C3-4导热微分方程及其定界条件-稳态导热

x = 0, t = t w1 x = δ , t = tw2
tw1
tw2
0
δ
x
2.第二类边界条件: 2.第二类边界条件:给定边界上的 第二类边界条件 热流密度。 热流密度。 最简单：qw=常数（稳态导热） 最简单： 常数（稳态导热） 常数
t 非稳态导热： = f2（τ） 非稳态导热：τ〉0， qw= - λ ） x
2-2 导热微分方程式及定解条件
作用： 作用 ： 导热微分方程式及定解条件是对导热体的 数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。 数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。
t = f ( x, y , z , τ )
理论：导热微分方程式建立的基础是： 理论：导热微分方程式建立的基础是： 热力学第一定律+ 热力学第一定律+傅里叶定律 方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析， 方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析， 依据能量守恒关系， 依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间 的关系式。 的关系式。
例：右图中
qw
t x = δ , -λ = qw x
0
δ
x
3.第三类边界条件: 3.第三类边界条件:给定边界面与流体间的换热系数 第三类边界条件 和流体的温度，也称为对流换热边界。 和流体的温度，也称为对流换热边界。 牛顿冷却定律： 牛顿冷却定律：
q w = h(t w t f )
傅里叶定律： 傅里叶定律： 例：右图中
4. 已知一单层圆筒壁的内、外半径分别为 r1、r2， 已知一单层圆筒壁的内、 导热系数λ为常量，无内热源， 导热系数λ为常量，无内热源，内、外壁面维持均 匀恒定的温度t 匀恒定的温度 w1，tw2 。
tw1 tw2 r1 r2 r
一维稳态导热 2-3 一维稳态导热
温度不随时间而变化。 稳态导热 t τ = 0 温度不随时间而变化。 通过平壁的导热,直角坐标系中的一维问题。 通过平壁的导热,直角坐标系中的一维问题。 通过圆筒壁的导热,圆柱坐标系中的一维问题。 通过圆筒壁的导热,圆柱坐标系中的一维问题。 通过球壳的导热,球坐标系中的一维问题。 通过球壳的导热,球坐标系中的一维问题。
λ a= 为材料的扩散系数，单位： 为材料的扩散系数，单位：m2/s ρc
2.若物性参数为常数且无内热源： 若物性参数为常数且无内热源：
t 2t 2t 2t = a( 2 + 2 + 2 ) τ x y z
3. 若物性参数为常数、无内热源稳态导热： 若物性参数为常数、无内热源稳态导热：
t t t + 2 + 2 =0 2 x y z
0 x
x = 0 , t = t1 x = δ , t = t2
若导热系数随温度线性变化
δ
λ = λ0 1 + bt） （
λ0、b为常数
则导热微分方程变为
d dt λ0 (1 + bt ) = 0 dx dx
对x积分一次得 积分一次得
dt λ0 (1 + bt ) = c1 dx
对x再次积分得微分方程的通解 再次积分得微分方程的通解 再次
t λ x
x =δ
= εσ (Tw 4 Tc 4 )
界面连续条件: （2）界面连续条件:发生在不均匀材料中的导热 问题，材料接触良好，则满足界面一和界面二上 问题，材料接触良好， 温度和热流密度连续的条件。 温度和热流密度连续的条件。
t t t I = t II , (λ ) I = (λ ) II n n
qw
h tf
qw = λ (t / n)
0 δ x
t x =δ, λ x
= h(t w t f )
x =δ
其他边界条件——处理复杂实际工程问题 处理复杂实际工程问题 其他边界条件
辐射边界条件：导热物体表面与温度为T （1） 辐射边界条件：导热物体表面与温度为 c的 外界环境只发生辐射换热。 外界环境只发生辐射换热。
3.建立坐标系，取分析对象（微元体） 建立坐标系，取分析对象（微元体） 在直角坐标系中进行分析。 在直角坐标系中进行分析。
dz z y dx x dy
4.能量变化的分析: 能量变化的分析: 由于是非稳态导热， 微元体的温度随时间变化， 由于是非稳态导热 ， 微元体的温度随时间变化 ， 因此存在内能的变化； 因此存在内能的变化；从各个界面上有导入和导出 微元体的热量；内热源产生的热量。 微元体的热量；内热源产生的热量。 导入与导出净热量+ 内热源发热量 导入与导出净热量 = 热力学能的增加 微元体热力学能（内能） （1）微元体热力学能（内能）的增量
一、通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于 其厚度， 其厚度，且平板两侧保持均匀边 界条件， 界条件，则该问题就可以归纳为 直角坐标系中的一维导热问题。 直角坐标系中的一维导热问题。 本章只讨论稳态的情况， 本章只讨论稳态的情况，平 壁两侧的边界条件有给定温度、 壁两侧的边界条件有给定温度、 给定热流及对流边界等情况， 给定热流及对流边界等情况，此 外还有平壁材料的导热系数是否 是常数， 是常数，是否有内热源存在等区 下面分别介绍。 分。下面分别介绍。
2 2 2
4. 一维稳态含内热源导热： 一维稳态含内热源导热：
t (λ ) + Φ = 0 x x
