A11高二数学上学期期中试题 理(扫描版)
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中质量评估数学(理)试题(扫描版)
高二数学（理）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBBBACACBCDA二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．[)2,3 14. 2213+15. 20(62)- 16. 2nn ∙ 17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ． 因为3660a a =-=，， 所以112650.a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得1102a d =-=，．所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-． ------------5分（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为21231248b a a a b =++=-=-，，所以824q -=-，即3q =．所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--．-----------10分 18. 解：（Ⅰ）2()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，所以的解集是()0,5，所以是方程的两个根，由韦达定理知， 2()210f x x x =-. ------------5分（Ⅱ）()2f x t +≤ 恒成立等价于021022≤-+-t x x 恒成立,设2()2102g x x x t =-+-，则()g x 的最大值小于或等于则由二次函数的图象可知2102)(2-+-=t x x x g 在区间]1,1[-为减函数，所以t g x g +=-=10)1()(max ，所以10t ≤-. -----------12分19. 解:（Ⅰ）证明：∵A、B 、C 成等差数列，∴B =600，220x bx c ++<05和220x bx c ++=5,0,10,0,22b cb c -==∴=-=又∆ABC 的面积为3，∴360sin ac 210=，∴ac=4 ∴a、2、c 成等比数列 --------------------------4分 （Ⅱ）在∆ABC 中，根据余弦定理，得 b 2=a 2+c 2-2accos600=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac=4，∴ b≥2, 当且仅当a=c 时，等号成立 ----------------8分 ∴∆ABC 的周长L =a+b+c≥b ac 2+=4b +.当且仅当a=c 时，等号成立 ∴426L ≥+=, 当且仅当a=c 时，等号成立 ∴∆ABC 周长的最小值为6，因为a=c ，B=600，此时∆ABC 为等边三角形. -----------------12分 20.解：由题意得，1300v x =，250v y =∵1230100,,420v v ≤≤≤≤ ∴525310,22x y ≤≤≤≤由题设中的限制条件得149≤+≤y x于是得约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤22525103149y x y x目标函数y x y x p 23131)8(2)5(3100--=-+-+= ………６分做出可行域（如图），（没有图扣２分） 当223,23zx y y x z +-=+=即平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p 最小. 所以当4,10==y x ，即5.12,3021==v v 时，93min =p 元 ……１２分 21．（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin 3sin cos C A A C =，因为sin 0A ≠，解得tan 3C =，3C π=． ……… 4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得2sinsin(2)3sin 233A A ππ+-=， 即331cos 2sin 23sin 2222A A A ++=． 35(1cos 2)sin 222A A += 23cos 5sin cos A A A = ……… 8分若cos 0A =，则2A π=，tan 3c b π=，213b =， ABC ∆的面积17326S bc ==．若cos 0A ≠，则3cos 5sin A A =，5721cos ,sin ,1414A A == 由正弦定理，得1a =． 321sin sin()14B A C =+=， ABC ∆的面积133sin 24S ac B ==． 综上，ABC ∆的面积为736或334． ……… 12分解法二：由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，整理，得sin cos 3sin cos B A A A =． 若cos 0A =，则2A π=，tan 3c b π=，213b =， ABC ∆的面积17326S bc ==．……… 8分若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积133sin 24S ab C ==．综上，ABC ∆的面积为736或334． ……… 12分22. （Ⅰ）12311232n n n a a a na a +++++⋅⋅⋅+=，n N *∈① 123123(1)2n n na a a n a a -∴+++⋅⋅⋅+-=，2n ≥②①-②：1122n n n n n na a a ++=-，13122n n n n a a ++∴=， ……… 2分 即1(1)3n n n a na ++=⨯（2n ≥），又由①得n=1时，121a a ==222a ∴=，2n ∴≥时，数列{}n na 是以2为首项，3为公比的等比数列.223(2)n n na n -∴=⋅≥，故21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当2n ≥时，2223n n n a n -=⋅，∴当1n =时，11T =；当2n ≥时,0121436323n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①12213343632(1)323n n n T n n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅,②①-②得，1221222(333)23n n n T n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=1123323n n n ---+-⋅ =11(12)3n n --+-⋅111()3(2)22n n T n n -∴=+-≥，又11T =也满足 111()3()22n n T n n N -*∴=+-∈ ……… 8分（Ⅲ）()11nn a a n n λλ≤+⇔≥+，由（Ⅰ）可知： 当2n ≥时，()2231n n n λ-⋅≥+，令()()2231n f n n n -⋅=+，则()()()()()1211233112232n n f n n n nf n n n n --++⋅=⋅=>++⋅+， 又()0f n >，∴()()1f n f n +>∴当2n ≥时，()f n 单增，∴()f n 的最小值是()123f = 而1n =时，11112a =+，综上所述，1n a n +的最小值是13 ∴13λ≥，即λ的最小值是13……… 12分。
江苏省镇江市三校、泰州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学(含答案)
2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 直线的倾斜角等于（）A. B. C. D. 2. 在等比数列中，若，，则（）A. -32B. -16C. 16D. 323. 若点在圆外，则实数的取值范围为（）A.B. C. D.4. 将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（）A. B. C. D.5. 过点作圆的切线，则切线方程为（）A. B. C. D.6. 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（）A. B. C. D. 7. 高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（）A1010B. 2024C. 1012D. 20208. