2020年上海崇明高三数学二模试卷(含答案)

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2023-2024学年上海崇明区高三二模数学试卷及答案

高三数学共4页第1页2023学年第二学期学业质量调研高三数学考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．若集合{2,0,1}A =−，{|1B x x =<−或0}x >，则A B = ． 2．不等式(1)0x x −<的解为．3．已知向量()()2,,1,2,1,4a b λ=−=−，若a b ⊥ ，则λ= ． 4．若复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则z = ．5．若等差数列{}n a 的首项11a =，前5项和525S =，则5a = ． 6．已知幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)，则(3)f = ． 7．若5()x a +的二项式展开式中2x 的系数为10，则a = ．8．已知底面半径为1的圆柱，O 是其上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线．若直线OA 与BC 所成角的大小为3π，则BC = ．9．已知函数3,0(),0x x x y f x x −< = > 为奇函数，则(2)f = ．10．某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是．（默认每月天数相同，结果精确到0.001）11．已知A 、B 、C 是半径为1的圆上的三个不同的点，且AB = AB AC ⋅的最小值是．12．已知实数1212,,,x x y y 满足：2222112212121,1,1x y x y x y y x +=+=−=，则112222x y x y +−++− 的最大值是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13．若a b >，0c <，则下列不等式成立的是A ．a b c >−B ．a bc c> C ．a c b c +<+D ．22ac bc >高三数学共4页第2页14．某单位有A 、B 两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示．设A 、B 两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为1n 、2n ，方差分别为21s 、22s ，则下列说法正确的是 A ．12n n >，2212s s > B ．12n n >，2212s s < C ．12n n <，2212s s < D ．12n n <，2212s s >15．设函数()sin 6f x x π=−，若对于任意5,62ππα ∈−− ，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为 A ．6π B ．2π C ．76πD ．π16．已知函数()y f x =的定义域为12,,D x x D ∈．命题p ：若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上奇函数．命题q ：若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数．下列说法正确的是 A ．p 、q 都是真命题B ．p 是真命题，q 是假命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．p 、q都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）如图，在三棱锥P ABC −中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．的高三数学共4页第3页18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）在锐角三角形ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若CD 为CA在CB 方向上的投影向量，且满足2sin c B = （1）求cos C 的值；（2）若b =3cos a c B =，求ABC △的周长．19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分6分）某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示．不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者15 45 60 总计135205340（1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？（2）常用()()()P B A L B A P B A =表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A 表示“选到的人是吸烟者”，B 表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计()L B A 的值；（3）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，2( 3.841)0.05P χ≈≥．高三数学共4页第4页20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知椭圆22:12x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 、Q 是Γ上不同于点A 的两点．（1）求椭圆Γ的离心率；（2）若F 是椭圆Γ的右焦点，B 是椭圆下顶点，R 是直线AF 上一点.若△ABR 有一个内角为3π，求点R 的坐标；（3）作AH PQ ⊥，垂足为H ．若直线AP 与直线AQ 的斜率之和为2，是否存在x 轴上的点M ，使得MH为定值？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知()ln 1f x a x ax =−−−.（1）若1a =−，求曲线()y f x =在点(1,2)P 处的切线方程；（2）若函数()y f x =存在两个不同的极值点12,x x ，求证：12()()0f x f x +>；（3）若1a =，()()g x f x x =+，数列{}n a 满足1(0,1)a ∈，1()n n a g a +=．求证：当2n ≥时，212n n n a a a +++>．高三数学共4页第5页崇明区2023学年第二学期学业质量调研考试参考答案及评分标准一、填空题1. {2,1}−；2. (0,1)；3. 8−；4. 1−i ；5. 9；6. 9；7. 1；9. 199−； 10. 0.996；11. 32； 12.6. 二、选择题13. D ； 14. C ； 15. B ； 16. C. 三、解答题17. 解（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 中点，所以OP ⊥AC ，且OP= 连结OB ．因为AB =BCAC ，222AB BC AC +=，所以△ABC 为等腰直角三角形，故OB ⊥AC ，OB =12AC =2．因为222OP OB PB +=，所以OP OB ⊥．......................4分因为OP OB OP AC ⊥⊥，，OB AC O = ，所以PO ⊥平面ABC ．........................................................7分（2）方法一：作CH ⊥OM ，垂足为H ．因为OP ⊥平面ABC ，所以OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．..................4分由题意，OC=12AC =2，CM�ACB=45°．所以OMCH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠所以点C 到平面POM.......................................7分方法二：设C 到平面POM 的距离为h ，由（1）知PO 即为P 到平面COM 的距离，且PO OM ⊥．.......................................1分又PO =，在OMC △中，22,453OC CM BC ACB °===∠=，则由余弦定理得OM =，.......................................1分因为C POM P COM V V −−=，即1133POMCOM S h S PO ⋅=⋅△△，的高三数学共4页第6页故COM POM S PO hS ⋅=△△．