2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}240,15A x x x B x x =-<=<<则A B =U （ ） A ．()0,5 B ．()1,5C ．()1,4D ．()4,5【答案】A【解析】求出集合A 、B,利用交集的运算即可得到结论． 【详解】解：因为{}{}24004A x x x x x =-<=<<,{}15B x x =<<,所以{05}A B x x =<<U ,即()0,5x ∈. 故选：A 【点睛】本题考查交集及其运算,求出集合A,B 是解决本题的关键．2．若向量()()1,2,,2a b x =-=r r ，且a b r r ⊥，则x =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】根据向量垂直的坐标公式，即可代值计算. 【详解】因为a b r r ⊥，故可得0a b ⋅=r r ，即40x -=，解得4x =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，属基础题. 3．若幂函数()f x 的图象过点3⎛ ⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()1f x x -=B ．()12f x x-=C ．()9xf x =D ．()227x f x =【答案】B【解析】设出幂函数的解析式，待定系数，即可求得解析式. 【详解】设幂函数()f x x α=，因为其过点33,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故可得12333α-==解得12α=-，故()12f x x -=.故选：B. 【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，属基础题.4．如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1000个点，其中落入黑色部分的有498个点，据此可估计黑色部分的面积约为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】D【解析】根据几何概型的概率计算公式，即可代值求解. 【详解】设黑色部分的面积为S ，根据几何概型的概率计算公式可得：498441000S =⨯ 解得7.9688S =≈. 故选：D. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式，属基础题. 5．命题“x =π”是“sinx =0”的（ ）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x =π，得sinx =0；反之，由sinx =0，不一定有x =π，然后结合充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：由x =π，得sinx =0；反之，由sinx =0，得x =kπ，k ∈Z ． ∴“x =π”是“sinx =0”的充分不必要条件． 故选A ． 【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定，是基础题．6．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】11()cos()cos ()11x x x x e e f x x x f x e e --++-=-=-=-∴--Q 去掉A,B ；π(0,)()02x f x ∈>Q 时 所以选C.7．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的体积是（ ）A ．85B ．85C ．8D ．2025+【答案】B【解析】根据三视图，还原几何体，再利用棱锥的体积公式求解体积即可. 【详解】由三视图可知，该四棱锥如下图所示：其底面是长为4，宽为2的长方形，高为边长为3,3,4的三角形的高5h =故该棱锥的体积为118524533V Sh ==⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及棱锥体积的计算，属基础题.8．已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o，则椭圆的离心率e 的取值范围为A ．2(0,2B ．2[2C ．3(0,]2D ．3,1)2【答案】B【解析】由椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o可得以原点为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有公共点， ∴c b ≥，∴2222c b a c≥=-，∴2212c a ≥∴22c e a =≥。

由01e <<， ∴21e ≤<，即椭圆离心率e 的取值范围为2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭。

选B 。

点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求出a ，b ，c 的值，由222222221c a b b e a a a-===-直接求．(2)列出含有a ，b ，c 的方程(或不等式)，借助于222b a c =-消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．9．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．505【答案】D【解析】n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=Q 阶幻方共有n行，∴每行的和为()()2221122n n n n n ++=，即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==，故选D.10．已知1F 、2F 分别为双曲线22120192018x y -=的左右焦点，左右顶点为1A 、2A ，P是双曲线上任意一点，则分别以线段1PF 、12A A 为直径的两圆的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．以上情况均有可能 【答案】B【解析】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，讨论若P 在双曲线的右支上和P 在双曲线的左支上，结合双曲线的定义和中位线定理，以及两圆位置关系的判断方法，计算可得所求结论． 【详解】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，若P 在双曲线的右支上，可得m ﹣n ＝2a ， 设PF 1的中点为H ，由中位线定理可得 可得|OH |12=n 12=（m ﹣2a ）12=m ﹣a ， 即有以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆相内切； 若P 在双曲线的左支上，可得n ﹣m ＝2a ， 设PF 1的中点为H ，由中位线定理可得 可得|OH |12=n 12=（m +2a ）12=m +a ， 即有以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆相外切． 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的定义和两圆的位置关系，注意运用定义法和三角形的中位线定理，属于中档题．二、多选题11．