用十字相乘法把二次三项式分解因式(含答案)
因式分解之十字相乘法
因式分解之十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
（1）二次项系数为1的十字相乘法：如果二次三项式2++x px q 中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，且一次项系数p 恰好是+a b ，那么2++x px q 可以进行如下分解因式，即()()()22++=+++=++x px q x a b x ab x a x b ，用十字交叉线来表示：x+ax +b【要点诠释】①在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号（若0c <，则p q 、异号），然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；②若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止。
（2）二次项系数不为1的十字相乘法：在二次三项式2ax bx c ++（a ≠0）中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘、再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.【要点诠释】①分解思路为“看两端，凑中间”；②二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。
基础强化练习【例1】因式分解：（1）21124x x ++=；（2）21024x x ++=；（3）2224x x --=；（4）2524x x +-=；（5）22524x x ++=；（6）21424x x ++=；（7）21024x x +-=；（8）22324x x --=.【例2】将下列各式因式分解：（1）2109x x ++（2）2212x xy y --（3）2310x x --（4）2243n mn m --（5）22712x y xy -+（6）2412n n x x --（7）2(2)6(2)27x y x y +++-（8）42536x x --（9）()()222812a a a a +-++（8）22483m mn n ++（9）22627x y xy +-（10）2215x x --（11）22443(2)2m mn n m n -+--+（12）632827x x -+（13）()()2222483482x x x x x x x ++++++（14）20322--x x （15）222064xy y x -++（16）256x x -++（17）22(1)7(1)3x x ++++（18）22()5()3x y x y -+--（19）()()421336a b a b +-++（20）()()21623122x y x y +-+-（21）2222(6)4(6)5x x x x ----（22）(1)(2)(3)(6)20x x x x +---+（23）22(1)(2)12x x x x ++++-（24）22(6)(8)24x x x x +-+--（25）()()2243123515x x x x +++++【例3】用十字相乘法解方程：（1）22730x x -+=（2）26750x x --=（3）22530x x --=（4）221570x x ++=（5）23840a a -+=（6）25760x x +-=（7）2611100y y --=（8）2250x -+=（9）2252x x -=-【例4】已知二次三项式218x ax +-能在有理数范围内分解因式，求整数a 的可能值，并分解因式。
十字相乘法(因式分解)专题讲解及练习
因式分解方法：:十字相乘法知识点一、对于二次项系数为1的二次三项式方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．知识点二、对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．一、二次项系数为1二次三项式的十字相乘例1.分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
解：652++x x =32)32(2⨯+++x x=)3)(2(++x x例2.分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x=)6)(1(--x x))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x二、二次项系数不为1的二次三项式的十字相乘例1.分解因式：101132+-x x解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y三．多字母的二次多项式例1.分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
八年级数学十字相乘法因式分解
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x 2＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例5 将 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分 解因式
；宁波象山包船捕鱼 宁波象山包船捕鱼
；
的事。 ? 她不属于我们，因为她是天使。 是“国家”错了 ? 在民法的慈母般的眼里，每一个人就是整个国家。——孟德斯鸠 1 ? 一百年前的法兰西。正义的一天—— ? 1898年1月13日，著名作家左拉在《震旦报》上发表致共和国总统的公开信，题为《我控诉》，将一宗为当局所讳的 冤案公曝天下，愤然以公民的名义指控“国家犯罪”，替一位素昧平生的小人物鸣不平…… ? 该举震撼了
十字相乘法完整版
( 4 ) 2x2+5xy - 12y2
( 5 ) 6x2 - 7xy – 5y2
A
8
(6)（x+y）2 + 4(x+y) - 5 (7) 2（a+b）2 + 3(a+b) – 2 (8) 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5
A
9
分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、 去括号等一些变换达到因式分解的目的。
－5
6
－5
2
－
－1－10=－111
1
1
－5＋6=1
A
17
2 2
练习2 将 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2
分解因式 2 2
解： 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2 2 2
=(2x －3xy－2y )＋3x＋4y－2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
x2 7x 12 x2 3x 10
小结：
当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一 定同号,符号与一次项系数相同；
当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异 号，绝对值大的数与一次项系数同号
A
4
练一练：将下列各式分解因式
x2 +7 x 10 x 2 -2x 8 y2 7 y 12 x2 7 x 18
A
14
因式分解 x4 + 4 都是平方项
猜测使用完全平方公式