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点122x y -=30o4590135{}n a 54a =78a =11a =()1,1P 22:420C x y x y a ++-+=a 4,5-（）(),5∞-(),4∞--6,5-（）1:20+-=l x y ()2,090 2l 2l 220x y -+=20x y ++=20x y --=220x y --=()1,1P 22:420E x y y +-+=10x y -+=0x y +=10x y ++=0x y -=()()22126x y -++=P AB ()1,1P --AB P AB 210x y --=210x y -+=230x y ++=230x y ++=123100++++L 1100101+=299101+=⋯5051101+=501015050⨯=n {}n a 120241a a =()11f x x=+()()()122024f a f a f a +++= xOy ()()2221:10C x y r r +-=>P P x Q在圆上，则的取值范围是（）A. B. C.D. （3，7）二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 已知点，点，点，则下列正确有（）A. B. 直线的倾斜角为C. D. 点到直线10. 圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（）A. 直线方程为B. 公共弦C. 圆与圆的公切线段长为1D. 线段的中垂线方程为11. 已知数列满足，且，则下列正确的有（）A. B. 数列的前项和为C. 数列的前项和为D. 若数列的前项和为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设是数列前项和，且，则的通项公式为___________.13. 函数______________.14. 已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.的的的()222:24C x y -+=r 2⎤-+⎦[]3,7)2+()1,2A -()1,4B ()4,1C AB BC>AB 45 AB BC⊥B AC 221:2210C x y x y +--+=222:4440C x y x y +--+=A B AB 2230x y +-=AB 1C 2C AB 0x y +={}n a 1122n n n a a ++-=14a =332a =1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n 12n +2log n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()22log 12n nn +++14n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 11124n T ≤<n S {}n a n 23n S n ={}n a n a =()f x =1:230l x y --=2:230l x y ++=M x C 1l 2l ,A B AMCB15. 已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，.（1）求数列与通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.16. 已知圆，点.（1）过点圆作切线，切点为，求线段的长度（2）过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度（3）点为圆上一点，求线段长度的最大值17. 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.（1）过点且与直线平行；（2）过点且到原点的距离等于2；（3）直线关于直线对称的直线.18. 已知圆.（1）求的范围，并证明圆过定点；（2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值.19. 已知数列满足.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.的{}n a 13a ={}n b 426a a -=24b ={}n a {}n b {}n c n n n c a b =+{}n c n n T ()22:19C x y -+=()3,4P -P C T PT P 12-A B AB Q C PQ 1:30l x y -+=2:210l x y -+=C C 410x y -+=C 1l 2l ()22:4420C x y x λλ++-+-=λC :320l x y -+=A B AB O λ{}n a ()*122N n n a a a n a n +++=-∈ 123a a a ++{}4log 2n a -()()()*212N n n b n a n =--∈*N n ∈n b t +≤22t t2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BCD10.【答案】AC11.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.14.【答案】或四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直接求解；（2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，所以，，所以；因为，所以．【小问2详解】结合（1）可得：．16. 【解析】分析】（1）求出圆心和半径，得到（2）求出直线，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求出答案；（3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，得到答案．【小问1详解】圆心，半径为，即，又，【63n-81595d 424a a -=26d =3d =()3133n a n n =+-⋅=24b =2224222n n n n b b --⋅⋅===1212n n n T a a a b b b =+++++++ ()()212123322122332n n n n n n ++=-++=+--PT ==:250AB x y +-=C AB PQ P C ()1,0C 33TC =PC ==故【小问2详解】，故直线，记圆心到直线的距离为，，故；【小问3详解】的最大值为点到圆心的距离加上半径，故．17. 【解析】【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得；（2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可；（3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得.【小问1详解】联立方程，解得，．设与直线平行的直线为，由题意得：，，故满足要求的直线方程为：．【小问2详解】①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2；②当所求直线斜率存在时，设直线方程为，即，，解得，直线方程为，PT ==()1432y x -=-+:250AB x y +-=C AB d d AB ==PQ P C max 33PQ PC =+=+C ()401x y t t -+=≠C 30210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩25x y =⎧⎨=⎩(2,5)C ∴410x y -+=()401x y t t -+=≠2450t -⨯+=18t =4180x y -+=2x =5(2)y k x -=-250kx y k --+=∴22120k =∴2120580x y -+=综上所述，符合题意的直线方程为或．【小问3详解】在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则，解得，，又，则直线的方程即所求直线方程，为，化简得，.故所求的直线方程为：．18. 【解析】【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标.（2）联立直线与圆的方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求解.【小问1详解】由圆，得，，，所以的范围为；，由，得，所以圆过定点.【小问2详解】以弦为直径的圆过原点，则，，20x -=2120580x y -+=1l ()0,3M M 2l ()00,N x y 0000312321022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪⋅-+=⎪⎩0085115x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩811,55N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭(2,5)C CN 115558225y x --=--790x y --=790x y --=22:(4)420C x y x λλ++-+-=2(4)4(42)0λλ--->20λ>0λ≠λ()(),00,-∞+∞ 22044(2)x x x y λ-++-+=2244020x y x x ⎧+-+=⎨-=⎩20x y =⎧⎨=⎩C ()2,0M AB O OA OB ⊥0OA OB ⋅=设点，，则，，即，由，消去整理得：，，，，于是，解得，满足，所以的值为．19. 【解析】【分析】（1）根据递推关系求值即可；（2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列数列是以0为首项，以为公差的等差数列；（3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列{b n }的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围．