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表： AQI 指数值 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 300>空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染如图是某市12月1日-20日AQI 指数变化趋势：下列叙述正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】ABD【解析】根据折线图和AQI 指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A ：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确； 对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14是正确的，故B 正确；对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C 错误；对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意.12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足()22,22322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有()()12f x f x > C ．若当(]0,x a ∈时，()f x 的最小值为1，则51,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D ．若关于x 的方程()32f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-【答案】AC【解析】根据函数是奇函数，写出其解析式，画出该函数的图像，再结合选项，数形结合解决问题. 【详解】因为该函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：()()222,(2)2322,(20)0,122,(02)2,(2)23x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图像如下所示：对A ：如图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确； 对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如图直线2:1l y =，与函数图交于()51,1,,12⎛⎫⎪⎝⎭， 故当()f x 的最小值为1时，51,?2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故C 正确；对D ：()32f x =时，若使得其与()f x m =的所有零点之和为0， 则32m =-，或317m =-，如图直线3l ，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查由函数的奇偶性求函数解析式，以及判断方程的根的个数，以及函数零点的问题，涉及函数单调性，属综合性基础题；另，本题中的数形结合是解决此类问题的重要手段，值得总结.三、填空题13．设直线310x ++=与圆22410x y x +-+=相交于,A B 两点，则AB =___________.3【解析】化简得到标准方程()2223x y -+=，计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算得到答案. 【详解】将圆22410x y x +-+=化为标准方程()2223x y -+=，则圆心()2,0到直线310x ++=的距离21322d +==， 39334AB =-=. 3【点睛】本题考查了圆的弦长计算，利用垂径定理可以简化运算，是解题的关键.14．若直三棱柱111ABC A B C -（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）的每个顶点都在球O 的表面上，若1,3,4,2AB BC AB BC AA ⊥===,则球O 的表面积等于________. 【答案】29π【解析】利用三线垂直联想长方体，而长方体外接球直径为其体对角线长，容易得到球半径，得解．【详解】直三棱柱中，易知AB ，BC ，1BB 两两垂直，可知其为长方体的一部分，其直三棱柱的外接球就是长方体的外接球， 利用长方体外接球直径为其体对角线长， 可知其直径为22234229++=，∴294294S ππ=⨯=球， 故答案为：29π． 【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球问题 ，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15．如图，1P 是一块半径为2a 的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为a 的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,n P P P L …，记第n 块纸板n P 的面积为n S ，则（1）3S =________，（2）如果对*n N ∀∈，20203n S π>恒成立，那么a 的取值范围是________.【答案】2118a π )505,+∞ 【解析】根据题意，写出前3项，再归纳总结出n S 与n 的关系式，并求n S 的最小值，解不等式即可. 【详解】第一块纸板面积为()2211222S a a ππ== 第二块纸板面积为222213222S a a a πππ=-=第三块纸板面积为222331112228a S a a ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭L由此归纳总结，第n 块纸板面积为23121111214444n n S a π-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L212211122444n a a ππ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L1221114422114n a a ππ-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⨯-122112334n a π-⎡⎤⎛⎫=+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为243n a S π>，故要使得*n N ∀∈，20203n S π>恒成立只需24202033a ππ>，可解的2505a >， 故)505,a ⎡∈+∞⎣. 故答案为：)505,+∞. 【点睛】本题考查等比数列求和，以及其前n 项和的函数性质；需要注意的是要理解本题的意义，从而避免出错.四、解答题16．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，当4πx =-时()f x 取得最小值，当4x π=时()f x 取得最大值，且()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调.则当ω取最大值时ϕ的值为________. 【答案】2π-【解析】根据函数取得最值的自变量，得到ω的等式，再根据函数在区间上单调，得到ω的范围，通过对ω取得最大值时的函数性质进行讨论，从而夹逼出ϕ的值.【详解】根据题意，因为当4πx =-时()f x 取得最小值，当4x π=时()f x 取得最大值，故12,22n n N ππω⎛⎫+⋅=∈ ⎪⎝⎭，解得()42n n N ω=+∈. 