向量在解决高中数学问题中的应用研究
浅谈平面向量在高中数学中的应用
出来，通过向量的矢量运算，来求解几何问题，这样有
利于学生对知识的融合理解，帮助学生同时增加向量
与立体几何的解题经验．
例３ 四边形犃犅犆犇 是菱 形，犃犆犈犉 是矩形，平面 犃犆犈犉
⊥ 平面犃犅犆犇，犃犅＝２犃犉＝２，
∠犅犃犇 ＝６０°，犌 是犅犈 的中点．
（１）用 两 种 方 法 证 明：犆犌
∥ 平面犅犇犉．
备考
征进行说明，同时也可以利用向量的运算来计算解析
几何的性 质．明 确 向 量 在 解 析 几 何 中 的 应 用，更 加 有
利于学生 开 拓 解 题 思 维，优 化 学 生 的 认 知 结 构，对 于
学生的向量学习有很大意义．
例２ 已知点 犕（－２，０），犖（２，０），点犘 满足：直 线犘犕 的斜率为犽１，直线犘犖 的斜率为犽２，且犽１·犽２
犗犎 平面犅犇犉，所以犆犌 ∥
平面 犅犇犉．
图２
向量作为有力的数学工
具，可以通过具体的应用把高中阶段的知识点相互联
系，帮 助 构 成 完 整 又 严 密 的 知 识 体 系．学 生 要 善 于 分
析向量的应用并加以掌握，才能从整体上完成对向量
知识的认知，同时加强数学方法的学习．犠
高中
６７
何形 式 与 代 数 形 式，是 连 接 代 数 与 几 何 的 天 然 桥 梁．
在高中数学立体几何中，为了考查学生对于直观性和
抽象性问题 的 理 解，通 常 会 将 数 与 形 结 合 起 来 一 起
考，对 于 这 类 综 合 性 质 较 强 的 问 题，学 生 可 以 利 用 向
量的数学性质，将空间中的几何量用向量的形式表现
为定值．讨论直线犾的斜率存在，设直线犾的方程为狔＝ 犽（狓 －１）（犽 ≠０），联立轨迹犆 的方程构造函数，运用 韦达定理和向量的数量积可得 犿；当直线犾的斜率不
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
高中数学教学中向量教学的应用
２０１３年 ９月 １８日
高 中 数 学 教 学 中 向 量 教 学 酌 应 用
文／黄 春 雷
摘 要 ：向量在 高 中数学教 学 中的应用不仅 有助于提高教师的教 学效率和水平 ，还有助 于提高 学生的思维 能力 、分析及解决 问题 的能力 、探 究能力 以及创新能力，实现提高学生数学学习的效果和 目的。通过分析高 中数学 中应用向量教学需要注意的问题 ，提 出行 之 有 效 的教 学 策 略 。
力 、思维 能力 以及 创新能力来 解决数学 问题 ，从 而提高 学生 的综 教学中要有意识地培养学生将 向量知识运用于现实 生活中 ，提 高
合 素质 和能力 ，这也是开 设数学课程 的重 要 目标之一 。学生较 强 学生理论 联系实际的能力。在现实生活 中，运用 向量知识解决 问
的思维能力是 在对数学 问题进行逻辑 性分析 的基础上 逐渐提 高 题的例子 有很多 ，下面 以平 面向量 的数量 积知识 为例 ，说 明向量
的优 点是不需要 太复杂 的方 法就可 以使 难度较 大的几何 问题得 证 向量运算法则 的形成 过程 ，让学生对 向量将抽 象知识转化 为具
到有效 的解 决 ，学生只需要对向量相关 的代人 公式 有一个准确 的 体知识 的过程 有一 个充 分的认识 和了解 ，从 而提高学生应用 向量
掌握便能够达到预期 的 目的。
向量知识 ，并且为学生精心准备一些针对性 比较强 的几何数学题 ， 而提 高学生运用 向量知识解决数学问题的能力。在认识和理解向
