普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷六文

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(六)文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知()13i 2i z+=，则复数z 的共轭复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由题，对应点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，故选D ． 2．设α为锐角，()sin ,1α=a ，()1,2=b ，若a 与b 共线，则角α=（ ） A ．15° B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【解析】由题意2sin 1α=，1sin 2α=，又α为锐角，∴30α=︒．故选B ． 3．下列函数为奇函数的是（ ） A ．12yx=B ．e xy =C ．cos y x =D ．e e x xy -=-【答案】D【解析】12y x =和e x y =非奇非偶函数，cos y x =是偶函数，e e x xy -=-是奇函数，故选D ．4．如图，执行所示的算法框图，则输出的S 值是（ ）A ．1-BCD ．4【答案】D【解析】按照图示得到循环一次如下：4S =，1i =；1S =-，2i =；23S =，3i =；4i =；4S =，5i =；1S =-，6i =；23S =，7i =；8i =；4S =，9i =．不满足条件，得到输出结果为：4．故答案为：D ．5，则图中m 的值为（ ）A ．1BC ．2D 2 【答案】B【解析】B ．6．李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（ ） A ．10步，50步 B ．20步，60步C ．30步，70步D ．40步，80步【答案】B【解析】设圆池的半径为r 步，则方田的边长为()240r +步，由题意，得()22240313.75240r r =+-⨯，解得10r =或170r =-（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B ．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．8CD【答案】D【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中，题中三视图所对应的几何体为四棱锥P ABCD -，该几何体的体积为：()1822233V =⨯⨯⨯=．本题选择D 选项．8．若实数x ，y 满足约束条件020 20y x y x y ≥-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A ．[]44-，B ．[]24-，C ．[)4-+∞，D ．[)2-+∞，【答案】D【解析】画出020 20y x y x y ≥-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的可行域，如图所示的开放区域，平移直线2y x z =-，由图可知，当直线经过()0,2时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时2z x y =-有最小值2-，无最大值，2z x y ∴=-的取值范围是[)2-+∞，，故选D ．9．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2C B =，且2b =，c =a 等于（ ）A ．12BC ．2D．【答案】C【解析】∵sin sin 22sin cos C B B B ==，且2b =，c =sin 0B ≠，可得：cos B =， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B -=+，可得：2432a a =+-⨯， 可得：22320a a -=-，∴解得：2a =．故选：C ． 10．若函数()y f x =图像上存在两个点A ，B 关于原点对称，则对称点(),A B 为函数()y f x =的“孪生点对”，且点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“孪生点对”．若函数()322,0 692,0x f x x x x a x <=-+-+-≥⎧⎨⎩恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．2C ．4D ．6【答案】A【解析】当0x ≥时，()()()()223129343313f x x x x x x x =-+-=--+=---'，故函数在区间[)0,1，()3,+∞上递减，在()1,3上递增，故在1x =处取得极小值．根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当0x ≥时，函数图像与2y =-的图像有两个交点，即()122f a =--=-，0a =．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(),3,2F M ，直线MF 交抛物线于,A B 两点，且M 为AB 的中点，则p 的值为（ ）A ．3B ．2或4C ．4D ．2【答案】B【解析】设()11A x y ，，()22B x y ，，2112222 2y px y px ==⎧⎨⎩， 两式相减得()()()1212122y y y y p x x +-=-，1212122y y px x y y -=-+，M 为AB 的中点，124y y ∴+=，12122032y y p x x --=--，代入22432pp =-， 解得2p =或4，故选B ．12()()3g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．11,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．113,4⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．()3,0-【答案】B【解析】由题可知()()23,03,03 3,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪=-≤≤⎨⎪-->⎪⎩，故()2,03,0 3 6,3x x f x x x x x ⎧-<⎪-=-≤≤⎨⎪->⎩，∵函数()()()()3y f x g x f x f x b =-=+--恰有4个零点， ∴方程()()30f x f x b +--=有4个不同的实数根，即函数y b =与函数()()3y f x f x =+-的图象恰有4个不同的交点．又()()223,033,03 715,3x x x y f x f x x x x x ⎧---<⎪=+-=-≤≤⎨⎪-+->⎩，在坐标系内画出函数函数()()3y f x f x =+-的图象，其中点A ，B 的坐标分别为711,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．