【小问1详解】，，，，，，，【小问2详解】证明：由题可知：①，②，②-①得，即：，()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=()()12123+23+20x x x x +=()1212106+40x x x x ++=()223204420x y x y x λλ-+=⎧⎨++-+-=⎩y ()2108820x x λλ+++-=22=(+8)40(82)=962560λλλλ∆--+->12810x x λ++=-128210x x λ-=82+8106401010λλ-⋅-⋅+=3613λ=0∆>λ361312311...22n n n a a a a a n a +++++++=+-122n n a a +-=()11222n n a a +-=-{}4log 2n a -12-1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1212n n n b --=1n n b b +-()2max2n t b t ≤-t 123...2n n a a a a n a ++++=- 112a a ∴=-11a ∴=1224a a a ∴+=-232a ∴=12336a a a a ++=- 374a ∴=23137171.244a a a ++=++=∴123...2n n a a a a n a ++++=-12311...22n n n a a a a a n a ++∴+++++=+-122n n a a +-=()11222n n a a +-=-所以，，，又∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列.【小问3详解】由（2）可得，，，则，由可得；由可得，∴，故{b n }有最大值，∴对任意，有，如果对任意，都有成立，则，∴，解得或，∴实数的取值范围是414411log 2log 2log 222n n n a a a +⎡⎤-=-=-+-⎢⎥⎣⎦4141log 2log 22n n a a +---=-41log 20a -={}4log 2n a -12-11212122n n a a a +-=-=--，1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1212n n n b --=()11212212121322222n n n n n nn n n n nb b +-+--+---=-==10n n b b +->2n <10n n b b +-<2n ≥12345......n b b b b b b >>>><>>232b =*N n ∈32n b ≤*N n ∈22n t b t +≤()2max2n t b t ≤-2322t t ≤-1t ≤-3t ≥t (,1][3,).-∞-⋃+∞。
高二数学上学期期中试题理含解析试题
内蒙古北方重工业集团第三中学2021-2021学年高二数学上学期期中试题 理〔含解析〕考试时间是是：2018年11月14日 满分是：150分 考试时长：150分钟一、选择题：〔每一小题5分，一共60分〕1.以下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，那么数据落在区间[22，30)内的概率为( )A. 0.2B. 0.4【答案】B 【解析】区间[22,30)内的数据一共有4个，总的数据一共有10个，所以频率为0．4,应选B ．2.x ，y 的取值如表所示,假如y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为1ˆ32ybx =+，那么b =〔 〕A. 12-B.12C. 110-D.110【答案】A 【解析】因为样本中心一定在回归直线上，2346453,5,33x y ++++==== 代入回归方程得到13153,.22b b ∧∧∴=+=-故答案选A ．3. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法有〔〕A. 35种B. 53种C. 3种D. 15种【答案】B【解析】【分析】此题是一个分步计数问题，首先第一封信有3种不同的投法，第二封信也有3种不同的投法，以此类推每一封信都有3种结果，根据分步计数原理得到结果．【详解】：由题意知此题是一个分步计数问题，首先第一封信有3种不同的投法，第二封信也有3种不同的投法，以此类推每一封信都有3种结果，∴根据分步计数原理知一共有35种结果，应选：B．4.根据右边程序框图，假设输出y的值是4，那么输入的实数的值是 ( )C. 1或者2D. 1或者A. 1 B. 22-【答案】D 【解析】 假设，又，得；；假设,得，不满足，满足.综上知实数的值为1或者2-.应选D.5.假设3212n n A C =，那么n 等于〔 〕A. 3或者4B. 4C. 5或者6D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据排列数和组合数公式，化简，即可求出n . 【详解】解：由题意，根据排列数、组合数的公式， 可得()()312n A n n n =--，()()2112126121nn n C n n -=⨯=-⨯，那么()()()1261n n n n n --=-，且,3n N n *∈≥，解得：8n =. 应选：D.【点睛】此题考察排列数和组合数公式的应用，以及对排列组合的理解，属于计算题. 6.四位二进制数能表示的最大十进制数为〔 〕 A. 8 B. 15C. 64D. 127【答案】B【解析】 【分析】先将满足条件的二进制数表示出来，根据二进制与十进制的转换方法计算即可【详解】解：3210(2)111112121212=⨯+⨯+⨯+⨯8421=+++15=．应选：B ．【点睛】此题考察二进制转换为十进制的方法，是依次累加各位数字上的数⨯该数位的权重.7.如图，将一个长与宽不等的长方形沿对角线分成四个区域，涂上四种颜色，中间装个指针可以自由转动，对指针停留的可能性，以下说法中正确的选项是〔 〕A. 一样大B. 蓝黑区域大C. 红黄区域大D. 由指针转动的圈数确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质和题意得出蓝颜色和黑颜色所占区域的角较大，再根据几何概率即可得出答案．【详解】解：一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域中蓝颜色和黑颜色的角较大，∴指针指向蓝黑区域的可能性大；应选：B ．【点睛】此题考察了几何概率，用到的知识点为：矩形的性质和概率公式，考察学生对题目的的理解和辨析才能.8.期中考试以后，班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M ，假如把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ∶N 的值是〔 〕A.4041B. 1C.4140D. 2【答案】B 【解析】【详解】试题分析：利用平均数计算公式算出这41个分数的平均值为N 4141MM ==，M ∶N 的值是1,应选B ．考点：此题考察了平均数的概念及计算．点评：运用求平均数公式：12x .......nnx x +++．9.为参加运动会，某班要从甲，乙，丙，丁四位女同学中随机选出两位同学担任护旗手，那么甲同学被选中的概率是〔 〕A.14B.13C.12D.34【答案】C 【解析】 【分析】求出从甲、乙、丙、丁4位女同学中随机选出2位同学担任护旗手的根本领件，甲被选中的根本领件，即可求出甲被选中的概率．【详解】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2位担任护旗手，一共有246C =种方法， 甲被选中，一共有3种方法，∴甲被选中的概率是3162=． 应选：C ．【点睛】此题考察通过组合的应用求根本领件和古典概型求概率，考察学生的计算才能，比拟根底．10.圆的方程为()22212141002x y a x a a a ⎛⎫++-+-+=<<⎪⎝⎭，那么点()1,1--的位置是〔 〕 A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心和半径，利用圆心到(1,1)--的间隔 与半径比拟可得位置关系．【详解】解：圆的方程为2222(1)410x y a x a a ++-+-+=的圆心(1,0)a -, 圆心到点(1,1)--的间隔 的平方为：222221(2)1526(1)22(0)2a a a a a a a -+=-+=-++><<，应选：C ．【点睛】此题考察点与圆的位置关系，利用了两点间的间隔 公式，考察计算才能，是根底题．11. 用辗转相除法求294与84的最大公约数时，需要做除法的次数是：A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【详解】解：294="3"⨯84="42,84=42"⨯2+0，因此最大公约数为42，只需要做两次除法运算即可，余数为零那么终止．应选B12.用三种不同的颜色填涂如图3×3方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，那么不同的填涂方法种数一共有〔〕A. 48B. 24C. 12D. 6【答案】B【解析】【分析】由题意知用三种不同颜色为9个区域涂色，第一步为第一行涂色，有A33种方法；第二步用与1号区域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有A22种方法；剩余区域只有一种涂法，根据分步计数原理得到结果．