高考数学坐标系与参数方程
高考数学核心考点 第十四章坐标系与参数方程
高考数学核心考点 第十四章坐标系与参数方程1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：（1）设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. （2）若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
4.极坐标与直角坐标的互化：)0(n t ,sin ,cos ,222≠===+=x xy a y x y x θθρθρρ 5.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是r =ρ； 在极坐标系中，以)0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 6. 在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>aa A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .7．参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
高考数学专题--坐标系与参数方程
高考数学专题--坐标系与参数方程高考考点：1、直角坐标与极坐标方程的互化2、普通方程与参数方程的互化3、坐标系与参数方程的综合考点1 两种互化及其应用调研1 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线122cos :12sin x tC y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:2C 01sin cos 4=+-θρθρ. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值.【答案】（1）曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x ；（2）217178-. 【解析】（1）由122cos :12sin x tC y t=-+⎧⎨=+⎩消去t 得4)1()2(22=-++y x ，因为01sin cos 4=+-θρθρ，由直角坐标与极坐标的转化公式可得014=+-y x . 所以曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x . （2）由（1）知:1C 4)1()2(22=-++y x 的圆心为)1,2(-，半径为2，:2C 014=+-y x ，||PQ 的最小值即为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离减去圆的半径，因为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离为17178)1(4|1142|22=-++-⨯-=d ， 所以||PQ 的最小值为217178-. ☆技巧点拨☆1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2．普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．极坐标方程与直角坐标方程互化进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．4．参数方程与极坐标方程互化进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）. 考点2 利用参数几何意义解题调研1 以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线l 的参数方程为2312x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB . 【答案】（1）24y x =；（2）143.【解析】（1）由2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为24y x =. （2）将l 的参数方程代入24y x =，整理得24870t t +-=， ∴122t t +=-，1274t t =-， ∴()()222121212321341347143AB t t t t t t =-+-=⨯+-=⨯+=.☆技巧点拨☆若直线过(x 0,y 0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t 为参数).考点3 利用ρθ,的几何意义解题调研 1 平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos sin x a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数,0a >),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为()222cos24sin 20ρθρθρ+=>.（1）求出曲线1C 的极坐标方程及曲线2C 的直角坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为π=4θ,曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求2a 的值. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为222cos 10a ρρθ-+-=，2C 的直角坐标方程为2232x y +=；（2）22-.【解析】（1）消去参数ϕ得到1C 的普通方程为()2221x y a -+=,将cos ,sin x y ρθρθ==代入1C 的普通方程,得到1C 的极坐标方程为222cos 10a ρρθ-+-=. 由222cos24sin 2ρθρθ+=得2222cos 3sin 2ρθρθ+=,把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得曲线2C 的直角坐标方程为2232x y +=.（2）曲线1C 与2C 的公共点的极坐标满足方程组2222222cos 10cos 3sin 2a ρρθρθρθ⎧-+-=⎨+=⎩, 因为曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,所以把π4θ=代入方程组得2222101a ρρρ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩,消去ρ得222a =-. 强化训练：1．若椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，则它的两个焦点坐标是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】消去参数可得椭圆的标准方程为221259x y +=，所以椭圆的半焦距4c =，两个焦点坐标为()40±，，故选A.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 A ．ρ=sin θ B ．ρ=2sin θ C ．ρ=cos θD ．ρ=2cos θ【答案】D3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆C 是以极坐标系中的点7π2,6⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，3为半径的圆，直线l 的参数方程为12322x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩. （1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，求MON △的面积. 【答案】（1）见解析;（2）2.4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设()1,0P ，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），已知l 与圆C 交于,A B 两点，且34PA PB =，求l 的普通方程. 