全国卷高考选做题坐标系与参数方程专题

坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14）

命题：靳建芳

1．在直角坐标系x y O 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知

曲线1C :452x t

y t =+??=+?（t 为参数），曲线2C :26cos 10sin 90ρρθρθ--+=．

（Ⅰ）将曲线1C 化成普通方程，将曲线2C 化成参数方程； （Ⅱ）判断曲线1C 和曲线2C 的位置关系．

2．曲线1C 的参数方程为)(sin 22cos 2为参数αα

α

???+==y x ，M 是曲线1C 上的动点，且M 是线段OP

的中点，P 点的轨迹为曲线2C ，直线l

的极坐标方程为sin()4π

ρθ+=直线l 与曲线2

C 交于A ，B 两点。

（Ⅰ）求曲线2C 的普通方程； （Ⅱ）求线段AB 的长。

3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2(1

cos 2

x y α

αα=+???=??为参数），在极坐标系中,曲线2

C

的极坐标方程为sin()4

πρθ-=

（1）求曲线2C 的普通方程；

（2）设1C 与2C 相交于,A B 两点，求AB 的长．

4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C 1的极坐标方程为θ

ρ2

2sin 12

+=

，直线l 的极坐标方程为θ

θρcos sin 24+=。

（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。

5．在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32

x t t y t ?=+??

??=??为参数）

，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

的极坐标方程为23sin ρθ=.

（Ⅰ）写出的直角坐标方程；

（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.

6．在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()2

2

121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ?的

面积.

7．已知直线l ：3

5132x y t ?=????=??（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=．

（1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；

（2）设点M 的直角坐标为3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|?|MB|的值．

8.在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=，点(1,)2

M π

．以极点O 为原点，

以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于,A B 两点．

（Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求点M 到两点,A B 的距离之积．

9．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()2sin cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l 的参数方程

为

2242

x y ?

=-+???

?=-+??

（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2

PA PB AB ?=，求a 的值．

10．．(本小题满分12分)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为()θθρsin cos 2+=，斜率为3的直线l 交y 轴与点()1,0E ．

（1）求C 的直角坐标方程，l 的参数方程；

（2）直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求EB EA +的值．

11．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ?

??=+??

=?为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；

（Ⅱ）设直线l 极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM π

θ=与圆C 的交点为O 、P ，与

直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.

12．选修４－４：坐标系与参数方程） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极

轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为sin()4π

ρθ-=

(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;

(2)已知P 为椭圆22

:139

x y C +

=上一点,求P 到直线l 的距离的最小值.

坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14）（参考答案）

1．（Ⅰ） 1:C 23y x =-，2:C 35cos ,

55sin .x y αα=+??=+?（α为参数） ；（Ⅱ）相交.

解析：（Ⅰ）∵4,

52.x t y t =+??=+?

，∴4t x =-，代入52y t =+得，52(4)y x =+-，即

23y x =-．∴曲线1C 的普通方程是23y x =-．

将ρ=cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的方程

26cos 10sin 90ρρθρθ--+=，得2261090x y x y +--+=，

即 22(3)(5)25x y -+-=．设35cos x α-=，55sin y α-=得曲线2C 的参数方程：

35cos ,

55sin .x y αα=+??

=+?

（α为参数） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线1C 是经过点(4,5)P 的直线，曲线2C 是以(3,5)O '为圆心半径为5r =的圆．∵1PO r '=<，∴点(4,5)P 在曲线2C 内，∴曲线1C 和曲线2C 相交．

2．（Ⅰ）

16)4(2

2=-+y x

（Ⅱ）解：（Ⅰ）设),(y x P ，则由条件知

)

2,2(y

x M 。因为点M 在曲线1C 上，所以???????+==ααsin 222cos 22y x

，即 ???+==ααsin 44cos 4y x 。化为普通方程为16)4(22=-+y x ，即为曲线2C 的普通方程。

（Ⅱ）直线l 的方程为

2

)4

sin(=+π

ρx ，化为直角坐标方程为02=-+y x 。由

（Ⅰ）知曲线2C 是圆心为)4,0(，半径为4的圆，因为圆2C 的圆心到直线l 的距

离

2

2

24=-=d ，所以

14

2222=-=d r AB 。

3．（1）2y x =+．（2）16．

解析：（1

）将sin()4

π

ρθ-

=sin cos 2,ρθρθ-=2y x ∴=+①

（2）将1C 的参数方程化为普通方程得：28x y =②。所以直线经过抛物线的焦点。由①，

②联立消去x 得：21240y y -+=。1212y y ∴+= 1216AB y y p ∴=++=．

4．（Ⅰ）221:22C x y +=

，4l x +=;

（Ⅱ）

3

. 解析：解：（Ⅰ）221:22C x y +=

，4l x +=

（Ⅱ）设)

,sin Q

θθ，则点Q 到直线l 的距离

d =

=≥ 当且仅当242k ππ

θπ+=+，

即24

k π

θπ=+

（k Z ∈）时，Q 点到直线l

。 5．

（Ⅰ）(2

2

3x y +-=；（Ⅱ）(3,0).

