3.2简单的三角恒等变换(整理)
课件5：3.2 简单的三角恒等变换
例 4.如图所示，要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应 怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？
图 3－2－1
解:设∠AOB＝α，△OAB 的周长为 l，则 AB＝Rsin α， OB＝Rcos α， ∴l＝OA＋AB＋OB ＝R＋Rsin α＋Rcos α ＝R(sin α＋cos α)＋R ＝ 2Rsin(α＋π4)＋R. ∵0<α<2π，∴π4<α＋4π<34π.
sinα2＝±
1－cos 2
α，cosα2＝±
1＋cos 2
α，
tanα2＝±
1－cos 1＋cos
α， α
α αα
tanα2＝scionsα22＝csoins2α2··22ccooss2α2＝1＋sincoαs
， α
α αα
tanα2＝
sin2α＝
sin2α·2sin2α＝1－sincoαs
α .
∴l 的最大值为 2R＋R＝( 2＋1)R， 此时，α＋4π＝π2，即 α＝π4， 即当 α＝4π时，△OAB 的周长最大．
规律方法 1．解答此类问题，关键是合理引入辅助角 α，确定各量之间 的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数 的有关知识求解． 2．在求解过程中，要注意三点：(1)充分借助平面几何性质， 寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角 α)的范围；(3)重 视三角函数有界性的影响．
3．研究形如 f(x)＝asin x＋bcos x 的函数性质，都要运用辅 助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形 式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重 要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数 a、 b 应熟练掌握．例如 sin x±cos x＝ 2sin(x±π4)；sin x± 3cos x ＝2sin(x±3π)等．
3.2简单的三角恒等变换(共2课时)
点评：例３是三角 恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数 的性质研究得到延 伸，体现了三角变 3 换在化简三角函数 式 中 的 作 用 .
所以,所求的周期为2,最大值为2,最小值为-2.
»感受三角变换的魅力
变形的目标：化成一角一函数的结构 变形的策略：引进一个“辅助角”
2. 请思考： （1）你怎样理解公式两边的“角”的关系？
（2） 与
2
有什么关系？
探 究1： 如 果 以 那 么 公 式 有 什 么 结 果 ？
代 替2， 以
2
代 替，
6
»新知探究
3. 半角公式：
S : ni s
2
1 soc 2 2 1 soc 2 2
C : soc
3
»复习与回顾
请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2： sin 2 2 sin cos
C 2： cos 2 cos sin 2 2s o c 1 1 2 n is
2 2
2
2 tan T2： tan 2 1 tan 2
4
»新知探究
1 3 f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 ，最小值为 。 4 4
1 1 sin 2 x 4 2
»感受三角变换的魅力
1 1 例5、 已知 tan ,tan ,并且， 均为锐 7 3 角，求 2 . 1 1 解： tan 1, tan 1, 且， 均为锐角， 7 3 0 , 0 , 0 2 3 . 4 4 4 n 2 at 3, 又 n at 2 4 1n at 2 1 3 n at n at (n at 2 ) 7 4 1, 1 3 1 n at n at 1 7 4 2 . 22 4
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
3.2 简单的三角恒等变换三角恒等变换
§3.2 简单的三角恒等变换三角恒等变换课时目标1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________；(2)C α2：cos α2＝____________________________； (3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)． 2．辅助角公式 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B.1－cos α2 C ．－1＋cos α2D.1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值是( )A ．2B ．1 C.12D.33．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为( )A ．－2B ．－3 C ．－2 D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 5．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－27．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________．9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____． 三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 (x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8的值．能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( ) A.32 B ．－32 C.13 D ．414．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．§3.2 简单的三角恒等变换知识梳理 1．(1)± 1－cos α2 (2)±1＋cos α2(3)±1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α 1－cos αsin α2.a a 2＋b 2b a 2＋b 2点(a ，b )作业设计 1．C2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．]3．D [f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.]4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ.当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x .]5．D [f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z)，令k ＝0得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π.]6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.]7．