让学生在学 习向量概念 知识后进行 练习 ，以巩固刚刚学习 的理论 量概念知识时 ，学生应对数学各部分 知识的 内在联系有一 个准确
知识 ，加 深学生对 向量知识 的印象 ，从而实现 学生理解 和运用 向 的认识和把 握 ，还要将数学 知识 进行相应 的整合 ，使 数学知识 能 量知识 的能力 ，进而提高学生高中数学知识 的学习效果和水平 。 够相互渗透 和协调 ，最终形 成 比较完整 的知识体 系 ，从 而提 高学
向量在高中数学中的应用
、
创 设 情 景 。 发 兴趣 激
提高 了学 习数 学 的 兴趣 。 画的直 角三角形 大小不一样 ， 但最终都得 喜 悦 ，
教 师在教 学 中要善于联 系教材 与学 设有思考价值 的问题或悬念 ， 以激发学生 的求知欲望。
到了相 同的结果 ， 从而总结 出了直 角三角
直 １要 生 的实际 ，设计生动有趣 的教学情景 ， 创 形 三边 之 间 的 关 系 ： 角三 角形 两 直 角边 点 ， ． 自然合理。导入既是前面知识 的 的 平 方 和 等 于 斜 边 的 平 方 。 这 时 教 师 指 继 续 ， 是 后 续 知 识 的 开 端 ， 一 定 的积 又 以
体会。
一
活 动是个人体验 的源泉 ， 在数学活动 中学习数学 ， 建构新的知识 、 新的信息 ， 因 势利导 ， 帮助提高学生的思维能 力。 要求每个学 生各 自画一个直角三角形 ， 测 下它们 的平方 ， 观察两直 角边 的平 方与 经提 问 ， 同学们踊跃发言 。虽 然同学们
。这样引入 ， 将本节课的教学 如在讲 “ 勾股定理 ” 这节课时 ， 课前我 计图的选择”
积 的最 大值 、 小 值 ． 类题 在知 识 交 汇 处 最 这 出题 ， 点在 于 向量 的运 算 转 化 ． 学 生 难 因此
Ｃ
函数的一种工具 ， 有着极其丰富 的实际背
景 ， 高 考 关 注 的 知 识 “ 汇 点 ”下 面 举 是 交 ． 例 说 明 向 量 的几 种 应 用及 应 对 策 略 ．
验 到 了数 学 在 实际 生 活 中的 作 用 ，而 且 品
“ 良好 的开 端是 成 功的 一半 ” 教 师 ， 要 上 好 一堂 课 ， 入 起 着 重 要 的作 用 。 导 倘 若 新 课 一 开始 ，学 生 的积 极 性 就 被 调 动 起 来 ，那 就会 使 学 生 在 浓 厚 的 兴 趣 中接 受 新 的 知识 ，从 而 取 得 良好 的 是 值 得我 们探 讨 的重 要课 题 。下 面 ， 本
向量在高中数学解题中的应用丁有生
向量在高中数学解题中的应用丁有生发布时间：2023-05-31T07:57:21.065Z 来源：《中国教师》2023年6期作者：丁有生[导读] 量在数学领域中具有双重特性，既具备一定的代数特性，也具备相应的几何特征。
在高中数学问题处理中，通过向量的运用，可以让学生更加高质量地实现代数、几何问题的转化，提高学生的数学问题处理能力，为学生的综合发展提供保障基于此，本文章对向量在高中数学解题中的应用进行探讨，以供参考。
云南省红河州第一中学摘要：量在数学领域中具有双重特性，既具备一定的代数特性，也具备相应的几何特征。
在高中数学问题处理中，通过向量的运用，可以让学生更加高质量地实现代数、几何问题的转化，提高学生的数学问题处理能力，为学生的综合发展提供保障基于此，本文章对向量在高中数学解题中的应用进行探讨，以供参考。
关键词：向量；高中数学解题；应用引言如何在解题教学中去培养学生的数学核心素养是高中数学教师需要思考的问题。
教师有必要端正解题教学的态度，从核心素养角度出发去设计解题教学内容，确保学生不仅可以学会解题，还能够在解题中获得综合能力的提升。
