2018高考选修4-4 坐标系与参数方程 17-18版 选修4-4 第1节 课时分层训练55
2018学年高中数学选修4-4课件：第1讲 坐标系 1 精品
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
证法二：如图所示，
在▱ABCD 中， A→C＝A→B＋A→D， 两边平方得A→C2＝A→B2＋2A→B·A→D＋A→D2. 同理可得B→D2＝A→D2－2A→D·A→B＋A→B2.
以上两式相加，得A→C2＋B→D2＝2(A→B2＋A→D2)，
[变式训练] 1.已知△ABC中，点D在BC边上，且满足|BD| ＝|CD|，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
证明： 以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面 直角坐标系xOy，
则 A(0,0)，设 B(a,0)，C(b，c)，
则 Da＋2 b，2c.
所
以
|AD|2＋
[规律方法] (1)点 A(a，b)在伸缩变换 φ：yx′′＝＝μλxyλμ>>00，
的作用下，可得点 A′(λa，μb)；
若点 B 在伸缩变换 φ：yx′′＝＝μλxyλμ>>00， 的作用下，得点
B′(c，d)，则点
c d Bλ.μ.
(2)一般地，在平面直角坐标系中，经过伸缩变换，直线伸
缩后仍为直线，双曲线伸缩后仍为双曲线，抛物线伸缩后仍为
1．将点 P(－2,2)变换为 P′(－6,1)的伸缩变换公式为( )
A．x′＝13x y′＝2y
B．x′＝12x y′＝3y
x′＝3x C．y′＝12y
D．yx′′＝＝22yx
解析： 设伸缩变换公式为
x′＝λxλ>0， y′＝μyμ>0，
由题意，得1－＝62＝μ，－2λ，
λ＝3， x′＝3x，
又|A→C|2＋|B→D |2＝2(|A→B|2＋|A→D|2)，
2018版高中数学一轮全程复习(课件)选修4—4 坐标系与参数方程 4-4.1
[解析] (1)由 ρcosθ－π3＝1 得 ρ12cosθ＋ 23sinθ＝1， 从而 C 的直角坐标方程为12x＋ 23y＝1， 即 x＋ 3y＝2. 当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)． 当 θ＝π2时，ρ＝233， 所以 N23 3，π2.
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
解析：(1)因为 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以 C1 的极坐标方程 为 ρcosθ＝－2，
C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0. (2)将 θ＝π4代入 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0， 得 ρ2－3 2ρ＋4＝0， 解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2. 故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为12.
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
考向二 极坐标与直角坐标的互化 [自主练透型] [例 2] 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为 极 轴 建 立极 坐 标 系． 曲 线 C 的 极 坐 标方 程 为 ρcosθ－π3 ＝ 1(0≤θ≤2π)，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
[解析] 利用极坐标方程与直角坐标方程的互化，先将直线 与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再进行求解．
∵ x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴ 直线的直角坐标方程为 x－ 3y－1＝0. ∵ ρ＝2cos θ，∴ ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcos θ， ∴ x2＋y2＝2x. ∴ 圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1. ∵ 圆心(1,0)在直线 x－ 3y－1＝0 上， ∴ AB 为圆的直径，∴ |AB|＝2. [答案] 2
高中课标课程选修4-4《坐标系与参数方程》教学参考一 《坐标系与参数方程》概观
比如“声响定位”，教材创设的情景是要学生确定 声响的位置，学生在思考如何解决这个情景问题时， 发 现要确定一 个点的位置， 必须借助于 数量关系， 此 时教师可引 导学生进一步 思考要用什 么数量关系 来 表示它？要 怎样找到数量 关系？最后 让学生体会 用坐标法解决问题的过程.
又如“参数方程的引入”，教材创设了飞机向灾区 投 放物资的情 景，教师应引 导学生思考 ；如果建立 了适当的直角坐标系，物资离开飞机后的空中位置， 可 以用坐标系 的坐标来表示 ，而表示物 资位置的坐 标，可以用物质离开飞机的时间来确定. 于是学生在 这 样一个问题情 景中，感受 到物资在某 一时刻的位 置 可以用函数来 刻画它，从 而在意识上 产生引入参 数方程的必要性.
