1.5 有理数的乘法和除法
1.5有理数的乘除法例题与讲解
1.5 有理数的乘除法【学习目标】1、理解有理数的运算法则;能根据有理数乘法运算法则进行有理的简单运算；2、经历探索有理数乘法法则过程，发展观察、归纳、猜想、验证能力；【学习重点】有理数乘法法则【学习难点】能利用有理数乘法的法则进行计算课前思考：甲水库的水位每天升高3厘米,乙水库的水位每天下降3厘米,4天后甲,乙水库的水位的总变化量各是多少?1．有理数的乘法法则(1)乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0.①两个有理数相乘，积的符号是由两个因数的符号确定：同号(＋，＋或－，－)得正，异号(＋，－或－，＋)得负；②0与任何数相乘，积都是0；③1乘任何数得原数，－1乘任何数得原数的相反数．(2)两个有理数相乘的步骤①先确定积的符号；②再求出积的绝对值．(3)多个有理数的乘法①几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个有理数相乘，有一个因数为0，结果就是0；反之，若几个数的积为0，则至少有一个因数为0.释疑点 有理数相乘的方法①几个有理数相乘，先确定积的符号，再把绝对值相乘；②当几个因数中有一个为0时，不用再判断符号，直接得0.【新知巩固1】 计算：(1)(＋4)×(－5)； (2)(－0.75)×(－1.2)；(3)⎝⎛⎭⎫－29×0.3； (4)0×⎝⎛⎭⎫－17； (5)⎝⎛⎭⎫－112×113×⎝⎛⎭⎫－114×⎝⎛⎭⎫－115×116.2.倒数如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数．若a ≠0，则a 的倒数是1a.谈重点 对倒数的理解①0没有倒数；②互为倒数的两个数的符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；③若两个数互为倒数，则它们的乘积为1；④倒数等于它本身的数是1和－1.【新知巩固2】填空：(1)－76的倒数是__________；0.2的倒数是__________；(2)倒数是4的数是__________． (3)倒数是本身的数是__________．3．有理数的乘法运算律(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 用字母表示为：a ×b ＝b ×a .(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变． 用字母表示为：(a ×b )×c ＝a ×(b ×c )．(3)乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．用字母表示为：a ×(b ＋c )＝a ×b ＋a ×c . 谈重点 乘法运算律的运用方法①交换因数的位置时，要连同符号一起交换；②公式中的字母a ，b ，c 可以是正数，也可以是负数和0；③乘法的交换律和结合律对多个因数的乘法也适用；④为了能简便运算，也可以逆用乘法对加法的分配律，即a ×b ＋a ×c ＝a ×(b ＋c )． 4．与绝对值、相反数、倒数有关的混合运算根据已知的与绝对值、相反数、倒数有关的条件，进行有关的综合计算，其步骤是： (1)利用条件，先求出有关字母的数值或有关式子的数值；(2)将所求的式子变形，使其符合上述条件；(3)将条件代入变形后的式子，按照规定的运算进行计算．【新知巩固4】已知a与b互为倒数，c与d互为相反数，m的绝对值是4，求m×(c＋d)＋a×b－3×m 的值．5.运用有理数乘法运算律进行简便运算有理数的乘法中的简便运算主要是运用乘法的交换律、乘法的结合律和乘法对加法的分配律进行运算．(1)乘法交换律和结合律的运用运用乘法交换律、结合律的情况：①一般将互为倒数的先结合；②将容易约分的先结合．(2)乘法对加法的分配律的运用运用乘法对加法的分配律时注意以下几点：①要把括号外面的因数连同符号与括号内的每一项相乘，它是以后要学的去括号的理论依据．②乘法对加法的分配律可以逆用，即a×b＋a×c＝a×(b＋c)．③乘法对加法的分配律可以推广为：a×(b＋c＋d＋e)＝a×b＋a×c＋a×d＋a×e，各字母为任意有理数．运用乘法对加法的分配律时，可以先确定符号，再进行计算，或者先利用分配律，再确定符号．有时可逆用乘法分配律：a×b＋a×c＝a×(b＋c)，使计算简便．【新知巩固5】用简便方法计算：－3.14×35.2＋6.28×(－23.3)－1.57×36.4.6．有理数的乘法运算的实际应用有理数的乘法运算的应用，主要是利用有理数的乘法解决生活中的实际问题．其步骤是：①分析题意；②列出算式；③运用有理数的乘法法则或运算律进行计算； ④写出答案．【新知巩固6】 一天，小刚和小明利用温差测量山峰的高度，小明在山顶测得的温度是－2 ℃，小刚在山脚测得的温度是4 ℃.已知该地区的高度每增加100 m ，气温大约下降0.6 ℃，求这个山峰的高度大约是多少．7．有理数的除法法则(1)除法法则1：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0.①注意：0不能作除数；②除法法则1与有理数的乘法法则相类似，都是先确定运算结果的符号，再确定绝对值．(2)两个有理数相除的步骤①先确定商的符号；②求出商的绝对值．【新知巩固7-1】 下面的计算中，正确的有( )． ①(－800)÷(－20)＝－(800÷20)＝－40； ②0÷(－2 013)＝0；③(＋18)÷(－6)＝＋(18÷6)＝3； ④(－0.72)÷0.9＝－(0.72÷0.9)＝－0.8. A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②④除法法则2：除以一个数等于乘这个数的倒数，即a ÷b ＝a ×1b(b ≠0)．