由图象可得，当1134b -<<-时，函数y b =与函数()()3y f x f x =+-的图象恰有4个不同的交点，故实数b 的取值范围是113,4⎛⎫--⎪⎝⎭．选B ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知集合{}20A x x x =-=，{}1,0B =-，则A B =________．【答案】{}1,0,1- 【解析】{}0,1A =，所以{}1,0,1AB =-．14．得到函数()y g x =的图像，若()g x 最小正周期为a ，则6a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．个单位后得到函数()2sin 2g x x =，函数的最小正周期是π，那么． 15．过动点P 作圆：()()22341x y -+-=的切线PQ ，其中Q 为切点，若PQ PO =（O 为坐标原点），则PQ 的最小值是________． 【答案】125【解析】设(),P x y ，得()()2222341x y x y +=-+--，即3412x y +=，所以点P 的运动轨迹是直线3412x y +=，所以 16．如图，在三棱锥A BCD -中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、CD 中点，且2AD BC ==，EG =AD 与BC 所成的角的大小为_________．【答案】60︒【解析】由三角形中位线的性质可知：EF BC ∥，GF AD ∥，则EFG ∠或其补角即为所求，由几何关系有：111,122EF BC GF AD ====，由余弦定理可得：，则120EFG ∠=︒，据此有：异面直线AD 与BC 所成的角的大小为18012060-︒︒=︒．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，14a =，()212n a n n =+≥． （1）证明：当2n ≥时，2n n S a n =+；（2）若等比数列{}n b 的前两项分別为25,S S ，求{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）见解析．（2）()341nn T =-．【解析】（1）证明：当2n ≥时，()45721n S n =+++⋅⋅⋅++···········3分4=···········5分()2221n n S n n a n ∴=++=+．···········6分（2）解：由（1）知，29S =，···········7分536S =，···········8分 ∴等比数列{}n b 的公比3649q ==，···········9分 又129b S ==，···········10分()()91434114n nn T -∴==--．···········12分18．进入12月以业，在华北地区连续出现两次重污染天气的严峻形势下，我省坚持保民生，保蓝天，各地严格落实机动车限行等一系列“管控令”．某市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的态度，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计，得到如下的22⨯列联表：（1）根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”；（2）为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境染污起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按是否拥有私家车分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少有1人没有私家车的概率． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）在犯错误概率不超过0.001的前提下，不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车”有关；（2）0.8． 【解析】（1）()2222020704090559.16710.828601601101106K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．···········4分 所以在犯错误概率不超过0.001的前提下，不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车”有关．···········6分（2）设从没有私家车的人中抽取x 人，从有私家车的人中抽取y 人， 由分层抽样的定义可知6602040x y==，解得2,4x y ==，···········7分 在抽取的6人中，没有私家车的2人记为12,A A ，有私家车的4人记为1B ，2B ，3B ，4B ，则所有的基本事件如下：{}121,,A A B ，{}122,,A A B ，{}123,,A A B ，{}124,,A A B ，{}112,,A B B ，{}113,,A B B ，{}114,,A B B ，{}123,,A B B ，{}124,,A B B ，{}134,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}214,,A B B ，{}223,,A B B ，{}224,,A B B ，{}234,,A B B ，{}123,,B B B ，{}124,,B B B ，{}134,,B B B ，{}234,,B B B 共20种．···········9分其中至少有1人没有私家车的情况有16种．···········11分 记事件A 为“至少有1人没有私家车”，则()160.820P A ==．···········12分19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BCD △，PAD △都是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且24AD AB ==，CD =（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；（2）E 是AP 上一点，当BE ∥平面PCD 时，三棱锥C PDE -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】（1）因为4AD =，2AB =，BD =所以222AD AB BD =+，所以AB BD ⊥，30ADB ∠=︒，又因为BCD △是等边三角形，所以90ADC ∠=︒，所以DC AD ⊥，·······2分 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，所以CD ⊥平面PAD ，···········4分因为CD ⊂平面PCD ，所以PCD ⊥平面PAD ．