大工14春《复变函数与积分变换》在线1答案
复变函数与积分变换习题答案
第一章 复数与复变函数1.1计算下列各式: (1) (1)(32);i i +--解: (1)(32)(1)322 3.i i i i i +--=+-+=-+ (2);(1)(2)ii i --解:2(13)3.(1)(2)2213101010i i i i i ii i i i i i +-====+----+-(3)1(1);1z z x iy z -=+≠-+ 解: 2222222211(1)(1)12.11(1)(1)(1)z x iy x iy x iy x y yi z x iy x y x y x y-+--++-+-===++++++++++ 1.3 将圆周方程22()0(0)a x y bx cy d a ++++=≠写成复数形式(即可z 与z 表示,其中z x iy =+).解: 把22,,22z z z z x y x y z z i+-==+=⋅代入圆周方程得: ()()0,222()()20,0.b caz z z z z z d iaz z b ic z b ic z d Az z Bz Bz C ⋅+++-+=⋅+-+++=⋅+++=故其中2,,2.A a B b ic C d ==+= 1.5 将下列各复数写成三角形式.(1) sin cos ;i αα+ 解: sin cos 1,i αα+= 故sin cos cos()sin().22i i ππαααα+=-+- (2) sincos.66i ππ--解: 2arg(sincos )arctan(cot ),666263i ππππππππ--=-=--=-s i n c o s 66i ππ--=2222cos()sin()cos()sin.3333i i ππππ-+-=- 1.7 指出满足下列各式的点z 的轨迹是什么曲线?(1) 1;z i +=解: 以(0,1)-为圆心,1为半径的圆周.(2) 0,zz az az b +++=其中a 为复数,为b 实常数;解: 由题设可知 2()()||0,z a z a b a +++-=即22||||,z a a b +=- 若2||,a b =则z 的轨迹为一点;a -若2||,a b >则z 的轨迹为圆,圆心在a -,若2||,a b <无意义.第二章 解析函数1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因0()()lim z f z z f z z∆→+∆-∆0()Re()Re lim z z z z z z zz∆→+∆+∆-=∆ 0Re Re Re limz z z z z z z z∆→∆+∆+∆∆=∆0Re lim(Re Re )z zz z z z∆→∆=+∆+∆ 000Re lim(Re )lim(Re ),z x y z xz zz z z x i y ∆→∆→∆→∆∆=+=+∆∆+∆ 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0.3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.(1)(,).az bc d cz d++至少有一不为零 解: 当0c ≠时，()az b f z cz d +=+除d z c =-外在复平面上处处解析, dz c=-为奇点,222()()()()()()()()().()()az bf z cz daz b cz d cz d az b cz d a cz d c az b ad cb cz d cz d +''=+''++-++=++-+-==++当0c =时，显然有0d ≠，故()az b f z d +=在复平面上处处解析，且()af z d'=. 5.设()f z 在区域D 内解析,试证: 222222()|()|4|()|.f z f z x y ∂∂'+=∂∂证: 设 222(),|()|,f z u i v f z u v =+=+ 222(),|()|()().u uu u f z i f z x y x y∂∂∂∂''=-=+∂∂∂∂ 而2222222222222222222222222()|()|()()2()()()(),f z u v u v x y x y u u v v u u v v u v uv xx x x y y y y∂∂∂∂+=+++∂∂∂∂⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++++⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦又()f z 解析,则实部u 及虚部v 均为调和函数.故222222220,0.u u v vu v x yx y∂∂∂∂=+==+=∂∂∂∂则22222222()|()|4(()())4|()|.u uf z f z x y x y∂∂∂∂'+=+=∂∂∂∂ 7.设sin ,px v e y =求p 的值使v 为调和函数,并求出解析函数().f z u iv =+ 解: 要使(,)v x y 为调和函数,则有0.xx yy v v v ∆=+=即2sin sin 0,px px p e y e y -=所以1p =±时,v 为调和函数,要使()f z 解析,则有,.x y y x u v u v ==-1(,)cos cos (),1sin ()sin .px pxx pxpx y u x y u dx e ydx e y y pu e y y pe y pφφ===+'=-+=-⎰⎰所以11()()sin ,()()cos .px px y p e y y p e y C p pφφ'=-=-+即(,)cos ,px u x y pe y C =+故(cos sin ),1,()(cos sin ),1.x z xze y i y C e C pf z e y i y C e C p -⎧++=+=⎪⎨--+=-+=-⎪⎩9．求下列各式的值。
