埃尔米特多项式
埃尔米特插值法
埃尔米特插值法1. 引言埃尔米特插值法是一种用于数据插值的数值方法。
它通过给定的数据点来构造一个多项式函数，该函数在这些数据点上与给定的函数具有相同的函数值和导数值。
埃尔米特插值法可以应用于各种领域，如数学、物理、计算机图形学等。
2. 插值问题在实际问题中，我们常常需要根据已知数据点来估计未知数据点的函数值。
这就是插值问题。
给定n个不同的数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(x n,y n)，我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(x i)=y i对所有i=0,1,...,n成立。
3. 埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式是满足以下条件的多项式： - 在每个已知数据点上具有相同的函数值：P(x i)=y i - 在每个已知数据点上具有相同的导数值：P′(x i)=m i其中m i是给定的导数值。
为了构造埃尔米特插值多项式，我们需要利用这些条件来确定其系数。
4. 构造埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式的一般形式为：P(x)=∑ℎini=0(x)⋅y i+∑g ini=0(x)⋅m i其中ℎi(x)和g i(x)是满足以下条件的基函数： - ℎi(x j)=δij，其中δij是克罗内克（Kronecker）符号，当i=j时取值为1，否则为0。
- g i(x j)=0对所有i,j成立。
基于这些条件，我们可以求解出基函数ℎi(x)和g i(x)的表达式，并将其代入埃尔米特插值多项式的公式中。
5. 插值误差估计在实际应用中，我们通常需要估计插值多项式的误差。
通过使用泰勒展开和拉格朗日余项定理，可以得到以下插值误差的估计公式：f(x)−P n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(x−x1)...(x−x n)其中f(n+1)(ξ)是函数f(x)在x0,x1,...,x n之间某个点ξ处的(n+1)阶导数。
6. 示例假设我们有以下数据点：(0,1),(1,2),(2,−1)。
我们希望通过这些数据点构造一个埃尔米特插值多项式。
数值分析4-埃尔米特插值
yi +
x − xi xi+1 − xi
yi+1
x ∈ [ xi , xi+1 ]
记
h
=
max
|
xi+1
−
xi
| ，易证：当
h→0 时，P1h (
x)
一致
→f
(x)
y
y= f(x)
y=p(x)
失去了原函数的光滑性。
o
x
分段线性插值的余项
f (x) −
s1 ( x )
≤
max
xi ≤ x ≤ xi+1
-10
解 以泰勒公式，满足条件
q(0) = 2, q ' (0) = −2, q"' (0) = −10 的插值多项式
q(x) = −5x 2 − 2x + 2
令
p(x) = −5x2 − 2x + 2 + x3(ax2 + bx + c)
p′(x) = −10x − 2 + 3x2 (ax2 + bx + c) + x3(2ax + b)
f ′′
x
分段Hermite插值
给定 x0 , ... , x n ; y0 , ... , yn ; y0′ , ... , y′n 导数一般不易得到。
余项
( ) max f 4
( ) f
(x) − s1(x)
≤
xi ≤x≤xi+1
4!
x
⎜⎜⎝⎛ xj
− xi 2
⎟⎟⎠⎞4
≤
hi4 max 384xi ≤x≤xi+1
埃尔米特插值
2013-2014（1）专业课程实践论文题目：埃尔米特插值一、算法理论1、埃尔米特插值多项式设已知函数()y f x =在节点n x x x <<< 10上的函数值),,1,0)((n i x f y i i ==以及一切导数值()(0,1,)i i y f x i n ''==，要求一个插值多项式()H x ，使其满足()i i H x y =，()i i H x y ''= ，n i ,,1,0 = (1)显然，由条件(1)可以确定一个次数不高于21n +的代数多项式)(12x H n +，曲线)(12x H y n +=与()y f x =在节点处不仅重合而且有公共切线。
我们采用拉格朗日插值基函数的方法。
先求插值基函数),,1,0)((),(n j x x j j =βα，共22n +个基函数，每一个基函数都是一个21n +次多项式，且满足条件(),()0;()0,(),0,1,,.j jk j k j k j k jk x x x x j n αδαββδ'==='== (2)这里⎩⎨⎧=≠=.,1,,0k j k j δ(3)于是满足条件(1)的插值多项式 可写成用插值函数表示的形式210()[()()]nn j j j j H x y x y x αβ+='=+∑(4)由条件(2)，显然有2121(),()(0,1,,).n i i n i j H x y H x y i n ++''===下面的问题就是要求满足条件(2)的)(x j α与).(x j β为此，可利用拉格朗日插值基函数)(x l j ，由条件(2)有n 个二重零点),,,1,0(j k n k x k ≠= ，于是可令).()()(2x l b ax x j j +=α 由条件(2)有2()()()1,()()[()2()()]0.j j j j j j j j j j j j j x ax b l x x l x al x ax b l x αα=+=''=++=解出2(),12().j j j j j a l x b x l x ''=-=+由于,)(11111100nj nj j j j j j j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=++--故01(),nj j k j kk jl x x x =≠'=-∑于是).(]1)(21[)(20x l x x x x x j njk k kj j j ∑≠=---=α (5)同理，可得).()()(2x l x x x j j j -=β (6) 将(5)式、(6)式 代入式(4)便得到埃尔米特插值多项式22210001()[12()]()()()nnnn i i j j j j j k j j kk jH x y x x l x y x x l x x x +===≠'=--+--∑∑∑(7)满足条件(1)的埃尔米特插值多项式是唯一的。