π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π.8.459解析 设α为该等腰三角形的一底角， 则cos α＝23，顶角为180°－2α.∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫232·23＝459.9．3解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(180°－α)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－α2＝1tanα2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3.10.725解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos θ－sin θ＝15.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2. ∴cos θ＋sin θ＝75.∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725.11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z)，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z}．12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝21＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝1625. ∵π<θ<2π， ∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝－45.13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x ) ＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值．∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z)∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ， ∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313. ∴tan x ＝－32.]14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1122＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.。
3.2 简单的三角恒等变换(二)
3.2 简单的三角恒等变换(二)1.已知a=(1,cos α),b=(sin α,1),若a⊥b,则sin 2α等于( B )(A)-(B)-1 (C)(D)1解析:由题意可知,a·b=sin α+cos α=0,平方可得,sin2α+cos2α+ 2sin αcos α=0,所以sin 2α=2sin αcos α=-1.故选B.2.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=的最小正周期为( C )(A)(B)(C)π (D)2π解析:由已知得f(x)====sin x·cos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.故选C.3.函数f(x)=sin x+cos(x+)的值域为( C )(A)[-2,2] (B)[-,](C)[-1,1] (D)[-,]解析:函数f(x)=sin x+cos(x+)=sin x+cos x=sin(x+),所以值域为[-1,1],故选C.4.函数f(x)=cos2x-2cos2的一个单调增区间是( A )(A)(,) (B)(,)(C)(0,) (D)(-,)解析:函数f(x)=cos2x-2cos2=cos2x-cos x-1,令t=cos x,则原函数可看作g(t)=t2-t-1,t∈[-1,1].当t∈[-1,]时,g(t)为减函数,当t∈[,1]时,g(t)为增函数,当x∈(,)时,t=cos x为减函数,且t∈(-,),而原函数是单调递增的,故选A.5.设向量a=(cos x,-sin x),b=(-cos(-x),cos x),且a=tb,t≠0,则sin 2x的值等于( C )(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)0解析:因为b=(-cos(-x),cos x)=(-sin x,cos x),a=tb,所以cos xcos x-(-sin x)(-sin x)=0,即cos2x-sin2x=0,所以tan2x=1, tan x=±1,x=+(k∈Z),2x=kπ+(k∈Z),sin 2x=±1,故选C.6.若cos(α+β)·cos(α-β)=,则cos2α-sin2β的值是( B )(A)-(B)(C)-(D)解析:因cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,故cos(α+β)cos(α-β)=cos2αcos2β-sin2αsin2β=cos2α-cos2αsin2β-sin2αsin2β,即cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-(cos2α+sin2α)sin2β=cos2α-sin2β=,故选B.7.已知sin(α-)=,cos 2α=,则tan 等于( A )(A)3 (B)-3 (C)±3 (D)±4解析:由sin(α-)=⇒sin α-cos α=①,cos 2α=⇒cos2α-sin2α=,所以(cos α-sin α)(cos α+sin α)=②,由①②可得cos α+sin α=-③,由①③得sin α=,cos α=-,所以角α为第二象限角,所以为第一、三象限角,tan ===3,故选A.8.已知不等式sin cos +cos2--m≥0对于x∈[-,]恒成立,则实数m的取值范围是( B )(A)(-∞,-] (B)(-∞,](C)[,] (D)[,+∞)解析:因为sin cos +cos2-=sin+×-=sin(+),所以原不等式等价于m≤[sin(+)]min在x∈[-,]恒成立.因为≤+≤,所以sin(+)∈[,],所以m≤,故选B.9.设0<θ<,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ= .解析:因为a∥b,所以sin 2θ=cos2θ,2sin θcos θ=cos2θ,又0<θ<,所以2tan θ=1,即tan θ=.答案:10.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .解析:因为sin α+cos β=1,①cos α+sin β=0,②所以①2+②2得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1,所以sin αcos β+cos αsin β=-,所以sin(α+β)=-.答案:-11.函数f(x)=sin(2x-)-2sin2x的最小正周期是.解析:因为f(x)=sin 2x-cos 2x-(1-cos 2x)=sin 2x+cos 2x-=sin(2x+)-,所以f(x)的最小正周期T==π.答案:π12.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.