线性代数第四章
第四章-解AX=b的迭代法
•迭代格式的收敛性
2 k 引理4.1 (线性代数定理) 设矩阵序列 IM , , M , , M ,
k l i m M 0 ( M ) 1 . k
则
（证明见关治和陈景良编《数值计算方法》P410-412） 定理4.1 设迭代格式为
( k 1 ) ( k ) xM x g , k 0 , 1 , 2 , ( 4 . 3 )
充分性（）设ρ(M)<1,证{x(k)}收敛。
如果ρ(M)<1 ，则I-M为非奇异矩阵。事实上，因
为ρ(M)<1，λi<1，因此λ=1不是M的特征值，即
| 1 IM || IM |0 .
所以方程组 (I-M)x = f 有惟一解x*,满足(I-M)x* = f ，即 x*=Mx* + f 。于是
( k ) ( k 1 ) 2 ( k 2 ) x x * M ( x x * ) M ( x x * ) k ( 0 ) k M ( x x * ) M . 0
由引理4.1知，
k () k I f ( M ) < 1 ,t h e nl i m M 0 , l i m ( x x * ) 0 , i . e . k k () k l i m x x * . k
写成矩阵形式
x1 0 x b 2 21 31 x3 b x b n n1
或简记为
b 12 b 13 0 b23 b 0 32 bn2 bn3
b 1n x 1 g 1 b2n x2 g2 b 3n x 3 g3 g x 0 n n
( k ) ( k ) ( k 1 ) ( k ) x x * x x q x x *
线性代数第四章矩阵的特征值
令 P ( p1 p2 L pn ), 则P 可逆，且
AP ( Ap1 Ap2 L Apn ) (1 p1 2 p2 L n pn )
1
( p1 p2 L
pn
)
2
O
P,
n
2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量
若A有一个t重特征值，对应的特征向量在线性 无关的意义下小于t，则A不与对角矩阵相似。
3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。 特征值和特征向量的对应.
1. 求出n阶矩阵A的所有特征值 2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量 3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。
3 1
的λ都是方阵Ａ的特征值．
定义4.2 设A为n阶矩阵,含有未知量λ的矩阵λI-A
称为A的特征矩阵,其行列式
I A
为λ的n次多项式,称为A的特征多项式, I A 0
称为A的特征方程.
求n阶矩阵的特征值和特征向量的步骤:
1. 由矩阵A的特征方程 I A 0 求出A的特征值 1,2 ,L s (s n 2k )
所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理的证明告诉我们，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩 阵Λ相似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部
特征值．相似矩阵P的列是对应于Λ对角线上 元素的特征向量。
推论 若ｎ阶矩阵A有n个两两不同的特征值，则
Ａ必与对角矩阵Λ相似
推论 若ｎ阶矩阵Ａ有n个特征值,则可相似对 角化<==>Ａ的任ti重特征值有对应ti个线性无
A
4 1
3 0
0 2
线性代数课件PPT复习四五章
0 0 0
1
a1 a2
1
an
0 0 0
0 0 0
a1 a2
1
1
an
a1
a2 a1
a3 a2
an an1
此即 在基底
1,
2
,
,
n
下的坐标.8
例3 在R3中取两组基
1 (1,2,1)T ,2 (2,3,3)T ,
1 (3,1,4)T , 2 (5,2,1)T ,
对应.
17
0 1 0
0
故在该基底下的矩阵为
0
A
0
1
0
0
0
0
1
0 0 0
0
A的特征多项式为
1 0
0
0 1
0
| E A |
n
00 0
1
00 0
故A的特征根为 ＝0 (n重)
把＝0 代入 ( E A)X 0 得基础解系1 (1,0, ,0)T
因此，A的属于特征根＝0的特征向量为
20
1. 计算A的特征多项式 | E−A| ; 2. 求特征方程 |E−A| = 0的全部根1, 2, ···, n, 也就
是A的全部特征值;
3. 对于特征值i, 求齐次方程组(iE−A)x = 0 的非零 解, 也就是对应于i 的特征向量.
[求出一组基础解系，它们就是对应于该特征根的线性无关
特征向量，它们的所有非零线性组合即为属于该特征根的
全部特征向量.]