因为()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，故53618122T πππ-=≤，即可得26T ππω=≥ 解得12ω≤，又()42n n N ω=+∈，当10ω=时，()()cos 10f x x ϕ=+ 且102,4k k Z πϕππ⎛⎫⨯-+=-+∈ ⎪⎝⎭，由2πϕ≤，得2πϕ=-， 此时()cos 102f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，满足题意. 故ω的最大值为10，此时ϕ的值为2π-. 故答案为：2π-. 【点睛】本题考查三角函数的周期性，单调性，属综合中档题；本题中对ω范围的求解，是关键的步骤.17．已知数列{}n a 是等差数列，满足25a =，49a =，数列{}n n b a +是公比为3的等比数列，且13b =．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）21n a n =+，*n ∈N ．1*63(21),n n b n n -=⨯-+∈N （Ⅱ）12332n n n +---【解析】（Ⅰ）设出等差数列{}n a 的公差，运用等差数列的通项公式，结合已知25a =，49a =，可以求出公差，最后求出通项公式；这样利用已知数列{}n n b a +是公比为3的等比数列，且13b =．可以得到数列{}n n b a +的通项公式，最后求出数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）根据等差数列和等比数列前n 项和公式，利用分组求和法求数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由25a =，49a =，得952d =+，解得2d =． 所以2(2)52(2)21n a a n d n n =+-=+-=+． 即{}n a 的通项公式为：21n a n =+，*n ∈N ． 由于{}n n b a +是公比为3的等比数列，且116b a +=， 所以1111()363n n n n b a b a --+=+⋅=⨯．从而11*6363(21),n n n n b a n n --=⨯-=⨯-+∈N ．（Ⅱ）由（Ⅰ）1*63(21),n n b n n -=⨯-+∈N ．数列{}n b 的前n 项和16(133)[35(21)]n n S n -=+++-++++L L6(13)[3(21)]132n n n -++=-- 12332n n n +=---．【点睛】本题考查了等差数列基本量求法，考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列前n 项和公式，考查了数学运算能力.18．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且2a bcosC -=． （1）求B Ð的值； （2）若4a =，72cos 10=C ，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）4B π=（2）1【解析】（1）结合余弦定理进行化简，即可求出结果.（2）由题意求出sin C 的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算，即可得出结果． 【详解】（1）由余弦定理得222222a b c a c b ab+--=⋅化简得2222b a c ac =+，∴2222cos 22c a b B ac +-==. ∵()0,B π∈，∴4B π=.（2）由72cos =C ，得2722sin 11010C ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，∵()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+2722245=⨯+⨯=， 由正弦定理sin sin b aB A=， 得4252sin 4sin 225a b B A =⋅=⨯=， 11522sin 4122210ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.19．如图，ABC V 中，4AB BC ==， 90ABC ∠=︒，,E F 分别为 AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF V 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且PB BE =．（1）证明： BC ⊥平面 PBE ；（2）求平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（25【解析】（1）由E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，可得EF BC P ，由已知结合线面垂直的判定可得EF ⊥平面PBE ，从而得到BC ⊥平面PBE ；（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由已知证明PO ⊥平面BCFE ，过O 作OM BC P 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCF 与平面PBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）因为,E F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EF BC P ， 因为90ABC ∠=︒，所以EF BE ⊥，EF PE ⊥， 又因为BE PE E ⋂=， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ．（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB BE PE ==， 所以PO BE ⊥，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ⋂平面BCFE BE =，所以PO ⊥平面BCFE ，过O 作OM BC P 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(3P ，()1,4,0C ，()1,2,0F -．(1,4,3PC =-u u u v ，(1,2,3PF =--u u u v，设平面PCF 的法向量为(),,m x y z v=，则0,0,PC m PF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即430,230,x y z x y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 则(3m v=-，易知()0,1,0n v=为平面PBE 的一个法向量，()()2221011305cos<,55113m n-⨯+⨯+⨯>===-++v v，所以平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值5．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.20．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线320x+=均与圆相切.（1）求圆C的标准方程；（2）设点P（0,1），若直线y x m=+与圆相交于M,N两点，且∠MPN=90°，求m的值.【答案】(1) 22(2)4x y-+=(2)152m-=或15m-+=【解析】（1）)设圆心（,0a）0a>，圆的半径为r a=，根据相切得到22aa+=，计算得到答案.