谈重点①除法变乘法，除数变倒数是关键；②本法则是将除法转化为乘法，与有理数的减法类似，体现了转化的数学思想；③本法则适合不能整除或除数是分数的情况．对于有理数的除法运算，怎样选择法则呢？在进行有理数除法时，应合理选择法则，在能整除的情况下，应选用法则1.在不能整除或除数是分数(包括小数)时，应选用法则2. 【新知巩固7-2】 计算：(1) ⎝⎛⎭⎫－2829÷⎝⎛⎭⎫－1129 (2)(－1)÷(－2.25)．8．除法与绝对值的综合应用根据条件进行含有绝对值的除法计算或化简，是这类题目的常见形式． 方法与步骤：①根据条件确定有关的字母或含有字母的式子的值或取值范围； ②根据条件化简绝对值； ③按照运算的顺序进行计算．【新知巩固8】 若有理数x ，y 满足xy ≠0，则m ＝x |x |＋|y |y的最大值是__________．【例题点拨】【例1】 计算：（2007“五羊杯”）86.66.68686.06284.3114.3⨯+⨯+⨯【例2】、2004321,,,a a a a ⋅⋅⋅都是正数，如果，()()200432200321a a a a a a M +⋅⋅⋅++⨯+⋅⋅⋅++=，()()200332200421a a a a a a N +⋅⋅⋅++⨯+⋅⋅⋅++=那么N M ,的大小关系是（ ）A ．N M >B ．N M =C ．N M <D ．不确定【例3】 计算下列各题：-4.035×12＋7.535×12-36×（9-618+）()00000164.0570006.019.000036.07.5⨯-⨯-⨯237970.71 6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷【例4】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 …这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31．【基础过关】1.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
《有理数的乘法》两课时教案
教学内容：§1.5 有理数的乘法（1）教学目标：1、知识与技能使学生理解有理数乘法的意义，掌握有理数的乘法法则，能熟练地进行有理数的乘法运算。
2、过程与方法经历探索有理数乘法法则的过程，理解有理数乘法法则，发展观察、探究、合情推理等能力，会进行有理数和乘法运算。
重点、难点: 1、重点：有理数乘法法则。
2、难点：有理数乘法意义的理解，确定有理数乘法积的符号。
教学过程：一、创设情景，导入新课1、由前面的学习我们知道，正数的加减法可以扩充到有理数的加减法，那么乘法是可也可以扩充呢？乘法是加法的特殊运算，例如5＋5＋5＝5×3，那么请思考：（－5）＋（－5）＋（－5）与（－5）×3是否有相同的结果呢？本节课我们就来探究这个问题。
3、在一条由西向东的笔直的马路上，取一点O，以向东的路程为正，则向西的路程为负，如果小玫从点O出发，以每小时5千米的向西行走，那么经过3小时，她走了多远？二、合作交流，解读探究1、小学学过的乘法的意义是什么？乘法的分配律：a×(b＋c)=a×b＋a×c如果两个数的和为0，那么这两个数 互为相反数 。
2、由前面的问题3，根据小学学过的乘法意义，小玫向西一共走了 （5×3）千米，即（－5）×3＝－（5×3）3、学生活动：计算3×（－5）＋3×5，注意运用简便运算通过计算表明3×（－5）与3×5互为相反数，从而有3×（－5）＝－（3×5），由此看出，3×（－5）得负数，并且把绝对值3与5相乘。
类似的，（－5）×（－3）＋（－5）×3＝（－5）×［（－3）＋3］＝0 由此看出（－5）×（－3）得正数，并且把绝对值5与3相乘。
4、提出：从以上的运算中，你能总结出有理数的乘法法则吗？鼓励学生自己归纳，并与同伴交流。
湘教版新版七年级上册数学1.5有理数的乘法和除法
因此
6 ÷ 3 = 2.
①
那么如何计算（-6）÷3， 6÷（-3）， （-6）÷（-3）呢？
探究
（-6）÷3=?， 6÷（-3）=?， （-6）÷（-3）=?
由于 因此， （-2）×3 = - 6 ， （-6）÷3 = -2 . ② ③ ④
类似地，由于（-2）×（-3）= 6 ， 因此， 6÷（- 3）= -2 ，
2
1
1
1
1
将分数逐个与60相乘
3
4
5
= 30-20-15+12
=7
计算结果
相乘为整数的先结合起来 (-12.5)和(-8)相乘为整数
(-2.5)和4相乘为整数
（2） (-12.5)×(-2.5)×(-8)×4 解 = (-12.5) ×(-8)×(-2.5)×4
（4）0.125×9×(-8)=-(8×0.125)×9=-9
（5）(-5)×(-4)×(-3)=-(5×4×3)=-60
（6）(-1.5)×6×(-4)=1.5×4×6=36
1 1 6 1 1 6 1 （7）
2
3
4
（5）(-5)×(-4)×(-3)；
1 1 6 ； （7）
2
3
1.解 （1）(-2)×17×(-5)=2×5×17=170
（2）(-15)×3×(-4)=15×4×3=180
1 1 -7 （3） - 4 74 - 447
有理数的除法是通过乘法来规定的，因此由①至④式可以得出：
同号两数相除得正数，异号两数相除 得负数，并且把它们的绝对值相除. 0 除以任何一个不等于0的数都得0.