解：原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= (x2+2)2 – (2x)2
完全平方公式
平方差公式
= (x2+2x+2)(x2–2x+2)
因式分解专题4_用十字相乘法(含答案)
4、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式2x （a b ）x ab h[x • a X • b 进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的 两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax 2 bx c （ a 、b 、c 都是整数，且a 0 ）来说，如果存在四个整数 a 1， c ，a 2， c 2 满足 a 1a^ a ， qq = c ，并且 a 1c 2 - a 2C | = b ，那么二次三项式 2 2ax bx c 即 a 1a 2x - a 1c 2 - a 2c 1 x - c 1c 2 可以分解为 a 1x - c 1 a 2x - c 2。
这里要确定四个常数a 1，c 1，a 2，q ，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借 助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】1.在方程、不等式中的应用2例1.已知：x - 11x 24 0，求x 的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
解： x 2 -11x 24 0.x -3 x -8 0 将它与原式的各项系数进行对比，得：a b--1, m=1, 2a-b - -2m解得：a - -1, b =0, m =12 2此时，原式二x 2 x -x-1(2)设原式分解为 x 2 • cx -2 x 2 dx 1，其中c 、d 为整数，去括号，得:x 4 亠［c d x ‘ - x 2 亠［c - 2d x - 2x - 3 0 l x —8 - 0 或 x - 3 ” 0 x - 8 ：： 0将它与原式的各项系数进行对比，得：c d - -1，m - -1，c-2d - -2m解得：c=0， d = -1，m=-12 2此时，原式二x -2 x -x 12.在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x 、y ,周长为16cm ，且满足2 -2xy - y *2=0，求长方形的面积。
18十字相乘法及分组分解法(基础)知识讲解及其练习 含答案
十字相乘法及分组分解法（基础）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法 分类 分组方法特点 分组分解法 四项 二项、二项①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项各组之间有公因式 六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、将下列各式分解因式：（1）； （2）21016x x -+； （3）2310x x -- 【答案与解析】 解：（1）因为78x x x -=-所以：原式＝()()78x x +-（2）因为2810x x x --=-所以：原式＝()()28x x --（3）()()()2210331052x x x x x x --=-+-=-+- 【总结升华】常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式1】分解因式：（1）1072++x x ； （2）822--x x ； （3）2718x x --+【答案】解：（1）()()271025x x x x ++=++ （2） ()()22842x x x x --=-+ （3） ()()22718(718)29x x x x x x --+=-+-=--+ 【变式2】（秋·闵行区期末）因式分解：()()222812x xx x +-++. 【答案】解：()()222812x x x x +-++=()()2226x x x x +-+-=()()()()1223x x x x -+-+.2、将下列各式分解因式：（1）22355x x +-； （2）25166x x ++ （3）22616x xy y --； （4）.【思路点拨】（3）题216y -可看成常数项，21682,826y y y y y y -=-⨯-+=-.（4）题可将()2x +看成一个整体来分解因式.【答案与解析】解：（1）22355x x +-=()315x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭； （2）251116623x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （3）()()2261682x xy y x y x y --=-+；（4）因为()()()25242292x x x -+-+=-+所以：原式()()225522x x =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2158x x =-+【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）21136x x -+； （2）251124a a --； （3）10722+-xy y x ； （4）()()342++-+b a b a .【答案】解： （1）22111121366332x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2513112443a a a a ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （3）()()2271025x y xy xy xy -+=--； （4）()()()()24313a b a b a b a b +-++=+-+-.3、将下列各式分解因式：（1）；（2） 【答案与解析】解：（1）因为 91019y y y +=所以：原式＝()()2335y y ++（2）因为21183x x x -=所以：原式＝()()2379x x +-【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.举一反三：【变式】分解因式：（1）2314x x +-；（2）2344x x --+；（3）2631105x x +-；【答案】解：（1）()()22314341311x x x x x x +-=-+=--；（2）()()223444432123x x x x x x --+=--=+-；（3）()()263110521537x x x x +-=+-.类型二、分组分解法4、（春•重庆校级期中）先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）如“3+1”分法：2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1=（x+y+1）（x+y ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1．【思路点拨】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．