即点C 到平面POM． ..................................7分 18.解（1）由题意，得cos CD b C =，又2sin c B =2sin cos c B C =，由正弦定理sin sin b c B C=，得2sin sin cos C B B C =，又sin 0B ≠，所以2sin C C =，..................................4分因为C为锐角，所以2cos 3C =...................................6分（2）由3cos a c B =，得cos 3a B c=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +−=，所以22223a c b a ac c +−=，得22233a c b +=①..............3分由由余弦定理得2222cos 23a b c C ab +−==，得222333a b c +−②............................5分联立①②，解得ac=，故ABC △的周长为a b c ++=...............8分19.解 (1)假设0H ：患慢性气管炎与吸烟无关.22340(1204516015) 6.58128060135205χ××−×≈×××由2( 3.841)0.05P χ≈≥，而6.581 3.481>，从而否定原假设，即有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.....................................................4分（2）()()()||9()()32()()()||()P A B P B A P A B A B P A L B A P B A P A B P A B A B P A =====............................4分（3）按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人，....................................................1分 X 的可能值为0，1，2，3，其分布是012341812135353535....................................................5分所以4181219[]0123353535357E X =×+×+×+×=....................................................6分高三数学共4页第7页20.解（1）由题意，1a c ==，所以离心率c e a==分（2）由题意，(1,0)F ，(0,1)A ，所以直线AF 的方程为：1y x =−+，设00(,1)R x x −+显然4BAR π∠=...................................................................................2分 ①当3ABR π∠=时，00(0,2),(,2)BA BR x x ==−+ ，由1cos 2||||BA BRABR BA BR ⋅∠==，得：200660x x −+=，解得03x =+03x =−分②当3ARB π∠=时，0000(,),(,2)RA x x RB x x =−=−− ，由1cos 2||||BA BRABR BA BR ⋅∠==，得：2003620x x −+=，解得01x =（舍去）或01x = 综上所述，点R的坐标是(32−+或(1.....................6分（3）假设存在定点(,0)M m 满足题意，当PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx b =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2221x y y kx b+==+ 得22212)4220k x kbx b +++−=（，由题意，2222164(12)(22)0k b k b ∆=−+−>，即22210k b −+>①．2121222422,1212kb b x x x x k k −+=−=++， 122121211212121211()()(1)()2AP AQ y y x kx b x x kx b x b x x k k k x x x x x x −−+−++−−++=+==+2(1)22222(1)1b kb k k b b −⋅=−==−+，所以1k b =+，代入①，得：2430b b ++>，所以3b <−或1b >−，即存在直线PQ 使得直线AP与直线AQ 的斜率之和为2.....................................................................3分直线PQ 的方程为1y kx k =+−，直线AH 的方程为11y x k=−+由111y kx k y x k =+− =−+，得：22221211k k x k k y k −= + − =+ +，即22222(,1)11k k k H k k −−+++.................5分所以2222222222(2)(21)()(1)1111k k k k m k MH m m k k k −−−+=−++=+++++高三数学共4页第8页所以当12m =−时，MH为定值...........................................................7分当直线PQ 斜率不存在时，设00(,)P x y ，00(,)Q x y −，则0000112AP AQ y y k k x x −−−+=+=，01x =−，此时(1,1)H −，MH = 满足题意．所以存在定点1(0)2,P −，使得MH为定值且定值为.................8分 21.解（1）当1a =−时，1'()1,'(1)3f x f x=+=所以曲线()y f x =在点(1,2)P 处的切线方程为31y x =−.................4分（2）由'()0f x =0aa x−−=，令t =0t > 原方程可化为：20at t a −+=①，则12t t ①的两个不同的根所以21401a a∆=−>> ，解得102a <<.................3分所以121212()()(ln ln )()2f x f x a x x a x x +=+−+−+−222212121212()ln()()222t t a t t a t t a a+−−+−+− 因为102a <<，所以12220a a+−>−>，所以12()()0f x f x +>.......................6分（3）由题意，()ln 1g x x =−−，所以'()g x =当(0,1)x ∈时，'()0g x <，所以函数()y g x =在区间(0,1)上严格减，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，所以函数()y g x =在区间(1,)+∞上严格增，.................3分因为101a <<，所以21()(1)1a g a g >，32()(1)1a g a g >，以此类推，当2n ≥时，1()(1)1n n a g a g +>，.................4分又110'(2)21f x x ×−==<，所以函数()y f x =在区间(0,)+∞上严格减，当2n ≥时，()()(1)0n n n f a g a a f =−<=，所以1n n a a +<，.................7分所以1()()n n f a f a +>，即211n n n n a a a a +++−>−，故212n n n a a a +++>...................................8分三、解答题17. 解解（1）2023学年第二学期学业质量调研高三数学答题纸完卷时间：120分钟满分：150分注意事项1. 答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写清楚并认真填涂考号下方的涂点。