【详解】可将9个区域标号如图：用三种不同颜色为9个区域涂色，可分步解决：第一步，为第一行涂色，有A33＝6种方法；第二步，用与1号区域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有A22＝2种方法；剩余区域只有一种涂法，综上由分步乘法计数原理可知一共有6×2＝12种涂法． 应选：C ．第二局部二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13.在频率分布直方图中一共有11个小矩形，其中中间小矩形的面积是其余小矩形面积之和的4倍，假设样本容量为220，那么中间小矩形对应组的频数是______. 【答案】176 【解析】 【分析】由题意中间一个小矩形的面积等于其余10个小矩形面积之和的4倍，可得出中间小矩形的面积是总面积的45，即中间一组的频率是45，由此频数易求． 【详解】解：由题意中间一个小矩形的面积等于其余10个小矩形面积之和的45， 可得出中间小矩形的面积是总面积的45，即中间一组的频率是45， 又样本容量为220，∴中间一组的频数是42201765⨯=．故答案为：176．【点睛】此题考察频率分布直方图，求解此题的关键是纯熟掌握频率分布直方图的构造，理解其功能及作用，尤其是小矩形的面积与频率的对应．14.()10210012102x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，那么8a 等于______. 【答案】180【解析】 【分析】根据二项式定理可知，8a 是8x 的系数，根据二项展开式的通项公式进展运算即可得出. 【详解】解：因为()10210012102x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+， 所以8a 是8x 的系数，二项展开式的通项公式为：()8101102rr r T C x -+=⋅⋅-， 当8r =时，()88289102180T C x x =⋅⋅-=，即8180a =. 故答案为：180.【点睛】此题考察二项式定理的运用：求指定项的系数和以及二项式展开式的通项公式，属于根底题.15.直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，那么实数a 的值是_____．【答案】0或者6 【解析】圆C ：22(1)(2)9x y ++-= ，因为AC BC ⊥，所以C 到直线AB 间隔 为22r =062a =⇒=或 16.某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50到8:30之间到达发车站的时刻是随机的，那么他等车的时间是不超过10分钟的概率是______. 【答案】12【解析】【分析】求出小明等车时间是不超过10分钟的时间是长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【详解】解：设小明到达时间是为y，当y在7:50至8:00，或者8:20至8:30时，小明等车时间是不超过10分钟，故201402P==，故答案为：12．【点睛】此题考察的知识点是几何概型，属于长度型几何概型，难度不大，属于根底题．三、解答题〔一共70分〕17.〔1〕3个人坐在有八个座位的一排椅子上，假设每个人的左右两边都要有空位，那么不同坐法的种数为多少？〔2〕某高校现有10个保送上大学的名额分配给7所高中，假设每所高中至少有1个名额，那么名额分配的方法一共有多少种？【答案】〔1〕24；〔2〕84【解析】【分析】〔1〕根据题意，使用插空法，把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由组合知识，分析可得答案；〔2〕分析题意，可将原问题转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空，使用插空法，相当于用6块档板插在9个间隔中，计算可得答案．【详解】解：〔1〕由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间一共有4个空，3个人去插，一共有3424A =〔种)．〔2〕根据题意，将10个名额，分配给7所，每校至少有1个名额，可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空；相当于用6块档板插在9个间隔中，一共有6984C =种不同方法．所以名额分配的方法一共有84种．【点睛】此题考察排列、组合的综合运用，要求学生会一些特殊方法的使用，如插空法、倍分法等；但首先应该会转化为对应问题的模型．18.〔1〕()()3422214012141112x x x a a x a x a x -+-=+++⋅⋅⋅+，求13513a a a a +++⋅⋅⋅+的值.〔2〕())23nf x x =的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.【答案】〔1〕-13；〔2〕263405x【解析】【分析】〔1〕可令1x =，1x =-，两式相减，计算即可得到所求和；〔2〕由题意可得42992n n -=，求得5n =，设第1r +项的系数最大，那么有11551155·3?3·3?3r r r r r r r r C C C C --++⎧⎨⎩，解得7922r ．再由r N ∈，可得r 的值． 【详解】解：〔1〕232421401214(1)(12)x x x a a x a x a x -+-=+++⋯+，令1x =可得012141a a a a =+++⋯+，可令1x =-可得0121427a a a a =-+-⋯+， 两式相减可得，135131(127)132a a a a +++⋯+=⨯-=-； 〔2〕令1x =可得各项系数和为4n ，二项式系数和为2n ，由题意可得42992n n -=，即(232)(231)0n n -+=，解得232n =231n =- 〔舍去〕，解得5n =．设第1r +项的系数最大，那么有11551155·3?3·3?3r r r r r r r r C C C C --++⎧⎨⎩，解得7922r ． 再由r N ∈，可得4r =．故系数最大的项为2264243355(3)405T C x x x ==． 【点睛】此题考察二项式定理的运用：求指定项的系数和，注意运用赋值法，同时考察二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，考察运算才能，属于中档题．19.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全一样．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c . 〔Ⅰ〕求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=〞的概率； 〔Ⅱ〕求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全一样〞的概率.【答案】〔1〕19；〔2〕89. 【解析】试题分析：〔1〕所有的可能结果(,,)a b c 一共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 一共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=〞的概率；〔2〕所有的可能结果(,,)a b c 一共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全一样〞的(,,)a b c 一共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全一样〞的概率，再用1减去此概率，即得所求．试题解析：〔1〕 所有的可能结果(,,)a b c 一共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)一共计3个故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=〞的概率为31279= 〔2〕 所有的可能结果(,,)a b c 一共有33327⨯⨯=种满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全一样〞的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)一共计三个故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全一样〞的概率为31279= 所以“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全一样〞的概率为18199-= 考点：HY 事件的概率．【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．假如采用方法一，一定要将事件拆分成假设干个互斥事件，不能重复和遗漏；假如采用方法二，一定要找准其对立事件，否那么容易出现错误．20.某中学团委组织了“纪念HY 战争成功73周年〞的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩〔均为整数〕分成六段[)40,50，[)50,60，…，[]90,100后，画出如下图的局部频率分布直方图.观察图形给出的信息，答复以下问题：〔1〕求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；〔2〕估计这次竞赛的及格率〔60分及以上为及格〕和平均分〔同一组中的数据用该组区间的中点值代表〕【答案】〔1〕0.3 〔2〕75%；71【解析】【分析】〔1〕利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．