沪科版七年级数学上册例题与讲解：第1章1.5有理数的乘除
1.5 有理数的乘除1．有理数的乘法(1)有理数的乘法法则①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．如：－3×(－2)＝＋(3×2)＝6，(－2)×3＝－(2×3)＝－6.②任何数与零相乘仍得零．如：(－5)×0＝0.(2)有理数乘法的步骤第一步：确定积的符号；第二步：计算各因数的绝对值；第三步：计算绝对值的积．由于绝对值总是正数或0，因此绝对值相乘就是小学中的算术乘法．由此可见，有理数乘法实质上就是通过符号法则，归结为算术的乘法完成的．解技巧 有理数的乘法运算技巧(1)两个有理数相乘时，先确定积的符号，再把绝对值相乘，带分数相乘时，要先把带分数化为假分数，分数与小数相乘时，一般统一写成分数．(2)一个数同零相乘，仍得零，同1相乘，仍得原数，同－1相乘得原数的相反数．(3)两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来积的相反数．【例1】 计算：(1)45×0.2； (2)13×(－4)；(3)(－1.3)×(－5)； (4)221133⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (5)1106⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭. 分析：利用乘法法则进行计算．这里(1)中是正数和正数相乘，因而得正；(2)中是正数和负数相乘，因而得负；(3)中是负数与负数相乘，因而得正；(4)中是负数和负数相乘，因而得正；(5)中是负数和零相乘，因而得零．小数和带分数一般化为分数或假分数．解：(1)原式＝45×15＝425； (2)原式＝－(13×4)＝－52；(3)原式＝＋(1.3×5)＝6.5；(4)原式＝5735326⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭； (5)原式＝0.2.倒数(1)倒数的概念如果两个有理数的乘积为1，我们称这两个有理数互为倒数，如2与12，⎝⎛⎭⎫－32与⎝⎛⎭⎫－23分别互为倒数．用字母表示：若ab ＝1，则a ，b 互为倒数，反之，若a ，b 互为倒数，则ab ＝1.(2)倒数的求法若a ≠0，则a 的倒数是1a，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0无倒数．为了方便，一般采用如下方法：①非零整数——直接写成这个数分之一．如：4的倒数是14，－6的倒数是－16. ②分数的倒数——把分子、分母颠倒写即可；带分数要化为假分数，小数要化为分数后再把分子、分母颠倒位置写．如：－34的倒数是－43；－0.25的倒数是－4，－123的倒数是－35. ③倒数等于本身的数是±1，零没有倒数．辨误区 倒数与相反数的区别一定要注意倒数的概念和相反数的概念的区分，互为相反数的两数之和为零，互为倒数的两数之积为1，同时正数的倒数仍为正数，负数的倒数仍为负数．【例2】 求下列各数的倒数．(1)－3；(2)45；(3)－0.2；(4)323. 分析：求一个整数的倒数直接写成这个数分之一即可；求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求一个小数的倒数，先把这个小数化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，要先化为假分数再求．解：(1)－3的倒数为－13；(2)45的倒数为54；(3)由于－0.2＝－15，所以－0.2的倒数为－5；(4)由于323＝113，所以323的倒数为311. 3．有理数乘法法则的推广(1)几个数相乘，有一个因数为零，积为零．如：1×2×(－5)×0×6＝0.(2)几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．(3)由上面的法则可以知道：几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后，再把每个因数的绝对值相乘．这就是多个因数求积的常用方法．解技巧 多个有理数相乘的技巧多个有理数相乘时，先观察因数中有没有0.如果有0，积就是0；如果没有0，一般按从左向右的顺序计算绝对值的积作为积的绝对值．【例3】 计算：(1)1172137732222⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0；(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)．分析：(1)四个因数只有一个是负数，所以结果是负数，再把带分数化为假分数，约分之后得出结果；(2)因为乘式中含有一个因数0，故积为零；(3)式子中的负数有3个，所以结果是负数．多个有理数进行运算时，应一次确定结果的符号，再计算各因数绝对值的积，这样既简捷又不易出错．解：(1)1172137732222⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝－227×223×722×2122＝－7.(2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0＝0.(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)＝－(5×8×7×0.25)＝－70.4.有理数的除法(1)有理数除法的意义在有理数运算中，除法的意义依然是乘法的逆运算，即已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算．除法可以转化为乘法来进行．(2)有理数的除法法则①有理数的除法法则一(直接相除的法则)：Ⅰ.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．Ⅱ.零除以一个不为零的数，仍得零．零不能作除数．用字母表示：Ⅰ.若a ＞0，b ＞0，则a b ＝|a ||b |；若a ＜0，b ＜0，则a b ＝|a ||b |； 若a ＜0，b ＞0，则a b ＝－|a ||b |；若a ＞0，b ＜0，则a b ＝－|a ||b |. Ⅱ.若a ≠0，则0a＝0. ②有理数的除法法则二(化除为乘的法则)：除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数．用字母表示：a ÷b ＝a ×1b(b ≠0)． 