复变函数作业答案
=-251
8．化简
(1 i)n (1 i)n2
解：原式
(1
i)
2
1 1
i i
n
2ie
n 2
i
2i n1
第二次作业
教学内容：1.2 平面点集的一般概念 1.3 复变函数
1. 填空题
(1)连接点1 i 与 1 4i 的直线断的参数方程为 z 1 i (2 5i)t 0 t 1
(2) 以 原 点 为 中 心 ， 焦 点 在 实 轴 上 ， 长 轴 为 a ， 短 轴 为 b 的 椭 圆 的 参 数 方 程 为 z a cos t ib sin t 0 t 2
华东理工大学
复 变 函 数 与 积 分 变 换 作 业 （第 1 册）
班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________
第一次作业
教学内容：1.1 复数及其运算
1.2 平面点集的一般概念
1．填空题：
（1）
3 2
,
5 2
,
3 2
5 2
(2)1 cos i sin (0 )
解：1 cos i sin
2 sin
2
[cos(2
2
)
i sin(2
2
)]
2 sin
2
ei(
2
2
)
1
(3)
(cos 5 (cos 3
i sin 5)2 i sin 3)3
.
解：
(cos (cos
5 3
i i
sin sin
5 3
arg( z
2i)
2
且
复变函数与积分变换习题解答
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i ii i 524321----； 解：i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12 解：i i +12 )4sin4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A及答案
机 密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模 拟 试 卷考试形式：闭卷 试卷类型：（A ）☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。
学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、已知iii z +--=131，则=z Re （ ）A 、0B 、21-C 、23-D 、无法确定2、下列函数中，为解析函数的是（ ） A 、xyi y x 222--B 、xyi x +2C 、)2()1(222x x y i y x +-+-D 、33iy x +3、设2,3z i z =+=ω，则=ωarg （ ）A 、3π B 、6π C 、6π-D 、3π-4、2)1()1()31(-+--=i i i z 的模为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、25、=-⎰=-dz z e z z1|2|2（ ） A 、e 2B 、e π2C 、22e πD 、i e 22π6、C 为正向圆周：2||=z ，则=-⎰dz z z e C z2)1(（ ）A 、i πB 、i π2C 、i π-D 、i π47、将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=ω的分式线性变换为（ ） A 、11-+=z z ω B 、zz -+=11ω C 、zz e i-+=112πωD 、112-+=z z eiπω 8、0=z 是3sin zz的极点，其阶数为（ ） A 、1B 、2C 、3D 、49、以0=z 为本性奇点的函数是（ ） A 、zzsin B 、2)1(1-z zC 、ze 1D 、11-z e 10、设)(z f 的罗朗展开式为 +-++-+-+----nz n z z z z )1()1(2)1(11)1(222，则 =]1),([Re z f s （ ）A 、-2B 、-1C 、1D 、2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、=-i33____________________________________2、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰zdz z C3)(_________。
大工20新上《复变函数与积分变换》在线作业1
B: 正确
正确答案: A
(判断题)16: 题面见图片
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)17: 可导与解析是等价的概念。
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)18: 题面见图片
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)19: 扩充复平面中的所谓无穷大是指模为无穷大的唯一一个复数，与实数中的无穷大意义相同。
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)20: 题面见图片
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
B: B
C: C
D: D
正确答案: A
(单选题)10: .
A: A
B: B
C: C
D: D
正确答案: A
(判断题)11: 设z=x+iy满足x-1+i(y+2)=(1+i)(1-i)，则z=3-2i。
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)12: 解析函数在单连域内的积分只与起点及终点有关。
A: 错误
(单选题)1: 题面见图片
A: A
B: B
C: C
D: D
正确答案: C
(单选题)2: .
