第七章 微分方程
高等数学-第七章-微分方程
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
高等数学 上册 第7章 微分方程
形如
dny dxn
a1
(
x)
d n1 y dxn1
an1
(
x)
dy dx
an (x) y
f (x)
的微分方程称为n阶线性微分方程．否则，就称为 n阶非线性微分方程.
例如，xy 2 y x2 y 0 是三阶线性微分方程．
dy dx
2
x
dy dx
y
cos
x
是一阶非线性微分方程．
y 2 y( y)2 2x 1 是二阶非线性微分方程.
可分离变量的微分方程 dy f (x)g( y) 的解法总结如下：
dx
① 分离变量： 1 dy f (x)dx
g( y)
②
两边积分：
1 g( y)
dy
f
(x)dx
二、可分离变量的微分方程
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量，得 d y 4x3 d x 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
dx x
；
5、回代变量：将u回代成 .
一、齐次方程
例1. 求微分方程 x2 dy y2 xy 满足初值条件 y |x1 1 的特解 x2
①
假定方程①中的f(x),g(y)是连续的,且 g( y) 0，
设y＝(x)是方程①的解, 则有恒等式
1 (x) d x f (x) d x g( (x))
两边积分, 得
f (x)dx
设函数G(y)和F(x)依次为 则有
和f(x)的原函数, ② 这说明方程①的解满足等式②
二、可分离变量的微分方程
①
dx
y x1 3
②
由①得
( C为任意常数)
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程的知识点主要包括：
1. 微分方程的基本概念：微分方程是包含导数或微分的方程，一般形式为
f(x, y', ..., y^{(n)}) = 0。
微分方程的阶数是指微分方程中所含导数或微分的最高阶数。
微分方程的解是指使微分方程成立的函数，不含任意常数的解称为特解，若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为通解。
2. 高阶微分方程：高阶微分方程是阶数大于一的微分方程。
例如，二阶常系数齐次线性微分方程，形如 y'' + py' + q = 0 (p, q为常数)的方程。
3. 齐次方程：齐次方程是一种特殊的微分方程，可以通过变量代换化为另一种形式的一阶微分方程。
一阶齐次方程的形式为dydx=φ(yx)，或者可化为这种形式的方程。
4. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次幂的方程，形式为 dydx+P(x)y=Q(x)。
如果Q(x)=0，则方程为齐次的，反之为非齐次的。
以上内容仅供参考，建议查阅高数教材或咨询专业人士以获取更准确的信息。
高等数学-第七章-微分方程
制动时
常微分方程
偏微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容)
( n 阶显式微分方程)
微分方程的基本概念
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
的阶.
分类
或
— 使方程成为恒等式的函数.
通解
— 解中所含独立的任意常数的个数与方程
于是方程化为
(齐次方程)
顶到底的距离为 h ,
说明:
则将
这时旋转曲面方程为
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
代入通解表达式得
一阶线性微分方程
第四节
一、一阶线性微分方程
*二、伯努利方程
第七章
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式:
若 Q(x) 0,
若 Q(x) 0,
称为非齐次方程 .
第七章
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
令
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
例1. 解微分方程
解:
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数 )
此处
例2. 解微分方程
例4
例5
例6
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1) 分离变量
(2) 方程变形为
作业
P 298 5(1); 6 P 304 1 (1) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6
高等数学第七章微分方程微分方程
常 数 变 易 法
则有 令
以下推导的前提
联立 (3)、(4) 构成方程组 解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到
于是 对上式两边关于 x 求导，得
这两部分 为零。
即
例
解 由常数变易法，解方程组
13
两边积分，取积分常数为零，得
两边积分，取积分常数为零，得 故原方程有一特解 从而，原方程的通解为
18
例.
的通解.
