核心素养提升练 圆 的 方 程
《圆》核心素养专练
《圆》核心素养专练
1.【注重阅读理解】（威海中考）阅读理解：如图1，⊙O与直线，b都相切，不论⊙O如何转动，直线，b之间的距离始终保持不变（等于⊙O的直径），我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”，图2是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的
拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛角形）也是“等宽曲线”，如图4，夹在平行线c，d之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c，d之间的距离等于2cm，则莱洛三角形的周长为cm
参考答案1.32。
圆的标准方程(经典练习及答案详解)
2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29D.(x-1)2+(y+3)2=116A (-4,-5),B (6,-1),所以线段AB 的中点为C (1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆D.半圆x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1D.x+322+y 2=12M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+32,y=y 0+02,则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .-3) √26.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254. 答案(x+2)2+y-322=2548.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =1,b =1,r =2,所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].关键能力提升练9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.10.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.-∞,-4√33∪4√33,+∞D.(-∞,-4)∪(4,+∞)方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A,B两点的直线方程为y=a4x+a2,即ax-4y+2a=0,令d=√a2+16=1,化简后,得3a2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C.(方法2)(数形结合法)如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C.11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x,y满足x2+y2=1,则√3x+y的取值范围是()A.(-2,2)B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-2,+∞)解析因为x2+y2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sinα+π6,所以√3x+y的取值范围是[-2,2].故选C.12.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是()A.110B.113C.-113D.-12P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m )2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD 可能.13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即√32+42=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.x-2)2+y 2=416.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上. (1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.学科素养创新练17.设A(x A,y A),B(x B,y B)为平面直角坐标系内的两点,其中x A,y A,x B,y B∈Z.令Δx=x B-x A,Δy=y B-y A,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x,y).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.。
2020-2021学年北师大版高中数学必修二《圆的标准方程》课时提高训练1及解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修二2.1 圆的标准方程1．确定圆的条件圆的几何特征是圆上任一点到圆心的距离等于定长，这个定长称为半径，一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来．2．圆的标准方程(1)已知圆的圆心为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.预习交流1方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？提示：方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2不一定表示圆，当m＝0时，方程表示点(a，b)．要使此方程表示圆，需保证m≠0.圆的标准方程中，r是半径，r＞0.预习交流2当圆过原点、圆心在x轴或在y轴上时，圆的标准方程分别是什么？提示：预习交流3(1)圆(x＋5)2＋(y＋4)2＝18的圆心坐标是________，半径是________．(2)圆心为(1,1)，半径为2的圆的标准方程是________________．(3)圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的标准方程是( )．A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝5C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25提示：(1)(－5，－4) (2)(x－1)2＋(y－1)2＝4 (3)C3．点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：预习交流4若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？提示：不是，因为从几何意义上讲圆指的是“圆圈”，圆上的点并不含圆心．从点与圆的位置关系看，圆心应该在圆内.1．直接法求圆的标准方程求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．思路分析：首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．