（2）)设1122(,),(,)M x y N x y，联立方程()2224y x mx y=+⎧⎪⎨-+=⎪⎩利用韦达定理得到1221222x x mmx x+=-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，根据0PM PN⋅=u u u u r u u u r计算得到答案.【详解】(1)设圆心（,0a ）0a >∴ 圆的半径为r a =，所以 22a a +=，解得：2a =圆的标准方程是：22(2)4x y -+=(2)设1122(,),(,)M x y N x y .()2224y x mx y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩ ， 消去y 得：2222(2)0x m x m +-+=△=224(2)80m m -->，得：222222m --<<-+121222121222222x x m y y mm mx x y y m +=-+=+⎧⎧⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=+⎪⎪⎩⎩， 又 0PM PN ⋅=u u u u r u u u r 1122121212(,1)(,1)()10x y x y x x y y y y -⋅-=+-++= 21510m m m --+-=∴=或15m -+=【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，将90MPN ∠=︒转化为0PM PN ⋅=u u u u r u u u r是解题的关键. 21．已知函数()44f x sin x asinx cosx cos x.=+⋅+(Ⅰ)当a 1=时，求()f x 的值域；(Ⅱ)若方程()f x 2=有解，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）9[0,]8（Ⅱ）3a ≤-或3a ≥【解析】（I ）当1a =时，利用降次公式化简()f x ，然后利用换元法将函数转化为二次函数，结合二次函数的知识求得()f x 的值域.（II ）解法一：同（I ）将函数转化为二次函数的形式.对a 分成2,22,2a a a ≥-<<≤-三类，讨论函数的()2f x =是否有解，由此求得a 的取值范围.解法二：化简()2f x -的表达式，换元后分离常数a ，再由此求得a 的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，()2111sin 2sin222f x x x =-+ 令sin2t x =，令()211122h t t t =-++，[]1,1t ∈-则()90,8h t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）法一：()211sin 2sin222af x x x =-+ 令sin2t x =，令()21122ah t t t =-++，[]1,1t ∈-①当12a≥，即2a ≥时，()1122a h +=≥，且()11222a h -=-≤，解得3a ≥②112a -<<，即22a -<<时，21228a a h ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，无解 ③当12a ≤-，即2a ≤-时，()1122a h --=≥且()1122a h +=≤，解得3a ≤- 综上所述3a ≤-或3a ≥法二：()212sin 2sin21022af x x x -=-+-= 令sin2t x =，211022at t -+-=当0t =，不合题意，∴0t ≠∴2a t t =+，[)(]1,00,1t ∈-⋃ ∵2y t t =+在[)1,0-，(]0,1递减∴23t t +≤-或23t t+≥∴3a ≤-或3a ≥ 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查利用换元法转化函数，考查二次函数求最值，考查方程有解的问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想，属于难题.解决含有参数的方程有解问题，可以考虑分离常数法将参数分离出来，然后根据表达式的范围，求得参数的范围.22． 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>323y x =的焦点恰好是椭圆C 的一个焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,3)D 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点N 满足ON OA OB =+u u u v u u u v u u u v（O 为坐标原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）平行四边形OANB 的面积最大值为2，直线l 的方程为173y x =±+. 【解析】【分析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、抛物线的标准方程和几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力. 第一问，利用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标列出方程，解出a,b,c 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，对直线l 的斜率进行讨论，当斜率存在时，将直线方程与椭圆方程联立，消参，得到关于x 的方程，利用韦达定理，得到12x x +和12x x 代入到OANB S W 中，通过换元法再利用均值不等式求出最大值，从而得到直线方程.试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，∵离心率为3，∴23()4c a =，∴2234a c =，又点(3,0)是抛物线的焦点，∴23c =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）∵ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，∴四边形OANB 为平行四边形，当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，直线l 与椭圆于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，由223{14y kx x y =++=.由22(24)128(14)0k k ∆=-+>22k ⇒>.1222414kx x k +=-+，1223214x x k=+， ∵121213||||||22OAB S OD x x x x ∆=-=-， ∴2212121222243223||3()43()41414OANB OAB k S S x x x x x x k k∆-==-=+-=-⨯++W222222224128(14)232414(14)k k k k k -+-==++ 令22k t -=，则22k t =+（由上式知0t >），∴2112424281(49)1447216OANB t S t t t==≤=+++W ， 当且仅当94t =，即2174k =时取等号， ∴当172k =±OANB 的面积最大值为2. 此时直线l 的方程为1732y x =±+. 【考点】椭圆的标准方程和几何性质、抛物线的标准方程和几何性质、直线与椭圆相交问题. 【详解】请在此输入详解！。