注意：一般说求特征向量是求全部的特征向量，而 且要保证特征向量不为零. 如 k1X1+k2X2 (k1, k2不同时为0)
16
4. 掌握相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化 的充要条件及方法.
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
线性代数第四章
§3 向量组的秩
定义5 设有向量组 A， 如果在A中能选出 r个向量a1 , a 2 , , a r， 满足(1) 向量组A0 : a1 , a 2 , , a r 线性无关; ( 2) 向量组中 任意r 1个向量(如果A中有r 1个向量的话 )都线性相关 ， 那么称向量组 A0 是向量组 A的一个最大线性无关向 量组(简 称最大无关组 )， 最大无关组所含向量个 数r称为向量组 A 的秩， 记为RA .
a T (a1 , a2 ,, an )
二、向量的运算
三、向量组
定义 由若干个同维数的列向 量(或同维数的行向量 )构成 的集合称为向量组 . a11 a12 a1n a21 a22 a 2 n A a a a m2 mn m1 A (1 , 2 , , n ) , 其中 j (a1 j , a 2 j , , a mj )T T T A ( , , , ) , 其中 1 2 m i ( a i 1 , a i 2 , , a in )
向量组B : b1 , b2 , , bl 能由向量组向量 A : a1 , a2 , , am 线性表示 R( A) R( A, B ) 有矩阵K， 使得B AK 矩阵方程 AX B有解
例( P 86例 3) 设n维 向 量 组 A : a1 , a 2 , , a m 构 成n m 矩 阵 A ( a1 , a 2 , , a m )，n阶 单 位 矩 阵 E (e1 , e 2 , , e n )的 列 向 量 称 为n维 单 位 坐 标 向 量 .证 明 : n 维 单 位 坐 标 向 量 e1 , e 2 , , e n能 由 向 量 组 A线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 R( A) n.
西北工业大学《线性代数》课件-第四章 向量组的线性相关性
b
b2
bm
三、两向量相等
设向量
α (a1, a2 ,, ak )
β (b1, b2 ,, bl )
则
α β k l 且 ai bi
(i 1,2,, k)
四、零向量
分量都是0的向量称为零向量，记做 0，即
0 (0,0,,0).
五、向量的线性运算
⒈ 加法 设
α (a1, a2 ,, an )
2 2 2 ( )2
几何解释：三角形两边 之和大于第三边
α
β
α β
⒊ 夹角 设 与 是n维非零向量，则其夹角定义为
arccos [ , ]
arccos
a1b1 a2b2 anbn
a12 a22 an2 b12 b22 bn2
(0 )
定义的合理性：由不等式 (5) α, β α β
2
➢ 非零向量单位化
设 0 ，单位化向量
0
则有 0 1且 0与 同向.
九、小结
1. n维向量的定义； 2. n维向量的运算规律；
§4.2 向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
1. 线性组合 定义4.6 设 ,1,2,,m均为n维向量，若有一组 数 k1, k2 ,, km ，使得
⑶ 数量积：a b a b cos
bx
(a
x
,
a
y
,
az
)
by bz
axbx a yby azbz
向量内积及 与模,夹角关系
矩阵乘积表示
可用作内积定义
⑷ 模： a aa
模的定义
三维向量全体构成的集合,称为三维向量空间.记做 R3
解析几何
向量
(线性代数)第四章 矩阵的特征值和特征向量
∴η1
=
a2 − a1
1 0 0 0 ,η 2 = 1 ,L ,η n −1 = 0 M M M 0 1 0
对应λ=0的 =0的 特征向量为 k1η1 + L + kn −1η n −1 , k ,L , k 不全 n −1 1
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.1 相似矩阵
§4.1 相似矩阵 一. 相似矩阵的定义和性质 AP= 都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P−1AP=B, 则称矩阵A 相似. 记为A 相似变换矩阵. 则称矩阵A与B相似. 记为A~B. P为相似变换矩阵. 相似是相抵的特例 相似必相抵,反之不然. 特例: 注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然. 注2: 矩阵间的相似关系是一种等价关系 (1) 反身性: A~A; 反身性: P−1AP =B (2) 对称性: A~B ⇒ B~A; 对称性: PBP−1 =A (3) 传递性: A~B, B~C ⇒ A~C. 传递性: 相抵关系下的不变量： 相抵关系下的不变量：矩阵的秩 相似关系下的不变量： 相似关系下的不变量： 矩阵的秩
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