析规律 两个除法法则的区别对于除法的两个法则，在计算时根据具体情况，灵活运用，一般在不能整除的情况下应用法则二，在能整除的情况下，应用法则一比较简便．【例4】 计算：(1)(－16)÷(－4)； (2)3324⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭； (3)57168⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4)0÷(－20)．分析：在做除法时，选择哪一个除法法则，应从运算是否方便考虑，和乘法一样，做除法时，先要把带分数化为假分数．解：(1)(－16)÷(－4)＝16÷4＝4； (2)333422423⎛⎫-÷=-⨯=- ⎪⎝⎭； (3)57168⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝116×87＝4421； (4)0÷(－20)＝0.5．有理数的乘、除混合运算(1)有理数的乘、除混合运算①形式a ÷b ÷c ；a ×b ÷c ；a ÷b ×c ，这些都是有理数的乘、除混合运算．②方法有理数的乘、除混合运算，先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果．如，计算：(－81)÷214×49÷(－15)． ③运算顺序对于连除或乘除混合运算问题，我们可以按从左到右的顺序依次进行计算，也可以直接把除法转化为乘法来计算．(2)有理数的四则混合运算对于含有加、减、乘、除的有理数的混合运算，运算顺序是：如没有括号，应先做乘除运算，后做加减运算；如有括号，应先做括号里的运算，再做其他运算．【例5－1】 计算：(1)(－35)×(－312)÷(－114)÷3； (2)－214÷1.125×(－8)． 分析：乘除混合运算要按从左到右顺序进行．对于有理数的乘除法混合运算，应将它们统一为有理数的乘法运算．先由负因数的个数确定结果的符号，再把带分数化为假分数，同时把小数也化为分数，最后考虑约分．解：(1)(－35)×(－312)÷(－114)÷3 ＝(－35)×(－72)×(－45)×13＝－35×72×45×13＝－1425； (2)－214÷1.125×(－8) ＝94÷98×8 ＝94×89×8＝16. 【例5－2】 计算：(15－13)×(14＋15)÷(－120)÷(－13). 分析：本题是有理数的加减乘除混合运算，可按四则混合运算的顺序进行计算，有括号的要先算括号里面的．解：(15－13)×(14＋15)÷(－120)÷(－13) ＝－215×920×(－20)×(－3) ＝－(215×920×20×3)＝－185. 6．有理数的乘法的运算律(1)乘法交换律两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即ab ＝ba .(2)乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变．即(ab )c ＝a (bc )．(3)分配律一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即a (b ＋c )＝ab ＋ac .分配律在有理数的运算以及今后的有关代数式运算及变形中运用非常广泛，它的正向运用(即从左到右)与逆向运用(即从右到左)对于不同形式的计算与变形都起着简化的作用，应注意灵活运用．如，计算：(134－78－712)×(－117)，考虑前一个括号里面的各个因数的分子都是7，而后面括号里面的因数的分母是7，可以直接利用乘法的分配律简化运算．【例6】 用简便方法计算：(1) (－12＋16－38＋512)×(－24)； (2)－13×23－0.34×27＋13×(－13)－57×0.34. 分析：第(1)题中有(－24)是括号中各分母的公倍数，所以应利用分配律变形；第(2)题把－0.34×27与13×(－13)交换位置，然后利用结合律将前两项结合、后两项结合，即分成两组，再分别在每组中逆用分配律即可．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫－12×(－24)＋16×(－24)＋38×24＋512×(－24) ＝12－4＋9－10＝7.(2)原式＝－13×23＋13×(－13)－0.34×27－57×0.34＝⎣⎡⎦⎤(－13)×23＋13×(－13)＋⎣⎡⎦⎤0.34×⎝⎛⎭⎫－27－57×0.34 ＝2125(13)0.343377⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯++⨯-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝(－13)×1＋0.34×(－1)＝－13－0.34＝－13.34.7．有理数混合运算的技巧进行有理数的乘除运算，除了注意运算顺序和运算法则之外，还要注意一些运算技巧，力求使运算简便．解答有理数除法运算有关的问题时，我们应注意利用有理数的除法法则，将有理数的除法运算转化为有理数的乘法运算．如果被除数或除数中有小数应先化为分数，有带分数应先化为假分数，便于约分，简化运算．辨误区 除法没有分配律除法没有分配律，如在有理数的除法运算中，如果按a ÷(b ＋c )＝a ÷b ＋a ÷c 进行分配就错了．除法是没有分配律的，从而不能运用分配律．像6÷3×13有时会习惯性地将3和分母中的3约分，这是错误的，应严格按运算顺序进行计算，并经过一定练习才能灵活进行有理数的混合运算．有理数的乘、除混合运算的性质有：①a ÷b ÷c ＝a ÷(b ×c )＝a ÷c ÷b .即一个数除以另一个数所得的商再除以第三个数，等于第一个数除以第二、三两数的积；也等于第一个数除以第三个数所得的商再除以第二个数．如：740÷(37×4)＝740÷37÷4＝20÷4＝5.②a ×b ÷c ＝a ×(b ÷c )＝(a ÷c )×b .即两个数的积除以第三个数，等于其中任意一个乘数除以第三个数，再与另一个乘数相乘．如：136×73÷68＝2×73＝146.③a ÷b ×c ＝a ÷(b ÷c )．即第一个数除以第二个数所得的商再乘以第三个数，等于先求出第二个数除以第三个数的商，再用第一个数除以这个商．如：480 000÷144×12＝480 000÷(144÷12)＝480 000÷12＝40 000.以上三个公式中，添括号或去括号都有规律．添括号时，如果一个数的前面是乘号，那么这个数前面添上括号后，括到括号里面的运算符号不变；如果一个数的前面是除号，那么在这个数前面添上括号后，括到括号里面的运算符号要改变，乘号变除号，除号变乘号．