坐 标系是坐标 法思想得 以实现的平 台，是解析 几 何的基 础. 参数方 程是以 参变量 为中介来 表示曲 线 上点的坐标 的方程，是曲 线在同一坐 标系下的又 一种表示形式. 2.坐标系与参数方程的作 用
通 过极坐标系 、柱坐标 系、球坐标 系等不同的 坐 标系的学习 ，可以丰富对 坐标系的认 识，体会不 同 坐标系在刻 画几何图形或 描述自然现 象的特点， 从 而可以根据 不同几何图形 的特点选择 适当坐标系 使建立的方程更加简单，研究更方便. 通过参数方程 的 学习，可以发 现某些曲线 用参数方程 表示比用普 通 方程表示更方 便，而且有 助于进一步 体会解决问 题中数学方法的灵活多变. 3.教材地位分析
近十年来 ，本专题的 教学内容在 中学数学课 程 中经历了三 个不同时期． 一是以一章 的形式出现 在 解析几何中；二是在“两省一市”(山西、江西、天津) 的教科书里 面把它分解到 各个章节中 ；三是在课 标 课程中，又 重新把它集中 为一个专题 即《坐标系 与 参数方程》．本专题是以《平面解析几何初步》、《平 面向量》、《三角函数》 等模块的知识 为基础，是 平 面解析几何 初步、平面向 量、三角函 数等内容的 综 合应用和进一步深化. 4.本专题 知识网络图
2018学年高中数学选修4-4课件：第1讲 坐标系 本讲高效整合1 精品
5．极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心 距为________．
解析： 两圆方程分别为 x2＋y2＝2x，x2＋y2＝y，
两圆圆心分别为 C1(1,0)，C20，12，
所以|C1C2|＝
答案：
5 2
12＋122＝
5 2.
6．已知点 M 的柱坐标为23π，23π，23π，则点 M 的直角坐 标为______，球坐标为________．
解析： 设点 M 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ， z)，球坐标为(r，φ，θ)，
由xy＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝z，
x＝23πcos 23π＝－π3， 得y＝23πsin 23π＝ 33π，
z＝23π，
r＝ x2＋y2＋z2，
由 cos
φ＝zr，
r＝2 得
32π，
cos φ＝ 22，
4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极 点和圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系 和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选 择适当坐标系的意义．
5．借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬 度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方 法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会 它们的区别．
[命题探究]
本章知识在高考中主要以直角坐标系的应用为主，并且主 要以解答题为主，在历年的高考中均有体现，预测今后的高考 中，仍将会出现以建立直角坐标系来解决实际问题的类型，并 且还会有平移变换和直角坐标与极坐标、柱坐标、球坐标等的 互化问题．
热点考点例析
[热点题型]
平面直角坐标系
解析法解决几何问题 1．运用坐标方法研究曲线(含直线)的形状与性质是曲型的 数形结合思想的体现，坐标系的建立，在代数与几何之间架起 了一座桥梁，使直观的几何图形一些性质的证明通过数量运算 得以完美实现． 2．对于一些用纯平面几何知识难以证明的几何性质、定 理等，如果要用坐标法，转化为代数运算，往往给解决问题带 来极大的方便．
2018课标版文数一轮(12)选修4—4-坐标系与参数方程1-第一节 坐标系
栏目索引
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ22ρsin θ+1-a2=0. (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,
由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.