因此，教师应当以数学核心素养为研究基础，探究高中数学解题教学的策略，提高课堂教学质量，为高中生学好数学、走向社会打下良好的基础。
一、高中数学解题现状分析（一）解题方式不够合理首先，当前高中数学教师依然会单一授讲，教师一般在讲台上讲解解题的思路，学生在下面机械地听讲，这种方式具有一定的呆板性，学生一般能在课堂上听明白，但是一旦自己做题时就会出现这样或那样的错误。
教师在讲解解题步骤时，通常用一种方法解答，忽略了学生的自主探究过程，没有留给学生自主思考的机会，而一道数学题目往往会以多种形式考查，有的学生并不适合用教师讲解的方法做题，因此会限制学生的思维发展，学生的解题能力就会下降。
（二）混淆公式、定理、定律高中数学涉及的公式、定律、定理较多，很多学生在记忆定理、公式时多是死记硬背，缺乏对公式内容的主动探索和分析，这样就导致记忆流于形式，学生很难真正把握定理、公式、定律的实质。
向量在高中数学空间几何解题中的应用
215神州教育向量在高中数学空间几何解题中的应用贺雨曦长沙市麓山国际实验学校摘要：空间几何作为高中数学的难点内容，一直是困扰高中生的难点问题，由于空间图形较为抽象，许多高中生难以利用正确的解题思路和解题方法，解决这类问题，并且空间几何问题还是数学高考的重点部分，因此，高中生需要利用巧妙的方法进行解题。
本文对向量在解决高中数学空间几何问题的应用进行分析，阐述向量的概念和应用效果，希望对提升高中生的解题技巧有所帮助。
关键词：向量；高中数学；空间几何引言：随着高考的不断改革，空间几何在数学高考中所占的比重越来越高，但由于空间几何解题步骤较为复杂，计算较为困难，因此许多高中生不愿学习空间几何。
针对这一情况，高中生可以将向量作为解题工具，解决空间几何问题。
一、向量在高中数学空间几何解题中应用的重要意义随着高中教材的改革的不断深化，高中数学的题型也发生了较大的改变，尤其是空间几何类问题，变的更为复杂，高中生如果采用传统的解题方式，不仅解题步骤较为繁琐，解题的准确性也无法得到保障[1]。
而向量作为一种重要的解题工具，将其应用于空间几何解题过程中，具有重要的意义。
首先，高中生应用向量进行解题，可以改变自身僵化的解题思路，通过向量公式的使用，可以简化解题的流程，降低解题的难度，高中生能够用更快的速度解决空间几何问题。
并且高中生还可以通过向量将一个复杂的空间几何图像进行简化处理，有利于高中生充分利用几何图形中的已知条件。
此外，高中生利用向量解决空间几何问题，还能使高中生的逻辑思维能力得到提升，由于几何图形较为抽象和复杂，高中生在利用向量简化图形的过程中，会提高自身解读图形的能力，高中生的逻辑思维能力也会得到极大的强化。
二、向量在高中数学空间几何解题中的应用(一)向量在空间几何解题中的作用经过国内外数学专家对向量的多年研究，向量被广泛的应用在数学解题之中，向量模型已经成为数学内容的构成部分之一。
现阶段，高中生在进行空间几何解题的过程中，可以将向量以字母V 的形式表现出来，通过这种方式的应用，能够帮助高中生在解决空间几何问题时，更方便的进行计算，从而利用向量集合计算空间结合的长度，继而得到结果，然后在利用数学的基础算法，构建向量模型，以此来解决高中数学中的空间几何问题。
向量思想在高中数学中的应用
因 ＯＡ ・０７ — １ － １・ １ － Ｃ Ｓ ａ－ ）一 Ｃ Ｓ － － ３ Ａ Ｏ ７ １Ｏ （ － ０ ３ Ｏ
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浅谈向量在高中数学中的应用