【例7－1】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫14－15＋13÷160；(2)160÷111453⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 分析：(1)先将除法转化为乘法，运用了分配律后使运算简便；第(2)题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题目而错误地运用运算律．解：(1)方法一：⎝⎛⎭⎫14－15＋13÷160＝⎝⎛⎭⎫1560－1260＋2060×60＝2360×60＝23. 方法二：⎝⎛⎭⎫14－15＋13÷160＝(14－15＋13)×60 ＝14×60－15×60＋13×60＝23. (2)方法一：160÷(14－15＋13) ＝160÷(1560－1260＋2060)＝160÷2360＝123. 方法二：∵⎝⎛⎭⎫14－15＋13÷160＝(14－15＋13)×60＝14×60－15×60＋13×60＝23， ∴根据倒数的定义有160÷(14－15＋13)＝123. 【例7－2】 计算：(－48)×⎝⎛⎭⎫－23＋34＋112. 分析：在有理数的计算中，如果能够准确地确定运算结果的符号，则可省去一些不必要的括号，运算步骤的简明与流畅可以提高运算的正确率．解：(－48)×⎝⎛⎭⎫－23＋34＋112 ＝48×23－48×34－48×112＝32－36－4＝－8.【例7－3】 计算：－3.5×35.2＋(－7)×32.4.分析：仔细观察算式的特点，可以发现3.5和7存在倍数关系，不妨将7写成3.5×2，然后逆用分配律来简化计算．解：－3.5×35.2＋(－7)×32.4＝－3.5×35.2＋(－3.5)×2×32.4＝－3.5×(35.2＋2×32.4)＝－3.5×100＝－350.【例7－4】 计算：0.25÷168×(－1517). 分析：本题如果先计算0.25÷168的结果再乘以⎝⎛⎭⎫－1517，运算过程就很繁杂，而且容易出错．仔细观察每一个数的特点，考虑0.25×4＝1，可将68分解成4×17., 去括号时，如果括号的前面是乘号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号不变；如果括号的前面是除号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号要改变，乘号变除号，除号变乘号．解：0.25÷168×(－1517)＝0.25×68×(－1517) ＝0.25×4×17×(－1517)＝(0.25×4)×151717⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝1×(－15)＝－15. 8．计算器的使用计算器是一种方便实用的计算工具，计算速度快，计算准确，操作方便．使用时要特别注意以下几点：(1)按下数字键后，应看清显示器上的显示是否正确；(2)用计算器进行有理数的加减运算时，按式子的顺序从左向右按；(3)用计算器进行有理数的乘除运算时，特别是有负数出现时，先应按(－)，再输入其绝对值；(4)对于加减乘除混合运算，只要按算式的书写顺序输入，计算器会按要求求出结果．【例8】 用计算器计算：－15.13＋4.85＋(－7.69)－(－13.88)．分析：不同的计算器用法不一样，要注意，使用计算器能进行一些较为复杂的运算． 解：用带符号键(－)的计算器计算．按键顺序： (－)15·13＋4·85＋(－)7·69－(－)13·88＝. 得到－4.09.9．有理数的混合运算在实际问题中的应用有理数的混合运算在现实生活中有着广泛的应用，是解决其他数学问题的基础，也是解应用题的基础，多以实际应用、规律探究型问题的形式出现．尤其是运算律在现实生活中的应用更加广泛．在现实生活中我们经常会遇到一些较大的或者较复杂的数的混合运算，这时就要利用运算律进行转化，使运算简化．解决实际问题的关键是根据问题情境找出数量关系，将实际问题转化为所学的数学问题．有理数的混合运算可以解决一些实际应用题，如：银行利息计算、话费计算等．解决这类问题的关键是将实际问题抽象成数学问题，用运算符号正确表达出关系式，注意单位和解题格式．【例9－1】 某校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的12、13和14.请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？分析：本题可以转化为：求一个数的几分之几是多少的数学模型，所以用乘法来解答． 解：60×1111234⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝60×1－60×12－60×13－60×14＝60－30－20－15＝－5(个)．答：不够借，还缺5个篮球．【例9－2】根据实验测定，高度每增加1 km，气温大约下降6 ℃，小王是一位登山运动员，他在攀登山峰的途中发回信息，报告他所在的位置的气温是－15 ℃，如果当时地面的气温是3 ℃，则小王所在的位置离地面的高度是多少？分析：地面的温度是3 ℃，小王所在的位置是－15 ℃，我们可以根据温度差与高度每增加1 km气温大约下降6 ℃之间的关系，通过计算得到小王所在位置的高度．解：[3－(－15)]÷6×1＝3(km)．所以小王所在的位置离地面的高度为3 km.初中数学试卷金戈铁骑制作。
1.5有理数的乘法和除法2
根据除法法则
例（1） 1213 解 = （-12）×3
13的倒数是3 异号相乘，结果为负
= -36
根据除法法则
（2） 解
15
3 7
=
15
7 3
= -35
73的倒数是
7 3
异号相乘，结果为负
课时小结:
一.有理数除法法则:
1.
a b a 1 (b 0) b
2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
复习提问： 1.有理数的乘法法则？
2.什么是倒数？
1.有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0。
运算方法：
有理数相乘，先确定积的＿＿符＿号＿＿＿，再 确定积的＿＿绝＿对＿ 那么把其中一个数叫做另一个数的倒 数，也称它们互为倒数. 0没有倒数.
( 12 ) ( 3)
25
5
( 12) ( 3) ( 12) ( 5) 4
25 5
25 3 5
结论
归纳
两个有理数除法的法则
同号两数相除得正数，异号两数相除 得负数，并且把它们的绝对值相除. 0 除以任何一个不等于0的数都得0.