【答案与解析】解：（1）x 2﹣y 2﹣x ﹣y=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2=45am 2﹣5a （4x 2﹣4xy+y 2）=5a[9m 2﹣（2x ﹣y ）2]=5a （3m ﹣2x+y ）（3m+2x ﹣y ）；（3）4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1=（4a 2+4a+1）﹣b （4a 2+4a+1）=（2a+1）2（1﹣b ）．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．举一反三：【变式】分解因式：22244a b ab c +--【答案】解：原式()()()22222(44)222a ab b c a b c a b c a b c =-+-=--=-+--.【巩固练习】一.选择题1. 将21016a a ++因式分解，结果是( )A.()()28a a -+B.()()28a a +-C.()()28a a ++D.()()28a a --2.（秋•西城区校级期中）下列因式分解结果正确的是（ ）A ．()3221510532a a a a a +=+B ． ()()2943434x x x -=+-C ． ()2210255a a a --=-D ． ()()231025a a a a --=+- 3. 如果()()2x px q x a x b -+=++，那么p 等于( )A.abB.a b +C.ab -D.a b --4. 若()()236123x kx x x +-=-+，则k 的值为( )A.－9B.15C.－15D.95. 如果，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．66．把2222a b c bc --+进行分组，其结果正确的是（ ）A. 222()(2)a c b bc ---B. 222()2a b c bc --+C. 222()(2)a b c bc ---D. 222(2)a b bc c --+二.填空题7. 若()()21336m m m a m b -+=++，则a b -＝ .8. 因式分解22a b ac bc -++___________．9．（·潍坊三模）分解因式：3231215x x x --= ．10. 因式分解：ax bx cx ay by cy +++++＝_______________；11. 因式分解()2064x x -+＝ .12.分解因式：321a a a +--＝________.三.解答题13.若多项式236x px ++可以分解成两个一次因式()()x a x b ++的积，其中a 、b 均为整数，请你至少写出2个p 的值．14. （宣武区校级期末）因式分解：2x 2+x ﹣3．15.分解因式：（1）268x x -+；（2）21024x x +-；（3）215238a a -+；（4）22568x xy y -++；（5）225533a b a b --+.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；2. 【答案】D ；【解析】A 、()3221510532a a a a +=+，故此选项错误；B 、()()2943232x x x -=+-，故此选项错误；C 、21025a a --无法因式分解，故此选项错误；D 、()()231025a a a a --=+-，正确.3. 【答案】D ；【解析】()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，所以a b p +=-.4. 【答案】A ；【解析】()()2123936x x x x -+=--.5. 【答案】B ；【解析】由题意5306b b =-=-，.6. 【答案】D ；【解析】原式＝()()222(2)a b bc c a b c a b c --+=+--+.二.填空题7. 【答案】±5；【解析】()()2133649m m m m -+=--，所以9,4a b =-=-或者4,9a b =-=-.8. 【答案】()()a b a b c +-+；【解析】22a b ac bc -++()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+. 9. 【答案】()()315x x x +-；【解析】()32231215345x x x x x x --=-+=()()315x x x +-． 10.【答案】()()a b c x y +++；【解析】原式()()ax bx cx ay by cy =+++++()()x a b c y a b c =+++++()()a b c x y =+++.11.【答案】()()164x x --；【解析】()()()220642064164x x x x x x -+=-+=--. 12.【答案】()()211a a +-； 【解析】321a a a +--()()()()221111aa a a a =+-+=+-. 三.解答题13.【解析】 解： 由题意得236()()x px x a x b ++=++，则2236()x px x a b x ab ++=+++，36a b p ab +==，由a 、b 均为整数，可写出满足要求的a 、b ，进而求得p ，36＝1×36＝(－1)×(－36)＝2×18＝(－2)×(－18)＝3×12＝(－3)×(－12) ＝4×9＝(－4)×(－9)＝6×6＝(－6)×(－6)，所以p 可以取±37，±20，±15，±13，±12．取上述的两个p 值即可．14.【解析】解：原式=（2x+3）（x ﹣1）．15.【解析】解：（1）()()26824x x x x -+=--；（2）()()21024122x x x x +-=+-；（3）()()2152381581a a a a -+=-- （4）()()()2222568568542x xy y x xy y x y x y -++=---=-+- （5）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-.。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
初二因式分解含答案
因式分解的基本方法中考要求例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
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用十字相乘法把二次三项式分解因式1、如果x x mx mx 43222-+--能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。
2.已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。
3、证明：若4x y -是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则810322x xy y +-是49的倍数。
4、把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。
5、 因式分解：6752x x --=_______________6、若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ） A. 1B. -1C. ±1D. 27、 已知：a 、b 、c 为互不相等的数，且满足()()()a c b a c b -=--24。
求证：a b b c -=-.8、若x x x a 3257+++有一因式x +1。
求a ，并将原式因式分解。