解：(1)由两点间距离公式，得r＝(6－2)2＋(3＋2)2＝41，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝(－4－6)2＋(－5＋1)2＝229，∴半径r ＝29.∴所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5， ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心为(3,4)，半径是5；(2)圆心为(8，－3)，且经过点P(5,1)；(3)过两点P 1(4,7)，P 2(2,9)，且以线段P 1P 2为直径； (4)与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同心，且过点P(－1,1)； (5)圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A(1,0)，B(5,0)． 解：(1)圆的标准方程是(x －3)2＋(y －4)2＝5. (2)r ＝(8－5)2＋(－3－1)2＝32＋42＝5， ∴圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25. (3)圆心为(3,8)，半径r ＝12|P 1P 2|＝12(4－2)2＋(7－9)2＝2， ∴圆的标准方程为(x －3)2＋(y －8)2＝2.(4)圆心为(2，－3)，半径r＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.(5)圆心为(3,0)，半径r＝2，∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.1.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．2．求圆的标准方程时常用的几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心；(2)圆的两条不平行的弦的垂直平分线的交点必为圆心；(3)圆心与切点的连线长为半径；(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；(5)圆的半径r，半弦长d，弦心距h，满足r2＝d2＋h2.2．待定系数法求圆的标准方程(1)求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上的圆的方程； (2)求圆心在直线5x －3y ＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．思路分析：先设出圆的标准方程，由题设列出关系式，组成方程组，由待定系数法求解．解：(1)∵圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上，∴可设圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a ＋87，由题意，得(a －6)2＋⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋87－02＝(a －1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋87－52， 解得a ＝3，∴圆心的坐标为(3,2)， ∴r 2＝(3－6)2＋(2－0)2＝13，∴所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13. (2)设所求圆方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.∵圆与坐标轴相切，∴圆心满足a －b ＝0或a ＋b ＝0. 又圆心在直线5x －3y ＝8上，∴5a －3b ＝8.解方程组⎩⎨⎧ a －b ＝0，5a －3b ＝8或⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，5a －3b ＝8，得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝4或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)．∴可得半径r ＝|a|＝4或r ＝|a|＝1. ∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.1．求圆心在x 轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程． 解：设圆心坐标为M(a,0)，则|MA|＝|MB|， 即(a －5)2＋(0－2)2＝(a －3)2＋(0＋2)2， 解得a ＝4.所以圆心坐标为(4,0)，半径r ＝|MA|＝ 5. 所以圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝5.2．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线x －2y －3＝0上的圆的方程． 解：因为圆心在直线x －2y －3＝0上， 故可设圆心为C(2b ＋3，b)，半径为r ， 则圆的方程为(x －2b －3)2＋(y －b)2＝r 2. 又因为圆过A(2，－3)，B(－2，－5)两点，所以⎩⎨⎧ (2－2b －3)2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－2b －3)2＋(－5－b )2＝r 2.①②式①，②左边相等，即10b ＋10＝30b ＋50， 所以b ＝－2，所以圆心坐标为(－1，－2)，r ＝10. 所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为：(1)设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；(2)根据题意，建立a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r的值；(4)将a，b，r代入所设的圆的方程中，即得所求．3．点和圆的位置关系(1)圆的直径端点为(2,0)，(2，－2)，求此圆的方程，并判断A(5,4)，B(1,0)是在圆上、圆外，还是在圆内．(2)点P(3a＋2,4a)在圆(x－2)2＋y2＝1的内部，求a的取值范围．思路分析：(1)求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程．判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．(2)利用点在圆的内部建立不等式求a 的取值范围． 解：(1)由已知得圆心坐标为C(2，－1)，半径r ＝1. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.∵|AC|＝(5－2)2＋(4＋1)2＝34＞1，|BC|＝(1－2)2＋(－1－0)2＝2＞1，∴A ，B 两点都在圆外．(2)∵点P(3a ＋2,4a)在圆(x －2)2＋y 2＝1的内部， ∴(3a ＋2－2)2＋(4a)2＜1，即25a 2＜1， ∴a 2＜125.解得－15＜a ＜15.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，15.1．点P(m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )． A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定解析：∵(m 2)2＋52＝m 4＋25＞24，∴点P(m 2,5)在圆外． 