除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数.
abab1(b0)
如果两数相除，能够整除的就选择法则一， 不能够整除的就选择用法则二。
例如：(5)
1 5
1
1.填空：
（1）因为
1 6
×
-6
= 1，所以16 的倒数是 -6
；
（2）58 的倒数是
8 5
；-3的倒数是
13
.
2、你能很快地说出下列各数的倒数吗?
《1.5有理数的乘方》
> 1.7 ____
11
０
> ０ (7) ____
8
０ 3 5 < ( ) _____ 4
0 ____
=
40
０
练习四
计算：
1 = 1 ； 1、
10
3
2、 1 = －1
9
2
3
；
3 = -27 ； 4、 (5) = 25 ； 3、 1 1 3 = 8 0.1 = -0.001 ； 6、 5、 ； 2 2n 2 n 1 1 1 7、 = ； 8、 1 = -1 .
3
一个数可以看作这个数本身的一次方， 例如：5就是5 ，指数是1通常省略不写
1
2次方又叫平方，3次方又叫立方。
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练习二
一、把下列乘法式子写成乘方的形式： 1、1×1×1×1×1×1×1= 1 ；
5 3 2、3×3×3×3×3= ；
3
) ∧
∧
6
=
3
+/-
∧
6
=
显示(-3) 6
5
729.
显示:729.
所以（ 8） 32768
(3) 729
6
课本42页练习2
猜一猜
珠穆朗玛峰是世 界的最高峰，它 的海拔高度是 8848米。
≈
把一张足够大的 厚度为0．1毫米 的纸，连续对折 30次的厚度能超 过珠穆朗玛峰。 这是真的吗？
练习一
1、写出下列各幂的底数与 指数: (1)在64中,底数是___, 6 指数是____; 4
a 指数是____ (2)在a4中,底数是___, 4 ； -6 指数是___; 4 (3)在(-6)4中,底数是 ___,
《有理数的乘法(1)》教学课件
根据乘法法则
（3）(3)
1 3
解
=
3
1 3
=1
结果3为和 正
1 3
为同号，
根据乘法法则
（4）（-0.57）× 0
解 =0
任何数与0相乘，结果为0
练习
1. 填表:
因数
-2
1 4
0.3
因数 积的符号 绝对值的积 积
7
-
-1
+
-10
-
14
-14
1
1
4
4
3
-3
2. 计算：
（1）
2 3
145
；
5 2
小丽从O点向西行走了（5×3）km.
由此，我们有
（-5）×3 = （5×3）
②
探究
我们已经知道(-5)×3 = -(5×3)， 那么3×(-5 )，(- 5)×(-3)又应怎样计算呢？
非负数的乘法与加法是用分配律联系起来的， 因此，当数扩充到有理数后，要规定有理数的乘法 法则，当然也要求它满足分配律，以便把乘法与加 法联系起来.如果它满足分配律，那么就会有
（2）
8
5
15 12
.
2 9
作业
P39 习题1.5 A组 1、2、3
结束
；
（3）(3)
1
；
3
（4）（-0.57）× 0.
根据乘法法则
（1） 3.5 ×（-2）
3.5和(-2)为异号， 结果为负
解 = -(3.5×2) 3.5和(-2)的绝对值相乘
= -7
根据乘法法则
（2）
3 8
2 9
解 =
3 8
2 9
湘教版数学七年级上册1.5有理数的乘法和除法(含答案)
1．5 有理数的乘法和除法专题一 有关字母型的乘除法1. 四个整数a ，b ，c ，d 互不相等，且abcd =25，求a +b +c +d 的值．2．a ，b 为有理数，且|a +b |=a ﹣b ，试求ab ．3． 设a =-1÷2÷3÷4，b =-1÷(2÷3÷4)，c =-1÷(-2÷3)÷4，d =-1÷2÷(3÷4)，计算(b ÷a )÷(c ÷d )的值．专题二 有关数字型的乘除法4．计算：)311()433()1(-÷-÷-．5． 计算：)18()1816531(446.6496.8-⨯+-+⨯+⨯-．6． 阅读下面的材料：计算：)8(161589-⨯． 解：)8(161589-⨯=)8()16190(-⨯-=)8(161)8(90-⨯--⨯=-720+21=21719-． 根据你对材料的理解，计算：)9(272699-⨯．专题三 有关探究型的乘除法7． 将2013减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，…，以此类推，直至减去余下的20131，试探究最后的结果是多少？8． 中央电视台每一期的“开心辞典”栏目，都有一个“二十四点”的趣味题，将四个数(四个数都用且只能用一次)进行“+”、“﹣”、“×”、“÷”运算，可加括号使其结果等于24．例如：对1、2、3、4可作运算(1+2+3)×4=24，也可写成4×(1+2+3)=24，但视作相同方法的运算．现有四个有理数3，﹣5，7，﹣13，请你写出一个符合条件的算式，使其结果等于24．9． 如图，是一个“有理数转换器”(箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器)(1)当小明输入3；﹣4；95；﹣2013这四个数时，这四次输出的结果分别是？ (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？(3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？【知识要点】1．两数相乘，同号得正，异号得负，并且把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0．