sin 32f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭．故选：A4.函数3()ln(1)f x x x=--的零点所在区间为（）A.(2,3) B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)【答案】B 【解析】【分析】分别验证每个区间端点值的正负符号，由零点存在定理可判断出结果.【详解】易知函数3()ln(1)f x x x=--在其定义域(1,)+∞上连续不断，且3(3)ln 210,(4)ln 304f f =-<=->，则函数的零点在区间(3,4)上．故选：B ．5.“lg 0x >”的一个必要条件是（）A.22x -<<B.42x -<≤-C.2x >-D.||2x >【答案】C 【解析】【分析】先利用对数函数单调性求得“lg 0x >”的充要条件，然后把必要条件转化为真子集关系，逐项判断即可.【详解】由lg 0x >得1x >，要成为“lg 0x >”的必要条件，则{}1x x >是其对应的集合的真子集，而22,42,2x x x -<<-≤-均不满足题意，因为{}1x x >是{}2x x >-的真子集，所以“lg 0x >”的一个必要条件是“2x >-”.故选：C6.设13π21log 3,2,log 3a b c ===，则（）A.b a c >>B.a b c >>C .c a b>> D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性与“0，1”比较即可.【详解】13π210log 31,21,log 03a b c <===< ，c a b ∴<<．故选：A ．7.已知1m >，点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =-的图象上，则（）A.123y y y <<B.321y y y <<C.132y y y =<D.213y y y <=【答案】D 【解析】【分析】利用二次函数的对称性和单调性求解即可.【详解】二次函数22()2(1)1f x x x x =-=--，其图象的对称轴方程为1x =，而()()112m m -++=，所以()()11f m f m -+=，即13y y =，当1x >时，()f x 是单调增函数，因为1m >，所以11m m +>>，所以()()1f m f m +>，即23y y <，综上，213y y y <=．故选：D ．8.若函数()222,143,1x m x f x x mx m x ⎧-<=⎨-+≥⎩有3个零点，则实数m 的取值范围是（）A.1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()[),01,-∞⋃+∞C.[)1,2D.[)1,12,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U 【答案】C 【解析】【分析】分析可知，函数()f x 在(),1-∞上有一个零点，在[)1,+∞上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】当1x <时，函数()2xf x m =-单调递增，则函数()f x 在(),1-∞上至多一个零点，当1x ≥时，函数()()()22433f x x mx m x m x m =-+=--至多两个零点，因为函数()f x 有三个零点，则函数()f x 在(),1-∞上有一个零点，在[)1,+∞上有两个零点，当1x <时，令()20xf x m =-=，可得2x m =，必有0m >，解得2log x m =，所以，2log 1m <，解得02m <<；当1x ≥时，由()()()30f x x m x m =--=，可得x m =或3x m =，所以，1313m m m m ≥⎧⎪≥⎨⎪≠⎩，解得m 1≥.综上所述，实数m 的取值范围为[)1,2.故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角α和β的终边关于x 轴对称，则（）A.sin sin αβ=-B.tan tan αβ=C.πsin cos 2αβ⎛⎫+=⎪⎝⎭D.cos(π)cos αβ-=【答案】AC 【解析】【分析】根据题意2π,k k αβ=-+∈Z ，然后根据诱导公式逐项判断即可.【详解】因为角α和β的终边关于x 轴对称，可得2π,k k αβ=-+∈Z .对于A ，由sin sin(2π)sin k αββ=-+=-，A 正确；对于B ，由tan tan(2π)tan()tan k αβββ=-+=-=-，B 错误；对于C ，由πsin cos cos(2π)cos()cos 2k ααβββ⎛⎫+==-+=-=⎪⎝⎭，C 正确；对于D ，由cos(π)cos cos(2π)cos k ααββ-=-=--+=-，D 错误.故选：AC10.下列说法正确的是（）A.若0x >，则1x x+有最小值2B.若x ∈R ，则241xx +有最大值2C.若x y >，则33x y > D.若0x y <<，则11x y>【答案】ACD 【解析】【分析】根据基本不等式和不等式的性质判断．【详解】0x >，则12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，A 正确；x ∈R ，20x>．211141222x x x x =≤++，当且仅当21x =，即0x =时等号成立，因此241x x +的最大值是12，B 错；由不等式的性质知C 正确，因为0x y <<，所以0,0y x xy ->>，所以110--=>y x x y xy ，即11x y>，D 正确，故选：ACD ．