解析:由于f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+),因为函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)=sin(ω2+)=±,所以ω2+=+kπ,k ∈Z,即ω2=+k π,k ∈Z,又函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,所以ω2+≤,即ω2≤,取k=0,所以ω2=,所以ω=. 答案:13.已知函数f(x)=2cos(ωx+)(其中ω>0,x ∈R)的最小正周期为 10π. (1)求ω的值;(2)设α,β∈[0,],f(5α+π)=-,f(5β-π)=,求cos(α+β) 的值.解:(1)由=10π,得ω=.(2)因为-=f(5α+π)=2cos[(5α+π)+]=2cos(α+)=-2sin α,=f(5β-)=2cos[(5β-π)+]=2cos β, 所以sin α=,cos β=. 因为α,β∈[0,],所以cos α===,sin β===.所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.14.(2018·北京卷)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间[-,m]上的最大值为,求m的最小值. 解:(1)f(x)=sin2x+sin xcos x=-cos 2x+sin 2x=sin(2x-)+,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)由(1)知f(x)=sin(2x-)+.由题意知-≤x≤m,所以-≤2x-≤2m-.要使得f(x)在区间[-,m]上的最大值为,即sin(2x-)在区间[-,m]上的最大值为1.所以2m-≥,即m≥.所以m的最小值为.15.已知函数f(x)=2cos2-sin x.(1)求函数f(x)的最大值,并写出取得最大值时相应的x的取值集合;(2)若tan =,求f(α)的值.解:(1)f(x)=2cos2-sin x=1+cos x-sin x=1+2cos(x+),所以当cos(x+)=1时f(x)取得最大值3,此时x+=2kπ,k∈Z,即x=2kπ-(k∈Z),所以x的取值集合为(x|x=2kπ-,k∈Z).(2)因为tan =,所以sin α=2sin cos====,cos α=cos2-sin2===,所以f(α)=1+2cos(α+)=1+cos α-sin α=1+-=.16.已知函数f(x)=sin(ωx+2ϕ)-2sin ϕcos(ωx+ϕ)(ω>0,ϕ∈R)在(π,)上单调递减,则ω的取值范围是( C )(A)(0,2] (B)(0,](C)[,1] (D)[,]解析:f(x)=sin(ωx+2ϕ)-2sin ϕcos(ωx+ϕ)=cos ϕsin(ωx+ϕ)-sin ϕcos(ωx+ϕ)=sin ωx,所以f(x)=sin ωx在(π,)上单调递减.令+2kπ≤ωx≤+2kπ,k∈Z,得+≤x≤+,k∈Z,所以函数f(x)=sin ωx的一个单减区间为[,],可得即≤ω≤1,ω的取值范围是[,1],故选C.17.已知函数f(x)=sin4x+cos4x,x∈[-,],若f(x1)<f(x2),则一定有( D )(A)x1<x2(B)x1>x2(C)<(D)>解析:因为f(-x)=sin4x+cos4x=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|),因为f(x1)<f(x2),所以f(|x1|)<f(|x2|).又f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x·cos2x=1-sin22x=1-·=+,在[0,]单调递减,所以|x1|>|x2|,所以>,故选D.18.如图,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2之间的距离是1,l2与l3之间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,则△ABC的边长等于.解析:设其边长为a,AB与l2的夹角为θ,易知1=asin θ,2= asin(-θ),所以2sin θ=sin(-θ),即cos θ-sin θ=0,可得tan θ=,所以sin θ=,所以a==.答案:19.关于函数f(x)=sin xcos x-cos2x,给出下列命题:①f(x)的最小正周期为2π;②f(x)在区间(0,)上为增函数;③直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴;④函数f(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位得到;⑤对任意x∈R,恒有f(+x)+f(-x)=-1.其中正确命题的序号是.解析:f(x)=sin 2x-=sin(2x-)-,显然①错;x∈(0,)时,2x-∈(-,0),函数f(x)为增函数,故②正确;令2x-=+kπ,k∈Z,得x=π+,k∈Z,显然直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴,故③正确; f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位得到y=sin2(x-)= sin(2x-),故④错;f(+x)+f(-x)=sin(2x+)-+sin(-2x-)- =sin(2x+)-sin(2x+)-1=-1,故⑤正确.答案:②③⑤20.如图所示,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地, △ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余地方种花,BC=a(a为定值),∠ABC=θ,△ABC的面积为S1,正方形PQRS的面积为S2,当取得最小值时,求角θ的值.解:由题意得θ∈(0,),AB=acos θ,S1=a2cos θsin θ=a2sin 2θ,设PS=m,则AP=mcos θ,BP=.由AB=AP+BP得mcos θ+=acos θ,所以m=,===++1,令t=sin 2θ,θ∈(0,),则t∈(0,1],由于y=++1在(0,1]上为减函数,因此t=sin 2θ=1时,取得最小值,此时θ=.。
3.2 简单的三角恒等变换 课件
第三章 三角恒等变换
2．半角公式
在公式 cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1 中用α2代替 α，得 cos
α＝1－2sin2α2＝__2_co_s_2_α2_－__1__.sinα2＝
1－cos α _±________2_____.cosα2
1＋cos α ＝__±________2______.tanα2＝±
目 录/contents
第三章 三角恒等变换
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
什么是学习力
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
第三章 三角恒等变换
跟踪训练
1．已知 sin 2α＝－1123，π<2α<32π，求 sin α，cos α.
解：因为 sin 2α＝－1123，π<2α<32π，
所以 cos 2α＝－ 1－sin22α＝ －
因为 π<2α<32π，所以π2<α<34π， 故 cos α<0，sin α>0.