数值分析2-4(埃尔米特插值)
f ( xi )
提示 H 4 ( x) H 2 ( x) ( x a) ( x c)
3
H 2 ( x) 0
xi
f ( x i )
a
0 0 0
b
0
f(xi)
f ( xi )
进一步讨论第2列中的“0”上移和下移情 况下如何求解？
Hermite插值的方法：
(1)基函数方法
例2. 已知：4个条件
xi yi = f(xi) y i f ( xi )
x0 y0
y0
x1 y1
y1
求:一个次数不超过3的多项式H3(x) 注意用基函数的方法
插值余项为:
f ( 4) ( ) R( x ) f ( x ) H 3 ( x ) ( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 4!
f ( x i )
xi f(xi)
0 0
1 1
2 2 0
3 3
例 4 ：给定如下数据表，求次数不高于 5 次的代数多项式。
f ( x i )
xi f(xi)
-1 10 1
0 14
1 16 0.1
2 15
解： 先构造插值于四个函数值的插值多项式
用Newton插值法可得：
N 3 ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , , x 3 ]( x x0 )( x x 2 ) 1 10 4( x 1) ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) 6 19 1 3 2 14 x x x 6 6
则可求得
1 (0) 0, 1 (1) 1, 1 (0) 0 0 (0) 0, 0 (1) 0, 0 (0) 1
Hermite插值多项式
( xi1
4
xi )2
因此
|
Ri ( x) |
(
x i
+1
8
xi )2
max |
xi x xi1
f ( x) |
于是在[a,b]上，| R( x) ||
f
( x)
L1( x) |
h2 8
M2
优点：计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。
缺点：分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。
(1) L1(x) 在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是
线性插值多项式;
(2) L1(xi ) yi , i=0,1,2,…,n (3) L1(x) 在区间[a , b]上连续; 则称 L1(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值函数。
2.分段线性插值函数的表达式
2
两点三次Hermit插值（续1）
5
直接设 H3 (x) ax3 bx2 cx d
待定系数法求出，但不易推广到高次。
3
基函数法:
令H3(x) y00 (x) y11(x) y00 (x) y11(x)
为使H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件
H3 (xi ) yi , H3(xi ) yi i 0,1
并在每个 xi , xi子1区间上构造插值多项式，然后把 它们装配在一起，作为整个区间 上a,的b插值函数。
二、分段线性插值
1.问题的提法
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数 L1(x)满足条件
第三章(二) 埃尔米特-样条插值法
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 x x . x1 x 0 1 0
2
设
x x1 g 0 (x) a(x x0 ) , x 0 x1
2
∵g0(x0)=g0(x1)=0, g'0(x1)=0
据用得越多越好，解决这一矛盾的办法就是改用分段低次插值。
所谓分段低次插值就是用分段多项式来代替单个高阶多项式
作插值，即先把整个插值区间分成若干个小区间，然后在每个子 区间上分别用低次插值多项式（如线性插值或抛物线插值等）， 然后再将每个子区间上的插值函数拼接在一起，作为整个插值区 间上的插值函数。
• 分段线性插值
2
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 . x1 x 0 x1 x 0
2
2
x x1 x x0 g 0 (x) (x x0 ) , ( x ) ( x x1 ) g1 . x 0 x1 x1 x 0
, [ 1,1]. 0 ( x ) ? x L1
将[−1,1]10等分，步长 h = 2/10 = 0.2, 取节点 xi = −1 + 0.2i, i =
0,1,2,…,10。以 (xi, f(xi))为插值点，构造L10(x)：