11.关于幂函数()()1mf x m x -=-，下列结论正确的是（）A.()f x 的图象经过原点B.()f x 为偶函数C.()f x 的值域为()0,∞+D.()f x 在区间()0,∞+上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】由题意11m -=，得2()f x x -=，利用幂函数的性质判断各选项即可.【详解】由题意，11m -=，所以2m =，即2().f x x -=对于A ，()221f x xx-==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，故()f x 的图象不经过原点，A 错误；对于B ，因为221()f x xx-==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，2211()()()f x f x x x -===-，故()f x 为偶函数，B 正确；对于C ，由于21()0f x x =>，故值域为(0,)+∞，C 正确；对于D ，由于20-<，故2()f x x -=在区间(0,)+∞上单调递减，D 错误．故选：BC ．12.设函数()f x 的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,,,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数()22f x x x =+，则（）A.()323f = B.()3f x 的最小值为1-C.()3f x 在[]1,1-上单调递减 D.()31f x -为偶函数【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意得出3()f x 的解析式，即可判断ABC ；求得3(1)f x -的解析式，作出函数的图象，由图象判断D ．【详解】根据题意，由223x x +≤，解得31x -≤≤，232,31()3,33,1x x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=<-⎨⎪>⎩，所以3(2)3f =，故A 正确；当31x -≤≤时，223()2(1)1f x x x x =+=+-，且3()f x 在[]1,1-上单调递增，在[]3,1--上单调递减，()()()33313,11,33f f f =-=--=，所以31()3f x -≤≤，即3()f x的值域为[]1,3-，故B正确，C错误；因为231,22(1)3,23,2x xf x xx⎧--≤≤⎪-=<-⎨⎪>⎩，则3(1)f x-的图象如图所示，由图可知()31f x-的图象关y轴对称，所以函数()31f x-为偶函数，故D正确．故选：ABD．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某扇形所在圆的半径为3，扇形的面积为3π，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】2π3【解析】【分析】先根据扇形面积求得弧长，再利用弧长公式求得圆心角.【详解】由扇形面积12S rl=，得13π2lr=，解得2πl=，所以该扇形的圆心角（正角）2π3lrα==.故选：2π314.已知集合{}{}21,xA xB x x a=<=≥∣∣，若,x A x B∃∈∈，则实数a的取值范围是__________.【答案】(,0)-∞【解析】【分析】由命题的真假得出a A∈，从而易得其范围．【详解】{|21}{|0}xA x x x=<=<，{|}B x x a=≥，因为,x A x B∃∈∈，所以a A∈，所以a的范围是(,0)-∞，故答案为：(,0)-∞．15.函数()4323x f x x -=+的单调递增区间为__________.【答案】33(,,)22-∞--+∞【解析】【分析】利用分离常数法，得9()223f x x =-+，结合x 的范围可得答案.【详解】434699()2232323x x f x x x x -+-===-+++，由230x +¹，得32x ≠-，当3(,)2x ∈-∞-时，923y x =+单调递减，()f x 单调递增；当3(,)2x ∈-+∞时，923y x =+单调递减，()f x 单调递增，所以()f x 的单调增区间为33(,),(,)22-∞--+∞．故答案为：33(,,)22-∞--+∞．16.已知函数3322y x =+与函数1122x x y +--=-的图象交于,,M N P 三点，则此三点中最远的两点间的距离为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，三个交点中一个必是点()1,0-，另外两个点关于点()1,0-对称．不妨记()1,0N -，设11133(,),122M x x x +>-，由1()f x =1()g x 求得1x ，所以此三点中最远的两点间的距离为2||MN ．【详解】不妨记111(1)12333()(1),()2222222x x x x y f x x x y g x +--+-+=+=-===+=-，函数32y x =与22x x y -=-是奇函数且关于坐标原点对称，易知()(),f x g x 两个函数的图象均以点(1,0)-为对称中心，所以三个交点中一个必是点()1,0-，另外两个点关于点()1,0-对称．不妨记()1,0N -，设11133(,),122M x x x +>-，所以1()f x =1()g x ，即111(1)13(1)222x x x +-+=+-，解得111x +=，10x =，则2MN =，所以此三点中最远的两点间的距离为2||MN =．．