2023年上海市崇明区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年上海市崇明区高考数学二模试卷1. 若不等式，则x的取值范围是______ .2. 设复数z满足是虚数单位，则______ .3. 已知集合，，若，则实数a的值为______.4. 已知函数，的最小正周期为1，则______ .5. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于______ .6. 在的展开式中常数项是____________用数字作答7. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩单位：分，分数从低到高依次：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的第80百分位数是______ .8. 某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.气温141286用电量度22263438由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为时，用电量的度数约为______9.已知抛物线上的两个不同的点A，B的横坐标恰好是方程的根，则直线AB的方程为______.10. 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定.面对这些不同和不确定，需要作出假设.例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设______ .11. 设平面向量满足：，，，，则的取值范围是______ .12. 若函数的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是______ .13. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为( )A. B. C. D.14. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示.则有( )A. ，B. ，C. ，D. ，15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”．如图，在堑堵中，，且下列说法错误的是( )A. 四棱锥为“阳马”B. 四面体为“鳖臑”C. 四棱锥体积的最大值为D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF16. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，⋯，在，之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则( )A. 当时，数列单调递减B. 当时，数列单调递增C. 当时，数列单调递减D. 当时，数列单调递增17. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，求直线与平面ABP所成角的大小；求点A到平面的距离.18. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，求角B大小；设，当时，求的最小值及相应的19. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图不用说明理由20. 已知椭圆：，点A，B分别是椭圆与y轴的交点点A在点B的上方，过点且斜率为k的直线l交椭圆于E，G两点.若椭圆焦点在x轴上，且其离心率是，求实数m的值；若，求的面积；设直线AE与直线交于点H，证明：B，G，H三点共线.21. 已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有若，，求实数a的取值范围；证明：方程至多只有一个实根；若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有答案和解析1.【答案】【解析】解：，则，解得，的取值范围是故答案为：根据绝对值的几何意义解不等式．本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】【解析】解：，故答案为：把给出的等式变形后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】0【解析】解：集合，，，或，当时，，，不成立；当时，，，，成立．故实数a的值为故答案为：由集合，，，得或，由此能出实数a的值．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．4.【答案】【解析】解：，依题意，；故答案为：根据三角函数周期与角频率的关系求解．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．5.【答案】4【解析】解：，当，即，时等号成立，故的最小值为故答案为：直接利用基本不等式计算得到答案．本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．6.【答案】45【解析】解：要求常数项，即，可得代入通项公式可得故答案为：利用二项式的通项公式让次数为0，求出就可求出答案．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．7.【答案】【解析】解：因为，故这15人成绩的第80百分位数为故答案为：计算，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案．本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．8.【答案】40【解析】解：根据表格数据可得，，，则样本中心点为根据回归直线性质，经过样本点中心，则有，得，故回归直线为，当，故答案为：利用回归直线经过样本点的中心，先算出，然后令代入回归直线进行求解．本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，，，因为点A，B的横坐标恰好是方程的根，所以，，联立，消y得，则，，所以，，所以，，经检验，符合题意，所以直线AB的方程为故答案为：设直线AB的方程为，，，根据题意结合韦达定理可得，，联立方程，再次里由韦达定理求得，，从而可求出k，b，即可得解．本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】等待时，前后相邻两辆车的车距都相等答案不唯一【解析】解：根据题意和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等．故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等答案不唯一利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可．本题主要考查简单的合情推理，属于基础题．11.【答案】【解析】解：依题意，设，，根据，即，即，整理得显然，否则，，与已知矛盾，故，可得由，即，则有，故，解得故故答案为：根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解．本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，由时，；得其关于原点对称后的解析式为，问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，化简得，即与在上有两个交点．对于，求导，令，解得，即：当时，单调递增；令，解得：即：当时，单调递减，为其极大值点，，时，；画出其大致图像：欲使与在时有两个交点，则，即故答案为：由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数a的取值范围．本题主要考查分段函数的应用，考查转化能力，属于中档题．13.【答案】D【解析】解：A项中，，则是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；B项中，，是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；C项中，，则为非奇非偶函数，不符合；D项中，，是奇函数，又在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，符合．故选：根据奇函数定义判断奇偶性，根据函数的图象判断单调性，但要注意单调区间是定义域的子集．本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．14.【答案】A【解析】解：根据正态分布函数的性质：是正态分布曲线的对称轴；反应的正态分布的离散程度，越大，越分散，曲线越“矮胖”，越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图象可得，故选：根据正态分布的性质即可得解．本题主要考查正态分布曲线的特点，属于基础题．15.【答案】C【解析】解：底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，在堑堵中，，侧棱平面ABC，A选项，，又，且，则平面，四棱锥为“阳马”，故A正确；B 选项，由，即，又且，，平面，，则为直角三角形，又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，四面体为“鳌臑”，故B正确；C 选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，，最大值为，故C错误；D选项，因为，，，所以平面AEF，故D正确；故选：根据“阳马”和“鳌臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面AEF，进而判断D的正误．本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．16.【答案】D【解析】解：数列是各项为正数的等比数列，公比为q，由题意，，，对于，，这个数列是单调递增的数列，最小的一项即第一项为，则是否大于1，不确定，A，B错误，当时，，则此时必有，则数列单调递增，则D 项正确，C项错误．故选：将表示出来，由于数列各项为正数，若，才是递增数列，围绕条件进行讨论是否大于本题考查递推式，考查递增数列需满足的条件，属于中档题．17.【答案】解：由题意知，直线与平面ABP的夹角，即为，易知，，又，故，进而有，，由圆柱的表面积为，可得，故，故直线与平面ABP的夹角为设点A到平面的距离为h，则，，，因为平面ABP，，所以平面，即，在中，，故，所以，即点A到平面的距离为【解析】根据圆柱的特征可得直线与平面ABP的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解；利用等体积转化法即可求解．本题考查线面角的定义及其求解，考查点到平面的距离以及等体积法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：由已知条件得，由正弦定理得，即，，则，，，又，；，，，则的最小值，其中，即当时，有最小值【解析】本题考查了三角函数中的恒等变换，正余弦定理以及三角函数的性质，属于中档题．利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x值．19.【答案】解：设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A…分从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以；…分的所有可能取值为0，1，2，…分，，分X的分布列为X012P…分；…分月3日…分由直方图知，微信记步数落在，单位：千步区间内的人数依次为，，，，据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求．【解析】分别根据微信记步数信息计算出甲乙步数都不低于10000的概率，再用分布原理处理．服从超几何分布，确定X的取值为0，1，2，代入超几何分布概率公式即可．由直方图知，微信记步数落在各区间的频率，再根据甲和乙的名次情况分析即可．本题考查了频率分布直方图，折线图等识图能力，考查了古典概率模型的概率计算，超几何分布等的计算，还考查了推理能力．属于中档题．20.【答案】解：若椭圆焦点在x轴上，且其离心率是，则，解得若，则过点且斜率为k的直线l的方程为：，椭圆的方程为：设，，联立，消去y整理得，解得，则，故，于是依题意知，，则点B到的距离为，故证明：设，，联立，得到，由，得到直线AE方程为：，令，解得，即，又，，为说明B，G，H三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：，而，，，，于是上式变为：，由韦达定理，，于是，故，命题得证．【解析】根据离心率的定义计算即可；联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；联立直线和椭圆方程，先表示出H坐标，将共线问题转化成证明，结合韦达定理进行化简计算．本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：因为，，所以，由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，所以，即在上恒成立，令，易知，在上，函数和均单调递增，所以，即实数a 的取值范围是证明：令，故，所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；证明：设的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，设，，因为函数是周期为2，取一个周期，且，则有，若，则成立，若，设，即，故，且，则，所以成立，综上，对任意实数，都成立，所以原式得证．【解析】根据题意，将问题转化成恒成立问题，即在上恒成立，再利用函数的单调性即可求出结果；构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明；利用函数是定义域为R 的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．。