试题解析：

（Ⅰ）由ρθ=

，得2sin ρθ=

，从而有22x y +=

所以(2

23x y +-=

（Ⅱ）设13,22P t ??

+ ??

?

，又C ，

则PC ==0t =时，PC 取得最小值，

此时P 点的坐标为(3,0).

6．（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）

1

2

试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，

∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为

22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分 （Ⅱ）将=

4

π

θ代入2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=

，得

240

ρ-+=，解得

1ρ

=2ρ

|MN|=1ρ－2ρ

因为2C 的半径为1，则2C MN V

的面积o 11sin 452?=12

.

7．（1）22(1)1x y -+=；（2）18.

解析：（1）∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=，故它的直角坐标方程为22(1)1x y -+=；

（2）直线l

：512x y t

?=????=??（t 为参数）

，普通方程为y x =

，在

直线l 上，过点M 作圆的切线，切点为T ，则22||(51)3118MT =-+-=，由切割线

定理，可得2||||||18MT MA MB =?=．

8．（1）x y =2，???

????+=-

=t y t x 22122

；（2）2． 解析：（Ⅰ）θρcos =x ，θρsin =y ，由0cos sin 2=-θθρ得θρθρcos sin 22=．

所以x y =2即为曲线C 的直角坐标方程； 点M 的直角坐标为)10(，，

直线l 的倾斜角为43π，故直线l 的参数方程为??

??

?

+==43sin 143cos ππt y t x （t 为参数）即???

???

?

+=-=t y t

x 2

2122

（t 为参数） （Ⅱ）把直线l 的参数方程???

?

??

?

+=-=t y t

x 2

2122

（t 为参数）代入曲线C 的方程得 t t 2

2)221(2-=+

，即02232=++t t ，01024)23(2>=?-=?， 设B A ,对应的参数分别为21t t 、，则???=?-=+2232121t t t t 又直线l 经过点M ，故由t 的

几何意义得点M 到B A ,两点的距离之积2||||||||||2121=?==?t t t t MB MA

9．（Ⅰ）曲线C ：()20y ax a =>;l ：2y x =-（Ⅱ）a 的值为2.

解析：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程()2sin cos 0a a ρθθ=>，

可化为()

22sin cos 0a a ρθρθ=>，即

()

20y ax a =>；

直线l 的参数方程为222242x t y t

?

=-+???

?=-+?

?（t 为参数），消去参数t ，化为普通方程是

2y x =-；

（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程

()

20y ax a =>中，

得；设A 、B 两点对应的参数分别为t1，t2，

则

)()

121228,48t t a t t a ++?=+；∵

2

PA PB AB

?=，∴()

2

1212

t t

t t -=?，

即()

2

12125t t t t +=?；∴)()2

28208a a ?+=+?，解得：2a =，或8a =-（舍去）；

∴a 的值为2．

10．

解析：（1）由)sin (cos 2θθρ+=得()θρθρρsin cos 22+=，即

y x y x 2222+=+即()()2112

2

=-+-y x

l 的参数方程为????

???+==t y t x 23121（t 为参数）；（2）将

???

?

??

?

+==t y t x 23121代入()()2

1122=-+-y x 得012=--t t 解得2

511+=

t ，2

5

12-=

t ，则

52121=-=+=+t t t t EB EA

11．（Ⅰ）=2cos ρθ（Ⅱ）2

解析：（Ⅰ）圆C 的普通方程为

22

(1)1x y -+=又cos ,sin x y ρθρθ== 所以圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ

（Ⅱ）设11(,)P ρθ，则由=2cos 3ρθπθ??

?=??，解得

11=1=3πρθ， 设22(,)Q ρθ

，则由(sin )3ρθθπθ?=?

?=??，解得22=3=3π

ρθ， 所以||2PQ =

12．（1）40x y -+=;（2

）

(1)直线l

的极坐标方程sin 4ρθπ??-= ??

?,

则sin cos θθ-=, 即

sin cos 4ρθρθ-=,所以直线l 的直角坐标方程为40x y -+=;

(2)P 为椭圆22

139x y C +=:上一点,

设3sin )P αα,,其中[02)α∈π,,

则P 到直线l

的距离d =

所以当0cos(60)1α+=-时,d

的最小值为