1－－11232＝－153.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(1)由 f(α)＝1，则 sin(2α＋π3)＋1＝1， ∴sin(2α＋π3)＝0，得 2α＋π3＝kπ，α＝k2π－π6(k∈Z)． 又∵α∈(0，π)，∴α＝π3或56π. (2)由 f(x)单调递增， 得 2x＋π3∈[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)， ∴f(x)的单调递增区间为[－51π2＋kπ，1π2＋kπ](k∈Z)．
3.2简单的三角恒等变换
3．2简单的三角恒等变换半角公式【问题导思】为丰富三角变换，我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么倍角公式中的2α能否化为α，结果怎样？结果是sin α＝2sin α2cos α2；cos α＝2cos 2α2－1＝1－2sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2；tan α＝2tanα21－tan 2α2.sin α2＝± 1－cos α2，cos α2＝± 1＋cos α2， tan α2＝± 1－cos α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cosα2cos α2·2cos α2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2·2sin α2cos α2·2sin α2＝1－cos αsin α.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(其中tan θ＝ba)．应用半角公式求值已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论． 2．由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： (1)先化简所求的式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．本例中将条件改为“π<θ<32π，且sin θ＝－45”，如何求解？三角恒等式的证明求证：2(cos x －sin x )1＋sin x ＋cos x ＝cos x 1＋sin x －sin x1＋cos x.1．恒等式的证明，包括无条件的恒等式和有条件的恒等式两种．(1)无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．(2)有条件的恒等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证．2．进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的．求证：tan(α＋π4)＋tan(α－π4)＝2tan 2α.与三角函数性质有关的综合问题已知函数f (x )＝cos(π3＋x )·cos(π3－x )，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．1．为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提．2．本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障．已知f (x )＝cos 2(x ＋π12)＋sin x cos x ．求：(1)f (x )的最值； (2)f (x )的单调递增区间．三角函数在实际问题中的应用如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？图3－2－11．解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．2．在求解过程中，要注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角α)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响．有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地，使其一边AD 落在圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的应用(12分)已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1，x ∈R .(1)当自变量y 取得最大值时，求自变量x 的集合； (2)求函数的单调递增区间．1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63B ．－63C ．±63D ．±332．已知cos α＝45，α∈(32π，2π)，则sin α2等于( )A ．－1010B.1010C.310 3 D ．－353.sin 13°＋cos 15°sin 2°cos 13°－sin 15°sin 2°的值为( )A ．2＋ 3B ．2－ 3 C.2＋32 D.2－324．设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.求ω的值．一、选择题1．下列各式与tan α相等的是( )A.1－cos 2α1＋cos 2α B.sin α1＋cos α C.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α2．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 3．已知tan α2＝3，则cos α为( )A.45 B ．－45 C.415 D ．－354．已知sin θ＝－35，3π＜θ＜72π，则tan θ2的值为( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－135．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 二、填空题6．若3π2＜α＜2π，且cos α＝14，则12＋1212＋12cos 2α的值是________． 7．函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1的最小正周期为________．8．已知2sin 2x ＋sin 2x 1＋tan x ＝12(π4＜x ＜π2)，则sin x －cos x ＝________.三、解答题9．已知：sin α2sin (π4－α2)sin (π4＋α2)＝2，求1－cos 2αsin αcos α的值．10．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．11．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT，且PT＝1，∠P AB＝α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？。
3.2简单的三角恒等变换(一)
讲解范例： 讲解范例： 例4.
三角恒等变换常常首先寻找式子所包含 的各个角之间的联系， 的各个角之间的联系，这是三角式恒等变 换的重要特点． 换的重要特点．
讲解范例： 讲解范例： 例5. 已知函数
讲解范例： 讲解范例： 例6. 若函数 f ( x) = 3 sin2x + 2cos2 x + m π 上的最大值为6， 在区间[0, ]上的最大值为 ，求常数 2 m的值及此函数当 ∈R时的最小值及 的值及此函数当x∈ 时的最小值及 的值及此函数当 取得最小值时x的集合 取得最小值时 的集合. 的集合 练习. 教材P.142练习第 题. 练习第4题 练习 教材 练习第
讲解范例： 讲解范例： 变式
在直径AB=1的半圆上移动 过点 的半圆上移动,过点 点P在直径 在直径 的半圆上移动 过点P 作圆的切线PT,且 作圆的切线 且PT=1 记∠PAB＝α，求当角α ＝ T 取何值时，四边形ABTP的 取何值时，四边形 的 面积最大？ 面积最大？并求出这个 P 最大面积. 最大面积
2 2
= a2 +b2 ( sin xcosϕ + cos xsinϕ)
= a2 +b2 sin( x +ϕ)
复习引入 2. 三角函数的倍角公式 三角函数的倍角公式: 倍角公式
cos 2α = 2cos α −1
2
讲授新课
思考： 思考：
讲解范例： 讲解范例： 例1.
讲解范例： 讲解范例：
α
A
B
讲解范例： 讲解范例：
练习. 把一段半径为R的圆木锯成横截面 练习 把一段半径为 的圆木锯成横截面 为矩形的木料， 为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的 面积最大？（分别设边与角为自变量） 面积最大？（分别设边与角为自变量） ？（分别设边与角为自变量