2024年上海崇明区高三二模数学试卷和答案

1上海崇明区2023-2024学年第二学期学业质量调研高三数学考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．若集合{2,0,1}A =-，{|1B x x =<-或0}x >，则A B = ．2．不等式(1)0x x -<的解为．3．已知向量()()2,,1,2,1,4a b λ=-=-，若a b ⊥ ，则λ=．4．若复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则z =．5．若等差数列{}n a 的首项11a =，前5项和525S =，则5a =．6．已知幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)，则(3)f =．7．若5()x a +的二项式展开式中2x 的系数为10，则a =．8．已知底面半径为1的圆柱，O 是其上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线．若直线OA 与BC 所成角的大小为3π，则BC =．9．已知函数3,0(),0x x x y f x x ⎧-⎪=⎨>⎪⎩≤为奇函数，则(2)f =．10．某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是．（默认每月天数相同，结果精确到0.001）11．已知A 、B 、C 是半径为1的圆上的三个不同的点，且AB = ，则 AB AC ⋅的最小值是．12．已知实数1212,,,x x y y 满足：2222112212121,1,1x y x y x y y x +=+=-=，则112222x y x y +-++-的最大值是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13．若a b >，0c <，则下列不等式成立的是A ．a b c>-B ．a bc c>C ．a c b c+<+D ．22ac bc >2频率得分0.70.60.50.40.30.20.102分3分4分5分A 部门B 部门14．某单位有A 、B 两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示．设A 、B 两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为1n 、2n ，方差分别为21s 、22s ，则下列说法正确的是A ．12n n >，2212s s >B ．12n n >，2212s s <C ．12n n <，2212s s <D ．12n n <，2212s s >15．设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为A ．6πB ．2πC ．76πD ．π16．已知函数()y f x =的定义域为12,,D x x D ∈．命题p ：若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数．命题q ：若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数．下列说法正确的是A ．p 、q 都是真命题B ．p 是真命题，q 是假命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．p 、q 都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．318．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）在锐角三角形ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若CD 为CA 在CB方向上的投影向量，且满足2sin c B CD =．（1）求cos C 的值；（2）若b =3cos a c B =，求ABC △的周长．19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分6分）某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示．不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者120160280患慢性气管炎者154560总计135205340（1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？（2）常用()()()P B A L B A P B A =表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A 表示“选到的人是吸烟者”，B 表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计()L B A 的值；（3）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，2( 3.841)0.05P χ≈≥．420．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知椭圆22:12x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 、Q 是Γ上不同于点A 的两点．（1）求椭圆Γ的离心率；（2）若F 是椭圆Γ的右焦点，B 是椭圆下顶点，R 是直线AF 上一点.若△ABR 有一个内角为3π，求点R 的坐标；（3）作AH PQ ⊥，垂足为H ．若直线AP 与直线AQ 的斜率之和为2，是否存在x 轴上的点M ，使得MH为定值？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知()ln 1f x a x ax =---.（1）若1a =-，求曲线()y f x =在点(1,2)P 处的切线方程；（2）若函数()y f x =存在两个不同的极值点12,x x ，求证：12()()0f x f x +>；（3）若1a =，()()g x f x x =+，数列{}n a 满足1(0,1)a ∈，1()n n a g a +=．求证：当2n ≥时，212n n n a a a +++>．5参考答案及评分标准一、填空题1.{2,1}-；2.(0,1)；3.8-；4.1-i ；5.9；6.9；7.1；8.3；9.199-；10.0.996；11.32；12.6.二、选择题13.D ；14.C ；15.B ；16.C.三、解答题17.解（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP=连结OB ．因为AB =BC =22AC ，222AB BC AC +=，所以△ABC 为等腰直角三角形，故OB ⊥AC ，OB =12AC =2．因为222OP OB PB +=，所以OP OB ⊥．......................4分因为OP OB OP AC ⊥⊥，，OB AC O = ，所以PO ⊥平面ABC ．........................................................7分（2）方法一：作CH ⊥OM ，垂足为H ．因为OP ⊥平面ABC ，所以OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．..................4分由题意，OC=12AC =2，CM=3，∠ACB=45°．所以OM =253，CH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠=5．所以点C 到平面POM 的距离为455．.......................................7分方法二：设C 到平面POM 的距离为h ，由（1）知PO 即为P 到平面COM 的距离，且PO OM ⊥．.......................................1分又PO =，在OMC △中，2422,4533OC CM BC ACB ︒===∠=，则由余弦定理得253OM =，.......................................1分因为C POM P COM V V --=，即1133POM COM S h S PO ⋅=⋅△△，6故221232COM POM S PO h S ⨯⨯⋅==△△即点C 到平面POM的距离为5．..................................7分18.解（1）由题意，得cos CD b C =，又2sin c B =，所以2sin cos c B C =，由正弦定理sin sin b c B C=，得2sin sin cos C B B C =，又sin 0B ≠，所以2sin C C =，..................................4分因为C为锐角，所以2cos 3C ==...................................6分（2）由3cos a c B =，得cos 3a B c=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，所以22223a c b aac c +-=，得22233a c b +=①..............3分由由余弦定理得2222cos 23a b c C ab +-==，得222333a b c +-=②............................5分联立①②，解得a c ==，故ABC △的周长为a b c ++=................8分19.解(1)假设0H ：患慢性气管炎与吸烟无关.22340(1204516015) 6.58128060135205χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由2( 3.841)0.05P χ≈≥，而6.581 3.481>，从而否定原假设，即有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.....................................................4分（2）()()()||9()()32()()()||()P A B P B A P A B A B P A L B A P B A P A B P A B A B P A =====............................4分（3）按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人，....................................................1分X 的可能值为0，1，2，3，其分布是012341812135353535⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭....................................................5分所以4181219[]0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=....................................................6分720.解（1）由题意，1a c ==，所以离心率22c e a ==.....................4分（2）由题意，(1,0)F ，(0,1)A ，所以直线AF 的方程为：1y x =-+，设00(,1)R x x -+显然4BAR π∠=...................................................................................2分①当3ABR π∠=时，00(0,2),(,2)BA BR x x ==-+ ，由1cos 2||||BA BR ABR BA BR ⋅∠==，得：200660x x -+=，解得03x =03x =分②当3ARB π∠=时，0000(,),(,2)RA x x RB x x =-=-- ，由1cos 2||||BA BR ABR BA BR ⋅∠==，得：2003620x x -+=，解得013x =-（舍去）或013x =+综上所述，点R的坐标是(32--+或(1+.....................6分（3）假设存在定点(,0)M m 满足题意，当PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx b =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2221x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22212)4220k x kbx b +++-=（，由题意，2222164(12)(22)0k b k b ∆=-+->，即22210k b -+>①．2121222422,1212kb b x x x x k k -+=-=++，122121211212121211()()(1)()2AP AQ y y x kx b x x kx b x b x x k k k x x x x x x --+-++--++=+==+2(1)22222(1)1b kb k k b b -⋅=-==-+，所以1k b =+，代入①，得：2430b b ++>，所以3b <-或1b >-，即存在直线PQ 使得直线AP与直线AQ 的斜率之和为2.....................................................................3分直线PQ 的方程为1y kx k =+-，直线AH 的方程为11y x k=-+由111y kx k y x k =+-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得：22221211k k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=+⎪+⎩，即22222(,1)11k k k H k k --+++.................5分所以2222222222(2)(21)()(1)1111k k k k m k MH m m k k k ---+=-++=+++++8所以当12m =-时，MH...........................................................7分当直线PQ 斜率不存在时，设00(,)P x y ，00(,)Q x y -，则0000112AP AQ y y k k x x ---+=+=，01x =-，此时(1,1)H -，2MH =满足题意．所以存在定点1(0)2,P -，使得MH为定值且定值为2．.................8分21.解（1）当1a =-时，1'()1,'(1)3f x f x=+=所以曲线()y f x =在点(1,2)P 处的切线方程为31y x =-.................4分（2）由'()0f x =0aa x--=，令t =0t >原方程可化为：20at t a -+=①，则12t t ==①的两个不同的根所以214010a a⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得102a <<.................3分所以121212()()(ln ln )()2f x f x a x x a x x +=-+-+-222212121212()ln()()222t t a t t a t t a a=+--+-=+-因为102a <<，所以12220a a+->>，所以12()()0f x f x +>.......................6分（3）由题意，()ln 1g x x =-，所以1'()x g x x-=当(0,1)x ∈时，'()0g x <，所以函数()y g x =在区间(0,1)上严格减，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，所以函数()y g x =在区间(1,)+∞上严格增，.................3分因为101a <<，所以21()(1)1a g a g =>=，32()(1)1a g a g =>=，以此类推，当2n ≥时，1()(1)1n n a g a g +=>=，.................4分又213110'(242)21f x x x⎫---⎪⎝⎭⨯--==<，所以函数()y f x =在区间(0,)+∞上严格减，当2n ≥时，()()(1)0n n n f a g a a f =-<=，所以1n n a a +<，.................7分所以1()()n n f a f a +>，即211n n n n a a a a +++->-，故212n n n a a a +++>...................................8分。