Ｌ1 0 ( x )
) f ( x i ) li ( x )
先构造 h0(x), 设
由h0(x0) = 1,
x x1 h0 ( x ) (a bx ) . x 0 x1
2
∵h0(x1)=h'0(x1)=0
数值分析2-4(埃尔米特插值)
在数值分析中的应用
函数逼近
埃尔米特插值可以用于逼近复杂的函数，为 数值分析中的函数近似提供有效的方法。
数值积分
利用埃尔米特插值，可以将复杂的积分转化 为简单的数值计算，提高数值积分的精度和 效率。
THANKS
度和可靠性。
埃尔米特插值的优点和局限性
优点
埃尔米特插值多项式具有数值稳定性、 计算效率高、适用范围广等优点，在 实际应用中具有广泛的应用价值。
局限性
埃尔米特插值多项式对于复杂函数和 多维数据的插值效果可能不够理想， 需要结合其他算法进行优化。
05
埃尔米特插值的应用实例
一维数据的插值
预测股票价格
利用埃尔米特插值方法，可以根据历史 股票数据，预测未来的股票价格走势。
VS
气象预报
在气象学中，埃尔米特插值可以用于填补 气象观测数据的空缺，提高气象预报的准 确度。
多维数据的插值
地理信息系统
在地理信息系统中，埃尔米特插值可以用于生成高精度的地形地貌模型，为土地利用、城市规划等领 域提供支持。
环境监测
03
埃尔米特插值的实现方法
构造插值多项式
01
02
03
确定插值点
选择一组已知的插值点， 这些点是数据点的坐标。
构造多项式
根据已知的插值点，构造 一个多项式，使得该多项 式在每个插值点处的函数 值为已知的函数值。
确定多项式的阶数
根据插值点的数量和所需 的插值精度，确定多项式 的阶数。
计算插值节点的位置
二次插值的优点是对于非线性数据更 为准确，但计算量相对较大，且需要 更多的已知数据点。
Hermite插值多项式
1 例：在[5, 5]上考察 f ( x ) 1 x2 xi 5 10 i (i 0, ... , n) n
2.5 2
的 Ln(x)。取
1.5
n=10
1
0.5
n=2
n=5
0
n 越大， 端点附近抖动 越大
3 4 5
- 0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
事实上已被证明：对于 n 的高阶插值 公式 Ln ( x )只有当 x 3.63时才有 Ln ( x ) f ( x ).
( xi ) yi i 0,1 H3 ( xi ) yi , H3
则可选择基函数
0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)
使它们都是次数不超过3的多项式 ,且满足如下条件: 0 ( x0 ) 1 1 ( x0 ) 0 0 ( x0 ) 0 1 ( x0 ) 0 ( x ) 0 ( x ) 1 (x ) 0 (x ) 0 1 1 0 1 0 1 1 1 ( x ) 0 ( x ) 1 ( x ) 0 1 0 0 0 1( x0 ) 0 0 0 1( x1 ) 0 ( x1 ) 0 ( x ) 0 1( x1 ) 1 0 0 1
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式 化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步， 先将所考察的区间作一分划 ：a x0 x1 xn b
并在每个 xi , xi1 子区间上构造插值多项式，然后 把它们装配在一起，作为整个区间 a, b 上的插值 函数。
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埃尔米特多项式
在数学中，埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏
尔·埃尔米特。概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。
在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式
给出了量子谐振子的本征态。
定义
埃尔米特多项式有两种常见定义。第一种是：
这是概率论中较为常用的形式（记作：）。有时也会使用另一种定义：
这是物理学中较为常用的形式（记作：。这两种定义并不是完全等价
的。它们之间的关系是：
下文中一般会使用第一种定义，也是概率学家偏好的定义。因为
是标准正态分布函数（数学期望等于0，标准差等于1）的概率密度函数。
前六个概率学的埃尔米特多项式的表达式为：
概率学和物理学中的埃尔米特多项式
序号 概率学 物理学
前六个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像。
前六个（物理学中的）埃尔米特多项式的图像。
性质
多项式Hn 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高
次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n。
正交性
多项式Hn 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对
于给定的权函数 w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。
（对于概率论的埃尔米特多项式）
（对于物理学的埃尔米特多项式）
也就是说，当m ≠ n 时：
除此之外，还有：
（对于概率论的埃尔米特
多项式）
（对于物理学的埃尔米特
多项式）
完备性
在所有满足
的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义
如下：