【答案】（1）()22625x y ++=;（2）()1y x =±-.【思路点拨】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=代入212cos 110ρρθ++=，即可得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程()22625x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=，利用根与系数的关系以及直线参数的几何意义可得tan 1k α==±，从而可得结果.【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y yxρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．5．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为15cos 25sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数），直线1:0l x =，直线2:0l x y -=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）写出曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AB . 【答案】（1）()()12ππ:,:24l l θρθρ=∈=∈R R ；（2）10.AB =【名师点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.6．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1x a t t y t=+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-.当4a <-时，d 的最大值为117a -+.由题设得11717a -+=，所以16a =-. 综上，8a =或16a =-.【思路点拨】（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.7．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．【答案】（1）()()22240x y x -+=≠；（2）23+．所以OAB △面积的最大值为23+．【思路点拨】（1）设出P 的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程； （2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB △面积的最大值．【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。
高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)
高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析高考中的“坐标系与参数方程”是数学考试中的一个重要考点，也是考生容易出错的地方之一。
本文将从考查形式、考点分布以及解题方法等方面进行分析。
一、考查形式在高考数学试卷中，关于坐标系与参数方程的考查形式主要有选择题和解答题两种形式。
选择题要求考生根据给定的图形或方程，找出与之对应的参数方程或坐标系。
解答题则要求考生根据所给图形的特点，给出相应的参数方程或坐标系，并进行论证和解答。
二、考点分布在考查“坐标系与参数方程”这个知识点时，主要涉及以下几个考点：1. 直角坐标系与参数方程的相互转化。
要求考生能够根据直角坐标系确定对应的参数方程，并能够根据参数方程确定对应的直角坐标系。
2. 特殊曲线的参数方程。
考生要掌握常见曲线的参数方程，如直线、抛物线、圆等，并能够通过对应的参数方程描述其特点。
4. 图形的平移与旋转。
要求考生能够根据图形的平移、旋转等操作确定它的参数方程。
三、解题方法解题时，考生可根据以下方法进行思考和求解：1. 根据图形的特点确定参数方程。
可以通过观察图形的形状、对称性等特点来确定参数方程。
如对称图形的参数方程往往与对称轴或对称中心有关，曲线的平移与旋转也会影响参数方程。
2. 利用参数方程求解方程组。
可以通过联立参数方程得到相应的方程组，然后通过解方程组来求解。
3. 利用参数方程确定特点。
可以通过代入不同的参数值来观察曲线的特点，如拟合方程的参数可以表示曲线的倾斜角度、交点、切线等。
4. 注意特殊情况的处理。
在解题过程中，应注意特殊情况的处理，如分母为零、参数有限制等。
“坐标系与参数方程”是高考数学中的一个重要知识点，掌握好该知识点对于解题和提高成绩至关重要。
考生在备考期间应通过大量的练习和理解来加深对该知识点的理解，掌握相应的解题方法，以取得更好的成绩。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学中，“坐标系与参数方程”是一个经常被考查的知识点。
这部分内容一般在高二下学期学习，主要是介绍平面直角坐标系的性质、参数方程的定义与应用等。
接下来，本文将对“坐标系与参数方程”这一知识点进行详细的考查分析。
一、知识点概要1.平面直角坐标系平面直角坐标系是描述平面点的一种方法，它由两个互相垂直的坐标轴组成。
我们通常称横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴。
坐标系的原点是两个坐标轴的交点。
在平面直角坐标系中，除了原点之外的点，均可表示为一个有序数对(x，y)，称为点的坐标。
坐标系具有以下性质：1）两个点的距离公式：$\large\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$2）平行于x轴或y轴的直线称为坐标轴上的直线；直线不与坐标轴平行或垂直则称为斜直线。
对于一般方程$ax+by+c=0$的直线，称其为隐式方程，也可以转化为$y=kx+b$的斜截式方程。
反之，斜截式方程可转化为隐式方程。
坐标系中，平面内任意两点坐标已知，就可确定它们所在的直线，反之，也可以通过直线方程，求出相应的点的坐标。
3）圆的方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
4）图形的相似性：在坐标系中，若两个图形中点的相对位置关系保持不变，则称这两个图形相似。
相似性质可以用来求解坐标变换等问题。
2.参数方程参数方程是一类常见的函数定义方式，它将自变量x,y表示成另一个变量t的函数，形式为$x=x(t)$，$y=y(t)$。
参数方程在数学、物理等领域具有广泛的应用，在分析曲线和图形变换上尤其有用。
在参数方程中，当参数t的取值范围确定时，对于不同的t值，所对应点的坐标(x,y)也就明确了。
二、考查形式1.单选题高考中涉及坐标系与参数方程的单选题，在形式上比较多样化，主要分为以下几种：（1）考察基础定义如2018年全国卷II第23题，考查了$x=\frac{y+2}{y-2}$的定义域，此题需要学生掌握函数的定义，促使其灵活运用数学知识。
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。
本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。
一、坐标系的概念与性质坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。
在平面上，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直角坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两个数值来确定平面上的点的位置。
我们用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置，记作P(x, y)。
直角坐标系具有以下性质：- 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。
- 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。