浅谈向量在高中数学中的应用【摘要】本文主要介绍了向量在高中数学中的应用。
文章首先介绍了向量的概念、性质和运算，为后文内容铺垫。
接着，详细讨论了向量在几何图形表示、平面和空间向量运算中的应用，以及在物理等其他学科中的实际应用。
结合实际解题案例，探讨了向量在高中数学中的重要性和广泛应用，强调向量为学生提供更加直观和灵活的解题方式。
通过本文的阐述，希望读者能更深入地理解向量在高中数学中的重要性及实际应用，从而更好地掌握相关知识，提升数学解题能力。
【关键词】向量的概念、向量的性质、向量的运算、几何图形、平面向量、空间向量、物理学、实际应用、重要性、广泛应用、直观、灵活解题方式1. 引言1.1 向量的概念向量是高中数学中一个重要的概念。
在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以表示空间中的某个点到另一个点的位移，也可以表示一个力、速度或者加速度。
向量的概念最早由英国数学家威廉·测量提出，后来被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在数学中，向量可以用不同的形式来表示，比如坐标形式、分解形式等。
向量的大小叫做模长，方向由箭头指向表示。
向量之间可以进行加法、减法、数乘等运算。
向量的性质有共线性、共点性、平行性等。
向量的运算包括模长运算、数量积、向量积等。
通过学习向量的概念，我们可以更好地理解和描述几何图形，解决各种几何问题。
向量在平面向量和空间向量的运算中也有重要应用，比如求向量的夹角、平行四边形的性质等。
向量还被广泛运用于物理等其他学科中，例如描述力的大小和方向、分析运动的轨迹等。
向量的应用使我们能够更加直观地理解和解决问题，为学生提供了更加灵活和直观的解题方式。
1.2 向量的性质向量的性质是向量运算中非常重要的概念，它们决定了向量在数学中的具体行为和特性。
在高中数学中，我们常常会接触到以下几种向量性质：1. 平行向量的性质：如果两个向量平行，则它们具有相同的方向。
这意味着它们乘以同一个数仍然平行，而且它们的夹角为0度或180度。
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向量在解决高中数学问题中的应用研究
作者：王海青
来源：《新课程·下旬》2017年第12期
摘要：在高中数学的学习过程中，向量是较为重要的一部分，也是在数形结合数学思想中应用较为广泛的内容，从而在一定程度上成为解决数学问题的重要方法。
在高中数学的理论知识体系中，向量可以和很多知识进行结合，从而形成一个较为完整的体系。
将重点放在如何在解决高中数学问题时应用向量，从而提高高中数学解决问题的能力。
关键词：向量；高中数学；解决问题
在高中数学中的运算以及几何中，会大量应用到向量的知识点。
向量最大的特点就是可以将抽象与形象的思维进行联系，从而将抽象的知识变得更加直观，进而提高学生的理解能力。
数学作为一门较复杂的学科，不仅需要学生具有一定的理解能力，还需要具备逻辑思维能力，那么向量就成了有效的学习工具。
运用向量的解决方法，不仅可以使繁琐的数学问题变得简单，还会让学生的解决过程变得更具有操作性。
一、向量的内涵和特点
向量最开始来源于物理学科中，在数学中主要在几何中应用。
在经过较长时间的研究之后，学者开始将向量与空间进行结合，从而使向量在数学学科中有了更加广泛的应用。
如今，向量的种类多种多样，比如单位向量、自由向量等，向量的运算则多种多样，因此，我们可以看到，向量在数学中的运用十分广泛。
当然，向量并不是只有优点，也具有一定的缺陷。