2020 崇明高三二模

2020 崇明高三二模一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1、行列式1234的值等于____________2、设集合{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，则A B ⋂=____________3、已知复数zi =，i 为虚数单位，则z =____________4、已知函数()21xf x =+，其反函数为()1y f x -=，则()13f -=____________5、已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于____________6、4212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含5x 项的系数是____________（用数字作答）7、若1sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos2α=____________ 8、已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，若233433,2a a a a +=+=，则lim n n S →∞=____________9、将函数()sin f x x =的图像向右平移()0ϕϕ>个单位后得到函数()y g x =的图像，若对满足()()122f x g x -=的任意12,x x ，12x x -的最小值是3π，则ϕ的最小值是____________ 10、已知样本数据1234,,,x x x x 的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是____________11、在ABC V中，)(),cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==u u u ru u u r，则ABC V 面积的最大值是____________12、对于函数()f x ，其定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，当12x x <时都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 为“不严格单调增函数”，若函数()f x 定义域为{}1,2,3,4,5,6D =，值域为{}7,8,9A =，则函数()f x 是“不严格单调增函数”的概率是_____________二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13、若矩阵12a b -⎛⎫⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则（） A 、1,1a b ==-B 、1,1a b ==C 、1,1a b =-=D 、1,1a b =-=-14、若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（） A 、1- B 、1 C 、2 D 、1315、设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的周长()1,2,i =L ，则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（） A 、{}n a 是等差数列B 、1321,,,,n a a a -L L 或242,,,,n a a a L L 是等差数列C 、1321,,,,n a a a -L L 和242,,,,n a a a L L 都是等差数列D 、1321,,,,n a a a -L L 和242,,,,n a a a L L 都是等差数列，且公差相同 16、已知函数()22xf x m x nx =⋅++，记集合(){}|0,A x f x x R ==∈，集合()(){}|0,B x f f x x R ==∈，若A =B ，且,A B 都不是空集，则m +n 的取值范围是（）A 、[)0,4B 、[)1,4-C 、[]3,5-D 、[)0,7三、解答题17、如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点. （1）求直线BE 与平面ABCD 所成的角的大小；（2）求点C 到平面1A BE 的距离.18、已知函数()()202x x af x a =->. （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由.19、某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB 与AD 的长都是2千米，∠BAD =60°，∠BCD =120°. （1）如果∠ADC =105°，求BC 的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）20、已知椭圆22:12x y Γ+=的右焦点为F ，直线(()x t t =∈与该椭圆交于点A 、B （点A 位于x轴上方），x 轴上一点C （2,0），直线AF 与直线BC 交于点P . （1）当1t =-时，求线段AF 的长；（2）求证：点P 在椭圆Γ上；（3）求证：PAC S ≤V .21、在无穷数列{}n a 中，*n a N ∈，且1,23,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，记{}n a 的前n 项和为n S .（1）若110a =，求9S 的值；（2）若317S =，求1a 的值；（3）证明：{}n a 中必有一项为1或3.参考答案一、填空题1、2-2、[0,2]3、1-2i4、1 56、32 7、79-8、8 9、23π10、7 11、3412、154二、选择题13、A14、B15、D16、A三、解答题17.解：（1）如图，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴ED⊥底面ABCD，∴∠EBD为直线BE与平面ABCD所成的角．∵底面边长为2，∴BD＝，又DE＝1，∴tan．∴直线BE与平面ABCD所成的角的大小为；（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则B（2，0，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），C（2，2，0），，，．设平面A1BE的一个法向量．由，取y＝1，得．∴点C到平面A1BE的距离d＝＝．18.解：（1）当a＞0时，f（x）在其定义域上是增函数，证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣﹣+＝（﹣）﹣＝（﹣）（1+），∵x1＜x2，a＞0，∴﹣＜0．则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数．（2）f（﹣x）＝2﹣x﹣a•2x，若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），得2﹣x﹣a•2x＝﹣（2x﹣a•2﹣x）＝﹣2x+a•2﹣x，即2﹣x+2x＝a（2﹣x+2x），得a＝1，即当a＝1时，函数f（x）是奇函数，当a≠1时，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），即函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．19.解：（1）连接BD，在△ABD中，因为∠BAD＝60°，AB＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以BD＝2，因为∠ADC＝105°，所以∠BDC＝105°﹣60°＝45°，在△BCD中，由正弦定理可得＝，所以BC＝•sin45°＝＝≈1.633千米，（2）连接BD，BD＝AD＝2，且∠ADB＝60°，可得BD＝2，在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos120°＝（BC+CD）2﹣BC•CD≥（BC+CD）2﹣＝（BC+CD）2，所以（BC+CD）2≤BD2＝，所以（BC+CD）max＝，所以四边形ABCD的周长为：（AB+BC+CD+AD）max＝2+2+≈6.309千米．20.解：（1）椭圆Γ：＝1的右焦点为F（1，0），直线x＝﹣1与该椭圆交于点A，B，点A位于x轴上方，可得A（﹣1，），则|AF|＝＝；（2）证明：设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），则x12+2y12＝2，直线AF的方程为y＝（x﹣1），BC的方程为y＝（x﹣2），解得P（，），由（）2+2（）2＝＝＝2，则P在椭圆上；（3）证明：S△P AC＝|CF|•|y A﹣y P|＝|y A﹣y P|，设直线AP的方程为x＝my+1，联立椭圆方程x2+2y2＝2，可得（2+m2）y2+2my﹣1＝0，y A+y P＝﹣，y A y P＝﹣，所以S△P AC＝＝＝•＝•≤，当且仅当m＝0时，上式取得等号，则S△P AC≤．21.解：（1）当a1＝10时，{a n}中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，…；即数列{a n}从第4项起每3项是一个周期，所以S3＝a1+a2+a3＝23，S6﹣S3＝a4+a5+a6＝7，S9﹣S6＝a7+a8+a9＝7；所以S9＝S6+7＝S3+2×7＝23+14＝37；（2）①若a1是奇数，则a2＝a1+3是偶数，a3＝＝，由S3＝17，得a1+（a1+3）+＝17，解得a1＝5，适合题意；②若a1是偶数，不妨设a1＝2k（k∈N*），则a2＝a1＝k，a3＝＝，由S3＝17，得2k+k+＝17，此方程无整数解；若k是奇数，则a3＝k+3，由S3＝17，得2k+k+（k+3）＝17，此方程也无整数解；综上知，a1＝5．（3）证明：先证明一定存在某个a i，使得a i≤6成立；否则，对每一个i∈N*，都有a i＞6；则在a i为奇数时，必有a i+2＝＜a i；在a i为偶数时，有a i+2＝+3＜a i，或a i+2＝＜a i；因此，若对每一个i∈N*，都有a i＞6，则a1，a3，a5，…单调递减；注意到a n∈N*，显然这一过程不可能无限进行下去；所以必定存在某个a i，使得a i≤6成立；经检验，当a i＝2，或a i＝4，或a i＝5时，{a n}中出现1；当a i＝6时，{a n}中出现3；综上知，{a n}中总有一项为1或3．。

2020届高三崇明区数学二模

n
项和记为
Sn
，若
a2
a3
3
,
a3
a4
3 2
，则
lim
n
Sn
．
9．将函数 f(x) sin x 的图像向右平移 ( 0) 个单位后得到函数 y g(x) 的图像．若对满
足
f(x1) g(x2 )
2
的任意
x 1
、
x 2
，
x1 x2
的最小值是 3
，则的最小值是
．
10．已知样本数据 x1, x2 , x3, x4 的每个数据都是自然数，该样本的平均数为 4，方差为 5，且
则称函数 f(x) 为“不严格单调增函数”．若函数 f(x) 定义域为 D {1, 2, 3, 4, 5, 6} ，值域为
A {7, 8, 9} ，则函数 f(x) 是“不严格单调增函数”的概率是
．
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13．若矩阵
a 2
1
b
是线性方程组
在
Rt△EDB
中，
tan
EBD
DB DE
1 22
2 4
所以 EBD arctan 2 4
所以直线 BE 与平面 ABCD 所成的角的大小是 arctan 2 …………………………6 分 4
（2）以 A 为坐标原点，射线 AB 、 AD 、 AA1 分别是 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，建立空
x y 3 2x y 1
的系数矩阵，则（
）
A． a 1, b 1
B． a 1,b 1
C． a 1, b 1
D． a 1, b 1
14．若抛物线 y2 8x