解: 特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
2013/9/23
19
你认为方程应该 有什么样子的特解？
单根 二重根 一对共轭复根
假设方程
有下列形式的特解：
则
代入方程 (2) ，得 即
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
16
定理 1 当二阶常系数非齐线性方程 它有下列形式的特解：
其中：
例
解 对应的齐方程的特征方程为
特征根为 对应的齐方程的通解为
将它代入原方程，得
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比较两边同类项的系数，得
故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为
例 求微分方程
7
例1
解 所以，方程的通解为
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例2 解：
课堂练习
解
课堂练习
同济高数（第七版）--第七章
第七章：微分方程第一类：（可分离变量型——包括一阶齐次线性微分方程）方程可以化为dy y g dx x f )()(=形式，用分离变量微分法；第二类：（非线性齐次型）方程可以化为)(x y dx dy ϕ=的形式，用u xy =替换法；一种较特殊的方程c b a y x c by ax dx dy 111++++=（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、二类微分方程1.01==c c 时，(1111x y x y x y b a yx by ax dx dy b a b a ϕ=++=++=属于第二类微分方程；2.01≠⋅c c 时，首先考虑b a ba 11=（&）成不成立；（1）不成立：根据此时的（*）并不属于第二类，可以重新构造分子、分母，来使得新形成的常数都为零，为了计算简便，引入的新参数必须与x、y 齐次,故设m X x +=、n Y y +=，这样就确保了dX dx =、dY dy =，故c b a b a c b a n m Y X cbn am bY aX y x c by ax dx dy dX dY 11111111++++++++=++++==，为了使这个式子属于第二类微分方程，则必须像 1.一样，常数都为零，即0111=++=++c b a n m c bn am （A ），因为（&）不成立，所以011≠-ab a b ，故可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=b ba c cb b a a ac a b m a b c n 11111111，则此时就有)(1111111X Y X Y X Y ba Y X bY aX y x c by ax dx dy dX dYb a b ac b a ϕ=++=++=++++==，属于第二类微分方程；（2）成立：由（1）中叙述可知，当（&）式成立时，方程组（A ）无解，则（2）中的方法不可行，故考虑整体替换，即设λ==b a b a 11，c b a b a c b a y x c y x y x c by ax dx dy 11111111)(++++=++++=λ，再令y x u b a 11+=，此时⇒=+++=⇒++=-=)(1111111u g u c u dx du u c u dx du dx dy a c b c b a λλduu g dx x f )()(=（1)(=x f ），属于属于第一类微分方程；第三类：（可降阶微分型）1.),(y x f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含y 型]，用p y ='替换法；2.),(y y f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含x 型]，用p y ='替换法；第四类：（一阶非齐次线性微分型）方程可化为)()(x Q y x p dxdy =+的形式，用背公式或者常数变易法；公式：一阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y =e e dx x p dx x p dxx Q C ⎰⎰+⎰)()()(【背诵口诀：C+Q(X)积分含e 的P(x)积分方，再除以e 的P(x)积分方】；常数变易法：第一步：先求一阶齐次微分方程（即一阶非齐次微分方程右端为零时的方程）的通解（运用第一类微分方程的解法）；第二步：令第一步求得的通解中的常数C 为u ，求出y '；第三步：将第二步得到的⎩⎨⎧='=y y 代入一阶非齐次微分方程中得到一个关系式（只引入了一个参数u ，一个关系式足矣），消掉y '、y 后（第一、二步都是为这个消掉y '、y 做准备），解得u '，再利用积分求得u ；第四步：将u 代入第二步替换后的通解中，即求得一阶非齐次微分方程的通解；一种较特殊的方程y n x Q y x p dxdy )()(=+（伯努力方程）（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、四类微分方程1.当n=1时,dx x p x Q ydy y x Q y x p dx dy )]()([)()(-=⇒=+，属于第一类微分方程；2.当n=0时，)()(x Q y x p dx dy =+，属于第四类微分方程；3.当n 1,0≠时，方程变形得)()(1x Q x p dx dy y y n n =+--，令C z dy dz dxdz dx dy y y n y n n n n +=⇒=⇒=-----1)1()1(，取y n z -=1，则有)1(n dx dz dx dy y n -=-代入y n x Q y x p dx dy )()(=+后变形得)()1()()1(x Q n z x p n dx dz -=-+，令)()()1(2x x p n p =-，)()()1(2x x Q n Q =-)()(22x z x dx dz Q p =+⇒，属于第四类微分方程；第五类：（二阶非齐次线性微分型）方程可化为)()()(x f y x Q y x p y =+'+''的形式，用背公式或者常数变易法(过程与第四类中的常数变易法类似)--------用【已知“齐通找非齐特”，或者“已知齐一特”法】；公式：对于二阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y 等于该非齐次方程对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解，即非通-非特=齐通【容易证明，对于n 阶非齐次线性微分方程都有这个结论】常数变易法：第一步：已知二阶齐次微分方程（即二阶非齐次微分方程右端为零时的方程——第六类方程）的通解；第二步：令第一步求得的通解中的常数C1、C2分别为u u 21,，求出y '、y ''；第三步：将第二步得到的⎪⎩⎪⎨⎧=''='=y y y 代入二阶非齐次微分方程中得到一个关系式①（两个引入参数u u 21,，一个关系式不够，还需要得到一个关系式，而且得到的这个关系式为了求出u u 21,，故为了最简单地求解出这两个参数，就不允许在y ''中出现u u ''''21,，而又因为u u 21,均不为常数，故在y '定会出现u u ''21,，而要划线部分同时成立，则必须在y '中将u u ''21,抵消掉，而y u y u y u y u y '''+'++='22112211，故令02211='+'y u y u ②，为了更方便的求解，所以需要得到更简单的①式，所以将②式在第二步中就运用，这样得到的①式为)(2211x f y u y u =''+''②，联立①②就可解得u u ''21,），再利用积分求得u u 21,；第四步：将u u 21,代入第二步替换后的通解中，即求得二阶非齐次微分方程的通解。