答案：A2．求过点P 1(3,8)，P 2(5,4)且半径最小的圆的方程，并判断点M(5,3)，N(3,4)，P(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外．解：|P 1P 2|＝(5－3)2＋(4－8)2＝25，P1P2的中点坐标为(4,6)．依题意，所求圆的圆心为C(4,6)，半径为 5.∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.∵|MC|＝(5－4)2＋(3－6)2＝10＞5，|NC|＝(3－4)2＋(4－6)2＝5，|PC|＝(3－4)2＋(5－6)2＝2＜5，∴点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内．点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较大小．(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．1．圆心为C(－1，－1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案：D2．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )．A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9解析：半径r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4.答案：C3．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是( )．A．5 B．3 C．4 D．2解析：d＝2532＋42＝5.答案：A4．若点(3，a)在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围是________．解析：由题意知32＋(a)2＞16，∴a＞7.答案：(7，＋∞)5．已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且经过点A(6,1)，求圆C的方程．解：∵圆心在直线x－3y＝0上，∴设圆心坐标为(3a，a)．又圆C与y轴相切，∴半径r＝|3a|，圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝|3a|2.又过点A(6,1)，∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，即a2－38a＋37＝0，a＝1或a＝37.∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112.。
第五单元《圆》核心素养(教案)人教版六年级数学上册
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量硬币的周长和面积。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
此外，在实践活动和小组讨论环节，我发现学生们对于圆在实际生活中的应用有着丰富的想象力，提出的观点和想法也很有创意。但在讨论过程中，部分学生表达不够清晰，这可能是因为他们在整理思路和语言组织方面还有待提高。作为教师，我应该多给予他们鼓励和指导，提高他们的表达能力和自信心。
在今后的教学中，我打算对以下几个方面进行改进：
1.对于圆的周长和面积公式，通过更多实际例题的讲解和练习，让学生熟练掌握。
2.增加课堂互动，让学生更多地参与到教学活动中来，提高他们的学习兴趣和积极性。
3.针对学生的难点，设计更有针对性的练习题，帮助他们巩固知识。
4.加强对学生的语言表达能力的培养，提高他们在讨论和展示环节的表现。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆的基本概念。圆是平面上所有与定点距离相等的点的集合。它在日常生活中有着广泛的应用，如车轮、硬币等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以车轮为例，讲解圆的周长和面积在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆的周长和面积的计算公式这两个重点。对于难点部分，如圆周率π的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
圆的标准方程练习题
圆的标准方程练习题在解决圆的问题时，我们经常使用到的一个重要工具就是圆的标准方程。
通过掌握圆的标准方程的用法，我们可以更方便地进行圆的解析几何运算。
接下来，我将为大家提供一些圆的标准方程练习题，帮助大家加深对这一概念的理解。
练习题一：给定圆心和半径，求标准方程1. 已知圆心为 (2, 3)，半径为 5，求圆的标准方程。
解析：设圆的标准方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中 (a, b) 为圆心坐标，r 为半径。
将已知数据代入方程，得到：(x-2)² + (y-3)² = 5²，即 (x-2)² + (y-3)² = 25。
练习题二：给定标准方程，求圆心和半径1. 已知圆的标准方程为 x² + y² - 6x + 8y + 9 = 0，求圆的圆心和半径。
解析：观察标准方程可得出：(x-3)² + (y+4)² = 16。
由此可知圆的圆心为 (3, -4)，半径为 4。
练习题三：给定圆上一点，求标准方程1. 已知圆上一点为 (5, 2)，圆心为 (3, 4)，求圆的标准方程。
解析：设圆的标准方程为(x-a)²+ (y-b)²= r²。
将已知数据代入方程，可得到：(x-3)² + (y-4)² = r²。
由于圆上一点为 (5, 2)，代入方程得到 (5-3)² + (2-4)² = r²，化简得 4 + 4 = r²，即 8 = r²。
所以圆的标准方程为 (x-3)² + (y-4)² = 8。
通过以上几道练习题，我们对圆的标准方程的应用有了更深入的了解。
掌握了圆的标准方程的求解方法，我们在解决与圆相关的数学问题时，就能更加得心应手。
不过，还需要注意的是，在使用圆的标准方程时，我们需要确保给定的数据准确无误。
核心素养提升练 四十九 10.3