A: A
B: B
C: C
D: D
正确答案: A
(单选题)3: .
A: A
B: B
C: C
D: D
正确答案: B
(单选题)4:
A: A
B: B
C: C
D: D
复变函数与积分变换习题解答
= 幕级数区—n!C+!..l.._zn
+
I
的收敛半径为R
=1/lim II 玉oo
a
___.斗 !!
a,,
=l114im00
c,, /(n + 1) c11十I /(n+2)
=1/lpl;
幕级数I:nc11z11一）的收敛半径为R
= 1/lim
a
一
all /l�CI)
lim nc" =1/I p I ;
(1+ —1 )”
=lim 00 II千
n n+ 1
= 0;
扣厂 (3) R=1//l1-i-m)00
II
lim1/ 11 11---'>00
+
i
I
=
1/忒
；
恩妇 (4) R=ll�
=l;
:I 匠)I 三叶三 曰勹 CS) R=l/
酝 =II
ch
=II
=I;
皿聂l (6) R=ll�
=l11�im00I ln in I= oo ;
。 I
I�
(n + l)c11+L
故以上三个幕级数有相同的收敛半径。
2 忙 9 设级数f n=O c"收敛，而 11=0 I发散，证明f 11=0 c11z11的收敛半径力l。
3
证明
由级数Len收敛，知幕级数LC11 Z11 在z= l处收敛，由Abel定理知I:c11z11
11=0
11 =0
11=0
习题四解答
1. 下列数列{a }是否收敛？如果收敛， 求出它们的极限：
"
芒， 气）， 二， I) a,,=
复变函数与积分变换解答(0401)
复变函数与积分变换试题解答2004.1.4系别___________班级__________学号__________姓名___________一、填空（每题3分，共24分）1．10)3131(ii -+的实部是21-，虚部是23，辐角主值是32π.2．满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴为25的椭圆，该图形是否为区域 否 . 3．)(z f 在0z 处可展成Taylor 级数与)(z f 在0z 处解析是否等价？ 是 .4．ii -+1)1(的值为 ,1,0)],2ln 4sin()2ln 4[cos(224±=-+-+k i ek ππππ；主值为)]2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-πππi e .5．积分⎰=1||z z dz z e 的值为i π2，⎰==-2||2)2(sin z dz z z π 0 . 6．函数311)(--=z e iz z f 在0=z 处Taylor 展开式的收敛半径是 1 . 7．设)()]([),()]([2211ωωF t f F t f ==F F , 则=*)]()([21t f t f F )]([)]([21t f t f F F ⋅ 其中)()(21t f t f *定义为⎰∞+∞--τττd t f f )()(21 .8．函数zzz f sin )(=的有限弧立奇点=0z 0 ，0z 是何种类型的奇点？ 可去 .二、（6分）设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.解：22332),(,),(y x y x v y x y x u =-=y x yvxy x v y y u x x u 22224,4,3,3=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂ （2分）均连续，要满足R C -条件，必须要222234,43y xy y x x ==成立即仅当0==y x 和43==y x 时才成立，所以函数)(z f 处处不解析； （2分） ,0)))0(0,0(0,0(=∂∂+∂∂='xv ixuf)1(1627)4343()43,43()43,43(i xv ixui f +=∂∂+∂∂=+' （2分）三、（8分）设,sin y e v px =求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数iv u z f +=)(.解：因y e v y e v y e p v y pe v px yy px y px xx px x sin ,cos ,sin ,sin 2-====，要使),(y x v 为调和函数，则有0=+=∆yy xx v v v 即 0s i n s i n 2=-y e y e p px px（4分）所以 1±=p 时，v 为调和函数，要使)(z f 解析，则有 y x v u =， x y v u -=⎰⎰+===)(c o s 1c o s ),(y y e py d x e dx u y x u pxpx x ψy pe y y e pu px pxy sin )(sin 1-='+-=ψ（2分）所以 c y e p py y e p p y px px +--=-='cos )1()(,sin )1()(ψψ 即 c y pe y x u px +=cos ),(，故⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+--=+=++=--1,)sin (cos 1,)sin (cos )(p c e c y i y e p c e c y i y e z f zx zx （2分）四、（10分）将函数13232)(2+--=z z zz f 在有限孤立奇点处展开为Laurent 级数.