···········6分 （2）过点B 作BG CD ∥交AD 于G ，过点G 作EG PD ∥交AP 于E ， 因为BG CD ∥，BG ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BG ∥平面PCD ， 同理可得EG ∥平面PCD ，所以平面BEG ∥平面PCD ，···········7分 因为BE ⊂平面BEG ，所以BE ∥平面PCD ．因为EG PD ∥，所以PE DGPA DA=，在直角三角形BGD 中，BD =30BDG ∠=︒，所以3DG =︒=，所以34PE DG PA DA ==，···········9分在平面PAD 内过E 作EH PD ⊥于H ，因为CD ⊥平面PAD ，EH ⊂平面PAD ，所以CD EH ⊥， 因为PDCD D =，所以EH ⊥平面PCD ，所以EH 是点E 到平面PCD 的距离，···········10分过点A 作AM PD ⊥于M ，则42AM =⨯=由AM EH ∥，得34EH PE AM PA ==，所以EH =，因为142PCD S ∆=⨯⨯=，所以163C PDE V -=⨯=．······12分20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点1,2⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0M 的直线交椭圆C 于,A B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA OB tOP +=，其中,23t ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，求AB 的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）⎛ ⎝⎭． 【解析】（1···········3分 ∴椭圆方程2212x y +=．···········4分 （2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为()2y k x =-，()2222128820k x k x k +-+-=，···········5分 ∴()28120k ∆=->，得212k <，···········6分 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),P x y由OA OB tOP +=···········7分代入椭圆方程得2221612k t k =+，···········8分由23t <<得21142k <<，···········9分 ∴AB ==···········10分 令2112u k =+，则12,23u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0,3AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．···········12分 21．已知函数()ln f x x =，()1g x x =-．（1）求函数()y f x =的图像在1x =处的切线方程； （2）证明：()()f x g x ≤；（3）若不等式()()f x ag x ≤对任意的()1,x ∈+∞均成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1y x =-；（2）见解析；（3）1a ≥． 【解析】（1，∴()11f '=．···········1分 又由()10f =，···········2分得所求切线l ：()()()111y f f x '-=-，即所求切线为1y x =-．···········4分（2）设()()()ln 1h x f x g x x x =-=-+ 令()0h x '=，得1x =，···········5分 得下表：∴()()()max 10h x h x h ≤==，即()()f x g x ≤．···········8分 （3）()1,+x ∀∈∞，()0f x >，()0g x >．（i ）当1a ≥时，()()()f x g x ag x ≤≤；···········9分（ii ）当0a ≤时，()0f x >，()0g x <不满足不等式；···········10分 （iii ）当01a <<时，设()()()()ln 1e x f x ag x x a x =-=--， 令()0e x '=，得下表：∴()()max 110e x e e a ⎛⎫=>=⎪⎝⎭，即不满足等式． 综上，1a ≥．···········12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是 26x ty t ==+⎧⎨⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．【答案】（1）260x y -+=，(222x y -+=；（2）2⎡-⎣．【解析】（1）由 26x ty t ==+⎧⎨⎩，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，···········2分由ρθ=，得2cos ρθ=，所以22x y +=，即(222x y -+=，故曲线C的普通方程为(222x y -+=；···········5分（2）据题意设点)Mθθ，···········8分所以x y +的取值范围是2⎡-++⎣．···········10分23a ∈R ． （1）若()()111f f +->，求a 的取值范围；（2）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式()54f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭；（2）(]0,5． 【解析】（1）()()11111f f a a +-=--+>，···········1分若1a ≤-，则111a a -++>，得21>，即1a ≤-时恒成立，···········2分 若11a -<<，则()111a a --+>，得12a <-，即112a -<<-，···········3分若1a ≥，则()()111a a ---+>，得21->，即不等式无解，···········4分 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．···········5分 （2当(],x a ∈-∞时，()2f x x ax =-+，()2max24a a f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，······7分因为5544y y a a ++-≥+， 所以当5,4y a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦·····9分即2544a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是(]0,5．·····10分。