2009-2010第二学期线性代数试卷A参考答案

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线性代数考试试卷及参考答案(A卷)

,,t α是AX t t c α++仍t c ++= .满足条件3.m n ⨯矩阵A ()12,,,n ααα=，方程组=AX B 有解的充要条件是（）.()A 12,,,n ααα线性无关； ()B 12,,,,n B ααα线性相关； ()C 12,,,,n B ααα线性无关； ()D 12,,,n ααα与12,,,,n αααB 等价.4. 设A 是n n ⨯矩阵，则下列结论错误的是（）.()A AX =B 无解时，0=A ； ()B AX =B 有无穷多个解时，0=A ；()C 若0=A ，则AX =B 无解； ()D AX =B 有惟一解时，0≠A .5.二次型2122213212x x x x )x ,x ,x (f -+=的矩阵是（）.（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021；（B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111；（C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000010021；（D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000011011.三.计算下列各题（本题满分为55分）1. 已知行列式512345222113124527,1112243150D == 求414243A A A ++和4445A A +. 其中4(1,2,3,4,5)j A j =为5D 中第4行第j 列元素的代数余子式.（本题满分为10分）；2.（本题满分为15分）已知矩阵1111222233334444⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,求100A ...3.（本题满分为15分）问a b 、取何值时123423423412340221(3)223231x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩无解？有唯一解？有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解..4.（本题满分为15分）已知20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与20000001B y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，（1）求x 与y ；（2）求一个满足1P AP B -=的可逆阵P .四.证明（本题满分为10分）设A 是n 阶矩阵，证明：对于任意的B ，=AX B 都有解的充分必要条件是0≠A .线性代数试题答案与评分标准一、填空题1、62、-1283、(),i j E4、15、0k > 二、选择题1、B2、B3、D4、C5、D 三、计算题1、由已知条件得 41424344454142434445(111)(22)27,(222)(11)0.A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⎩ ………………(5分）解方程得41424344459;18.A A A A A ++=-+= ………………(10分）2.将A 写成两个矩阵的乘积，即()11111222221111,3333344444⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ……（5分）故 ()()()100111222111111111111.333444⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ………………（10分）由于()12111110,34⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则 ()10099999911111222221011111010.3333344444⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A ……（15分）………………（15分）3、11110111100122101221(/)012(3)2002(2)01323100210B A b a b a b a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥----+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦111101111001221012210021000210002(2)01000(1)(2)1a a a b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-+---+⎣⎦⎣⎦（5分） 2,1a b =≠-且无解；2a ≠有唯一解；2,1a b ==-且有无穷多解。

线性代数测试试卷及答案

线性代数测试试卷及答案线性代数（A 卷）⼀﹑选择题(每⼩题3分,共15分)1. 设A ﹑B 是任意n 阶阵,那么下列等式必成⽴的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+2. 如果n 元齐次线性程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )(A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4. 设实⼆次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ??= ? ?-的矩阵为A ,那么( )(A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ?-?? (D) 1001A ??=5. 若阵A 的⾏列式0A =，则( ) (A) A 的⾏向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的⾏向量组线性相关,列向量组线性⽆关 (C) A 的⾏向量组和列向量组均线性⽆关 (D)A 的列向量组线性相关,⾏向量组线性⽆关⼆﹑填空题(每⼩题3分,共30分)1 如果⾏列式D 有两列的元对应成⽐例,那么该⾏列式等于；2. 设100210341A -?? ?=- ? ?-??，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ；3. 设α,β是⾮齐次线性程组AX b =的解,若λαµβ+也是它的解, 那么λµ+= ；4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；5. 设A 为正交矩阵,则A = ；6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则⾏列式222111ab c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关，则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为； 9. 若⼆次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的，则t 的取值围为；10. 设A 为n 阶阵,且满⾜2240A A I +-=,这⾥I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题（每⼩题9分，共27分）1. 已知210121012A ?? ?= ? ，100100B ?? ?= ? ???，求矩阵X 使之满⾜AX X B =+.2. 求⾏列式1234234134124123的值.3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的⼀个最⼤⽆关组和秩.四﹑(10分)设有齐次线性程组123123123(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=??-++=??++-=? 问当λ取值时, 上述程组(1)有唯⼀的零解﹔(2)有⽆穷多个解,并求出这些解. 五﹑(12分)求⼀个正交变换X PY =,把下列⼆次型化成标准形:222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.六﹑(6分)已知平⾯上三条不同直线的程分别为123: 230,: 230,: 230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于⼀点的充分必要条件为0a b c ++=.线性代数（A 卷）答案⼀﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A⼆﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-16. ()()()c a c b b a ---7. 08. 111,,23---9. 405t -<< 10. 1142A I +三﹑1. 解由AX X B =+得1()X A I B -=-. (2分) 下⾯求1()A I --. 由于110111011A I ?? ?-= ? ???(4分)⽽1()A I --=011111110-?? ?- ? ?-??. (7分)所以10111001()11101111100011X A I B --?????? ??? ?=-=-=- ??? ? ??? ?--??????. (9分)2. 解1234234134124123=10234103411041210123123413411014121123= (4分) 123401131000440004-=-- (8分) 160= (9分) .3. 解由于3112341234011301131301053307330733r r ------ - ------324212345011300212700424r r r r -??---+ ?--?? 43123401132002120000r r -??-- +(6分) 故向量组的秩是 3 ，123,,ααα是它的⼀个最⼤⽆关组。