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知角α的终边经过点()sin 30,1P ︒．（1）求sin α，cos α的值；（2）求sin(π)cos 5πcos 2ααα++⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）sin 5α=，cos 5α=（2）12【解析】【分析】（1）根据三角函数定义即可得；（2）结合诱导公式即可得.【小问1详解】由1sin 302︒=，故角α的终边经过点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以25sin 5α==，12cos 5α==；【小问2详解】sin(π)cos sin cos 1555πsin 225cos 25αααααα-+++-+==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.18.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知,x y 均为正数，且1x y +=，求证：4925x y+≥；（2）已知0a b >>，求证：3322a b ab a b +>+.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用1的妙用，结合基本不等式证明即可；（2）利用作差法证明即可.【小问1详解】证明：因为1x y +=，所以4949()()x y x y x y +=++49494913y x y x x y x y ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，又因为0,0x y >>，所以490,0y x x y>>，所以4912y x x y +≥=，当且仅当49y x x y =，即23,55x y ==时取等号，所以4925x y+≥．【小问2详解】证明：33223232a b ab a b a ab b a b+--=-+-2222222()()()()()()a a b b b a a b a b a b a b =-+-=--=-+，因为0a b >>，所以20,()0a b a b +>->，所以2()()0a b a b -->，所以33220a b ab a b +-->，即3322a b ab a b +>+．19.已知函数21()21x x f x -=+．（1）求证：函数()f x 是定义域为R 的奇函数；（2）判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）证明见解析（2）函数()f x 在R 上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数为奇函数；（2）利用定义法证明函数的单调性.【小问1详解】函数21()21x x f x -=+的定义域为R ，对于x ∀∈R ，都有x -∈R ，且211221()()211221x x x x x x f x f x ------===-=-+++，所以函数()f x 是定义域为R 的奇函数．【小问2详解】函数()f x 在R 上单调递增，证明如下：对于12,x x ∀∈R ，且12x x <，()()()()()()()()()()()1221121212121212212121212222121212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x -+--+----=-==++++++，因为12x x <，所以12022x x <<，则12120,10,102222x x x x -<+>+>，则()()120f x f x -<，故函数()f x 在R 上单调递增.20.已知f x b =++（a ，b 均为常数），且(0)1,(1)2f f ==-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对(1,2)x ∀∈，不等式3log [()]2f x m +≤成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2()41(0)f x x x x =-+≥（2）[3,11]．【解析】【分析】（1）由(0)1,(1)2f f ==-，代入函数解析式求出,a b ，得函数()f x 的解析式；（2）不等式等价于0()9f x m <+≤，利用函数()f x 在定义区间内的值域，求实数m 的取值范围．【小问1详解】由f x b =++，得2f b =++，即2()(0)f x x ax b x =++≥，由(0)1,(1)2f f ==-，可得(0)1,(1)12,f b f a b ==⎧⎨=++=-⎩解得1,4.b a =⎧⎨=-⎩所以2()41(0)f x x x x =-+≥【小问2详解】由3log [()]2f x m +≤，可得0()9f x m <+≤，所以对(1,2)x ∀∈，都有0()9f x m <+≤成立．由于22()41(2)3f x x x x =-+=--，所以()f x 在(1,2)上单调递减，且(1)2,(2)3f f =-=-，因此当(1,2)x ∈时，()(3,2)f x ∈--，要使0()9f x m <+≤，则29m -≤，且30m -≥，解得311m ≤≤．故实数m 的取值范围为[3,11]．21.