〔2〕求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值．【详解】解：〔1〕因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3p=-+⨯++⨯=，频率分布直方图第四小组的纵坐标是：0.30.03 10=，那么频率分布直方图如以下图所示：〔2〕依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=，所以，抽样学生成绩的合格率是75%，利用组中值估算抽样学生的平均分为：123456455565758595p p p p p p ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅450.1550.15650.15750.3850.25950.0571=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以估计这次考试的平均分是71.【点睛】此题考察频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于根底题．21.实数x ，y 满足22430x y x +++=，求： 〔1〕21y x --的最大值与最小值； 〔2〕()()2234x y -+-的最大值与最小值.【答案】〔1 〔2〕42+；42-【解析】【分析】〔1〕令21y k x -=-，那么k 是过(,)A x y 和(1,2)B 的直线的斜率，利用直线AB 和圆有公一共点，所以圆心(2,0)C -到直线间隔 小于等于半径1r =，可得结论．〔2〕根据题意得：()()2234x y -+-的几何意义为(),M x y 与定点()3,4A 的间隔 的平方，利用圆的性质以及两点间的间隔 ，即可求出结果.【详解】解：〔1〕22430x y x +++=可化为22(2)1x y ++=． 令21y k x -=-，那么k 是过(,)A x y 和(1,2)B 的直线的斜率，可化为(2)0kx y k -+-=， 所以直线AB 和圆有公一共点，所以圆心(2,0)C -到直线间隔 小于等于半径1r =，1，k ≤，所以21y x --34． 〔2〕()()2234x y -+-表示圆上点(),M x y 与点()3,4A 的间隔 的平方，点()3,4A 到圆心(2,0)C -的间隔 为：AC ==而MA 的最大值为：1AC r +=，最小值为：1AC r -=，所以()()2234x y -+-的最大值为：)2142=+，最小值为：)2142=-【点睛】此题考察直线与圆的位置关系，以及点到直线的间隔 公式的应用，两点间的间隔 公式的应用还涉及配方法求圆的HY 方程、圆心和半径，同时考察学生的转化思想和计算才能． 22:(1)1A x y ++=，圆22:(4)(3)1B x y -+-=．〔1〕过A 的直线L 截圆B 所得的弦长为65，求该直线L 的斜率； 〔2〕动圆P 同时平分圆A 与圆B 的周长．①求动圆圆心P 的轨迹方程；②问动圆P 是否过定点，假设经过，那么求定点坐标；假设不经过，那么说明理由．【答案】〔1〕43k =或者34；〔2〕①30x y +-=，②(2-. 【解析】试题分析：〔1〕设出直线L 的方程，根据勾股定理和弦长65得到圆心A 到直线L 的间隔 为45，利用点到直线的间隔 公式即得直线L 斜率的值；〔2〕①由于圆A 与圆B 半径相等，要使得圆P 都平分它们，必有PA PB =，知P 在AB 的中垂线上，求AB 的垂直平分线方程即得点P 的轨迹；②根据AB 的轨迹方程设出P 的坐标，由勾股定理得2221r PA =+，从而得到圆P 的方程，别离参数，解方程组即得圆P 经过的定点.试题解析：〔1〕设直线为1y kx =-，由弦长可得圆心B 到直线L 的间隔 为45， 点(4,3)B 到直线L 的间隔 为，化简得：21225120k k -+=， 解得43k =，或者34〔2〕①作出图形可证PA PB =，知P 在AB 的中垂线上，求得30x y +-=， ②设(,3)P m m -，作出图形知222221(31)1r PA m m =+=+-++，圆P 的方程：2222()((3))(31)1x m y m m m -++-=+-++ 222222(3)(3)(4)1x y mx m y m m +-+-+-=-+2222(3)280x y mx m y m +-+-+-=22682(1)0x y y m x y +-----=22680{10x y y x y +--=--=， 得两个定点为32323232(2,1),(2,1)2222++--，考点：直线方程、圆的方程及直线与圆的位置关系的应用.【方法点晴】此题主要考察了直线与圆相交关系的应用，解决这类问题的关键是通过勾股定理建立半径、半弦与弦心距三者之间的关系，此题中第〔1〕问、第〔2〕问中的②都用到了这一关系；同时解答此题的难点是对“动圆P 同时平分圆A 与圆B 的周长〞这一条件的处理，解答时应结合图形分析出其本质还是点P到,A B两点的间隔相等，进而得到点P的轨迹.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
湖南师大附中2024年高二11月期中考试数学试题+答案
湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期中考试数学时量：120分钟 满分：150分得分：__________一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线22:14y x C m−=的一条渐近线方程为2y x =，则m =（ ）A.1B.2C.8D.162.已知直线()12:210,:110l mx yl x m y −+=−−−=，则“2m =”是“1l ∥2l ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.记等差数列{}n a 的前n 项和为3712,6,17n S a a a +==，则16S =（ ） A.120 B.140 C.160 D.1804.已知数列{}n a 的通项()368,4,,5,n n t n n a t n − −+=若{}n a 是递增数列，则实数t 的取值范围是（ ）A.()1,6B.()4,6C. D.[)4,6 5.已知直线:10l x y −+=，从点()2,3A −射出的光线经直线l 反射后经过点()2,4B ，则光线从A 到B 的路程为（ ）A.2B.3C.5D.66.已知两圆222212:(4)169,:(4)9C x y C x y −+=++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A.2216448x y −= B.2214864x y += C.2214864x y −= D.2216448x y += 7.设直线20x ay ++=与圆22:(2)16C x y +−=相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，则a =（ ）A. B.1−8.设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左､右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若1PF =C 的离心率为（ ）D.3二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列0,1,0,1,0,1,0,1,−− 的一个通项公式是（ ）A.()1πsin2n n a −= B.πcos2nn a= C.()1πcos2n n a += D.()2πcos2nn a+=10.（作业43T 12）已知抛物线()220y px p =>上三点()()()1122,,1,2,,,A x y B C x y F 为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A.抛物线的准线方程为1x =−B.若0FA FB FC ++=，则2FBFA FC =+ C.若,,A F C 三点共线，则121y y =−D.若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2 11.曲线23Γ:23y y x mx −=+−，下列结论正确的是（ ） A.曲线Γ关于原点对称 B.曲线Γ关于直线1y =对称C.当0m =时，曲线Γ上点的横坐标的取值范围为)∞+D.若曲线Γ在第一象限内存在位于直线1x =左侧的点，则1m >三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆()222:1016x y C b b+=>的左､右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，若12AF AF ⊥，则C 的短轴长为__________.13.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12n n n a a S n +=∈N ，则2024a=__________.14.