20101011第二学期线性代数试卷A卷答案

线性代数2010-2011-2-A 卷答案一、选择题（4分×5＝20分）1．C ； 2.B ； 3.D ； 4.A ； 5.A 。

二、填空题（4分×5＝20分） 1.38； 2. 01≠+lm ； 3. ２； 4. 1-n 5. 3>k 。

三、综合题1.解 =D 3214214314324321321121411431432110= ……………………..…..………………（5分） 113013103110432110---==11313131110---………………………………….……..(8分) 40480431110---=()4484110---⨯=160= …………………………………（10分）2.解由B A E AB +=+2得E A B AB -=-2 ()()()E A E A B E A +-=-………………………………（5分）01001010100≠-==-E A E A -∴可逆。

……………………………（7分）E A B +=∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201030102 …………………………………….……（10分）3.解()4321αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=600211241103135312−→−r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----600210313531211241−→−r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----13101310131011241−→−r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000000131011241…………………………………（6分）()24321=∴ααααR ……………………………………………………………………（8分）∴1α，2α(或31,αα，或41,αα……)即为该向量组的一个最大无关组…….……（10分）（注：向量组的最大无关组答案不惟一）4.解()b A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=λλλλ11131110111−→−r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++01113111111λλλλ −→−r()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----+λλλλλλλλλλ12030111 −→−r()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---+λλλλλλλλλ3130030111…………………………………（6分）（1）当0≠λ且3-≠λ时，()()3,==b A R A R ，方程组有惟一解；…………… （8分）（2）当λ0=时，()<=1A R ()2,=b A R ，方程组无解；……………………… （10分）（3）当3-=λ时，()()2,==b A R A R ，方程组有无穷多解 ………………… （12分）.这时，()b A ,−→−r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000063303211−→−r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000021101101 则 ⎩⎨⎧-=-=,2,13231x x x x ，令c x =3，得方程的通解为即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021111321c x x x ，（∈c R ） ……………………………………………（15分）5.解（1）()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=321321321011101110,,x x x x x x x x x f ；………………………………（3分）（2）二次型矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110A ，λλλλ-----=-111111E A ＝λλλλ-----11111011111101)1(----=λλλ ()01211011λλλλ+----=＝()λλλ+---1211＝()()()211++--λλλ＝()()212+--λλA ∴的特征值为：121==λλ； 23-=λ …………………………………（5分）当 121==λλ时解方程 ()0=-x E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000000111111111111r E A 。

(完整版)线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。

设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ）（A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。

如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。

如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。

设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于；2。

设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解，那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。

设A 为正交矩阵,则A = ；6。

设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。

2010线性代数答案

010线性代数期末试题及参考答案一．解答：1．（F ）（）2．（T ）3．（F ）。

如反例：，。

4．（T ）（相似矩阵行列式值相同）5．（F ）二．解答：1．选B 。

初等矩阵一定是可逆的。

2．选B 。

A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关； B 中的向量组与，，等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。

3．选C 。

由，)。

4．选D 。

A 错误，因为，不能保证；B 错误，的基础解系含有个解向量；C 错误，因为有可能，无解；D 正确，因为。

5．选A 。

A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个对角矩阵。

三．解答：1．（按第一列展开） 2．；（=）AA n λλ=100010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭000010001B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1α2α3α052=-+E A A ⇒()2232()3A A E E A E A E E +-=⇒+-=()112()3A E A E -⇒+=-n m <()(|)R A R A b =0=Ax ()A R n -()(|)1R A n R A b n =<=+b Ax =()R A n =,P Q 1112(,,,)n PAP diag QBQ λλλ--== ,A B ()!11n n +-3153*A 3233A3．相关（因为向量个数大于向量维数）。