- 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。
2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。
极坐标系具有以下性质：- 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。
- 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。
- 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。
二、参数方程的概念与性质参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。
它通常由一组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。
在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。
常见的参数方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。
1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u来表示。
例如，曲线C可以由参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。
平面曲线的参数方程具有以下性质：- 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。
- 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学是许多考生最担心的一门科目，而其中的坐标系与参数方程更是让许多人感到头疼。
这两个知识点涉及到的内容较多，而且给学生设置的考查题目也相对难度较大。
本文将针对坐标系与参数方程在高考中的考查情况进行分析，帮助考生更好地应对这一部分的考试内容。
首先来看坐标系的考查情况。
在高考试卷中，坐标系通常涉及到直角坐标系、极坐标系和空间直角坐标系。
对于直角坐标系来说，考生需要掌握平面直角坐标系的性质、方程和应用，在平面几何、函数和方程中经常会涉及到直角坐标系。
极坐标系则会涉及到平面向量、极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的相互转化等知识点。
而空间直角坐标系则会涉及到空间中的点、直线、平面以及它们之间的位置关系等内容。
在高考试题中，通常会通过图形、空间位置关系、距离等方式考查考生对坐标系的掌握程度。
除了坐标系，参数方程也是高考数学的一个重要考查点。
参数方程是描述曲线的一种常见方法，它通过引入参数来表示曲线上的点的位置，常见的参数方程有直角坐标系、极坐标系和参数方程的相互转化等内容。
在高考试卷中，参数方程通常会涉及到曲线的方程、参数方程的性质、参数的确定和解释等内容。
考生需要掌握参数方程和一般方程、参数曲线与一般曲线的关系，以及参数曲线的对称性、单调性和渐近线等知识点。
坐标系与参数方程是高考数学中的一个重要考查部分，它们不仅涉及到数学知识本身的掌握，还需要考生具备一定的数学建模和解题能力。
在备考过程中，考生可以通过多做习题，加强对知识点的理解和掌握。
还可以通过查阅相关资料和听取老师的指导，来提升自己对这一部分知识点的掌握程度。
而对于教师和学校来说，也可以针对坐标系与参数方程这一部分的知识点进行针对性的讲解和练习安排，帮助学生更好地掌握这部分知识。
在日常教学中也可以加强对数学建模和解题能力的培养，提升学生的数学素养和解题能力。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析
坐标系与参数方程是高考中数学考试的重要内容之一，涉及到平面直角坐标系和参数
方程的相关知识。
在高考数学试卷中，通常会出现与坐标系与参数方程有关的多个选择题
和一道分析题。
考查坐标系的部分通常会涉及到直角坐标系的构建和使用。
学生需要掌握如何在平面
上建立直角坐标系，即确定x轴和y轴的位置和方向，并确定单位长度。
在使用直角坐标
系进行计算时，学生需要掌握如何表示点的坐标，以及如何计算两点之间的距离和斜率，
这些都是常见的考点。
考查参数方程的部分通常会涉及到曲线的参数方程表示和性质的讨论。
学生需要掌握
如何从直角坐标方程得到参数方程，以及如何从参数方程得到直角坐标方程。
在讨论曲线
的性质时，学生需要掌握如何确定曲线的对称性、单调性、极值点等重要性质。
考查坐标系与参数方程的部分还可能涉及到几何问题的求解。
给定一个曲线和一点，
要求确定曲线上到该点最近和最远的点，这就需要用到两点之间的距离的性质和参数方程
的表达方式。
在高考中，考查坐标系与参数方程的题目形式多样，有些是纯计算题，有些是分析和
证明题。
对于纯计算题，学生需要熟练掌握相关的计算技巧和公式的应用。
对于分析和证
明题，学生需要灵活运用相关知识，结合已有的条件和性质进行推导和分析。
在备考和解题过程中，学生可以通过多做一些相关的习题和真题，加深对相关概念和
方法的理解和掌握。
还可以通过参考相关的教材和辅导书籍，了解更多的例题和解题思路，提升解题的能力。
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第十五章 坐标系与参数方程命题探究解答过程(1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1. 当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0.由{x +4y -3=0,x 29+y 2=1解得{x =3,y =0或{x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),(-2125,2425). (2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离d=|3cosθ+4sinθ-a -4|√17.当a ≥-4时,d 的最大值为√17.由题设得√17=√17,所以a=8; 当a<-4时,d 的最大值为-a+1√17.由题设得-a+1√17=√17,所以a=-16. 综上,a=8或a=-16考纲解读考点 内容解读要求 高考示例常考题型 预测热度1.坐标系与极坐标 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,能通过极坐标和直角坐标的互化研究曲线性质掌握2017课标全国Ⅱ,22;2016课标全国Ⅱ,23; 2015课标Ⅰ,23;2015湖南,12;2014安徽,4解答题 ★★★2.参数方程 了解参数方程及参数的意义,能掌握2017课标全国Ⅲ,22;2017江苏,21C; 解答题 ★★★借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质2016课标全国Ⅲ,23 2015陕西,23;2014课标Ⅰ,23;2014北京,3分析解读 坐标系与参数方程是高考数学的选考内容,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本章在高考中以极坐标方程(参数方程)为载体,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识,分值约为10分,属中档题.五年高考考点一 坐标系与极坐标1.(2017北京,11,5分)在极坐标系中,点A 在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 . 答案 12.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos (θ-π6)+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为 . 答案 23.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为(2,π3),点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.解析 (1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cosθ. 