上海市崇明县2020年高三数学高考模拟考试理沪教版新课标

上海市崇明县2020年高考第二次模拟考试数学试卷（理科使用）（满分150分，答题时间120分钟）注意：在本试卷纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．一、填空题（每小题4分，共56分）1、已知z 为复数，且(2)1i z i +=，则z = .2、已知集合{}31|log ,1,|,12xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B ⋃= .3、若3tan 0x +=，当[]0,x π∈时，cos x = . 4、不等式11111x x+≥-的解集为 .5、若关于x 的函数1axy x =-（0a ≠，a R ∈）的反函数是其本身，则a = .6、运行如右图所示的程序框图，其输出结果k = .7、若1)n x的展开式中第5项是常数项，则常数项等于 .8、若A 、B 两点的极坐标分别为(4,)3A π，(6,0)B则AB = .9、已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则圆锥的体积等于 .10、已知双曲线221124x y -=的右焦点为(,0)F c ，点P 到(,0)F c 的距离比到直线50x +=的距离少1，则点P 的轨迹方程为 .11、某校组织科普知识竞赛，每位选手需要回答三个问题. 竞赛规则规定：每题回答正确得100分；回答不正确得100-分. 某选手每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否（第6题图）相互间没有影响. 该选手回答三个问题总得分的数学期望值等于 .12、已知直线:230l x y ++=的方向向量为d u r，圆C ：222()()x a y b r -+-=的圆心为Q (,)a b ，半径为r . 如果从{}1,2,3,4,...,9,10中任取3个不同的元素分别作为,,a b r 的值，得到不同的圆，能够使得0d OQ ⋅=u r u u u r（O 为坐标原点）的概率等于 .（用分数表示）13、已知正数数列{}n a （n N *∈）定义其“调和均数倒数”12111nn a a a V n ++⋅⋅⋅+=（n N *∈），那么当12n n V +=时，2010a = . 14、若函数2()21(0,)f x tx x t t =-++<为常数，对于任意两个不同的12,x x ，当[]12,2,2x x ∈-时，均有1212|()()|||f x f x k x x -≤- ( k 为常数，k R ∈) 成立，如果满足条件的最小正整数k 等于4，则实数t 的取值范围是 .二、选择题（每小题5分，共20分） 15、（）A ．16-B ．16C ．164i -D．1416、函数()2cos()cos()44f x x x ππ=+-是 ……………………………………………………（）A ．周期为π的奇函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数17、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成. 2020年某地区农民人均收入为6300元（其中工资性收入为3600元，其它收入为2700元），预计该地区自2020年起的5年内，农民的工资性收入将以6%的年增长率增长；其它收入每年增加320元. 根据以上数据，2020年该地区农民人均收入介于……………………………………………………………………（）A ．8400元～8800元B ．8800元～9200元C ．9200元～9600元D ．9600元～10000元18、若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，1()2f x x=-，以下命题： ① 0x >时，1()2f x x =-； ②()f x 在区间()0,+∞单调递增；③()f x 的反函数1()f x -的定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；④ 函数()y f x =的图像与函数()y f x s t =--的图像关于点(,)22s t对称.其中正确命题的序号是……………………………………………………………………（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④三、解答题（本大题共有5题，满分74分，解答下列各题必须写出必要的步骤） 19、（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）已知向量(cos sin ,1),(2cos 2sin ,1)a x x b x x =-=+r r ，()4f x a b =⋅-r r（1）求函数()f x 的最小正周期及值域；（2）若()()224f f ααπ-+=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求角α的值.20、（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）在四棱锥S OABC -中，SO ⊥底面OABC ，底面OABC 为正方形. 2SO OA ==，点P 满足AP AS λ=u u u r u u u r，D 为BC 的中点.（1）当12λ=时，求二面角P OB A --的大小；（2）是否存在[]0,1λ∈，使OP SD ⊥u u u r u u u r，若存在求出λ的值；若不存在请说明理由.21、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）已知函数1().f x a x=-（1）求证：函数()y f x =在(0,)+∞上是增函数；（2）若()2f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数()y f x =在[],m n 上的值域是[],m n （m n ≠），求实数a 的取值范围.22、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）与双曲线22131x y -=有相同的焦点12(,0),(,0)F c F c -（0c >），P 为椭圆上一点， 12PF F ∆的最大面积等于过点(3,0)N -且倾角为30︒的直线l 交椭圆于A 、 B 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：点1(,0)F c -在以线段AB 为直径的圆上；SP OABD C（3）设E 、F 是直线l 上的不同两点，以线段EF 为直径的圆过点1(,0)F c -，求EF 的最小值并求出对应的圆方程.23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数6()5f x x=-，数列{}n a 满足：11,(),.n n a a a f a n N *+==∈ （1）若对于n N *∈，都有1n n a a +=成立，求实数a 的值；（2）若对于n N *∈，都有1n n a a +>成立，求实数a 的取值范围；（3）请构造一个无穷数列，满足以下关系：①1,n n n N b b *+∈<时成立；②当a 为数列{}n b 中的任意一项时，数列{}n a 必含有某一项的值为1.崇明县2020年高考第二次模拟考试理科试卷解答及评人标准一、填空题答案 5 1820 7233π x y 162=题号 11 121314答案 180118 2010111,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、选择题题号 15 16 17 18 答案 ACBB三、解答题19、解：（1）函数()4f x a b =⋅-r r=32cos 2-x函数()f x 的最小正周期为π；函数()f x 值域为[]1,5--（2）由6)42()2(=+-πααf f 得()6sin cos 2=+αα；234sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πα，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+43,44πππα，得34ππα=+或324ππα=+；所以：12πα=或125πα=20、解：如图分别以OA 、OC 、OS 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（1）可知()()()0,0,2,1,0,1,2,2,0OS OP OB ===u u u r u u u r u u u r设平面POB 的法向量为(),,n x y z =r由00n OP n OB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u ur 得00x y x z +=⎧⎨+=⎩可得()1,1,1n =-r 记二面角P OB A --的平面角为θ，3cos 3θ=二面角P OB A --的平面角为3cosarc （2）设点P 为(),0,x z ，()()2,0,2,2,0,AS AP x z =-=-u u u r u u u r由AP AS λ=u u u r u u u r 得2222,22x x z z λλλλ-=-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩， ()()1,2,2,22,0,2SD OP λλ=-=-u u u r u u u r,0SD OP ⋅=u u u r u u u r 得13λ=21、解：1)任取120x x <<<+∞ 121211()()f x f x a a x x -=--+ =122112110x x x x x x --=< 所以：函数()y f x =在(0,)+∞上是增函数 2) 若()2f x x <在(1,)+∞上恒成立,得12a x x -<即12a x x <+ 记1()2g x x x=+,在(1,)+∞上是增函数，得()(1)3g x g >=，所以：3a ≤3）函数()y f x =的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞ ⅰ)当0n m >>时，()f x 在[],m n 上是增函数()()f m mf n n=⎧⎨=⎩略解：2a >ⅱ) 当0n m >>时，()f x 在[],m n 上是减函数()()f m nf n m=⎧⎨=⎩略解：0a =所以：{}()02,a ∈⋃+∞22、解：1)2,c b a ===椭圆方程为：22162x y += 2）:3)3AB l y x =+，点()12,0F -22(3)3162y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，22630x x ++=圆心3,22⎛-- ⎝⎭12AB r ===圆方程为223()(122x y +++= 点()12,0F -满足圆方程223()(122x y +++=。

(高清打印版)崇明区2020届第二次高考模拟考试高三数学

．
6．
2x2
1 x
4
的展开式中含
x5
项的系数是
．（用数字作答）
7．若 sin
2
1 3
，则
cos 2
．
8．已知数列 {an } 是无穷等比数列，其前
n
项和记为
Sn
，若
a2
a3
3
,
a3
a4
3 2
，
则
lim
n
Sn
．
9．将函数 f (x) sin x 的图像向右平移 ( 0) 个单位后得到函数 y g (x) 的图像．若对满足
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崇明区 2019 学年第二学期第二次高考模拟考试试卷数学
考生注意： 1．本试卷共 4 页，21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择
an 是偶数，记{an} 的前 n 项和为 Sn ． an 是奇数
（1）若 a1 10 ，求 S9 的值；
（2）若 S3 17 ，求 a1 的值；
（3）证明：{an}中必有一项为 1 或 3．
高三数学共 4 页第 4页
3 y 1
的系数矩阵，则（
A． a 1, b 1
B． a 1, b 1
C． a 1, b 1
） D． a 1, b 1
14．若抛物线 y2 8x 的焦点 F 与双曲线 x2 y2 1 的一个焦点重合，则 n 的值为（
）
3n
A． 1
B．1
Cห้องสมุดไป่ตู้2