因为，。

4．。

因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。

5．（四．解答：1．解法一：。

将与组成一个矩阵，用初等行变换求。

=。

故。

解法二：。

，因此。

2．解：，，。

124,,ααα3122ααα=+124| |0A ααα=≠()()TTk 42024321--+()3=A R 1322ηηη-+6=a ())02=⇒=A A R AB B A =+⇒()1()A E B A B A E A --=⇒=-A E -A (|)A E A -1(|())E A E A --()|A E A -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221121243233121120)(31r r --⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛22112124323310000121313,r r r r -- ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12112014323010000123r r - ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121120222110100001322r r - 100001011222001325⎛⎫⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭3r - 100001011222001325⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭23r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--523100301010100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523301100B AB B A =+⇒()1()A E B A B A E A --=⇒=-1021101()332113121326A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪-==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1001()103325B A E A -⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪⎪-⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------==111111*********1T A αβA A 42-=()()11()()()()()()44n n n T T T T T T T T A Aαβαβαβαβαβαβαβαβ--===-=-3．解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。

2009-2010学年第2学期线性代数B1期终考试试卷

2009-2010学年第2学期线性代数B1期终考试试卷西南交通大学 2009－2010学年第(二)学期考试试卷课程代码 2100024 课程名称线性代数B 考试时间 120 分钟意：1．答题前，请在密封线内清楚、正确地填写班级、学号、姓名；2．请将判断题、填空题和选择题的答案填写在指定的位置，写在其它地方不得分。

一、判断题（每小题 3 分，共 12 分；正确的打“√”，错误的打“×” ）1、若向量组12,,,r ααα 线性无关，则向量组12,,,m ααα ()r m > 线性无关。

（）2、()n n nA B A B =。

（）3、设12,λλ是对称矩阵A 的两个相同的特征值，12,αα是对应于12,λλ的特征向量，则1α和2α一定线性相关。

（）4、1210,1,2,,{(,,,)|}nTn i i i x x R i n V x x x x ==∈===∑是向量空间。

（）二、填空题（每空3分，共15分）5、求函数211()13121xf x x x -=-+中2x 的系数为；6、设(123),(321)Tαβ==，则 101()αβ= ；7、已知四阶行列式1235567512450125D =--，则 12223242A A A A +++= ；8、若n 元非齐次线性方程Ax b =有无穷多解，则它对应的齐次线性方程0Ax = ；（填写“只有零解”或“有非零解”）9、设A 为n 阶方阵，且280A A E +-=，则()12A E--= 。

三、选择题（每小题3分，共18分）10、设 642011111x y xx y +=+-，则（）（A ） 410x y == （B ） 104x y == （C ） 11x y == （D ） 01x y ==11、矩阵10020000103001004A= ? ? ? ??，则 1A -=（）（A ） 100210031004?? ? ? ? ? ?（B ）100200131004（C ） 100001010?? ? ? ??（D ） 10021003100412、设 A B 、均为n 阶方阵，下列各式正确的是( ).(A) ||||A A λλ=； (B) 111()A B BA---=；(C) ()TTTA B B A =； (D)||||||A B A B +=+.13、设3阶可逆方阵A ，且12A =，则1*(2)5A A--=（）；（A ） 4 （B ） -4 （C ） 16 （D ） -16 14、已知 3 阶方阵A 的特征值为 1，-2，3，则2*A A +=（）;（A ） -245 （B ）245 （C ）49 （D ）-35 15、设矩阵1234(,,,),A =αααα其中234,,ααα线性无关，且12332ααα=-，1234234βαααα=+++，则A X β= 的通解为( ).(A) 11322314x c c R ??=+∈ ? ?- ? ? ? ????? (B) 11322304x c c R ???? ? ?-=+∈ ? ? ? ? ? ?????(C) 14332201x c c R ???? ? ?=+∈ ? ?- ? ? ? ???(D) 11223344x c c R ???? ? ? ? ?=+∈ ? ? ? ???四、计算题（48分）16、计算四阶行列式 43111131111311113D =（6分）17、设矩阵A 和B 满足关系式2A B A B =+，其中300040005A ??= ? ??，求矩阵 B 。