由|OM|·|OP|=16得C 2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0).由题设知|OA|=2,ρB =4cos α,于是△OAB 面积S=12|OA|·ρB ·sin ∠AOB =4cos α·|sin (α-π3)|=2|sin (2α-π3)-√32|≤2+√3.当α=-π12时,S 取得最大值2+√3. 所以△OAB 面积的最大值为2+√3.4.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数),l 与C 交于A,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率. 解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分) (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)设A,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0. 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.(6分)|AB|=|ρ1-ρ2|=√(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=√144cos 2α-44.(8分) 由|AB|=√10得cos 2α=38,tan α=±√153.(9分)所以l 的斜率为√153或-√153.(10分)5.(2015课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C 2与C 3的交点为M,N,求△C 2MN 的面积.解析 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分)(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3√2ρ+4=0,解得ρ1=2√2,ρ2=√2.故ρ1-ρ2=√2,即|MN|=√2. 由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12.(10分)教师用书专用(6—21)6.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是{x =t +1,y =t -3(t 为参数),圆C 的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.√14B.2√14C.√2D.2√2答案 D7.(2014江西,11(2),5分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π2B.ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π4C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π2D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π4答案 A8.(2013安徽,7,5分)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=1 D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1答案 B9.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线ρcos θ-√3ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A,B 两点,则|AB|= . 答案 210.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C 的直角坐标方程为 . 答案 x 2+y 2-2y=011.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为{x =t 2,y =2√2t (t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为 . 答案 (2,-4)12.(2014湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C:{x =2+cosα,y =1+sinα(α为参数)交于A,B 两点,且|AB|=2,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 . 答案 √2ρcos (θ+π4)=113.(2014重庆,15,5分)已知直线l 的参数方程为{x =2+t,y =3+t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ= . 答案 √514.(2014广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为 . 答案 (1,1)15.(2014天津,13,5分)在以O 为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于A,B 两点.若△AOB 是等边三角形,则a 的值为 . 答案 316.(2013北京,9,5分)在极坐标系中,点(2,π6)到直线ρsin θ=2的距离等于 . 答案 117.(2013湖北,16,5分)(选修4—4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为{x =acosφ,y =bsinφ(φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin (θ+π4)=√22m(m 为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为 . 答案√6318.(2013广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为{x =√2cost,y =√2sint (t 为参数),C 在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为 . 答案 ρcos θ+ρsin θ=219.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解析 (1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为C 上点(x,y),依题意,得{x =x 1,y =2y 1,由x 12+y 12=1得x 2+(y 2)2=1,即曲线C 的方程为x 2+y 24=1.故C 的参数方程为{x =cost,y =2sint (t 为参数).(2)由{x 2+y 24=1,2x +y -2=0解得{x =1,y =0或{x =0,y =2. 不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为(12,1),所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12(x -12), 化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 即ρ=34sinθ-2cosθ.20.(2013课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为{x =4+5cost,y =5+5sint (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解析 (1)将{x =4+5cost,y =5+5sint 消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C 1:x 2+y 2-8x-10y+16=0.将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入x 2+y 2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y=0. 