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核心素养提升练四十九圆的方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是( )A.x2+y2=2B.x2+y=C.x2+y2=1D.x2+y2=4【解析】选A.AB的中点坐标为(0,0),|AB|==2,所以圆的方程为x2+y2=2.2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是 ( )A.B.∪(1,+∞)C.D.∪[1,+∞)【解析】选A.联立解得P(a,3a),因为点P在圆内,所以(a-1)2+(3a-1)2<4,所以-<a<1.3.圆:x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( )A.1+B.2C.1+D.2+2【解析】选A.由已知得圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,则圆心坐标为(1,1),半径为1,所以圆心到直线的距离为=,所以圆上的点到直线的距离的最大值是1+.4.(2018·银川模拟)方程|y|-1=表示的曲线是( )A.一个椭圆B.一个圆C.两个圆D.两个半圆【解析】选D.由已知,|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心,1为半径,直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆.5.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积时,该圆的圆心的坐标为 ( )A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==,当k=0时,r max==1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).6.当方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0所表示的圆取得最大面积时,直线y=(k+1)x+1的倾斜角为( )A. B. C. D.【解析】选B.方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0可化为(x+k)2+(y+2)2=4-k2,若表示圆,则4-k2>0,且当k2=0时,圆的面积最大,此时直线y=(k+1)x+1的斜率为1,故倾斜角为.二、填空题(每小题5分,共20分)7.一束光线从点(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路径长度是________.【解析】由已知,圆心C(2,3),半径为r=1,点A关于x轴的对称点为A′(-1,-1),求得|A′C|=5,所以要求的最短路径的长为|A′C|-r=5-1=4.答案:48.以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为【解析】圆心是MN的中点,即点(1,2),半径r=MN=,则以MN为直径的圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.答案:(x-1)2+(y-2)2=59.若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为________.【解析】圆x2+y2-2x+4y=0可化为(x-1)2+(y+2)2=5,圆心为(1,-2),则直线2x+y+m=0过圆心(1,-2),所以2-2+m=0,m=0.答案:010.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为________.【解析】如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.答案:4(20分钟40分)1.(5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l 的方程是 ( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0【解析】选D.圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1,由点斜式得直线l:y-3=x-0,即x-y+3=0.2.(5分)已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x上,则圆C的标准方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=2【解析】选D.由已知x-y=0和x-y-4=0之间的距离为=2,所以r=.又因为y=-x与x-y=0,x-y-4=0均垂直,所以由y=-x和x-y=0联立得交点坐标为(0,0),由y=-x和x-y-4=0联立得交点坐标为(2,-2),所以圆心坐标为(1,-1),所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.3.(5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为________.【解析】设P(cos α,sin α),α∈R,则=(2,0),=(cos α+2,sin α),·=2cos α+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6,即·的最大值为6.答案:6【一题多解】设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),所以·=2x+4,所以·的最大值为6.答案:6【变式备选】已知圆O:x2+y2=1的弦AB长为,若线段AP是圆O的直径,则·=________;若点P为圆O上的动点,则·的取值范围是________. 【解析】因为圆O:x2+y2=1的弦AB长为,且线段AP是圆O的直径,所以∠PAB=45°,则·=2××=2.不妨设A,B,P(x,y),且-1≤y≤1,则·=·(0,-)=-y+1∈[-+1,+1].答案:2 [-+1,+1]4.(12分)在△OAB中,已知O(0,0),A(8,0),B(0,6),△OAB的内切圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4,P是圆上一点.(1)求点P到直线l:4x+3y+11=0的距离的最大值和最小值.(2)若S=|PO|2+|PA|2+|PB|2,求S的最大值和最小值.【解析】(1)由已知圆心(2,2)到直线l:4x+3y+11=0的距离d==5>2,所以点P到直线l的距离的最大值为5+2=7,最小值为5-2=3.(2)设点P的坐标为(x,y),则S=x2+y2+(x-8)2+y2+x2+(y-6)2=3(x2+y2-4x-4y)-4x+100=-4x+88,又因为(x-2)2≤4,所以-2≤x-2≤2,即0≤x≤4,所以-16≤-4x≤0,所以72≤S≤88,即当x=4时,S min=72,当x=0时,S max=88.5.(13分)已知圆O:x2+y2=1,点A(-1,0),点B(1,0).点P是圆O上异于A,B的动点.(1)证明:k AP·k BP是定值.(2)过点P作x轴的垂线,垂足为Q,点M满足2=-,求点M的轨迹方程C.(3)证明:k AM·k BM是定值.【解析】(1)由已知,直线AP,BP斜率存在,AB是圆O的直径,所以AP⊥BP,所以k AP·k BP=-1是定值.(2)设P(m,n),M(x,y),则Q(m,0),=(0,-n),=(x-m,y-n),因为2=-,所以2(0,-n)=-(x-m,y-n),即即①因为点P在圆O上,所以m2+n2=1,②将①代入②得,x2+=1,又点P异于A,B,所以x≠±1,即点M的轨迹方程C为x2+=1(x≠±1).(3)由已知,直线AM,BM斜率存在,k AM=,k BM=,由(2)知x2-1=-,所以k AM·k BM=·==-9,即k AM·k BM是定值.关闭Word文档返回原板块。
高中数学北师大版必修2 2.2 提升练习 《圆的一般方程》(数学北师大必修二)