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b −=>>，其左，右焦点分别为12(F F ，点P 是双曲线右支上的一点，点I 为12PF F 的内心（内切圆的圆心），123PI mPF mPF =+，若1260F PF ∠= ，则12PF F 的内切圆的半径为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知圆C 过点()5,1A −−和()2,0B ，且圆心C 在直线1x y +−=0上. （1）求圆C 的标准方程；（2）经过点()3,4的直线l 与圆C 相切，求l 的方程. 16.（本小题满分15分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2122353227,81a a a a a +==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设313232log log log ,n nn n na b b a a a c n=+++= ，求数列{}n c 的前n 项和n T . 17.（本小题满分15分）如图，已知四棱锥P ABCD −⊥平面,90,ABCD ABC AB ∠= ∥,CD PCD 是边长为2的正三角形，点A 在平面PCD 内的投影恰好是PCD 的中心G .（1）求证：平面PAB ⊥平面PBC ； （2）求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值. 18.（本小题满分17分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，点31,2 在椭圆上，12,F F 分别为E 的左，右焦点，抛物线C 的顶点在原点，焦点与E 的右焦点重合. （1）求椭圆E 与抛物线C 的标准方程；（2）过焦点2F 的直线l 交椭圆E 于点,M N ，交抛物线C 于点,A B ，P 为过点1F 且垂直于x 轴的直线上异于1F 的一点. （i ）若73AB MN =，求直线l 的方程； （ii ）设2,,PA PB PF 的斜率分别为123,,K K K ，求123K K K +的值. 19.（本小题满分17分） 已知集合{}()*1212,,,0,n n Sa a a a a a n <<<∈N ，若对于任意,,x y S x y ∈+与x y −至少有一个属于S ，则称S 为开心集.（1）分别判断集合{}1,2,3A =与集合{}0,1,2B =是否为开心集，并说明理由； （2）当3n =时，若4S ∈，求开心集S ； （3）若集合{}()122024122024,,,0Sa a a a a a <<< 为开心集，且S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍，求20242a a 的最小值.湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期中考试数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 78 答案ACCBCDCA1.A 【解析】依题意，得0m >，令2204y x y x m −=⇒，即C 的渐近线方程为y x =，21m =⇒=.故选A.2.C 【解析】由直线1l 与直线2l 平行得()()112m m −−=×−，得2m =或1m =−，经验证，当1m =−时，直线1l 与2l 重合，舍去，所以“2m =”是“1l ∥2l ”的充要条件.故选C.3.C 【解析】因为37526a a a +，所以53a =，所以51231720a a +=+=，所以()()116165121681602a a S a a +×==+=，故选C.4.B 【解析】由已知得()261,468,t t t t −>> −+<解得46t <<.5.C 【解析】设点()2,3A −关于直线l 的对称点为(),A m n ′，则有2310,2231,2m n n m −+ −+= − =− +解得2,1,m n ==− ，因为光线从A 到B 的路程即A B ′的长，而5A B ′=.所以光线从A 到B 的路程为5. 6.D 【解析】设圆M 的半径为r ，则()()1212133168MC MC r r C C +=−++=>=，所以M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，且216,28a c ==，所以8,4,a c b ====M 的轨迹方程为2216448x y +=.7.C 【解析】由三角形的面积公式可得214sin 82ABC S ACB ∠=×= ，得sin 1ACB ∠=，由0πACB ∠<<，得π2ACB ∠=， 所以ABC 为等腰直角三角形，所以圆心()0,2C 到直线20x ay ++=的距离为π4sin 4d =，由点到直线的距离公式得d1a =.故选C. 8.A 【解析】法1：如图，过点1F 作OP 的反向延长线的垂线，垂足为P ′，连接2P F ′，由题意可知，四边形12PF P F ′为平行四边形，且2PP F ′ 是直角三角形.由渐近线的性质知22,F P b F O c ==，所以,2OP a PP a ′==，又12PF F P =′，所以2F P b =，所以c ==，所以cea==.故选A.法2：易知在2Rt OPF中，F c，所以2,cos bOP a PF O c∠==，又因为1PF =1PF =.在12PF F 中，由余弦定理得2221212212212cos PF PF F F PF F F PF F ∠=+−，即22222642243b a b c b c c b c=+−⋅⋅=−，因为222b c a =−，所以223a c =c =，所以ce a==，因此C.故选A.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号 9 10 11 答案ADABDBCD9.AD 【解析】根据正弦函数，余弦函数的性质可知A ，D 可以作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,−− 的一个通项公式，()1ππcos ,cos22n n +不符合，πcos 2n 表示()1π0,1,0,1,0,1,,cos 2n +−− 表示1,0,1,0,− ，故选AD.10.ABD 【解析】把点()1,2B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =−，故A 正确；因为()()()()1122,,1,2,,,1,0A x y B C x y F ，所以()()()11221,,0,2,1,FA x y FB FC x y =−==− ，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++==，故B 正确；因为,,A F C 三点共线，所以线段AC 是焦点弦，所以2124y y p =−=−，故C 不正确；设AC 的中点为()00,M x y ，因为120,1122AF CF AC AF CF x x x ++++++ ，所以0226x + ，得02x ，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确.11.BCD 【解析】对选项A ：设曲线上有一点()00,P x y ，则23000023y y x mx −=+−①，而点()00,P x y 关于原点对称的点为(00,P x y −−′，若曲线关于原点对称，则P ′也应在曲线上，则有()()()()23000023y y x m x −−−=−+−−②；联立①②，得203y =−，此时0y 无解，故A 错误；对选项B ：设曲线上有一点()00,P x y ，则23000023y y x mx −=+−③，而点()00,P x y 关于1y =对称的点为()00,2P x y −′，若曲线关于1y =对称，则P ′也应在曲线上，则有()()2300002223y y x mx −−−=+−④；联立③④，得()()2200002222y y y y −=−−−，即22000022y y y y −=−，该式恒成立，则P 和P ′是在曲线上且关于1y =对称的点，即1y =是该曲线的对称轴，故B 正确；对选项C ：由原方程得23(1)20y x −=− ，解得x ，所以C 正确；对选项D ：由原方程得23(1)2y x mx −=+−，由题意知，当01x <<时有点(),x y 在曲线上，因为23(1)20y x mx −=+− ，所以320x mx +− 在()0,1上有解，即22m x x− 在()0,1上有解，又因为函数()22f x x x =−在()0,1上单调递减，所以22111m >−=，所以D 正确.故选BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 【解析】设122F F c =，易知124AF AF a ===，结合12AF AF ⊥，可知12AF F 为等腰直角三角形，所以122F F c =，故c =所以b =，所以C的短轴长为2b =.故答案为13.2024 【解析】由于数列{}n a 的各项均为正数，即0n a >，当1n =时，1122S a a =，即11222,2a a a a =∴=，当2n 时，由12n n n S a a +=，可得112n n n S a a −−=，两式相减得()112n n n n a a a a +−=−，又{}1120,2,n n n n a a a a +−≠∴−=∴ 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，20242024a ∴=.