(2)极坐标 (i)极径:设M是平面内一点,极点O与点M的⑦ 距离 |OM|叫做点M的 极径,记为ρ. (ii)极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记 为θ. (iii)极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ). 3.极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间
2
栏目索引
方法技巧 极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘ρ或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成 含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用互化公式进行转化,最后化简得到 直角坐标方程. (2)巧借两角和差公式,将ρsin(θ±α)=k或ρcos(θ±α)=k或ρ=ksin(θ±α)或ρ= kcos(θ±α)形式的极坐标方程进行转化,进而利用互化公式得到直角
栏目索引
教材研读
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
x ' ① x( 0), 的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角 y ' ② y( 0)
高中数学选修4-4知识点(坐标系与参数方程)
这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引 入参数，也可把普通方程化为参数方程． 2．圆的参数方程
1．圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的参数方程 如图圆 O 与 x 轴正半轴交点 M0(r，0)．
α α (t
为参数)
称为直线参数方程的标准形式，此时的参数 t 有明确的几何意义．
一般地，过点 M0(x0，y0)，斜率 k＝ba(a，b 为常数)的直线，参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt(t 为参
数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数 t 不具有标准式中参数的几何意义． 四 渐开线与摆线（了解）
x＝rsin φcos θ (2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为y＝rsin φsin θ ．
z＝rcos φ
第二讲：
第4页
一 曲线的参数方程
1．参数方程的概念 1．参数方程的概念
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变
2．参数方程与普通方程的区别与联系 (1)区别：普通方程 F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标 x，y 之间的关系，它含有
x，y 两个变量；参数方程xy＝ ＝fg（（tt））(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标 x，y 之间的关系，
它含有三个变量 t，x，y，其中 x 和 y 都是参数 t 的函数． (2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一
就可得到普通方程． (3)普通方程化参数方程，首先确定变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，
2018届高考数学一轮复习选修4-4.1
第一节 坐标系
选修4-4
第一节
坐标系
主干知识回顾 名师考点精讲
-3-
考纲概述
考查热点
考查频次
备考指导
(1)了解坐标系的作用,了解在 直线的极坐标方程 ★★★ 平面直角坐标系伸缩变换作 用下平面图形的变化情况; (2)了解极坐标的基本概念,会 在极坐标系中用极坐标刻画 ★★★★★ 点的位置,能进行极坐标和直 圆的极坐标方程 角坐标的互化; (3)能在极坐标系中给出简单 图形表示的极坐标方程
知识清单 基础自测
第一节
坐标系
主干知识回顾 名师考点精讲
-9-
2.极坐标为P(ρ,2π+θ),Q(ρ,π+θ),R(-ρ,π+θ),S(-ρ,θ-π)的四点中,与M(ρ,θ)表示同一 点的有 . P,R,S 【解析】在极坐标系中,表示同一点,极径相同时,极角相差2π的整数倍, 即π的偶数倍;极径互为相反数时,极角相差π的奇数倍.因为(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ),(ρ,θ+(2k+1)π)(k∈Z)表示同一点的坐标,据此判断与M(ρ,θ)表示同一点的有 P,R,S三点. 3.圆O的极坐标方程为ρ=4sin θ,将其化为直角坐标方程为 . x2+y2-4y=0 【解析】利用x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4sin θ得ρ2=4ρsin θ,所以 x2+y2=4y,即化为直角坐标方程为x2+y2-4y=0.
-8-
1.在直角坐标系中,点P的坐标为(-1,- 3),则点P的极坐标为
4π 3
.
4π , 3
2,
【解析】������ =
4π 3
(−1)2 + (− 3)2 = 2,
(完整版)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时分层训练(五十五) 坐标系
1．在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离． [解] 点⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，3分
直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，
得32y －1
2x ＝1，
即直线的方程为x －3y ＋2＝0，6分 故点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝
|3－3×1＋2|12
＋(－3)
2
＝1. 10分
2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝22.
(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，2分 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，4分
直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0. 6分
(2)由⎩⎨⎧ x 2＋y 2
－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧
x ＝0，y ＝1，
8分
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，π2. 10分
3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝
1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，π4，圆的半径为1.
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．
[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π
4，2分
OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4，
∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4. 4分
(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，6分
∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，
又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，22，满足直线l 的方程，
∴直线l 过圆C 的圆心，8分
故直线被圆所截得的弦长为直径2. 10分
4．(2017·南京调研)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3.
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →
，求动点P 的轨迹方程.
【导学号：66482485】
[解] (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点． 在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
θ－π3，由余弦定理得
|CM |2
＝|OM |2
＋|OC |2
－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π3，
化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π3. 4分
(2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)， 由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →
， ∴ρ1＝2
3ρ，θ1＝θ，8分
代入圆C 的方程，得23ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π3，
即ρ＝9cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π3. 10分
5．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． [解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，2分
联立⎩⎨⎧
x 2＋y 2
－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，
解得⎩⎨
⎧
x ＝0，y ＝0
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝32，y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，32. 4分
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α). 8分 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π3.
当α＝5π
6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 10分
6．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．
[解] (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. 2分
∵ρ0cos θ＝4，
∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程. 4分 (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫322
. 8分 知点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，0为圆心，半径为32的圆．
直线l 的直角坐标方程是x ＝4.
结合图形易得|RP |的最小值为1. 10分。