有理数讲稿
第一讲《有理数》《数轴》
第一讲《有理数》《数轴》引言有理数是我们常见的一类数，包括整数和分数。
它们在数学中具有重要的地位，因为它们可以覆盖我们日常生活中的绝大部分数量关系。
在本讲中，我们将介绍有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法。
一、有理数的定义和性质1.1 定义有理数是可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为零。
整数是有理数的特殊情况，可以看作分母为1的有理数。
有理数可以是正数、负数或零。
1.2 性质有理数有以下性质：•有理数的加法、减法和乘法运算仍然得到有理数。
•有理数的除法运算结果可能是有理数，也可能是无理数（不能表示为两个整数的比值）。
二、有理数的表示方法有理数可以用分数、整数或小数形式表示。
2.1 分数表示法分数是有理数最常见的表示形式，它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的份数，分母表示总共的份数。
分数可以是正数、负数或零。
2.2 整数表示法整数是没有小数部分的有理数。
它可以是正整数、负整数或零。
2.3 小数表示法小数是有理数的一种特殊表示形式。
它可以有有限的数字部分和无限的循环部分，也可以是有限的数字部分。
三、数轴的概念和使用方法3.1 数轴的定义数轴是由一条直线和一个固定原点组成的图形，用来表示数的大小和位置关系。
原点通常表示零，正方向表示正数，负方向表示负数。
3.2 数轴的使用方法数轴可以用来表示有理数的位置和大小关系。
我们可以通过在数轴上画点、画线段等方式来表示有理数的位置。
数轴上两个数之间的距离，即两个数的差的绝对值，表示它们之间的差别大小。
有理数是我们日常生活中非常重要的数，它包括整数和分数。
有理数可以用分数、整数或小数形式表示，可以在数轴上表示它们的位置和大小关系。
了解和掌握有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法，对我们的数学学习和实际应用都非常有帮助。
参考文献：•《数学教学参考书》•《高中数学学科教学大纲》。
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03
有理数的混合运算
顺序法则
总结词
在进行有理数的混合运算时，应遵循运算的顺序法则，即先进行乘除运算，再进 行加减运算。
详细描述
在数学中，有理数的混合运算需要遵循一定的顺序，即先进行乘除运算，再进行 加减运算。这是由于乘除运算是全域性的，而加减运算不是。因此，在进行混合 运算时，必须先完成乘除运算，然后再进行加减运算。
有理数的性质
总结词
有理数具有封闭性、有序性、可数性等性质。
详细描述
有理数具有封闭性，即有理数的四则运算结果仍为有理数。有理数具有有序性 ，可以比较大小和排列。有理数还具有可数性，即有理数集与自然数集之间存 在一一对应关系。
有理数在数学中的地位
总结词
有理数是数学中基本且重要的概念之一，是解决实际问题的重要 工具。
04
有理数的应用
在日常生活中的应用
80%
购物时找零钱
在购物时，我们经常使用到有理 数，如找零钱，计算折扣等。
100%
测量和计算
在日常生活中，我们经常需要进 行测量和计算，如长度、重量、 时间等，这些都需要用到有理数 。
80%
金融计算
在金融领域，如股票交易、保险 计算等，都需要用到有理数进行 计算。
有理数可以用于描述几何图形的长度、面积和体 积等属性。
有理数在数学中的未来发展
数学教育改革
01
随着数学教育的发展，有理数作为基础数学知识，将在数学教
育中得到更加广泛的重视和应用。
数学与其他学科的交叉
02
有理数作为数学的基础概念，将进一步与其他学科进行交叉融
合，促进跨学科的发展。
数学研究的新领域
03
随着数学研究的不断深入，有理数理论将进一步发展，并应用
有理数详细讲义
- 1 -有理数一、正数与负数：1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。
为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。
而负数前面的“－”号不能省略。
3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如－a 不一定是负数，因为字母a 代表任何一个有理数，当a 是0时，－a 是0，当a 是负数时，－a 是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。
二、有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数。
整数包括三类：正整数、零、负整数。
分数包括两类：正分数和负分数。
注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。
按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 三、数轴：1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。
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03
有理数的混合运算
运算顺序
先算乘方或开方，再 算乘除，最后算加减 。
同一级运算按从左到 右的顺序进行。
如果有括号，先算括 号里面的，再算括号 外面的。
运算律
加法交换律：a+b=b+a
分配律：a(b+c)=ab+ac 乘法结合律：(ab)c=a(bc)
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba
几何应用
有理数在几何学中常被用于描述 长度、面积和体积等几何量。