2024届上海市崇明区高三二模数学试题及答案

上海市崇明区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.若集合 2,0,1A ，10B x x x 或，则A B ．2.不等式 10x x 的解为．3.已知向量 2,,1a ， 2,1,4b ，若a b，则．4.若复数z 满足1iz i （i 为虚数单位），则z ．5.6.7.若 8.BC 是母线．若直线9.10.11.的最小值是．12.222x y 的最大13.若a b ，0c ，则下列不等式成立的是（）.A a b c ；.B a b c c；.C a c b c ；.D 22ac bc ．14.某单位有A 、B 两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示．设A 、B 两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为1n 、2n ，方差分别为21s 、22s ，则下列说法正确的是（）.A 12n n ，2212s s ；.B 12n n ，2212s s ；.C 12n n ，2212s s ；.D 12n n ，2212s s ．15.设函数 sin 6f x x，若对于任意5,62，在区间 0,m 上总存在唯一确定的，使得0f f ，则m 的最小值为（）.A 6；.B 2；.C 76；.D ．16.已知函数 y f x 的定义域为D ，12,x x D ．命题p ：若当 120f x f x 时，都有120x x ，则函数 y f x 是D 上的奇函数．命题q ：若当.A p .C p 三、17.的中点．（1）（2）第17题图18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若CD 为CA 在CB方向上的投影向量，且满足2sin c B CD．（1）求cos C 的值；（2）若b，3cos a c B ，求ABC 的周长．19.如表所示．（1）95%（2）现（3）3人，求附：22n ad bc a b c d a c b d， 23.8410.05P≥．已知椭圆22:12x y ，A 为的上顶点，P 、Q 是上不同于点A 的两点．（1）求椭圆的离心率；（2）若F 是椭圆的右焦点，B 是椭圆下顶点，R 是直线AF 上一点．若ABR 有一个内角为3，求点R 的坐标；（3）作AH PQ ，垂足为H ．若直线AP 与直线AQ 的斜率之和为2，是否存在x 轴上的点M ，使得MH为定值？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．已知 ln 1f x a x ax ．（1）若1a ，求曲线 y f x 在点 1,2P 处的切线方程：（2）若函数 y f x 存在两个不同的极值点12,x x ，求证： 120f x f x ；（3）若1a ， g x f x x ，数列 n a 满足 10,1a ， 1n n a g a ．求证：当2n 时，212n n n a a a ．上海市崇明区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案及评分标准一、填空题1.{2,1} ；2.(0,1)；3.8 ；4.1 i ；5.9；6.9；7.1；8.3；9.199；10.0.996；11.32；12.6.二、选择题13.D ；14.C ；15.B ；16.C.三、解答题17.解（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP=连结OB ．因为AB =BC=2AC ，222AB BC AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，故OB ⊥AC ，OB =12AC =2．因为222OP OB PB ，所以OP OB ．......................4分因为OP OB OP AC ，，OB AC O ，所以PO ⊥平面ABC ．........................................................7分（2）方法一：作CH ⊥OM ，垂足为H ．因为OP 平面ABC ，所以OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．..................4分由题意，OC=12AC =2，CM=3，∠ACB=45°．所以OM=3，CH =sin OC MC ACB OM=5．所以点C 到平面POM的距离为5．.......................................7分方法二：设C 到平面POM 的距离为h ，由（1）知PO 即为P 到平面COM 的距离，且PO OM ．.......................................1分又PO ，在OMC △中，22,4533OC CM BC ACB，则由余弦定理得3OM，.......................................1分因为C POM P COM V V ，即1133POM COM S h S PO △△，故2212COMPOMS POhS△△即点C到平面POM的距离为5．..................................7分18.解（1）由题意，得cosCD b C，又2sinc B，所以2sin cosc B C，由正弦定理sin sinb cB C，得2sin sin cosC B B C，又sin0B，所以2sin C C，..................................4分因为C为锐角，所以2cos3C ...................................6分（2）由3cosa c B，得cos3aBc，由余弦定理得222cos2a c bBac，所以22223a cb aac c，得22233a c b①..............3分由由余弦定理得2222cos23a b cCab，得222333a b c②............................5分联立①②，解得a c，故ABC△的周长为a b c................8分19.解(1)假设H：患慢性气管炎与吸烟无关.22340(1204516015)6.58128060135205由2( 3.841)0.05P≥，而6.581 3.481，从而否定原假设，即有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.....................................................4分（2）()()()||9()()32()()()||()P A BP B A P A B A BP AL B AP B A P A B P A B A BP A............................4分（3）按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人，....................................................1分X的可能值为0，1，2，3，其分布是012341812135353535....................................................5分所以4181219[]0123353535357E X ....................................................6分2320.解（1）由题意，1a c，所以离心率c e a分（2）由题意，(1,0)F ，(0,1)A ，所以直线AF 的方程为：1y x ，设00(,1)R x x 显然4BAR ...................................................................................2分①当3ABR时，00(0,2),(,2)BA BR x x，由1cos 2||||BA BR ABR BA BR，得：200660x x ，解得03x03x 分②当3ARB时，0000(,),(,2)RA x x RB x x ，由1cos 2||||BA BR ABR BA BR，得：2003620x x ，解得013x（舍去）或013x 综上所述，点R的坐标是(32或(1 .....................6分（3）假设存在定点(,0)M m 满足题意，当PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx b ，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2221x y y kx b得22212)4220k x kbx b （，由题意，2222164(12)(22)0k b k b ，即22210k b ①．2121222422,1212kb b x x x x k k，122121211212121211()()(1)()2AP AQ y y x kx b x x kx b x b x x k k k x x x x x x2(1)22222(1)1b kb k k b b ，所以1k b ，代入①，得：2430b b ，所以3b 或1b ，即存在直线PQ 使得直线AP与直线AQ 的斜率之和为2.....................................................................3分直线PQ 的方程为1y kx k ，直线AH 的方程为11y x k由111y kx k y x k，得：22221211k k x k k y k，即22222(,1)11k k k H k k .................5分所以2222222222(2)(21)()(1)1111k k k k m kMH m m k k k4所以当12m时，MH...........................................................7分当直线PQ 斜率不存在时，设00(,)P x y ，00(,)Q x y ，则0000112AP AQ y y k k x x ，01x ，此时(1,1)H，2MH满足题意．所以存在定点1(0)2,P ，使得MH为定值且定值为2．.................8分21.解（1）当1a时，1'()1,'(1)3f x f x所以曲线()y f x 在点(1,2)P 处的切线方程为31y x .................4分（2）由'()0f x0aa x，令t 0t 原方程可化为：20at t a ①，则12t t ①的两个不同的根所以214010a a，解得102a .................3分所以121212()()(ln ln )()2f x f x a x x a x x 222212121212()ln()()222t t a t t a t t a a因为102a，所以12220a a，所以12()()0f x f x .......................6分（3）由题意，()ln 1g x x，所以1'()g x x当(0,1)x 时，'()0g x ，所以函数()y g x 在区间(0,1)上严格减，当(1,)x 时，'()0g x ，所以函数()y g x 在区间(1,) 上严格增，.................3分因为101a ，所以21()1a g a g ，32()(1)1a g a g ，以此类推，当2n 时，1()(1)1n n a g a g ，.................4分又213110'(242)21f x x x，所以函数()y f x 在区间(0,) 上严格减，当2n 时，()()(1)0n n n f a g a a f ，所以1n n a a ，.................7分所以1()()n n f a f a ，即211n n n n a a a a ，故212n n n a a a ...................................8分。