解: |λE–A| = (λ+1)(λ –2)2. +1)( 所以A 所以A的特征值为λ1= –1, λ2= λ3= 2. (–E–A)x = 0的基础解系: ξ1=(1,0,1)T. 的基础解系: 对应于λ1= –1的特征向量为kξ1 (0≠k∈R). 的特征向量为k (0≠ (2E–A)x = 0的基础解系: (2E 的基础解系: ξ2=(0, 1, –1)T, ξ3=(1, 0, 4)T. =2的特征向量为 的特征向量为k 对应于λ2=λ3 =2的特征向量为k2ξ2 +k3ξ3 (k2, k3不同时为零). 不同时为零).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 向量组的线性相关性一、计算题 1．解：T a a a a )27,32,2,13(346321-=-+= 2．解：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=151421000030000100002)(432143214321k k k k k k k k a a a a a 即得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡23/5124321k k k k 43212352a a a a a ++-=∴3．解：32133221191411a a a a a k a k a k a ++-=++=得解此非齐次线性方程组设4.解：33),,(321向量个数==a a a R 线性无关∴5.解：33),,(321向量个数==a a a R 线性无关∴6.解：32),,(321向量个数<=a a a R 线性相关∴7. 解：)(4221a a a a A = 0=A ∴4)(向量个数 A R 线性相关∴8.解：43),,,(4321向量个数<=a a a a R .321,,:a a a 无关组为线性相关，其一个最大∴ 9.解：12341023()01340000ra a a a --⎛⎫⎪−−→ ⎪⎪⎝⎭2142132143,32,,,2a a a a a a a a R +-=+-==且一个最大无关组为：得到 10.解：123103012()000000ra a a -⎛⎫⎪⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭2132123;,;2a a a a a R +-==且一个最大无关组为 11. 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b b a r 255006150314131413322232/5,5025052==⇒⎩⎨⎧=-=-b a b a 可得由秩为12．解：,,17/507/2001200007/51007/202121214321rR k k k k x x x x x A ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−其中得通解系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=17/507/2001221ξξ，基础解系 13．解：通解;,,0103200121212154321R k k k k x x x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=010*********ξξ，基础解系14．解：增广矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−=000001110021021,rb A B 42)()( ==B R A R ，因此有无穷多个解，其通解为,,01021101001221214321R k k k k x x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=其中 15．解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−=100005/22/110011221,rb A B ，)()(B R A R ≠，无解16.解：非齐次方程组通解为其对应齐次方程组的基础解系再加上一个特解，，方程组的解集的秩是，由题中条件知此齐次是对应齐次方程组的解13421=--ηη,,6543R k k ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛故其基础解系为R k k x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,54326543,1故通解解为而非齐次方程组的一个η17、解：⎩⎨⎧III的解，程组公共解就是四元齐次方⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≠0000,0x A 解为因此只有零解，故公共其系数矩阵18.解：上方程组与方程联立起来得到三元四个方程的方程组，此方程组有解推出其系数矩阵与增广矩阵的秩相同，作初等变换可得R k k k x a i ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==,101001,121公共解为19.解：()()Rk k k x A R b a B R A R a a a b a b A B i r∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-====≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----−→−=,013210540112,2)(,3,2,43)(2,245424003511011111,21通解为因此且能三个无关解矛盾，故只这与有则若20.解：()。