已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =-.（1）求函数()g x 的解析式；（2）若函数()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上单调递减，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2()2g x x x=--（2）(,0]-∞【解析】【分析】（1）设点(),x y 是()g x 图象上任意一点，则(),x y 关于原点的对称点(),x y --在函数()f x 的图象上，即可求解；（2）2()(1)2(1)1h x x x λλ=-++-+，分为1λ=-，1λ>-与1λ<-三种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】设点(),x y 是()g x 图象上任意一点，则(),x y 关于原点的对称点(),x y --在函数()f x 的图象上，所以2()2()y x x -=---，即22y x x =--，所以2()2g x x x =--．【小问2详解】222()()()12(2)1(1)2(1)1h x g x f x x x x x x x λλλλ=-+=----+=-++-+，①当1λ=-时，()41h x x =-+在[]1,1-上单调递减，满足题意；②当1λ>-时，要使()h x 在[]1,1-上单调递减，由二次函数的性质可得111λλ-≤-+，解得10λ-<≤，所以10λ-<≤；③当1λ<-时，要使()h x 在[]1,1-上单调递减，由二次函数的性质可得111λλ-≥+，解得1λ<-，所以1λ<-．综上，实数λ的取值范围是(,0]-∞．22.两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和.记C 点到城A 的距离为km x ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为9.（1）若垃圾处理厂建在圆弧AB 的中点处，求垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度；（2）求垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度的最小值.【答案】（1）0.065（2）0.0625【解析】【分析】（1）由题意得90ACB ∠=︒，由20,AB AC x ==可得22400BC x =-，从而得总影响度的解析式，即可求解；（2）可得2225(320)(400)x y x x +=-，令2320(320,720)x t =∈+，所以5230400()1040y t t=-++，利用基本不等式求解即可得出答案.【小问1详解】点C 在以AB 为直径的半圆上，所以90ACB ∠=︒，由20,AB AC x ==，可得22400BC x =-，由题意可得2249(020)400y x x x =+<<-，因为垃圾处理厂建在弧 AB 的中点处，所以490.065200400200y =+=-，故所求总影响度为0.065．【小问2详解】由（1）知222222222494(400)95(320)400(400)(400)x x x y x x x x x x ⨯-++=+==---，令2320(320,720)x t =∈+，则2320x t =-，所以255(320)(720)2304001040t t y t t t t ==-⨯---+()5,320,720230400()1040t t t=∈-++，因为2304002480960t t +≥=⨯=，当且仅当230400t t =，即480,t x ==此时5510.0625230400960104016()1040y t t =≥==-+-++，故垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度的最小值为0.0625．。
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第一次月考数学试卷
答题卡
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案
填在题中横线上)
13． __ _______. 14. _____ ___．
15 ____ __． 16 ____ ___．
三、解答题(本大题共4个小题，每小题10分,共40分，解答应写出
文字说明，证明过程或演算步骤)
17.化简y＝4x2＋4x＋1＋4x2－12x＋9，并画出简图．
18．Ⅰ.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，
求f(x)，g(x)的表达式．
Ⅱ.已知函数2()426()fxxaxaaR.
(1)若函数的值域为0,，求a的值.
(2)若函数值为非负数，求函数()23faaa的值域.
19.定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)<0，
求实数a的取值范围．
座位 号
20．Ⅰ.设f(x)＝4x4x＋2，若0＜a＜1，试求：
(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)求f(11 001)＋f(21 001)＋f(31 001)＋…＋f(1 0001 001)的值．
Ⅱ.已知函数2()(0,)afxxxaRx常数
（1）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f(x)在2,x上为增函数，求a的取值范围.