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高三数学共4页第1页崇明区2019学年第二学期第二次高考模拟考试试卷数学考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）

【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】

1．行列式1234的值等于．

2．设集合12Axx≤≤，04Bxx≤≤，则AB ．

3．已知复数z满足3ziii，i为虚数单位，则z ．

4．已知函数()21xfx，其反函数为1()yfx，则1(3)f ．

5．已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于． 6．421

2xx



的展开式中含5x项的系数是．（用数字作答）

7．若1sin23



，则cos2 ．

8．已知数列{}na是无穷等比数列，其前n项和记为nS，若233aa,3432aa，

则limnnS ． 9．将函数()sinfxx的图像向右平移(0)个单位后得到函数()ygx的图像．若对满足 12()()2fxgx的任意1x、2x，12xx的最小值是3，则的最小值是．

10．已知样本数据1234,,,xxxx

的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本

数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是． 11．在ABC△中，(3cos,cos),(cos,sin)ABxxACxx，则ABC△面积的最大值是．高三数学共4页第2页

12．对于函数()fx，其定义域为D，若对任意的12,xxD，当12xx时都有12()()fxfx≤

，则

称函数()fx为“不严格单调增函数”．若函数()fx定义域为{1,2,3,4,5,6}D，值域为{7,8,9}A，则函数()fx是“不严格单调增函数”的概率是．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】

13．若矩阵12ab



是线性方程组321xyxy的系数矩阵，则（）

A．1,1ab B．1,1ab C．1,1ab D．1,1ab 14．若抛物线28yx的焦点F与双曲线2213xyn的一个焦点重合，则n的值为（）

A．1 B．1 C．2 D．13 15．设{}na是各项为正数的无穷数列，iA是边长为1,iiaa的矩形的周长(1,2,)i，则“数列{}nA

为等差数列”的充要条件是（） A．{}na是等差数列 B．1321,,,,naaa或242,,,,naaa是等差数列 C．1321,,,,naaa和242,,,,naaa都是等差数列 D．1321,,,,naaa和242,,,,naaa都是等差数列，且公差相同 16．已知函数2()2xfxmxnx，记集合{|()0,}AxfxxR，集合{|(())0,}BxffxxR．

若AB，且A、B都不是空集，则mn的取值范围是（） A．0,4 B．1,4 C．3,5 D．0,7

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E是棱1DD的中点．（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；（2）求点C到平面1ABE的距离.

A B C

E B1 A1 C1 D1 高三数学共4页第3页

18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数()2(0)2xxafxa．

（1）判断()fx在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数()fx的奇偶性，并说明理由．

19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域．经测量，边界AB与AD的长都是2千米，60BAD，120BCD．（1）如果105ADC，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）

B A

C D 高三数学共4页第4页

20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分）

已知椭圆22:12xy的右焦点为F，直线(2,2)xtt与该椭圆交于点A、B（点A位于x轴上方），x轴上一点C(2,0)，直线AF与直线BC交于点P．（1）当1t时，求线段AF的长；（2）求证：点P在椭圆上；

（3）求证：22PACS△≤．

21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）

在无穷数列{}na中，*naN，且1,23,nnnnnaaaaa是偶数是奇数，记{}na的前n项和为nS．

（1）若110a，求9S的值；（2）若317S，求1a的值；（3）证明：{}na中必有一项为1或3．高三数学共4页第5页

崇明区2020届第二次高考模拟考试数学学科参考答案及评分标准一、填空题

1. 2； 2. [0,2]； 3. 12i； 4. 1； 5. 33； 6. 32；

7. 79； 8. 8； 9. 23； 10. 7； 11. 34； 12. 154. 二、选择题 13. A； 14. B； 15. D； 16.A . 三、解答题 17. 解：（1）联结BD，因为ED平面ABCD，所以EBD是直线BE与平面ABCD所成的角……………2分

在RtEDB中，12tan422DBEBDDE

所以2arctan4EBD 所以直线BE与平面ABCD所成的角的大小是2arctan4…………………………6分（2）以A为坐标原点，射线AB、AD、1AA分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,1)ABCE 所以1(2,0,2)BA，1(0,2,1)AE，(0,0,2)BC…………………………2分设平面1ABE的一个法向量为(,,)nuvw，

则110,0nBAnAE，所以22020uwvw 取1v，则2uw，于是平面1ABE的一个法向量为(2,1,2)n…………………5分于是点C到平面1ABE的距离||23||nBCdn…………………………8分 18. 解：（1）函数()fx的定义域是R，任取12,xxR，设12xx，有 1212121212

()()2(2)(22)(1)222xxxxxxxxaaafxfx…………………………3分

因为12xx，所以12220xx，又0a，所以12()()0fxfx，所以函数()fx在其定义域上是增函数…………………………6分

（2）当1a时，11()2(2)()22xxxxfxfx 所以函数()fx是奇函数…………………………2分当1a时，1(1)2,(1)222affa 若(1)(1)ff，则1a，与1a矛盾，所以函数()fx不是奇函数………………5分若(1)(1)ff，则1a，与0a矛盾，所以函数()fx不是偶函数高三数学共4页第6页

综上所述，当1a时，函数()fx是奇函数，当1a时，函数()fx既不是奇函数也不是偶函数…………………………8分

19.解：（1）联结BD，则在BCD中2,45BDBDC 由sinsinBDBCBCDBDC，

得：2sin45261.633sin1203BC 所以BC的长约为1.633千米…………………………6分（2）方法一：设(0)3CBD，则3BDC

在BCD中，由sinsinsinBDBCCDBCDBDCCBD，得：44sin(),sin333BCCD…………………………3分所以44[sin()sin]sin()3333BCCD…………………………6分所以当6时，BCCD取得最大值43，此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为443千米，约为6.309千米………8分方法二：设BCx千米，CDy千米，（,xyR）在BCD中，由222cos2BCCDBDBCDBCCD，得2240xyxy………………2分所以2()4xyxy 又由2xyxy，得21()4xyxy，当且仅当xy时等号成立………………………6分

所以221()4()4xyxy 故43xy 所以围成该施工区域所需的板材长度最长为443千米，约为6.309千米………………8分 19. 解：（1）椭圆的右焦点(1,0)F，由22112xxy，得2(1,)2A，所以32||2AF…………………………4分