5. 一维稳态无内热源导热： 一维稳态无内热源导热：
t d 2t (λ ) = 0 =0 2 x x dx
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, Φ, z） 圆柱坐标系（ ）
x = r cos φ ; y = r sin φ ; z = z
Φx
z y x
Φ x + dx
Φx + dx
Φx t = Φx + dx = Φx + - λ dxdydz x x x
Φ
沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx + dx
同理可得： 同理可得：
t = λ dxdydz x x
t = λ dxdydz y y t = λ dxdydz z z
dt t1 t 2 q = λ =λ dx δ
W/m
2
dt t1 t 2 t1 t 2 Φ = λA = λA = W dx δ δ (λA)
2.无内热源，变导热系数， 2.无内热源，变导热系数，两侧均为第一类边界 无内热源 数学描述: 数学描述:
d dt (λ ) = 0 dx dx
t t1 t2
5. 导热微分方程的基本形式
t t t t ρc = (λ ) + ( λ ) + (λ ) + Φ τ x x y y z z
非稳态项 三个坐标方向净导入的热量 内热源项
二、一些具体情况下的简化
1.若导热系数也为常数
2 t 2t 2t Φ t = a 2 + 2 + 2 + x y τ z ρc
δ
0
δ
x
1.无内热源， 为常数， 1.无内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界 无内热源 数学描述: 数学描述:
d 2t =0 2 dx
t1 t2
x = 0 , t = t1
0 δ x
x = δ , t = t2
对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解 对微分方程直接积分两次，
dt = c1 t = c1 x + c2 dx
t E = ρc dxdydz dτ [J] τ
（2）导入与导出微元体的热量 利用导热基本定律可写出各个表面上导入和导 出微元体的热量。 出微元体的热量。 轴方向、 表面导入的热量： 沿x轴方向、经x表面导入的热量： 轴方向 表面导入的热量
t Φx = λ dydz x
轴方向、 沿 x 轴方向、经 x+dx 表 面导出的热量： 面导出的热量：
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φ y Φ y + dy
沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
Φz Φz + dz
导入与导出净热量: 导入与导出净热量:
t t t Φc = [ (λ ) + (λ ) + (λ )]dxdydz x x y y z z
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV = Φdxdydz
t 1 t 1 t t ρc = (λr ) + 2 (λ ) + (λ ) + Φ τ r r r z z r φ φ
2. 球坐标系（r, θ，Φ） 球坐标系（
x = r sin θ cos φ ; y = r sin θ sin φ ; z = r cosθ
ρc
1 1 1 t t t t = 2 (λ r 2 ) + 2 (λ sin θ )+ 2 (λ ) + Φ 2 τ r r r θ r sin θ θ r sin θ φ φ
一、导热微分方程的推导
1.物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（ 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热 以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。 以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。 2.假设条件 所研究的物体是各向同性的连续介质； (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； 热导率、比热容和密度均为已知； (2) 热导率、比热容和密度均为已知； 内热源均匀分布， (3) 内热源均匀分布，强度为 Φ [W/m3]； (4)导热体与外界没有功的交换。 导热体与外界没有功的交换。
四、导热过程的定解条件
导热微分方程式的理论基础： 傅里叶定律+ 导热微分方程 式的理论基础：傅里叶定律 + 能量 式的理论基础 守恒。描写物体温度随时间和空间变化的关系； 守恒 。 描写物体温度随时间和空间变化的关系 ； 没 有涉及具体、特定的导热过程。 通用表达式。 有涉及具体、特定的导热过程。是通用表达式。 定解条件：使得微分方程获得某一特定问题的解 某一特定问题的解的 定解条件：使得微分方程获得某一特定问题的解的 附加条件。 附加条件。 对于非稳态导热问题， 对于非稳态导热问题 ， 需要描述初始时刻温度 分布的初始条件 初始条件， 分布的初始条件，以及给出物体边界上温度或换热 边界条件。 稳态导热问题仅有边界条件。 的边界条件。 稳态导热问题仅有边界条件。 导热问题的完整数学描述： 导热问题的完整数学描述： 导热微分方程 + 定解条件