由{x 2+y 2-8x -10y +16=0,x 2+y 2-2y =0, 解得{x =1,y =1或{x =0,y =2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(√2,π4),(2,π2). 21.(2013辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C 1,直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos (θ-π4)=2√2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标;(2)设P 为C 1的圆心,Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为{x =t 3+a,y =b2t 3+1(t ∈R 为参数),求a,b 的值. 解析 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2+(y-2)2=4, 直线C 2的直角坐标方程为x+y-4=0. 解{x 2+(y -2)2=4,x +y -4=0得{x 1=0,y 1=4,{x 2=2,y 2=2.所以C 1与C 2交点的极坐标为(4,π2),(2√2,π4).(6分) 注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得,P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线PQ 的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=b 2x-ab2+1,所以{b2=1,-ab 2+1=2,解得a=-1,b=2.(10分)考点二 参数方程1.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =-8+t,y =t 2(t 为参数),曲线C 的参数方程为{x =2s 2,y =2√2s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值. 解析 直线l 的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P 在曲线C 上,设P(2s 2,2√2s), 从而点P 到直线l 的距离d=2√2s+8|√1+(-2)=√2)2√5.当s=√2时,d min =4√55. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值4√55. 2.(2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =√3cosα,y =sinα(α为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标. 解析 (1)C 1的普通方程为x 23+y 2=1. C 2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P 的直角坐标为(√3cos α,sin α).因为C 2是直线,所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值,d(α)=√3cosα+sinα√2=√2|sin (α+π3)-2|.(8分)当且仅当α=2k π+π6(k ∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为√2,此时P 的直角坐标为(32,12).(10分) 3.(2015陕西,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =3+12t,y =√32t(t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2√3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解析 (1)由ρ=2√3sin θ,得ρ2=2√3ρsin θ, 从而有x 2+y 2=2√3y, 所以x 2+(y-√3)2=3. (2)设P (3+12t,√32t),又C(0,√3),则|PC|=√(3+12t)2+(√32t -√3)2=√t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).4.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C:x 24+y 29=1,直线l:{x =2+t,y =2-2t(t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析 (1)曲线C 的参数方程为{x =2cosθ,y =3sinθ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 d=√55|4cos θ+3sin θ-6|.则|PA|=dsin30°=2√55|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为22√55. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为2√55. 5.(2013课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q 都在曲线C:{x =2cost,y =2sint (t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点.(1)求M 的轨迹的参数方程;(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.解析 (1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为{x =cosα+cos2α,y =sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π). (2)M 点到坐标原点的距离d=√x 2+y 2=√2+2cosα(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.教师用书专用(6—13)6.(2014北京,3,5分)曲线{x =-1+cosθ,y =2+sinθ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y=2x 上B.在直线y=-2x 上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上答案 B7.(2014湖北,16,5分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程是{x =√t,y =√3t 3(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2,则C 1与C 2交点的直角坐标为 . 答案 (√3,1)8.(2013湖南,9,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若直线l:{x =t,y =t -a (t 为参数)过椭圆C:{x =3cosφ,y =2sinφ(φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为 . 答案 39.(2013陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x 2+y 2-x=0的参数方程为 .答案 {x =cos 2θy =sinθcosθ(θ为参数)10.(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =1+12t,y =√32t(t 为参数),椭圆C 的参数方程为{x =cosθ,y =2sinθ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,求线段AB 的长. 解析 椭圆C 的普通方程为x 2+y 24=1.