作业：1. 分解因式：（1）a b ab 221639++ （2）15742122x x y y nn n n +-++（3）()()x x x x 222322372+-++2. 在多项式x x x x x x x x x ++++-+-++123232123222，，，，，，哪些是多项式()()x x x x 242221029+-++的因式？3. 已知多项式21332x x x k --+有一个因式，求k 的值，并把原式分解因式。
4. 分解因式：3529422x xy y x y +-++-5. 已知：x y x y +=+=05312..，，求312922x xy y ++的值。
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式()()x a b x ab x a x b 2+++=++()进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax bx c 2++（a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax bx c 2++即()a a x a c a c x c c 122122112+++可以分解为()()a x c a x c 1122++。
这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
1、分析：应当把x 4分成x x 22⋅，而对于常数项-2，可能分解成()-⨯12，或者分解成()-⨯21，由此分为两种情况进行讨论。
解：（1）设原式分解为()()x ax x bx 2212+-++，其中a 、b 为整数，去括号，得：()()x a b x x a b x 43222++++-- 将它与原式的各项系数进行对比，得：解得：a b m =-==101，，此时，原式()()=+--x x x 2221（2）设原式分解为()()x cx x dx 2221+-++，其中c 、d 为整数，去括号，得：()()x c d x x c d x 43222++-+-- 将它与原式的各项系数进行对比，得：c d m c d m +=-=--=-1122，， 解得：c d m ==-=-011，， 此时，原式()()=--+x x x 22212、分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
解： x y x xy y --+-+=22220 ()()()()()∴-+---=∴----=∴---+=x xy y x y x y x y x y x y 22222020210()∴--=x y 20或x y -+=10 又 x y +=8∴--=+=⎧⎨⎩-+=+=⎧⎨⎩x y x y x y x y 208108或解得：x y ==⎧⎨⎩53或x y ==⎧⎨⎩3545..∴面积为15cm 2或6342cm 3、 分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
证明一：()()810323422x xy y x y x y +-=+- ()2234647x y x y x y y +=+=-+∵4x y -是7的倍数，7y 也是7的倍数（y 是整数）∴()223x y +是7的倍数, 2与7互质，∴23x y +是7的倍数，∴810322x xy y +-是49的倍数。
证明二：∵4x y -是7的倍数，设47x y m -=（m 是整数） 则y x m =-47又∵()()810323422x xy y x y x y +-=+-()()()()∴+--+=-=-21221447714214923x x m x x m m x m m x m∵x ，m 是整数，∴()m x m 23-也是整数 所以，810322x xy y +-是49的倍数。
4、解：22224954y y x y x -- ()()()()()()=--=-+=++-y x x y x x y xx x 2422222245949112323说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。
6、解：()()x y mx y x y x y mx y 225656-++-=+-++--6可分解成()-⨯23或()-⨯32，因此，存在两种情况：（1）x+y -2 （2）x+y -3x-y 3 x-y 2 由（1）可得：m =1，由（1）可得：m =-1 故选择C 。
说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
7、证明：()()() a c b a c b -=--24()()()()()()∴----=∴-+-+-+=∴+-++=∴+-=∴+-=∴-=-a c b a c b a ac c bc ac ab b a c b a c b a c b a c b a b b c2222222402444404402020说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
8、解： x x x a 3257+++有一因式x +1∴当x +=10，即x =-1时，x x x a 32570+++= ∴=a 3()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3232222257344331413114311313+++=+++++=+++++=+++=+++=++说明：由条件知，x =-1时多项式的值为零，代入求得a ，再利用原式有一个因式是x +1，分解时尽量出现x +1，从而分解彻底。
作业：1.（1）()()()=++=++ab ab ab ab 21639313 （2）()()=-+++35411x y x y n n n n （3）解：原式()()()()()()=+-+-=+-+-x x x x x x x x 22343184163 2. 解：()() x xx x 242221029+-++()[]()[]()()()()()()()()()=+-+-=+++-+++-=+++-++-x x x x x x x x x x x x xx x x x x x 222222222222921232321212331121∴其中x x x x x x +++++-13232122，，，是多项式()()x xx x 242221029+-++的因式。
说明：先正确分解，再判断。
3. 解：设()()21321322x x x k x x ax b --+=+++则()()21322123232x x x k x a x a b x b --+=+++++∴+=-+=-=⎧⎨⎪⎩⎪211213a a b b k 解得：a b k =-=-=-⎧⎨⎪⎩⎪166∴=-k 6且()()()()()21362162132322x x x x x x x x x ---=---=--+说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。
4. 解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。
设3529422x xy y x y +-++-()()()()=-+++=+-+++-+323523222x y m x y n x xy y m n x m n y mn比较同类项系数，得：m n m n mn +=-==-⎧⎨⎪⎩⎪31294解得：m n ==-⎧⎨⎩41()()∴+-++-=-+--35294342122x xy y x y x y x y5. 解：312922x xy y ++()()()=++=++3433322x xy y x y x y x y x y +=+=∴=⨯⨯=0531********.....，原式说明：用因式分解可简化计算。