完整版)线性代数试卷及答案

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

《线性代数》试卷A及答案

《线性代数》试卷A适用专业：试卷类型：闭卷考试时间：120分钟总分100分考试日期：一.选择题（2分×6=12分）1.排列4 1 3 2 5 的逆序数为（） A.4 B.1 C.3 D.22. 设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则13-A 必有特征值（）A.021λ B. 023λ C.30λ D. 20λ 3. 设A 为n 阶可逆阵，则下列成立的是( ) A.112)2(--=A A B. 11)2()2(--=T T A AC. [][]1111)()(----=TTA A D.[][]TTT AA 111)()(---=4.如果333231332221131211a a a a a a a a a =d,则行列式131211232221333231222333a a a a a a a a a ---=( )A. –6dB. 6dC. 4dD. –4d5．设A 为3阶方阵，且2=A ，则A 2=（） A.4 B.8 C.16 D.216.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11a α，且αA 与α线性相关，则=a （）。

A.1-B.1C. 2D.3二．填空题（2分×11=22分）1．设A 、B 均为3阶方阵，且|A |=3，|B |=-2，则|AB |=2. 设A 为方程组⎩⎨⎧=+=+02121x x x x λλ有非零解,则λ=3．已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则方阵2A 的特征值是、、4.向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321,211的正交化向量为5. A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321,B=[1,2,3],则BA= 6．设32212221321424),,(x x x x x x x x x f -++-=，则二次型矩阵为7.设y x ,为实数，则当=x ，且=y 时，010100=---yx y x8.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x A 112与⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λ31相似，则=x 三. 计算题：（总共66分）1.计算 600300301395200199204100103=D （6分） 2.求13211A -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（4分）院系________________ 姓名_____________ 班级________________ 序号_______________3．设3351110243152113-----=D ,(1)求行列式D的值，(2)求4443424123A A A A +-+ （12分）4.讨论λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 有：1）唯一解； 2）无解； 3）无穷多解？此时求出其通解（12分）5．求矩阵E A 2-的逆矩阵，其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300041003 （ 10分）7．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101121002A 。

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1
2009-2010 第二学期线性代数试题A参考答案
一．
1．（D）；2．（C）；3．（A）；4．（D）；5（B）。
二．1．2；2．21；3．1或3；4．0；5. 24。
三．

1．10110111011011111111111111114321aaaaaaccccaaaa

101000110000 4321a
a
a
a
a
rr

rr

4

001100aa

aaac展开按

2．由分块法可求得

8100000212300021250000011000431A 












81000
212

0
232

021
163

1T
BA

3．证：由32AEAA得：OAAA2223
改写为EEAAA2223
即EEAAAE2，则AE可逆
且EAAAE21
4．解：设存在321,,kkk，使得332211kkk，即











23213213211101kkk
kkk
kkk
2

其系数行列式31111111112
（1）当0且3时，方程组有惟一解，即可由321,,线性表示，且
表示惟一。
（2）当0时，方程组是齐次线性方程组，由于系数行列式等于零，可由

321
,,

线性表示，但表示不惟一。

5．解：（1）由OBAB2及2BR知，齐次方程02xEA的基础解系
有2个线性无关的解向量，
即2是矩阵A的二重特征值，且有2个线性无关的特征向量，

由02EAEA知，1和2也是A的特征值，故A的特征值为

2,1,23221

-

（2）由于2有两个线性无关的特征向量，且不同的特征向量一定线性无关，因
此A有4个线性无关的特征向量，故A可以对角化。

（3）EA3的特征值为5,2,1,1，则103EA
6.证明：法一
设存在s,,,,21使得02211ss，则

022112211ssssAAAAA

由题设可得 siAbAi,,2,10,，
即0b，由于0b，则0，即02211ss。
由于
s,,,21

是齐次线性方程组的基础解系，必线性无关

则
021

s

，因此s,,,,21线性无关。

法二：反证法
假设
s,,,,21

线性相关，由于s,,,21是齐次线性方程组的基础解系，

必线性无关，则可由
s,,,21

线性表示。

则存在一组数s,,,21，使得ss2211
3

两边同左乘矩阵A，得：ssAAAA2211
由题设 siAbAi,,2,10,，
得0b，矛盾。因此
s,,,,21

线性无关。

7．解（1）二次型323121232221321222,,xbxxxxaxxxxxxxf的矩阵








11111bbaaA
-

由于其标准型的矩阵210B，显然有0BA。
则ba，又1是A的特征值，即0EA，得0ba。
（2）矩阵A有3个特征值2,1,0，

由00XEA，得A的一个特征向量210211P

由0XEA，得A的一个特征向量0102P
由02XEA，得A的一个特征向量210213P

令2102101021021P即为所求正交变换矩阵。