量是它们之和的负向量大无关组，剩下一个向任意三个都可作一个极，它们中此时时，；则为无关组个极大无关组，选中任一个都可以是其一此时时上述向量组相关，，或可得则令0,3)(10)4,3,2()4,3,2,1(,1)(0100,0,432111i 4321=+++=-======-====ααααααααααααA R a k k i A R a a a A A k21.解： 2633,2212121-==-=-=-+=B B A 得到由行列式性质αααααα 22.解：四个向量组构成的矩阵记为A,.2/1,021121000210011103211==-≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−a a a a a A r即和线性相关性必有，由23.解：21,2===B A A B 得到代入由行列式性质可得24.解：存在初等矩阵,,1*1--==⇒=A A A BA P B PA P 又使得则交换*A 的第一行与第二行后的矩阵为21*)(-=A B A PA 25.解：B的列向量都是Ax=0的解，由矩阵秩性质Rk k k k x A R k R k k x A R k A R A R ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==≠∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=====2,12111,63321,1)(9;,321,2)(9,2)(1)(通解为时当这时通解为时当或26.解：()())()()(,321321B R AB R A R B A ≠===由题意应满足βββααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--++----−→−2463020022011022111)(2a a a a a a a a a AB r2)(120a -22-==-==-a a a a ，故不满足条件，舍去或得令 27.解：同解说明了解集空间相同，即解空间的基等价，也就是两个方程组基础解析等价。
有非零解。
一个有零解，而第二个时方程组并不同解，第2≠a2,1,2-=-==c b c b a 讨论最终可得对解，由两个方程同解经时两个方程组都有非零二、证明题1.证明：（提示）作初等行变换只需证明)()()(AB R B R A R ===22.证明：B 组能由A 组线性表示，但A 组不能由B 组线性表示。
证明：（提示）只需证)()()(B R AB R A R ≠=3.证明：用反证法证明，假设向量组b 1，b 2 ，…，b r 线性相关，则由相关和a 1，a 2，…，a r 线性无关以及无关的定义推出矛盾即可。
4.证明：()由其余向量线性表示相关，故其中一个总能∴<=,43)1(4321ααααR 矛盾。
相关，这与这说明线性表示，，，能由的结论可推出，则由反证，假设能线性表示4)()1()2(543254324325=ααααααααααααR5.证明：因此有由性质又因有则由秩的性质)()(;)2()()(6,2)()(;)()(8,))((2A E R E A R n E R A E R E A R E A E E A n E A R E A R E A E A E A -=-=≥-++=-++≤-++O =+-⇒O =-()()R A E R A E n ++-=6、 证明：）得证。
推出矛盾，故（而得到等式两边左乘使得数线性表示，即存在一组，由假设相关，则）反证（1,0,0,k .........k ,............:121*11*≠=++=---b b A k k r n r n r n ξξηξξη (2)证：()()****12*121111010000100001n r n r ηηξηξηξηξξξ--+++⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭等式右边两个矩阵都是满秩的，故左边矩阵也为满秩即12,,,,n r ηηξηξηξ****-+++ 线性无关。
7．证明：23()()E A E A A E A E -++=-=所以 E A -为可逆矩阵。
23()()E A E A A E A E +-+=+= 所以 E A +为可逆矩阵。
8．证明：（1）()()T T r A r ααββ=+()()T T r r ααββ≤+()()r r αβ≤+11≤+故得证（2）若,αβ线性相关，则可设k αβ=，于是()()T T r A r ααββ=+2[(1)()]Tr k ββ=+()T r ββ=2(10)k +≠()r β≤ 1≤即()2r A <三、解答题 1.解：()0......0)....(................,,......1,111111=+≠=+++=+++=+++==s s s s s s s s i k k b b b b k k A k A k k k A s i b A 可得ηηηηηηη2.解：21321221133212,2,1k k ,,,32)(:5,3)(:5500210111ααααααααα+-=∴=-=+=<===≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−k k A R t A R t t A r程组得到，求解此非齐次线性方设线性相关。
线性无关；*3．（1）证明： 假定10si i i k a ==∑，其中i k 不全为零。
则在诸i k 中选出模最大的系数m k ，也就是||max{||}m i k k =，于是必有||0m k >。
（想一想为什么？）考虑10si ii k a==∑ 的第m 个坐标，即11220m m m mm s sm k a k a k a k a ++++=移项得 112211,11,m m m m m m m m s sm m mm k a k a k a k a k a k a --++++++=-由于0m k ≠，1112121,1,m m s m m m m m m sm mm m m m m mk k k k ka a a a a a k k k k k -+-+------= 1112121,1,||||m m s mm m m m m m m sm m m m m mk k k k ka a a a a a k k k k k -+-+∴=------ 1112121,1,||||||||||||||||||||m m s m m m m m m sm m m m m mk k k k ka a a a a k k k k k -+-+≤++++ 121,1,||||||||||m m m m m m sm a a a a a -+≤++++与已知条件121,1,||||||||||||mm m m m m m m sm a a a a a a -+>++++ 相矛盾 所以给定的向量组是线性无关的。