借助有理数的运算，可以方便地 求解几何量之间的关系，如计算 两点之间的距离、三角形或四面
体的面积和体积等。
有理数在几何作图中的应用也十 分广泛，如绘制直线、圆、椭圆 等图形时，有理数可以提供重要
的数学依据。
实际应用
有理数在实际生活中有着广泛的应用 ，如物理学中的力学、热学、电磁学 等都离不开有理数的运算。
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目录
• 有理数的定义 • 有理数的运算 • 有理数的混合运算 • 有理数的应用 • 有理数的扩展知识
01
有理数的定义
整数
整数的分类
整数可以分为正整数、负整数和 零。
整数的性质
整数具有封闭性、可数性等性质。
整数的运算
整数可以进行加、减、乘、除等运 算。
分数
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分数的定义
在信息科学领域，有理数被用于计算 机编码、信息压缩、加密和纠错等技 术中。
在金融领域，有理数被用于计算利息 、汇率、投资回报等经济指标。
在统计学中，有理数被用于描述数据 分布特征、进行假设检验和回归分析 等。
05
初中生有理数说课稿（精选5篇）
初中生有理数说课稿（精选5篇）初中生有理数说课稿（精选5篇）作为一名人民教师，很有必要精心设计一份说课稿，借助说课稿可以更好地组织教学活动。
说课稿应该怎么写呢？下面是小编精心整理的初中生有理数说课稿（精选5篇），供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
初中生有理数说课稿1一、说教材1、教材的地位及作用。
有理数的运算是本章的重点，是学好后续内容的重要前提。
本节课是在学习了有理数乘法的基础上进行的，是熟练进行有理数运算的必备知识，它与有理数的其它运算形成了一个完整的知识体系。
整节内容渗透了从一般到特殊、化未知到已知、用已知求新知的数学思想方法。
通过本节学习让学生感受数学学习的乐趣，体验数学思维的力量，发展学生自主创新的意识。
2、教学目标。
根据学生已有的认知基础及本课教材的地位及作用，依据课程标准，我确定本节课的教学目标为：（1）知识技能方面：理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则，会求有理数的倒数，会进行有理数的除法运算。
（2）过程与方法方面：通过有理数除法法则的导出及运算，让学生体会转化思想，感知数学知识的普遍性、相互转化性。
（3）情感态度方面：通过生生合作，使学生体会在解决问题中与他人合作的重要性，通过积极参与教学活动，让学生充分体验问题的探索过程，培养学生的探究意识，激发学生学好数学的热情。
3、教学重点、难点在整个知识系统中，学生能够熟练地进行有理数的运算是很重要的，因此本节课的教学重点确定为熟练进行有理数的除法运算。
勤思、善思，是学好数学的必要条件。
本节内容是在有理数乘法的基础上进行的，有理数的除法可以利用乘法进行，基于此，教科书中给出了两种法则，对初一学生来说，理解这两种法则有一定的难度，因此，本节课的教学难点定为：理解有理数的除法法则。
二、说教法为了突出重点、突破难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我采用的教学方法是：针对初一学生的思维依赖性强，思维活跃，但抽象概括能力相对较弱的特点，本节课充分借助多媒体来增强直观效果。
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重量测量中的应用
总结词
有理数在重量测量中同样扮演着重要的角色 ，它使我们能够准确地表示和比较物体的重 量。
详细描述
在购物时，我们经常需要比较不同商品之间 的重量，以确定哪个更重或更轻。这时，我 们通常会使用天平或电子秤等工具来测量商 品的重量，而这些工具的读数通常是有理数 。通过比较有理数的大小，我们可以准确地 比较不同商品之间的重量。
联系
有理数和无理数都是实数的子集，实数包括有理数、无理数和无穷小数
等。有理数和无理数在一定条件下可以相互转化，例如开方运算可以将
有理数转化为无理数，反之亦然。
THANKS
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有理数的性质
总结词
有理数具有一些基本的性质，如加法、减法、乘法和除法的封闭性。
详细描述
有理数可以进行加法、减法、乘法和除法运算，并且运算结果仍然是有理数。例如，两个有理 数相加、相减、相乘或相除，其结果仍然是有理数。此外，有理数还有序的性质和稠密的性质 。
有理数在数学中的地位
总结词
有理数在数学中具有重要地位，是数学的基础和重要组成部分。
除法运算
总结词
有理数除法运算的基本法则
详细描述
有理数的除法运算可以通过乘法来实现，即除以一个数等于乘以这个数的倒数。此外，除以一个数等 于减去这个数与被除数的乘积也是除法运算的重要法则。
03
有理数的混合运算
顺序法则
总结词
先乘除后加减，同级运算按照从左到 右的顺序进行。
详细描述
在进行有理数的混合运算时，应先进 行乘除运算，再进行加减运算。对于 同级的运算，如加法或减法，应按照 从左到右的顺序进行，以避免混淆和 错误。
减法运算
总结词
有理数减法运算的基本法则
有理数课件ppt课件
有理数的乘法运算可以表示为 a × b = c，其中 a 和 b 是两个有 理数，c 是它们的积。在进行乘 法运算时，应将被乘数 a 和乘数 b 相乘，得到一个新的有理数 c 。
有理数的除法运算
总结词
有理数的除法运算是将一个有理数除以另一个有理数，得到一个新的有理数。
详细描述
有理数的除法运算可以表示为 a / b = c，其中 a 和 b 是两个有理数，c 是它们的商。在进行除法运 算时，应将被除数 a 除以除数 b，得到一个新的有理数 c。
有理数的减法运算
总结词
有理数的减法运算是两个有理数相减，得到一个新的有理数。