解：)(z f 的有限孤立奇点为210=z 及11=zz z z z z z f -+-=+--=1121113232)(2 （2分）1）当21210<-<z 时 )21(21221121)(--+--=z z z f∑∞=-+--=0)21(22)21(21n n n z z（2分）2）当+∞<-<2121z ))2(211)(21(1)21(21)(------=z z z z f∑∞=-------=0)21(2211)21(21n n nz z z（2分）3）当2110<-<z )1(2111111211)(-+--=---=z z z z z f∑∞=----=0)1(2)1(11n n n n z z（2分）4）当+∞<-<121z ))1(211)(1(111)(-+----=z z z z z f∑∞=--------=0)1(2)1()1(2111n n n nz z z（2分）五、计算下列各题（每小题6分，共24分）1．⎰=-++=32173)(ξξξξξd zz f ，求).1(i f +'解：因173)(2++=ξξξϕ在复平面上处处解析由柯西积分公式知，在3<z 内， ⎰=++==-=32)173(2)(2)()(ξπϕπξξξϕz z i z i d zz f （3分） 所以 )76(2)(+='z i z f π（2分）而点 i +1在3<z 内，故)136(2]7)1(6[2)1(i i i i f +-=++=+'ππ （1分）2．求出zz ez f 1)(+=在所有孤立奇点处的留数解：函数 zz ez f 1)(+=有孤立奇点0与∞，而且在+∞<<z 0内有如下Laurent 展开式：)1!311!2111)(!31!211(323211 ++++++++=⋅=+zz z z z z e e ezzzz ++++++=z1)!41!31!31!21!211(（3分） 故 ∑∞=+-+==011)1(!1]0,[Re k zz k k es c（2分）∑∞=++-=∞01)1(!1],[Re k zz k k es（1分）3．)0()(2222>+⎰∞+∞-a dx a x x解：2222)()(a z z z f +=，它共有两个二阶极点，且)(22a z +在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点ai ，所以（2分）]),([Re 2)(2222ai z f s i dx a x x π=+⎰∞+∞（1分）a ai z zai i ai z z i ai z aiz 2)(2lim 2])[(lim 232πππ=+='+=→→ （3分）4．dx x⎰+22sin 11π解：由三角函数公式⎰⎰-=-+===========ππ020c o s 32)2c o s 1(211t dtxt x dx I （1分）⎰⎰-=-=-πππ20cos 321cos 321tdtt dt（2分）令ite z =，则zz t iz dz dt 21cos ,2+==，于是⎰⎰==+-=+-=1212161213121z Z dz z z i izdz zz I （1分）被积函数161)(2+-=z z z f 在1=z 内只有一阶极点830-=z ，由公式241]16[1l i m]),([Re 200-='+-=→z z z z f s z z 故由留数定理222412ππ=-=ii I （2分）六、（6分）求上半单位圆域}0Im ,1||:{><z z z 在映射2z w =下的象.解：令θi re z =，则πθ<<<0,1r ϕθρi i e e r z ==222，πθϕρ220,12<=<<=r（3分）故2z w =将上半单位圆域映射为1||<w 且沿0到1的半径有割痕.（3分）2z w =x 11zez=x3134+=zzizizw+-=552iieieiieieizzizzwiziziziz+-+--+=+-+--+=22233233)11()11()11()11(故七、（8分）求一映射，将半带形域0,22><<-yxππ映射为单位圆域.（2分）（1分）（2分）（2分）（1分）八、（6分）设)(z f 在1||<z 内解析，在闭圆1||≤z 上连续，且1)0(=f ，证明：⎰='±=+±1||2))0(2()()](2[z i f zdzz f z z π 证：由于⎰=+±1||)()]1(2[z zdzz f z z⎰=+±=1||22])()1()(2[z dz zz f z z z f⎰⎰==+±=1||1||22)()1()(2z z dz z z f z dz z z f （2分）))0(2(2}])()1[()0(2{202f i z f z f i z '±='+±==ππ （4分）九、（8分）用Laplace 变换求解常微分方程：⎩⎨⎧=='=''-=-'+''-'''2)0(,1)0()0(133y y y y y y y 解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得 ))0()0()((3)0()0()0()(223y Sy S Y S y y S y S S Y S '---''-'--S S Y y S SY 1)())0()((3-=--+ （4分）)3()33(211)()133(223-++-+-=-+-S S S S S Y S S S)1452(123-+-=S S S S2)1)(12(1--=S S S 即 111)1(12)(-+=--=S S S S S S Y（2分） 故 1)]([)(1+==-t e S Y t y L（2分）。
《复变函数与积分变换》试题及答案.