将直线l 的参数方程{x =1+12t,y =√32t代入x 2+y 24=1,得(1+12t)2+(√32t )24=1,即7t 2+16t=0,解得t 1=0,t 2=-167.所以AB=|t 1-t 2|=167.11.(2014福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为{x =a -2t,y =-4t (t 为参数),圆C 的参数方程为{x =4cosθ,y =4sinθ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程;(2)若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围. 解析 (1)直线l 的普通方程为2x-y-2a=0, 圆C 的普通方程为x 2+y 2=16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离d=|-2a|√5≤4,解得-2√5≤a ≤2√5. 12.(2014江苏,21C,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =1-√22t,y =2+√22t(t 为参数),直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A,B 两点,求线段AB的长.解析 将直线l 的参数方程{x =1-√22t,y =2+√22t代入抛物线方程y 2=4x,得(2+√22t)2=4(1-√22t),解得t 1=0,t 2=-8√2.所以AB=|t 1-t 2|=8√2.13.(2013福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为(√2,π4),直线l 的极坐标方程为ρcos (θ-π4)=a,且点A 在直线l 上. (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程;(2)圆C 的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数),试判断直线l 与圆C 的位置关系.解析 (1)由点A (√2,π4)在直线ρcos (θ-π4)=a 上,可得a=√2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线l 的直角坐标方程为x+y-2=0. (2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1, 所以圆C 的圆心为(1,0),半径r=1, 因为圆心C 到直线l 的距离d=1√2=√22<1, 所以直线l 与圆C 相交.三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 坐标系与极坐标1.(2018四川南充模拟,22)在极坐标系中,已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=1,圆C 的圆心是C (1,π4),半径为1,求: (1)圆C 的极坐标方程;(2)直线l 被圆C 所截得的弦长.解析 (1)因为圆C 的圆心是C (1,π4),半径为1, 所以转化成直角坐标为C (√22,√22),半径为1,所以圆的方程为(x -√22)2+(y -√22)2=1,转化成极坐标方程为ρ2-√2ρcos θ-√2ρsin θ=0. (2)已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=1, 所以ρ(√22sinθ+√22cosθ)=1,即x+y-√2=0.直线l 的方程为x+y-√2=0,圆心C (√22,√22)满足直线的方程,所以直线经过圆心,所以直线l 被圆C 所截得的弦为圆的直径. 由于圆的半径为1,所以所截得的弦长为2.2.(2018四川德阳模拟,22)已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是{x =m +√22t,y =√22t(t 为参数).(1)将曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l 的参数方程化成普通方程;(2)当m=0时,直线l 与曲线C 异于原点O 的交点为A,直线ρ=-π3与曲线C 异于原点O 的交点为B,求三角形AOB 的面积. 解析 (1)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ. 转化为直角坐标方程为x 2+y 2=4x.直线l 的参数方程为{x =m +√22t,y =√22t(t 为参数),转化为直角坐标方程为y=x-m. (2)当m=0时,A (2√2,π4),B (2,-π3), 所以S △AOB =12×2×2√2sin (π3+π4)=√3+1. 3.(2017安徽合肥二模,22)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程;(2)已知圆C 与x 轴交于A,B 两点,直线l:y=2x 关于点M(0,m)(m ≠0)对称的直线为l',若直线l'上存在点P 使得∠APB=90°,求实数m 的最大值.解析 (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,故x 2+y 2-4x=0,即圆C 的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4.(2)l:y=2x 关于点M(0,m)的对称直线l'的方程为y=2x+2m,易知AB 为圆C 的直径,故直线l'上存在点P 使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C 有公共点,故√5≤2,于是,实数m 的最大值为√5-2.4.(人教A 选4—4,一,1-3,5,变式)在极坐标系中,曲线C:ρ=4acos θ(a>0),直线l:ρcos (θ-π3)=4,C 与l 有且只有一个公共点. (1)求a 的值;(2)若O 为极点,A,B 为曲线C 上的两点,且∠AOB=π3,求|OA|+|OB|的最大值.解析 (1)曲线C 的直角坐标方程为(x-2a)2+y 2=4a 2(a>0),曲线C 表示以(2a,0)为圆心,2a 为半径的圆. l 的直角坐标方程为x+√3y-8=0. 由题意知直线l 与圆C 相切,则|2a -8|2=2a,解得a=43(舍负).(2)不妨设A 的极角为θ,B 的极角为θ+π3,则|OA|+|OB|=163cos θ+163cos (θ+π3)=8cos θ-8√33sin θ=16√33cos (θ+π6),所以当θ=-π6时,|OA|+|OB|取得最大值,为16√33.考点二 参数方程5.(2018四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:{x =√22t,y =-1+√22t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程是ρ2-6ρcos θ+1=0,l 与C 相交于A 、B 两点. (1)求l 的普通方程和C 的直角坐标方程; (2)已知M(0,-1),求|MA|·|MB|的值.解析 (1)直线l 的参数方程为{x =√22t,y =-1+√22t(t 为参数),转化为直角坐标方程为x-y-1=0.曲线C 的极坐标方程是ρ2-6ρcos θ+1=0, 转化为直角坐标方程为x 2+y 2-6x+1=0.(2)把直线l 的参数方程{x =√22t,y =-1+√22t(t 为参数)代入x 2+y 2-6x+1=0,得到t 2-4√2t+2=0,A 点对应的参数为t 1,B 点对应的参数为t 2,则|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=2.6.(2018广东茂名模拟,22)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =-35t +2,y =45t(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=asin θ(a ≠0). (1)求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程;(2)设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍,求a 的值.