《圆的一般方程》提升练习本课时编写：崇文门中学 高巍巍一、选择题1. 方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2―4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称，则有（ ）A ．D +E =0B ．D +F =0C ．E +F =0D ．D +E +F =02. 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝（ ）A ．－43B ．－34C ． 3D ．23．圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝( )A ．2B ．－32C ．±32D ．不存在4. 若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 若直线10(0,0)ax by a b ++=>>过圆222210x y x y ++++=的圆心，则ab 的最大值为( )A ．116 B ．14C ．4D ．16二、填空题6. 设P 为圆221x y +=上的动点，则点P 到直线34100x y --=的距离的最小值是 .7. 若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是 .三、简答题8. 若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，求(a－2)2＋(b－2)2的最小值.9.已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．10．圆C过点P（1，2）和Q（-2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程．。
新教材高中数学课后素养落实十五2 3 2圆的一般方程含解析新人教B版选择性必修第一册
课后素养落实(十五) 圆的一般方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( ) A ．(1，－1) B ．⎝⎛⎭⎫12，－1 C ．(－1，2)D ．⎝⎛⎭⎫－12，－1 D 〖将圆的方程化为标准方程，得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为⎝⎛⎭⎫－12，－1．〗 2．方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一个圆 C ．一条直线 D ．不存在 A 〖方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．〗3．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的圆过原点且圆心在直线y ＝x 上的条件是( ) A ．D ＝E ＝0，F ≠0 B ．D ＝F ＝0，E ≠0 C ．D ＝E ≠0，F ≠0D ．D ＝E ≠0，F ＝0D 〖∵圆过原点，∴F ＝0，又圆心在y ＝x 上，∴D ＝E ≠0．〗4．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是( )A ．32π B ．34πC ．3πD ．不存在B 〖所给圆的半径为r ＝1＋(m －1)2－2m 22＝12－(m ＋1)2＋3，所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是34π．〗 5．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，则直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D 〖圆心⎝⎛⎭⎫a ，－32b 在第三象限，则a ＜0，b ＞0．直线x ＋ay ＋b ＝0的斜率k ＝－1a ＞0，在x 轴上的截距为－b ＜0，故直线过一、二、三象限，故选D ．〗二、填空题6．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线Dx ＋Ey ＋2F ＋8＝0对称，则该圆的半径为________．2 〖圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 由题意有－D 22－E 22＋2F ＋8＝0，则D 2＋E 2－4F ＝16．∴圆的半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝12×4＝2．〗7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________．－2 〖由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a2在直线 x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a2代入直线方程得 －1－⎝⎛⎭⎫－a2＋2＝0，解得a ＝－2．〗 8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．5 〖由题意，得直线l 恒过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5．〗三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．〖解〗 圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 因为圆心在直线x ＋y －1＝0上， 所以－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2，①又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，所以－D2<0，即D >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4，所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．10．已知关于x ，y 的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0． (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值．〖解〗 (1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0， 整理得(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， 由题意知5－m ＞0，解得m ＜5．(2)设直线x ＋2y －4＝0与圆：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，整理得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，则y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，又OM ⊥ON (O 为坐标原点)，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，则(4－2y 1)·(4－2y 2)＋y 1y 2＝0，解得m ＝85．故m 的值为85．1．(多选题)已知圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，则下列说法正确的是( ) A ．圆M 的圆心为(4，－3) B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8 C ．圆M 的半径为25D ．圆M 被y 轴截得的弦长为6ABD 〖圆M 的标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25．圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，令x ＝0，则y 2＋6y ＝0，∴|y 1－y 2|＝6；令y ＝0，x 2－8x ＝0，|x 1－x 2|＝8．〗2．已知点A (－1，1)和圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0，一束光线从点A 出发经过x 轴反射到圆周上的最短路程是( )A ．6B ．8C ．10D ．12B 〖易知点A 在圆C 外，找出点A (－1，1)关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，则最短路程为|CA ′|－r ．又圆的方程可化为(x －5)2＋(y －7)2＝4，则圆心C (5，7)，半径r ＝2， 则|CA ′|－r ＝(5＋1)2＋(7＋1)2－2＝10－2＝8．故所求的最短路程为8．〗3．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m ＝________，圆的面积为________．－3 8π 〖设A (0，y 1)，B (0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m >0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，又由∠ACB ＝90°，C (2，－1)，知k AC ·k BC ＝－1， 即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1， 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4， 代入上面的结果得m －2＋1＝－4， ∴m ＝－3，符合m <1的条件． r ＝1216＋4－4×(－3)＝22，∴圆的面积为πr 2＝π×(22)2＝8π．〗4．已知点A (－2，0)，B (0，2)，若点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值为________．3－2 〖如图所示，△ABC 的面积最小时，点C 到直线AB 的距离最短，该最短距离其实就是圆心到直线AB 的距离减去圆的半径．直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，|AB |＝22，x 2＋y 2－2x ＝0可化为(x －1)2＋y 2＝1，易知该圆的圆心为(1，0)，半径为1，圆心(1，0)到直线AB 的距离d ＝32＝322，故△ABC 面积的最小值为12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－2．〗在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图像与两条坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．〖解〗 (1)显然b ≠0，否则二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与两坐标轴只有两个交点(0，0)，(－2，0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个非零的不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b ＞0且b ≠0，即b ＜1且b ≠0．所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0，1)．(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0得x ＝－1±1－b ．于是二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)．因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程， 则⎩⎪⎨⎪⎧(－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0．(3)圆C 必过定点．证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0 (*)．为使(*)式对所有满足b ＜1且b ≠0的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验，知点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上，因此圆C 过定点．。
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核心素养提升练圆的方程(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·南昌模拟)已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是( )A.x2+y2=2B.x2+y=C.x2+y2=1D.x2+y2=4【解析】选A.AB的中点坐标为(0,0),|AB|==2,所以圆的方程为x2+y2=2.2.(2019·太原模拟)两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是( )A.B.∪(1,+∞)C.D.∪[1,+∞)【解析】选A.联立解得P(a,3a),因为点P在圆内,所以(a-1)2+(3a-1)2<4,所以-<a<1.3.圆:x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( )A.1+B.2C.1+D.2+2【解析】选A.由已知得圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,则圆心坐标为(1,1),半径为1,所以圆心到直线的距离为=,所以圆上的点到直线的距离的最大值是1+.【变式备选】设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为 ( )A.6B.4C.3D.2【解析】选B.如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.4.方程|y|-1=表示的曲线是( )A.一个椭圆B.一个圆C.两个圆D.两个半圆【解析】选D.由已知,|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心,1为半径,直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆.5.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积时,该圆的圆心的坐标为( )A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==,当k=0时,r max==1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).【变式备选】当方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0所表示的圆取得最大面积时,直线y=(k+1)x+1的倾斜角为( )A. B.C. D.【解析】选B.方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0可化为(x+k)2+(y+2)2=4-k2,若表示圆,则4-k2>0,且当k2=0时,圆的面积最大,此时直线y=(k+1)x+1的斜率为1,故倾斜角为.6.