《高等数学》 第七章
C
；
第三步，求积分的通解： G( y) F(x) C ．
其中 G( y) ， F (x) 分别是 1 ， f (x) 一个原函数． g ( y)
第二节 一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解． dx
解 将方程分离变量，得到 dy sin xdx ， y
两边积分，即得
（*）
例如，以上六个方程中，（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶
常微分方程，（4）是二阶偏微分方程．
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式，则称该方
程为线性方程，否则称为非线性方程．
一般说来，n 阶线性方程具有如下形状：
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) ．
第二节 一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解． dx x 1
为方便起见，以后在解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，理应都需作
类似下述的处理，其结果是一样的．以例 3 为例叙述如下：
分离变量后得
1 dy 1 dx ， y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ，
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1
第七章微分方程
34
第三节 齐次方程
三 节
齐 次 方 程
若有 f ( t x , t y ) = t f ( x , y ),
k
次齐次函数。 则称 f (x, y) 为 k 次齐次函数。 当 k = 0, 即 f ( t x, t y ) = f (x, y), 称为零次齐次函数 零次齐次函数， 则 f (x, y) 称为零次齐次函数，且有 y y y f ( x , y ) = f ( x , x ) = f ( 1, ) = ϕ ( ) . x x x
y = y( x , C1 ,L, C n ), 或 F ( x , y , C1 ,L , , C n 相互独立 )
(2) 确定了通解中任意常数的解称为微分 方程的特解 特解。 方程的特解。
12
4. 由实际情况提出的可确定通解中任意常数 的条件称为初始条件 初始条件。 的条件称为初始条件。 初始条件个数 = 任意常数个数 = 方程阶数
( n)
y x= x
) = 0.
x = x0 ( = y 0n－1) .
0
′ y = y0 ， ′ x = x = y0 , L , y ( n－1)
0
14
注意1， 注意 ，不能认为方程的解简单地加上一个 任意常数后还是方程的解， 任意常数后还是方程的解， 例如： 例如：
15
注意2， 注意 ，通解中的任意常数必须实质上是任意的 如：y = c1+ c2x +c3x2 c1 , c2 , c3 任意 而 y = c1x + c2x c1 , c2 不任意
y 2 PA = x − x − + ( y − 0) = a y′ ±y . ⇒ y′ = 2 2 a −y
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dx dy y xy' 0 0 x y
ln x ln y c1 xy c
由于曲线经过 (2,3) c 6
xy 6为所求的曲线。
第三节：齐次方程
一.齐次方程
若一阶微分方程可以写 成 dy y ( ) dx x
dx v2 1 x
dv
dv v2 1
dx x
ln v v 2 1 ln x ln c v v 1 c x
2
v v 2 1 c1 x
y y 2 ( ) 1 c1 x x x
y y 2 x 2 c1 x 2
*二. 可化为齐次的方程(略)
dy y' f ( x, y ) dx
dy f ( x, y)dx
dy f ( x, y)dx 0
其一般形式 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 又如其方程可分解成为
M1 ( x) M 2 ( y)dx N1 ( x) N2 ( y)dy 0
M 1 ( x) N 2 ( y) dx dy 0 N1 ( x) M 2 ( y)
第七章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 1 一曲 线通过 点 (1,2), 且在 该 曲线 上任一 点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为2 x ,求这曲线的方程.
解：设所求曲线为 y y( x)
dy 2x dx
其中 x 1时, y 2
y 2 xdx
叫做对应于(1)的一阶齐次线性微分方程
分离变量后
dy p ( x)dx y
ln | y | p( x)dx c1
y ce
p ( x ) dx
(c e )
c1
就是齐次线性微分方程 （2）的解
利用常数变易法来求非齐次线性方程(1) 的通解 将C换为X的函数v(x)
令Y Xv
dY dv v X dX dX
dv 3v 7 v X 0 dX 7v 3
7v 3 dX dv 0 2 7v 7 X
1 3 v 1 2 ln(v 1) ln ln X c1 2 14 v 1 v 1 3 ln(v 1) ln( ) ln X 14 14c1 v 1
y 2 ( ) 2 dy y x 解： 2 y dx xy x 1 x y dv v2 dy dv 令 v x v v x x dx v 1 dx dx
dx 1 v dv 0 x v
dy dy 例1：解方程 y x xy dx dx
2 2
ln x ln v v c
2 7
v 1 3 14 (v 1) ( ) X c2 v 1
2 7
(v 1)10 (v 1)4 X 14 c2
( x y 1) ( y x 1) c2
10 4
就是方程的通解 .
b 0 a 2 0 a ' b'
a b 1 则 a ' b' m
dy ax by c f( ) dx m(ax by) c'
y ( n ) f ( x , y, y,, y ( n1) ).