首先，向量的结构较为复杂。
在高中数学的计算问题中，有时条件并不适合运用向量。
因此，向量并不是万能的解决方法，在运用过程中也需要对题目条件进行详细的分析。
其次，向量的运用并不能将数学的精华体现出来。
数学是一门严谨性很高的学科，如果在运用向量解题时可以直接得到结果，那么学习的意义便失去了。
最后，当数学题目很难时，向量的运用并不能将问题难度降低，而会将计算量大大提高。
所以，在了解向量的过程中，要将向量的优势和缺点进行统一分析，从而采用辩证的方式来看待向量的解题方法。
二、向量在解决高中数学问题中的应用
1.向量在几何中的应用
向量的大小在一定程度上可以反映出相关线段的位置关系，或是点与点之间的长度关系。
向量的分类有很多，根据其性质可以分为平行关系、共线关系等。
在几何图形中，向量的应用十分广泛，可以使几何问题变得简单直观。
例如，在三角形中运用向量时，可以发现三角形的解题问题更加清楚明了。
比如，三角形ABC中，三个顶点的坐标分别是A（-3，1），B（2，0），C（0，-2）。
线段BC、AC以及AB的中点分别是D、E、F，解FE、DF、DE三条线段的方程。
我们可以发现，如果只是单凭几何知识是很难解决该问题的，但如果可以将向量运用其中，就会发现问题简单不少。
首先，我们可以知道点D的坐标是（1，-1），点E的坐标是（-1.5，-0.5），点F的坐标是（-0.5，0.5）。
当把一条线上的两个坐标都求出来之后，就会发现问题很简单了。
我们假设直线DE的方程上有一个点G，设点G的坐标是（x，y），点G是DE上的一点，所以DG和DC是一种平行的关系，通过平行关系就会得到该直线的方程表达式。
通过该例题可以发现，将线段转换为向量，可以将几何问题变得简单。
当然，我们需要注意的是，在运用向量解决问题时，一定要将点和线的关系了解清楚。
2.向量在三角函数中的应用
在高中数学的教学中，三角函数是其重要的难点问题。
通过向量的数量积知识点，可以将三角函数的问题变得简单，下面我们通过举例的方式说明这个问题。
例如，已知三角函数cosa+cosb-cos（a+b）=2，求解三角函数中a和b的值。
我们根据三角函数的相关公式，可以很容易将原三角函数进行变形，即（1-cosb）cosa+sinasinb=2-cosb。
通过仔细观察，我们可以看出，这个函数关系式和向量的数量积有着很大的相似度。
所以，我们不妨假设向量A=（1-cosb，sinb），向量B=（cosa，sina）。
我们将两个向量相乘，然后将其绝对式进行求解，从而可以求出cosa和cosb的关系式，进而求出问题答案。
因此，在三角函数的问题中运用向量是一个正确的选择，不仅可以在一定程度上简化三角函数的关系，还可以使得问题变得简单直观，从而提高学生的解题速度。
因此，在相关三角函数的数学问题中，要努力将其应用其中，从而简化问题。
总之，在高中数学的教学过程中，向量占据着十分重要的地位，也有着较强的实用性。
这就需要教师可以将其进行适当的应用，不管是在几何图形中，还是三角函数中，都可以适当地将向量应用其中，从而在一定程度上达到简化数学问题的目的，在实际的高中数学教学课堂中，也需要教师将向量的实际问题展开讨论分析，在提高学生解题效率的同时，提高教师的教学质量。
参考文献：
[1]朱音.例谈向量方法在高中数学解题中的应用[J].长三角（教育），2012（7）.
[2]王晓.高中数学解题中向量方法的应用分析[J].高中数理化，2014（14）.
[3]刘永斌.向量在高中数学解题中的应用[J].吉林教育，2010（3）.
编辑温雪莲。