解析 (1)直线l 的参数方程为{x =-35t +2,y =45t(t 为参数),消去参数t,可得4x+3y-8=0. 由圆C 的极坐标方程为ρ=asin θ(a ≠0),可得ρ2=a ρsin θ,根据ρsin θ=y,ρ2=x 2+y 2, 可得圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-ay=0, 即x 2+(y -a 2)2=a 24.(2)由(1)可知圆C 的圆心为(0,a 2),半径r=a 2, 直线方程为4x+3y-8=0, 圆心到直线l 的距离d=|3a2-8|5=(3a -1610), 直线l 截圆C 的弦长为√3a2=2√r 2-d 2,解得a=32或a=3211,故得直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍时,a 的值为32或3211.7.(2017河北石家庄二中3月模拟,22)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1和C 2的参数方程分别是{x =4t 2,y =4t (t 是参数)和{x =cosφ,y =1+sinφ(φ为参数).以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程;(2)射线OM:θ=α(α∈[π6,π4])与曲线C 1的交点为O,P,与曲线C 2的交点为O,Q,求|OP|·|OQ|的最大值. 解析 (1)C 1的普通方程为y 2=4x,C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)由(1)可得C 1的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ,与直线θ=α联立可得:ρ=4cosαsin 2α,即OP=4cosαsin 2α,同理可得OQ=2sin α.所以|OP|·|OQ|=8cosαsinα=8tanα,令f(α)=8tanα,易知f(α)在α∈[π6,π4]上单调递减,所以(|OP|·|OQ|)max =8tan π6=8√3.B 组 2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分 时间:35分钟)解答题(共40分)1.(2018辽宁鞍山一模,22)在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1:x 23+y 24=1,以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线l:ρ(2cos θ-sin θ)=6. (1)试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的参数方程;(2)在曲线C 1上求一点P,使点P 到直线l 的距离最大,并求出此最大值. 解析 (1)曲线C 1:x 23+y 24=1,设θ为参数,令x=√3cos θ,y=2sin θ, 则曲线C 1的参数方程为{x =√3cosθ,y =2sinθ(θ为参数).又直线l:ρ(2cos θ-sin θ)=6, 即2ρcos θ-ρsin θ-6=0, 化为直角坐标方程是2x-y-6=0. (2)设P(√3cos θ,2sin θ),则P 到直线l 的距离d=|2√3cosθ-2sinθ-6|√2+(-1)=|4cos (θ+π6)-6|√5,∴cos (θ+π6)=-1,即P (-32,1)时,点P 到直线l 的距离最大,最大值为√5=2√5.2.(2018四川绵阳模拟,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程是{x =3+5cosα,y =4+5sinα(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设l 1:θ=π6,l 2:θ=π3,若l 1,l 2与曲线C 分别交于异于原点的A,B 两点,求△AOB 的面积. 解析 (1)∵曲线C 的参数方程是{x =3+5cosα,y =4+5sinα(α为参数),∴将C 的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25, 即x 2+y 2-6x-8y=0.(2分)∴C 的极坐标方程为ρ=6cos θ+8sin θ.(4分) (2)把θ=π6代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ1=4+3√3, ∴A (4+3√3,π6).(6分)把θ=π3代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ2=3+4√3, ∴B (3+4√3,π3).(8分) ∴S △AOB =12ρ1ρ2sin ∠AOB=12×(4+3√3)×(3+4√3)sin (π3-π6)=12+25√34.(10分)3.(2017福建泉州二模,22)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =3+tcosφ,y =1+tsinφ(t 为参数),在以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C 的方程为ρ=4cos θ. (1)求l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程;(2)当φ∈(0,π)时,l 与C 相交于P,Q 两点,求|PQ|的最小值. 解析 (1)由直线l 的参数方程{x =3+tcosφ,y =1+tsinφ(t 为参数),消去参数t,得(x-3)sin φ-(y-1)cos φ=0,即直线l 的普通方程为xsin φ-ycos φ+cos φ-3sin φ=0. 由圆C 的极坐标方程ρ=4cos θ,得ρ2-4ρcos θ=0(*).将{ρcosθ=x,ρ2=x 2+y 2代入(*)得,x 2+y 2-4x=0. 即圆C 的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4. (2)将直线l 的参数方程代入(x-2)2+y 2=4, 得t 2+2(cos φ+sin φ)t-2=0. 设P,Q 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=-2(cos φ+sin φ),t 1t 2=-2. 所以|PQ|=|t 1-t 2| =√(t 1+t 2)2-4t 1·t 2 =2√3+2sinφcosφ =2√3+sin2φ,因为φ∈(0,π),所以2φ∈(0,2π), 所以当φ=3π4,即sin 2φ=-1时,|PQ|取得最小值2√2.4.(2017河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =2cosφ,y =2+2sinφ(φ为参数),以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 的普通方程;(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin (θ+π6)=5√3,射线OM:θ=π6与圆C 的交点为O,P,与直线l 的交点为Q,求线段PQ 的长. 解析 (1)因为圆C 的参数方程为{x =2cosφ,y =2+2sinφ(φ为参数),所以圆心C 的坐标为(0,2),半径为2,圆C 的普通方程为x 2+(y-2)2=4.(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x 2+(y-2)2=4, 得圆C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.设P(ρ1,θ1),则由{ρ1=4sin θ1,θ1=π6,解得ρ1=2,θ1=π6. 设Q(ρ2,θ2),则由{2ρ2sin (θ2+π6)=5√3,θ2=π6,解得ρ2=5,θ2=π6.