几个不等于0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．2．乘法交换律：a ×b =b ×a ．乘法结合律：(a ×b )×c = a ×(b ×c )．乘法对加法的分配律：a ×(b +c ) = a ×b +a ×c ．3．两数相除，同号得正，异号得负，并且把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0．4．一般地，如果两个数的乘积等于1，我们把其中一个数叫做另一个数的倒数，0没有倒数．除以一个不等于零的数等于乘这个数的倒数．【温馨提示】1．有理数乘除法运算时，要注意与有理数加法运算确定符号的区别．2．几个有理数连除，不要弄错除数．【方法技巧】1．几个有理数相乘除，结果的符号由负数的个数决定，当负数有奇数个时，结果为负；当负数有偶数个时，结果为正．2．对于分数除法，一般先转化为乘法．3．正确运用乘法运算律能简化运算．参考答案1． 解：因为25=5×5，整数a ，b ，c ，d 互不相等，且abcd =25，所以a ，b ，c ，d 的值只能分别为5，﹣5，1，﹣1.所以a +b +c +d =0．2． 解：因为|a +b |=a +b 或﹣a ﹣b ，所以a +b =a ﹣b 或﹣a ﹣b =a ﹣b ，解得b =0或a =0. 所以ab =0．3． 解： 241413121-=⨯⨯-=a ， 6)4132(1-=⨯÷-=b ， 83412341)32(1=⨯=⨯-÷-=c ， 3234214321-=⨯-=÷÷-=d ， 则 (b ÷a )÷(c ÷d )=acbd c d a b =⨯， 所以bd =4)32(6=-⨯-，ac =64183241-=⨯-， 所以原式=2566414=-=ac bd ． 4． 解：原式=51)43()154()1(-=-⨯-⨯-． 5． 解：原式=)18(181)18(65)18(314)46.696.8(-⨯+-⨯--⨯+⨯+- =-10-6+15-1=-2．6． 解：)9(272699-⨯=)9()271100(-⨯- =)9(271)9(100-⨯--⨯ =-900+31=32899-． 7． 解：根据题意得：)201311()311()211(2013-⨯⨯-⨯-⨯ =2013201232212013⨯⨯⨯⨯ =1． 故结果为1． 8． 解：[(-5)×(-13)+7]÷3=24．9． 解：(1)因为3＞2，所以输入3时的程序为：(3﹣5)=﹣2＜0.所以﹣2的相反数是2＞0，2的倒数是21，所以当输入3时，输出21； 当输入﹣4时，因为﹣4＜2，所以﹣4的相反数是4＞0，4的倒数是41. 所以当输入﹣4时，输出41； 当输入95时，95＜2，所以其相反数是95 ，其绝对值是95， 所以当输入95时，输出95； 当输入﹣2013时，﹣2013＜2，所以其相反数是2013＞0，其倒数是20131， 所以当输入﹣2013时，输出20131. (2)因为输出数为0，0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0；(3)由(1)中输出的各数均为非负数可知，输出的数应为非负数．。
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1
1
1
1
将分数逐个与60相乘
3
4
5
= 30-20-15+12
=7
计算结果
相乘为整数的先结合起来 (-12.5)和(-8)相乘为整数
(-2.5)和4相乘为整数
（2） (-12.5)×(-2.5)×(-8)×4 解 = (-12.5) ×(-8)×(-2.5)×4
结果为负
= -2
动脑筋
试问：10÷(-5) 还可以怎样计算 ？ 我们已经知道 又 所以
5
10÷（-5）= -2 ，
1 2 10 5
1 10 (5) 10 5
⑤
由于 (5) 1 1 ，因此，我们把 1 叫做-5的倒数， 5
因此
6 ÷ 3 = 2.
①
那么如何计算（-6）÷3， 6÷（-3）， （-6）÷（-3）呢？
探究
（-6）÷3=?， 6÷（-3）=?， （-6）÷（-3）=?
由于 因此， （-2）×3 = - 6 ， （-6）÷3 = -2 . ② ③ ④
类似地，由于（-2）×（-3）= 6 ， 因此， 6÷（- 3）= -2 ，
有理数的除法是通过乘法来规定的，因此由①至④式可以得出：
同号两数相除得正数，异号两数相除 得负数，并且把它们的绝对值相除. 0 除以任何一个不等于0的数都得0.
（+）÷（+）→（+） （-）÷（-）→（+） （-）÷（+）→（-） （+）÷（-）→（-）
例4 计算：
（1）（-24）÷4 ； （2）（-18）÷（-9）； （3） 10 ÷（-5）.
把-5叫做
1 . 的倒数 5
一般地，如果两个数的乘积等于1，那么把其 中一个数叫做另一个数的倒数，也称它们互为倒 数. 0没有倒数.
1 (5) 1 5
因此，⑤式表明10除以-5等于10乘-5的倒数.
10 (5) 10 1 ⑤ 5
1 4
积 -14
1 4
-2
1 4
7 -1
0.3
-10
-
3
-3
2. 计算：
（ 1）
2 15 3 4
；
5 2
2 9
8 5 （ 2） 15 12
.
在小学我们已经学过乘法的交换律、结 合律，那么这两个运算律在有理数范围内是 否也适用呢？
由于 因此， 2 ×（-3） = -6 ， （-6）÷（-3）=2 .
从这些例子受到启发，抽象出有理数的除法运算； 对于两个有理数a，b，其中b≠0，如果有一个有理 数c，使得cb = a，那么规定a÷b=c，且把c叫作a除以b的 商.