【解析】由12PI xPF yPF =+ ，结合点I 是12PF F 的内切圆的圆心可知12xPF yPF = ，又有3y x =123PF PF =，再结合双曲线的定义可得123,PF a PF a == ，再根据1260F PF ∠=，由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∠=+−，即2222893a a a +−，解得2a =，则()121212121211sin 22F PF S PF PF F PF PF PF F F r ∠==++ 内，可得内切圆的半径r =内.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设圆C 的方程为()222()()0x a y b rr −+−=>，根据题意，可得222222(5)(1),(2)(0),10,a b r a b r a b −−+−−= −+−=+−=解得2,3,5a b r =−==，所以圆C 的方程为22(2)(3)25x y ++−=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，易知直线l 与圆C 相切； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()34y k x =−+，5，解得125k =−， 则直线l 的方程为()12345y x =−−+，即125560x y +−=. 故直线l 的方程为3x =或125560x y +−=. 16.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得112226113227,81,a a q a q a q += =因为0q >，所以13,3,a q == 所以*3,n n a n =∈N . （2）因为3log n a n =，所以()313231log log log 122n n n n b a a a n +=+++=+++=，()13n nc n =+，所以()12233313nn T n =×+×+++ ，()2313233313n n T n +=×+×+++ ，两式相减得，()()()1231113932126333136133222n nn n n n n T n n ++++−+−=++++−+=+−+=− ，故()1*2133,4n nn T n ++−∈N .17.【解析】（1）PA ⊥ 平面,ABCD BC ⊂平面,ABCD PA BC ∴⊥，90,,,ABC BC AB PA AB A PA ∠=∴⊥∩=⊂ 平面,PAB AB ⊂平面,PAB BC ∴⊥平面PAB ，又BC ⊂ 平面,PBC ∴平面PAB ⊥平面PBC .（2）如图，连接,,,PG CG AC 点A 在平面PCD 内的投影恰好是PCD 的中心G ， 又PCD 是边长为2的正三角形，∴三棱锥A PCD −为正三棱锥，Rt PAC ∴为等腰直角三角形，AP AC AD ∴===，∴取CD 的中点E ，连接AE ，则AE CD ⊥，90,ABC AB ∠= ∥,2,CD CD AB AE =∴⊥， ∴四边形ABCE 是矩形，1AB CE ∴==，又1AC AB CB =∴== ，PA ⊥ 平面,,ABCD PA AB PA AE ∴⊥⊥，,,AB AE AP ∴两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0A B C E D −，(2,0,3P G ∴ ，设平面PBC 的法向量为()000,,m x y z =，000000,1,0,m BC y z x m BP x ⋅== ∴ ⋅=−=令则 ∴平面PBC的法向量为)m =.又11,3DG =− ，设直线DG 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,m DG m DG m DG θ⋅=<>==⋅ . 故直线DG 与平面PBC. 18.【解析】（1）根据题意可知，22222191,41,2,a b c a c a b += = =−解得2,1,a c b = = = ∴概圆E 的方程为22143x y +=. ()21,0,F ∴∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）（i ）设AB 的方程为1xty =+， 联立21,4,x ty y x =+ = 化简得2440y ty −−=，显然Δ0>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y t y y +=⋅=−，所以()2241AB y t =−=+， 联立221,1,43x ty x y =+ += 化简得()2234690t y ty ++−=，显然Δ0>， 设()()3344,,,M x y N x y ，则34342269,3434t y y y y t t +=−⋅=−++，所以()242121.34t MN y t +=−=+ 因为73AB MN =，所以()()222121741334t t t ++=×+，即2347t +=，即1t =±， 所以直线l 的方程为10x y −−=或10x y +−=. （ii ）设()()1,0P m m −≠，则1212312,,112y m y m m K K K x x −−===++−， ()()()()()()122112121212111111y m x y m x y m y m K K x x x x −++−+−−∴+=+=++++ ()()()()()()()()()122112122121212222242224y m ty y m ty ty y mt y y mty ty t y y t y y −++−++−+−=+++++ ()()()222241824448441m t t mt t m m t t t −+−+−⋅−===−−+++，12322K K m m K +−∴==−. 19.【解析】（1）对于集合A ，因为336,330A A +=∉−=∉，故{}1,2,3A =不是开心集. 对于集合B ，因为011,02,211,000,112,220B B B B B B +=∈+=∈−=∈+=∈+=∈−=∈， 故集合{}0,1,2B =是开心集.（2）当3n =时，{}()123123,,0S a a a a a a << ，因为33a a S +∉，由题意得0S ∈，故10a =，①若24a =，由于34a S +∉，故3344a a S −=−∈，故344a −=，即38a =，此时{}0,4,8S =符合题意.②若34a =，由于24a S +∉，故2244a a S −=−∈，故224a a −=，即22a =，此时{}0,2,4S =符合题意.综上，{}0,2,4S =或{}0,4,8.（3）由题意，0S ∈，若S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍， 则必有2a m =，故{}320240,,,,S m a a = ，分别考虑2024a 和其他任意元素()2,3,,2023i a i = ，由题意可得2024i a a −也在S 中，而20242023202420222024220240a a a a a a a <−<−<<−< ，故()2024202522023i i a a a i −−=，特别地，101210132024a a a +=， 下考虑对于21012i j < ，因为202520251013i j −>− ，所以202520252024i j a a a −−+>， 故()()202520252025202520242024i j i j i j j i a a a a a a a a a a S −−−−−=−=−−−=−∈， 特别地，32a a S −∈，故322a a a −=，即32a m =， 由42a a S −∈，且2424a a a a <−<，故423a a a −=，即43a m =， 以此类推，()()12,3,,1012i a i m i =−=. 又因为()10121013202420242025,22023i i a a a a a a i −+=−= ， 所以()()202420241013,,2023i a a i m i =−−= ， 又因为10121013a a <，即202410111011m a m <−，所以2024220222022a m a >=， 即202422022a a >，故202422023a a . 当202422023a a =时，{}0,,2,,1011,1012,,2023S m m m m m = 满足条件. 综上，20242a a 的最小值为2023.。
安徽省皖南名校2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(扫描版含答案详解)
高二数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
答案 D C C B D D A A B B
C
D
{ } 1．D【解析】∵ A = {x | 2 < x < 4} ， B = x x2 − 4x + 3 < 0 ， = {x |1 < x < 3}
x + y ≥1
【解析】由约束条件 y − x ≤1，作出可行域如图中阴影部分， x ≤ 1
由图可知，当
z
取得最小值时，最优解为
A
，联立
x y
+ −
y x
= =
1 1
，解得
A(
0,1)
,∴
z
=
2x
−
y
+
3
的最小值为 2×0 −1+ 3 = 2 .
高二数学参考答案 第 3 页（共 9 页）
15．【答案】 ( −4, 2)
−
a3
=
1 3
−
1 4பைடு நூலகம்
⋅⋅⋅
an
−
an−1
=
1 n −1
−
1 n
an
−
a1
=
1−
1 n
a1 = 1
所以 ，所以 an
=
2
−
1 n
a2020
=
2
−
1 2020
=
4039 2020
.