所以|PQ|=3.C 组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2018四川德阳模拟,22)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点,极轴为x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C 的参数方程为{x =-1+√2cosα,y =1+√2sinα(α为参数),直线l 过点(-1,0),且斜率为12,射线OM 的极坐标方程为θ=3π4.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程;(2)已知射线OM 与曲线C 的交点为O,P,与直线l 的交点为Q,求线段PQ 的长. 解析 (1)∵曲线C 的参数方程为{x =-1+√2cosα,y =1+√2sinα(α为参数),∴曲线C 的普通方程为(x+1)2+(y-1)2=2,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入整理得ρ+2cos θ-2sin θ=0, 即曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2sin (θ-π4). ∵直线l 过点(-1,0),且斜率为12, ∴直线l 的方程为y=12(x+1),∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ-2ρsin θ+1=0. (2)当θ=3π4时,|OP|=2√2sin (3π4-π4)=2√2,|OQ|=12×√22+√22=√23, 故线段PQ 的长为2√2-√23=5√23.2.(2018四川凉山州模拟,22)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+tcosα,y =2+tsinα(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ=6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C 与直线l 交于点A,B,求证:|PA|×|PB|为定值. 解析 (1)圆C 的方程为ρ=6sin θ, 转化为直角坐标方程为x 2+y 2-6y=0.(2)证明:点P(1,2),圆C 与直线l 交于点A,B,把直线l 的参数方程{x =1+tcosα,y =2+tsinα(t 为参数)代入x 2+y 2-6y=0中,整理得t 2+2(cos α-sin α)t-7=0,设t 1和t 2分别为A 和B 对应的参数,则t 1·t 2=-7(定值), 故|PA|×|PB|=|t 1·t 2|=7为定值.3.(2017山西太原一模,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =√2cosφ,y =sinφ,其中φ为参数,曲线C 2:x 2+y 2-2y=0,以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C 1,C 2分别交于点A,B(均异于原点O). (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)当0<α<π2时,求|OA|2+|OB|2的取值范围. 解析 (1)C 1的普通方程为x 22+y 2=1,C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ+2ρ2sin 2θ-2=0, C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)联立θ=α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA|2=21+sin 2α,联立θ=α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB|2=4sin 2α, 则|OA|2+|OB|2=21+sin 2α+4sin 2α=21+sin 2α+4(1+sin 2α)-4.令t=1+sin 2α,则|OA|2+|OB|2=2t+4t-4,当0<α<π2时,t ∈(1,2). 设f(t)=2t+4t-4,易得f(t)在(1,2)上单调递增, ∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).方法2 参数方程与普通方程的互化方法4.(2018湖北荆州一模,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =sinα+cosα,y =sinα-cosα(α为参数).(1)求曲线C 的普通方程;(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的方程为√2ρsin (π4-θ)+12=0,已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,求|AB|.解析 (1)曲线C 的参数方程为{x =sinα+cosα,y =sinα-cosα(α为参数),sin α=x+y 2,cos α=x -y2, 普通方程为(x+y 2)2+(x -y 2)2=1, 化简得x 2+y 2=2.(2)由√2ρsin (π4-θ)+12=0,知ρ(cos θ-sin θ)+12=0,化为普通方程为x-y+12=0,圆心到直线l 的距离d=√24,由垂径定理得|AB|=√302.5.(2018河南郑州质检,22)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosα,y =sinα(α为参数),在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρsin (θ-π4)=√2. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角; (2)设点P(0,2),l 和C 交于A,B 两点,求|PA|+|PB|.解析 (1)由{x =3cosα,y =sinα(α为参数)消去参数α,得x 29+y 2=1,即曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1,由ρsin (θ-π4)=√2,得ρsin θ-ρcos θ=2,①将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入①得y=x+2, 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l 上,可设直线l 的参数方程为{x =tcos π4,y =2+tsinπ4(t 为参数),即{ x =√22t,y =2+√22t(t 为参数),将其代入x 29+y 2=1并化简得5t 2+18√2t+27=0,Δ=(18√2)2-4×5×27=108>0.设A,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=-18√25<0,t 1t 2=275>0,所以t 1<0,t 2<0,所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=18√25. 6.(2017湖南长郡中学六模,22)已知曲线C 1:{x =-4+cost,y =3+sint (t 为参数),C 2:{x =8cosθ,y =3sinθ(θ为参数).(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C 1上的点P 对应的参数为t=π2,Q 为C 2上的动点,求PQ 的中点M 到直线C 3:{x =3+2t,y =-2+t (t 为参数)距离的最小值.解析 (1)C 1:(x+4)2+(y-3)2=1,C 2:x 264+y 29=1,C 1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆,C 2表示中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. (2)当t=π2时,P(-4,4),又Q(8cos θ,3sin θ),故M (-2+4cosθ,2+32sinθ),又C 3的普通方程为x-2y-7=0,则M 到C 3的距离d=√55|4cos θ-3sin θ-13|=√55|3sin θ-4cos θ+13|=√55|5(sin θ-φ)+13|其中φ满足tan φ=43,所以d 的最小值为8√55.。