(2018·九江模拟)已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线(A,B是切点),C是圆心,那么四边形PACB的面积的最小值是 ( )A. B. C. D.【解析】选C.圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,则C(1,1),当|PC|最小时,四边形PACB的面积最小,|PC|min==2,此时|PA|=|PB|=.所以四边形PACB的面积S=2×××1=.7.(2018·吉大阴中模拟)已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得·=0,则t的最小值为( )A.3B.2C.D.1【解析】选D.由题意可得点P的轨迹方程是以AB为直径的圆,当两圆外切时有=t min+1⇒t min=1,即t的最小值为1.【变式备选】(2018·岳阳模拟)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是________.【解析】设D(x,y),由=(x-3,y)及||=1知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆,又++=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-1,y+),所以|++|=.问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-)间距离的最大值.因为圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,所以的最大值为+1.答案:+1二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·郑州模拟)以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为________.【解析】圆心是MN的中点,即点(1,2),半径r=MN=,则以MN为直径的圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.答案:(x-1)2+(y-2)2=59.(2019·伊春模拟)设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P,则直线AB的方程是________.【解析】x2+y2-4x-5=0,所以圆心为C ,因此k CP==1 ,所以k AB=-1, AB:y-1=-,x+y-4=0.答案:x+y-4=010.经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程为【解析】方法一(待定系数法):设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有解得所以圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.方法二(直接法):由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.因为弦的垂直平分线过圆心,所以由得即圆心坐标为(4,-3),半径为r==5,所以圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.答案:(x-4)2+(y+3)2=25(20分钟40分)1.(5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l 的方程是 ( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0【解析】选D.圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1,由点斜式得直线l:y-3=x-0,即x-y+3=0.2.(5分)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的标准方程为( )A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1【解析】选C.到两直线3x-4y=0和3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组解得所以圆M的圆心坐标为(-3,-1),又两平行线之间的距离为=2,所以圆M的半径为1,所以圆M 的方程为(x+3)2+(y+1)2=1.3.(5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为________.【解析】设P(cos α,sin α),α∈R,则=(2,0),=(cos α+2,sin α),·=2cos α+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6,即·的最大值为6.答案:6【一题多解】设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),所以·=2x+4,所以·的最大值为6.答案:6【变式备选】已知圆O:x2+y2=1的弦AB长为,若线段AP是圆O的直径,则·=________;若点P为圆O上的动点,则·的取值范围是________.【解析】因为圆O:x2+y2=1的弦AB长为,且线段AP是圆O的直径,所以∠PAB=45°,则·=2××=2.不妨设A,B,P(x,y),且-1≤y≤1,则·=·(0,-)=-y+1∈[-+1,+1].答案:2 [-+1,+1]4.(12分)(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中,经过函数f(x)=x2-x-6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C.(1)求圆C的方程.(2)求经过圆心C且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.由f(x)=x2-x-6得,其图象与两坐标轴的交点为(0,-6),(-2,0),(3,0),将交点坐标代入圆的方程得解得所以圆的方程为x2+y2-x+5y-6=0.(2)由(1)知圆心坐标为,-,若直线经过原点,则直线l的方程为5x+y=0;若直线不过原点,设直线l的方程为x+y=a,则a=-=-2,即直线l的方程为x+y+2=0.综上,直线l的方程为5x+y=0或x+y+2=0.5.(13分)已知圆O:x2+y2=1,点A(-1,0),点B(1,0).点P是圆O上异于A,B的动点.(1)证明:k AP·k BP是定值.(2)过点P作x轴的垂线,垂足为Q,点M满足2=-,求点M的轨迹方程C.(3)证明:k AM·k BM是定值.【解析】(1)由已知,直线AP,BP斜率存在,AB是圆O的直径,所以AP⊥BP,所以k AP·k BP=-1是定值.(2)设P(m,n),M(x,y),则Q(m,0),=(0,-n),=(x-m,y-n),因为2=-,所以2(0,-n)=-(x-m,y-n),即即①因为点P在圆O上,所以m2+n2=1,②将①代入②得,x2+=1,又点P异于A,B,所以x≠±1,即点M的轨迹方程C为x2+=1(x≠±1).(3)由已知,直线AM,BM斜率存在,k AM=,k BM=,由(2)知x2-1=-,所以k AM ·k BM =·==-9,即k AM ·k BM 是定值.。