三、主要问题-----求方程的解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.
设y ( x )在区间 I 上有 n 阶导数,
F ( x, ( x ), ( x ),, ( n) ( x )) 0.
dY 3Y 7 X 3k 7 h 7 0 dX 7Y 3 X 7k 3h 3
3k 7h 7 0 7k 3h 3 0
k 0 h 1
dY 3Y 7 X 0 dX 7Y 3 X
Y 3 7 dY X 0 dX 7 Y 3 X
y e
p ( x )dx
p ( x )dx ( Q (x )e dx c )就是方程（ 1 ）的通解
dy 2 y 例1：解方程 ( x 1) dx x 1
2 解： p( x) x 1
5 2
Q( x) ( x 1)
5 2
5 2
ye
2 dx x 1
ah bk c 0 适当选取h, k使 a' h b' k c' 0
a a' b b' 0
h, k可求出代入得
Y ab dY aX bY X) f( ) f( Y dX a ' X b' Y a'b' X
Y 令 v 再令 Y y k , X x h代入得到原方程的解 X
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y ,
y y 0,
(2)特解:
通解 y ce x ;
通解 y c1 sin x c2 cos x;
确定了通解中任意常数以后的解.
解的图象:
通解的图象:
微分方程的积分曲线.
即 y x2 C,
求得C 1,
所求曲线方程为 y x 2 1 .
二、微分方程的定义
微分方程:
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例
y 2 y 3 y e x , z 2 x y, ( t x )dt xdx 0, x
y xy ,
解：设曲线方程为 y f ( x)
它在一点（ x, y)处的切线斜率为 k y'
切线方程为 Y y y' ( X x)化为截距式
Y X 1 y y ' x y y' x y'
截距为
y y' x , y y' x y'
由于( x, y)平分切线段
而令 y v( x)e
p ( x ) dx
p ( x ) dx p ( x ) dx dy dv p ( x ) dx p ( x) y e v ( x )e ( p( x)) p( x)v( x)e Q( x) dx dx
p ( x )dx p ( x ) dx dx c dv Q( x)e dx v (x ) Q (x )e
dx dy 例2 : 试求 0 当x 2, y 4的特解 y x
解：xdx ydy 0
1 2 1 2 x y c 2 2
x 2, y 4代入 2 8 c c＝ 10
特解为 x 2 y 2 20
例3:一曲线通过点(2,3). 它在两坐标轴间 的任意切线段均被切点平分，求这曲线。
(1)
称为可分离变量的微分方程
M 1 ( x) N 2 ( y) N1 ( x) dx M 2 ( y)dy c
(2)
(2)是(1)的通解
dy 1 y2 例1：求 的通解 2 dx (1 x ) xy
解： （ 1 y 2 )dx x(1 x 2 ) ydy 0
v (1 )dv dx 2v 4 3 v ln v 2 x c 2
x 3 y 2 ln x y 2 c1
第四节 一阶线性微分方程P310
一.线性方程 dy 方程 p ( x) y Q( x) (1) dx 叫做一阶线性微分方程
dy 如果 Q( x) 0 则 p( x) y 0 (2) dx
令v ax by
dv dy ab dx dx
1 dv vc ( a) f ( ) b dx mv c`
dy 1 dv ( a) dx b dx
这是变量可分离的方程
例4：解方程( x y )dx (3x 3 y 4)dy 0
x y v
dy dv 1 dx dx
1 y dx dy 0 2 2 x(1 x ) 1 y
dx x y dx x 1 x 2 1 y 2 dy c
1 y x(1 x 2 ) dx 1 y 2 dy c
1 1 ln x ln(1 x 2 ) ln(1 y 2 ) c 2 2
y ln xv c v 通解为 ln y c x
例：解方程xy y y x 0
2 2
dy y 解： dx x
y 令 v x
y xv
y 2 ( ) 1 0 x
dy dv v x dx dx
dv v x v v2 1 0 dx
( ( x 1) e
5 2
2 dx x 1
dx c)
1 (x 1) ( (x 1) dx c ) 2 (x 1)
2
2 2 ( x 1) ( ( x 1) 2 c) 3 3
2 ( x 1) 2 c( x 1) 2 3
7*二Βιβλιοθήκη 伯努利方程实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 一阶微分方程
F ( x , y, y) 0,
y f ( x , y );
高阶(n)微分方程 F ( x , y , y,, y ( n ) ) 0,
例3：解方程(3 y 7 x 7)dx (7 y 3x 3)dy 0