年级专业： 教学班号：学号： 姓名:装订线课程名称：复变函数与积分变换考试时间：110_分钟课程代码：7100031试卷总分：100_分一、计算下列各题（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）1; 2、； 3、'|和它的主值二、（8分）设'，函数'■在•平面的哪些点可导？若可导，求出在可导点的导数值。
三、（10分）证明为调和函数，并求出它的共轭调和函 数。
四、（25分，每小题各5分）计算下列积分:的正向;-de + sin 05.五、（10分）将函数 gm 在下列圆环域内分别展开为洛朗级数1.2.；・伫一15界 ^： M=i? ・的正向;3. ，■:的正向; 4.们；＜：6山「：的正向;(1)(2)六、（10）1、求将上半平面lm（z>0映射到单位圆域，且满足arg r（n =匸■，的分式线性映射，。
IU-1"=—-2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域？「2 （ff（t）--七、（5分）求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。
八、（6分）求’1的拉普拉斯变换。
九、（5分）求的拉氏逆变换。
十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程：一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）1、* _ JT It &(1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + +4 4=16(QDS(-2JT)-F /SII M -2«))=16 (2)3 3、21四、参考答案及评分标准：（每小题 5分，共25分）由柯西-黎曼方程得： '即 '.所以’在 ’可导.三、参考答案及评分标准：（10分）v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “&xJ A 2 dy得,卩二J(-6砂必=-3A y 十 g(y}-r故 -?」；、’；J/'二、参考答案及评分标准：（ 8 分)解： ■异上F ，因为dv ov=乩——=0,——=2y Exd 2u 沪 口W C?j/，所以为调和函数.证明:P V (? u由"M 得3A1 d g\y}= 2- ?A22 四、参考答案及评分标准：（每小题5分，共25分）3115~/ -1-4 Sill 0—+ - 44 2 iz2? + 5J >-2JZ一心2/1(2 d3+24 .因为-上在c 内无奇点,所以:cir = 0r/ -J6(Z4 2fl(2z+ “vsinZ? --- -------2J >42.1-------------------------------- S -------------所以洛朗级数为H m _送JJ-0所以洛朗级数为原式- 六、参考答案及评分标准: 1解：将上半平面 内点• （每小题 5分，共10分）lm （z>0映射到单位圆域 的变换为 为上半平面，所以-，故 ,所以解：边界1： ,..= i =i "丄 “0x 〉n ,忑〔故 羔K ;>= f ^dfV . -uj解：r (s}= Hr + 3sin(20■+ /cos Z] =r 2] + 3i(sin 2/J + Zj/cos 小八 (2)2 3x 2=—十 -------------------------$ S~ + 4 2 b二—+ — ------解：设二也上一在方程的两边取 拉氏变换并考虑初始条件得:，故七、 Z特殊点：作图参考答案及评分标准：（5分）十、参考答案及评分标准：（6分） 3+2八、 参考答案及评分标准：（6分）S 1 + 1I - y (/ 4 1)? 九、 参考答案及评分标准: (5分)解:取逆变换得:。