结论
6÷3=2
①
(-6)÷3 = -2
②
6÷(- 3)= -2 ③ (-6)÷(-3)=2 ④
3 20 1 20 4 20 5 10 4 6 516 17
（2）（-4）×（-3）×（- 5）×（-2.5）
= 4×3×5×2.5
= 150
1.5.2 有理数的除法
我们知道
2 × 3 = 6，
3×(-5)+3×5=3× [(-5)+5]=3×0=0 这表明3×(-5)与3×5互为相反数，于是有 3×(-5)=-(3×5).
③
结论
( - 5) × 3 = - ( 5× 3) ② 3× ( - 5 )= - ( 3× 5) ③
从②、③式受到启发，一般规定：
异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘.
由④式看出，(-5)×(-3)得正数，并且把绝对值5 与3相乘.
结论
5×3 = 15 ② (-5)×(-3)=15=5×3 ③
从①、④式受到启发，于是规定：
同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘.
（+）×（+）→（+） （-）×（-）→（+）
例1 计算：
（1）3.5 ×（-2）；
3 2； （ 2） 8 9 （3）(3) 1 ； 3 （4）（-0.57）× 0.
它们的绝对值相乘
根据乘法法则
（3） 解 = 3 1
= 1
1 (3) 3
结果为正
1 3 和 为同号， 3
3
根据乘法法则
任何数与0相乘，结果为0
（4）（-0.57）× 0 解 =0
练习
1. 填表:
因数 因数 积的符号 绝对值的积 + 14
2 3
（8）(-10)× 28 × 0 = 0
2.计算:
（1）
3 1 4 ； 20 10 4 5
（2）（-4）×（-3）×（- 5）×（-2.5）.
3 1 4 20 2.解 （1） 4 5 10
= -35
根据除法法则
- 2的倒数是 - 3 3 2
（3） 解
2 2 3 15
3 2 = 15 2
同号相乘，结果为正
= 1 5
练习
1.计算：
（1）14÷(-7)； （3）0÷ (-0.618)； （2）(-36)÷(-3)； （4）(-48)÷12.
（4）0.125×9×(-8)=-(8×0.125)×9=-9
（5）(-5)×(-4)×(-3)=-(5×4×3)=-60
（6）(-1.5)×6×(-4)=1.5×4×6=36
1 1 6 1 1 6 1 （7）
2
3
动脑筋 填空：
（1）(-2)×4= -8 ， （2）[(-2)×(-3)] ×(-4)= 4×(-2)=
-8
；
6
×(-4)= -24 ，
(-2)×[(-3) ×(-4)]=(-2)×
12
=
-24
.
从上面的填空题中，你发现了什么？
结论
乘法交换律： a × b = b × a .
即，两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变.
4
（5）(-5)×(-4)×(-3)；
1 1 6 ； （7）
2
3
1.解 （1）(-2)×17×(-5)=2×5×17=170
（2）(-15)×3×(-4)=15×4×3=180
1 1 -7 （3） -4 74 - 447
例3 计算：
（1）（-8）× 4 ×（-1）×（-3） ；
（2）
1 (10) (3.2) (5) . 5
先确定积的符号
将负号提出来
（1） (-8)× 4 × (-1)×(-3) 解 = -(8×4×1×3) 绝对值进行相乘
= -96
先确定积的符号
(-12.5)和(-8)为 同号相乘
= 100×(-10)
= -1000
(-2.5)和4为异号相乘
(-10)和100相乘为异号
说一说
下列各式的积是正数还是负数？积的符号与负因数 （因数为负数）的个数之间有什么关系？
（1）（-2）×（-3）×（-4）；
（2）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）.
几个不等于0的数相 乘，当负因数有奇数个 时，积为负；当负因数 有偶数个时，积为正.
本课内容 本节内容 1.5
有理数的乘法和除法
1.5.1 有理数的乘法
我们已经熟悉了非负数的乘法运算， 例如
5 × 3 = 15 ， ①
那么如何计算 （-5）×3， 3×（-5）， （-5）×（-3）呢？
动脑筋
我们把向东走的路程记为正数.如果小丽从点O 出发，以5km/h的速度向西行走3h后，小丽从O点向 哪个方向行走了多少千米？
根据乘法法则
（1） 3.5 ×（-2） 解 = -(3.5×2)
= -7
3.5)和(-2)为异号， 结果为负
3.5和(-2)的绝对值相乘
根据乘法法则
（2） 解
2 3 8 9 3 2 = 8 9 1 = 12
结果为负
3 和2 为异号， 8 9
小丽从O点向西行走了（5×3）km. 由此，我们有 （- 5）×3 = （5×3） ②
探究
我们已经知道(-5)×3 = -(5×3)， 那么3×(-5 )，(- 5)×(-3)又应怎样计算呢？
非负数的乘法与加法是用分配律联系起来的， 因此，当数扩充到有理数后，要规定有理数的乘法 法则，当然也要求它满足分配律，以便把乘法与加 法联系起来.如果它满足分配律，那么就会有
结论
一般地，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，即
除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数.
也可以表示成
aba1 (b0) b
例5 计算：
（1） 12 1 ； 3
3 （2） 15 7
2 2 （3） 15 3
动脑筋
（1）填空：
(-6)×[4+(-9)] =(-6)×
(-6)×4+(-6)×(-9)=
-5பைடு நூலகம்
+
=
30
=
，
-24
54
30
.
（2）换几个有理数试一试，你发现了什么？