10．B【解析】当
S N
湖北省2021版高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
湖北省2021版高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）给出下列四个命题：（1）命题“若，则”的逆否命题为假命题；（2）命题．则，使；（3）“”是“函数为偶函数”的充要条件；（4）命题P:“，使”；命题q:“若，则”，那么为真命题．其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）(2017·赤峰模拟) 若函数f（x）的定义域为R，则“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0”的（）A . 必要不充分条件B . 既不充分也不必要条件C . 充要条件D . 充分不必要条件3. （2分）命题“∃x∈R，x2=x”的否定是（）A . ∀x∉R，x2≠xB . ∀x∈R，x2≠xC . ∃x∉R，x2≠xD . ∃x∈R，x2≠x4. （2分）(2018·郑州模拟) 下列说法正确的是（）A . “若，则”的否命题是“若，则”B . “若，则”的逆命题为真命题C . ，使成立D . “若，则”是真命题5. （2分） (2018高二下·中山期末) 已知条件p: ，条件q：直线与圆相切，则p是q的（）条件A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充分必要D . 既不充分也不必要6. （2分）两个定点A、B间距离为6，动点P到A、B距离平方差为常数λ，动点Q到A、B两点距离平方和为26，且Q轨迹上恰有三个点到P的轨迹的距离为1，则λ值可为（）A . 12B . 24C . 4D . 17. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若|FA|=5|FB|，则|FA|=（）A .B . 35C .D . 408. （2分） (2016高三上·吉林期中) 已知非零向量，的夹角为60°，且满足| ﹣2 |=2，则• 的最大值为（）A .B . 1C . 2D . 39. （2分）已知空间向量=（﹣2，3，1），=（3，4，z），若⊥，则实数z等于（）A . -6B . -4C . 4D . 610. （2分）已知圆M过定点（2，0）且圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦长为AB，则弦长|AB|等于（）A . 4B . 3C . 2D . 与点M位置有关的值11. （2分） (2019高二上·上海月考) 如图，在中，为边上的高，，，，，则的值为（）A .B .C . -2D .12. （2分） (2018高二下·温州期中) 如图,已知双曲线的右顶点为为坐标原点,以点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线交于两点,若且 ,则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2020·合肥模拟) 已知双曲线：的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双曲线左支上一个动点，若周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线的渐近线方程为________．14. （2分）已知向量=(2X,1,3)，向量=(1,-2Y,9)，若与共线，则x=________ ，y=________15. （1分）(2020·日照模拟) 若点M在平面外，过点M作面的垂线，则称垂足N为点M在平面内的正投影，记为 .如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与不重合），， .给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点使得平面；③存在点使得 .其中正确结论的序号是________.16. （1分） (2016高一下·高淳期末) 设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若m、n是异面直线，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α．其中真命题的序号是________三、解答题 (共6题；共46分)17. （10分） (2019高二上·上饶月考) 已知命题，；命题关于x的方程有两个相异实数根.（1）若为真命题，求实数m的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围.18. （10分）(2012·广东) 设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．19. （10分） (2019高二上·漳平月考) 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点在圆上，求m的值20. （1分） (2016高二上·自贡期中) 已知α∥β，直线AB分别交于A，B，直线CD分别交α，β于C，D，AB∩CD=S，AS=4，BS=6，CD=5，则SC=________．21. （10分）(2017·福建模拟) 如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，B，E，F 分别是AA1 ， CC1的中点，且BE⊥B1F．（1）求证：B1F⊥EC1；（2）求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值．22. （5分） (2018高二上·深圳期中) 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率，若是真命题，求实数的取值范围．。
A11 高二数学上学期期中试题文(宏志班).doc
合肥一六八中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）一、选择题（共60题，每题5分。
每题仅有一个正确选项。
）1.下列说法正确的是 ( )A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形 3.已知直线a b 、是异面直线，直线c d 、分别与a b 、都相交，则直线c d 、的位置关系A.可能是平行直线B.一定是异面直线C.可能是相交直线D.平行、相交、异面直线都有可能4．在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为 （ ）A ．34B ．23C ．15D ．135.已知互相垂直的平面错误!未找到引用源。
交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥，则（ ）A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n6．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与,,a b θ的值有关7．设△ABC 的一个顶点是A(3，－1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为( )A ．y ＝2x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝－12x ＋528.βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面βα,平行的是 ( )A.n m ,是平面α内两条直线，且ββ//,//n mB.α内不共线的三点到β的距离相等C.βα,都垂直于平面γD.n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n m9.某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）A 、B 、错误!未找到引用源。
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第二次阶段性考试
高二数学(理科）试题答
案
一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5分，共60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B B B A A C A A D 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20 分）
13.对任意x R, 都有x2
14. 3 15. 9 16. ③⑤
三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分)
17.（本小题满分 10 分）
(1)设{a n}的公差为 d，由题意得
a 2d 3
, 解得
a 1
11a
1110d
2
d
a
n 5 n 1 6 n 5分
n 5 6 n
n2 11n n 5.5
2
5.52
2S n
2 2 2
当n 5或6时，S n最大.最大值为15. 10分
18.（本小题满分 12 分）
18.解：由bsinC=2sinB,
可得c=2 在A BC中，
由余弦定理可得： b
2 a2 c2 2ac cos B 28
b 2 7 6分（2）S
1
ac sin B 1
2 4
3
2 3 12分
AB C
2 2 2
19.（本小题满分 12 分）
1 20.（本小题满分 1
2 分）
21.（本小题满分 12 分） 21.解：1 a
n n 4a n n
n
证明：
4 a n n
4
a n
n
a n
n
a n n
a n n 是首项为a 1 1 1,公比为4的等比数列
6分
2
由（1）知：a
n =4n a n
n
S n
1 2 3 ... n 4
41 (4)
n 1
n n 1
4n 1 2 3
......12分 22.解：1
BP
BPC
, BC
BPC 是等腰直角三角形，ABP 15
在ABP 中，由余弦定理可得：
AP 2
AB 2 BP 2
2BP .AB ABP
2
2
2
4 2 cos15
4 2 3
AP
1
（其他解法可酌情给分） 6分
2在APC 中，由正弦定理可得： AP
sin 60
可得：AP 4 sin 60
，
同理，在ABP 中，由正弦定理可得：
AP
AC
sin150
AB
可得：AP 4 3 sin
sin 30
sin120
4 s in 60
4 3
sin
30
, 展开整理可得：tan = 2 3
12分。