详细描述
有理数的减法运算可以表示为 a - b = c，其中 a 和 b 是两个有理数，c 是它们的差。在进行减法运算时，应将 被减数 a 放在减数 b 的上方，然后进行相减，得到一个新的有理数。
有理数的乘法运算
总结词
有理数的乘法运算是将两个或多 个有理数相乘，得到一个新的有 理数。
详细描述
距离是空间几何的基本概念之一，它可以通 过有理数进行测量和表示。在现实生活中， 我们经常需要测量和表示各种距离，例如公 路里程、航空里程等。这些距离的测量和表 示都需要用到有理数。
时间的测量与表示
总结词
有理数在时间的测量与表示中有着广泛的应 用。
详细描述
时间是有理数的一个重要应用领域。时间的 测量和表示需要用到日、时、分、秒等单位 ，这些单位都是基于有理数进行定义的。此 外，在金融领域，利息的计算也需要用到有
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加法
有理数的加法运算满足交换律 和结合律。
减法
有理数的减法运算满足交换律 和结合律。
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汇报人：可编辑 2023-12-23
目录
• 有理数的定义与性质 • 有理数的运算 • 有理数的混合运算 • 有理数的应用 • 有理数的扩展知识
01
有理数的定义与性质
有理数的定义
总结词
有理数是可以表示为两个整数之 比的数。
详细描述
有理数包括整数和分数，它们都 可以表示为两个整数之比。整数 可以看作分母为1的有理数。
乘方的性质
乘方运算具有一些基本性质，如 $a^{m+n}=a^mtimes a^n$， $(a^m)^n=a^{mn}$等。
有理数的开方运算
开方的定义
开方运算是指求一个数的平方根 或立方根等，表示为根式形式。
例如，$sqrt{16}=4$。
开方的性质
开方运算具有一些基本性质，如 $sqrt[n]{a^n}=a$，
有理数的性质
总结词
有理数具有封闭性、有序性、对称性和稠密性等性质。
详细描述
有理数集是一个封闭的集合，即对于任何两个有理数，都可以通过加、减、乘、除等运算得到另一个有理数。有 理数集是有序的，可以比较大小并建立大小关系。有理数集具有对称性，即对于任意一个有理数，都存在一个相 反数。有理数集是稠密的，即在任意两个不相等的有理数之间，都存在另一个有理数。
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有理数的运算
加法运算
总结词
有理数加法运算的基本规则
详细描述
有理数的加法运算可以通过将绝对值相加，然后根据同号或异号来决定结果的符 号。例如，两个正数相加，结果仍然是正数；两个负数相加，结果仍然是负数； 一个正数和一个负数相加，结果的正负取决于正数的数量。
减法运算
总结词
有理数减法运算的基本规则
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有理数
一、选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A 、0没有相反数
B 、任何数的绝对值都是正数
C 、负数的绝对值都是正数
D 、相反数是它本身的是正数和零
2、如果两个有理数的积是正数，和也是正数，那么这两个有理数（ ）
（A ）同号，且均为负数 （B ）异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大
（C ）同号，且均为正数 （D ）异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大
3、计算32a a ⋅得（ ） （A ）5a （B ）6a （C ）8a （D ）9a
4、计算()23x 的结果是（ ） （A ）9x （B ）8x （C ）6x （D ）5x
5、我国拟设计建造的长江三峡电站，估计总装机容量将达16780000千瓦，用科学记数法表示总装机容量是（ ）
（A ）4101678⨯千瓦 （B ）61078.16⨯千瓦 （C ）710678.1⨯千瓦 （D ）8101678.0⨯千瓦
6、已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ）
A ．b ab <
B ．b ab >
C ．0>+b a
D ．0>-b a
7、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8、已知有理数c b a ,,在数轴上的对应的位置如下图：则b a c a c -+-+-1化简后的结果是（ ）
A ．1-b
B ．12--b a
C ．c b a 221--+
D ．b c +-21 9、如图，数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C ．若点C 表示的数为
1，则点A 表示的数为（ ）
Ａ．7
Ｂ．3 Ｃ．3- Ｄ．2- 10、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数d c b a ,,,且102=-a d ，那么数轴的原点应是（ ）
A ．A 点
B ．B 点
C ．C 点
D ．D 点
11、当6-<a 时，化简||3|3|a +-的结果为 （ ）
(A)6--a (B)a +6 (C)a - (D)a
12、不相等的有理数c b a ,,在数轴上对应点分别为A ，B ，C ，若c a c b b a -=-+-，那么点B （ ）
A ．在A 、C 点右边
B ．在A 、
C 点左边 C ．在A 、C 点之间
D ．以上均有可能
13、设11++-=x x y ，则下面四个结论中正确的是（ ）
A ．y 没有最小值
B ．只一个x 使y 取最小值
C ．有限个x （不止一个）使y 取最小值
D ．有无穷多个x 使y 取最小值
14、如图，有理数b a ,在数轴上的位置如图所示： 则在4,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 中，负数共有（ ） A ．3个 B ．1个 C ．4个 D ．2个
15、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 -10a -2b 1
O a b
O a b
-1c 1
0 A 2 B 5 C D C B A
16、如果022=-+-x x ，那么x 的取值范围是（ ） A ．2>x B ．2<x C ．2≥x D ．2≤x
17、b a ,是有理数，如果b a b a +=-，那么对于结论（1）a 一定不是负数；（2）b 可能是负数，其中（ ）
A ．只有（1）正确
B ．只有（2）正确
C ．（1）（2）都正确
D ．（1）（2）都不正确
18、已知c b a ,,都不等于零，且abc
abc c c b b a a x +++=，根据c b a ,,的不同取值，x 有（ ） A ．唯一确定的值 B ．3种不同的值 C ．4种不同的值 D ．8种不同的值
19、满足b a b a +=-成立的条件是（ ） A ．0≥ab B ．1>ab C ．0≤ab D ．1≤ab
二、填空题
1、计算：()()()200021111-+-+- =_________。
2、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a
3、已知()02|4|2
=-++b a a ，则b a 2+=_________。
4、________________________范围内的有理数经过四舍五入得到的近似数3.142。
5、已知有理数c b a ,,满足1||||||=++c c b b a a ，则=|
|abc abc ____________。
6、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。
7、若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是 。
8、数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2=AB ，那么x 为 ；
9、若52<<x ，则代数式x x x x x x +-----225
5
的值为 。
10、若0>ab ，则
ab ab
b b a a -+的值等于 。
11、计算：（1）1999
19971971751531⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯= ； （2）()()()()[]
⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-÷-+--⨯-243431622825.0= 。
12、若a 与b -互为相反数，则ab
b a 199********
2+= 。
13、计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++989798
3981656361434121= 。
14、计算：10987654322222222222+--------= 。
15、99
98,19991998,9897,19981997----
这四个数由小到大的排列顺序是 。
1、2232(2)|3.14|| 3.14|(1)ππ-+----
--- 2、{}235324[3(2)(4)(1)]7-⨯-+⨯-⨯---÷--
3、1111142870130208++++
4、222133599101
+++⨯⨯⨯
5、()000000164.05700006.019.000036.07.5⨯-⨯-⨯
6、()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-÷-+-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-2423
431625.6134313825.0
7、11111120072006200520041232323-+-+- 8、1111(1)(1)(1)(1)2342006-⨯-⨯-⨯⨯-
9、1111111111(1)()(1)2319962341997231997
----⨯++++----- 1111()2341996⨯++++
10、3323200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001
-⨯+----÷++-
1、已知d c b a ,,,为有理数，在数轴上的位置如图所示： 且,64366====d c b a 求c b a b d a -+---22323的值。
2、已知c b a ,,是非零有理数，且0,0>=++abc c b a ，求
abc
abc c c b b a a +++的值。
3、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。
5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c
++=，求||abc abc 的值。
4、已知d c b a ,,,是有理数，16,9≤-≤-d c b a ，且25=+--d c b a ，求c d a b ---的值。
5、已知n m ,互为相反数，b a ,互为负倒数，x 的绝对值等于3，求()()()20032001231ab x n m x ab n m x -++++++-的值
6、已知022=-+-a ab ，求
()()()()
()()2006200612211111+++⋅⋅⋅+++++++b a b a b a ab 的值
O a b d c。