【武汉大学】量子力学第七章
武汉大学仪器分析讲义教案07省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
可进行多元素同步分析、定性分析、定量分析、化 学状态分析、构造鉴定、无损深度剖析、微区别析等；
可进行不同形状（如平面、粉末、纤维及纳米构造） 材料，涉及有机材料旳分析（对X射线敏感材料除外）， 辨别率为0.2eV。
7.2.6.2． X射线光电子能谱法旳应用
7.6. 激光共焦扫描显微镜
双光子激发是指一种分子或原子能够在同一种量 子过程中同步吸收两个光子而形成激发态，这种情况 就是双光子激发过程。
双光子共焦显微镜具有许多突出旳优点：
第一，能够采用波长比较长旳、在生物组织中穿 透能力比较强旳红外激光作为激发光源；
第二，因为双光子荧光波长远离激发光波长，所 以双光子共焦显微镜能够实现暗场成像；
4. 试样室系统和真空系统
试样预处理(如氢离子清洗等)，进样系统和试样室 三部分构成了试样室系统；真空系统提供高真空环境。
7.2.6．电子能谱法旳应用
7.2.6.1．电子能谱法旳特点
1．可分析除H和He之外旳全部元素；能够直接测定来 自试样单个能级光电发射电子旳能量分布，且直接得 到电子能级构造旳信息。
1．元素定性分析
元素周期表中每一种元 素旳原子构造互不相同， 原 子内层能级上旳电子结合能 是元素特征旳反应，据此能 够进行定性分析。
2．元素定量分析
根据是光电子谱线旳强
度(光电子峰旳面积或峰高)
与元素含量有关。
(C3H7)4N＋S2PF2-旳X射线光电子能谱图
7.2.6.2． X射线光电子能谱法旳应用
二次离子质谱有“静态”和“动态”两种。
7.3.2. 二次离子质谱仪
7.4. 扫描隧道显微镜和原子力显微镜
7.4.1.扫描隧道显微镜旳基本原理 基于量子力学旳隧道效应。
量子力学
7.ξ算符的对易关系——算符间的关系及其物理意义在量子力学中，算符的乘积次序一般是不可交换的即 ABBA ≠这是因为算符乘积是这样定义的： ()(),AB A B ψψψ=任意，即 AB对ψ的运算结果等于先用 B 对ψ运算（得到B ψ∧），然后再用 A 对B ψ∧运算得到的结果，一般 ()AB BA ψψ≠这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处。
1.p r ∧∧→→和的对易式最早为人们认识到的一个例子，是r ∧→和p i ∧→=-∇ 的乘积次序的不可交换P87结果是：,()x x x x x x P P x i x P P x x P i ψψψ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧-=∇⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦是任意的上式写为：，顺序不可交换 上式称为x ∧与x P ∧的对易关系，对易关系右边不为0，称x ∧和x P ∧不对易，同理，可得坐标与动量的x ∧几组对易关系：P87归纳起来，就是： ,(,,,),0,,,,x p i x y zm p p x y zβαβαβααβαβ∧⎡⎤=δ=⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⎣⎦ ， 讨论：根据对易式,0,,,,,,A B AB BA A A B A A B A B C A B A C AB C A B C A C B ∧∧⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的定义有：，，，， 2、与轨道角动量有关的对易式：角动量算符是通过坐标算符r ∧→和动量算符p ∧→定义的。
L r p ∧∧∧→→→=⨯，所以利用动量各分量的对易关系，可得,,,,,1,10p x y zL L i L x y zL L i L ααβγγαβγαβγαβγαβγαβγαβγ∧∧∧∧∧∧⎡⎤=E ⎢⎥⎣⎦=⎧⎪E =-E ⎨⎪⎩⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，为顺序，为逆序，为三阶反对称单位张量，若中有两个相同如：，证明：,,,x y z y x z z x z z y x y z z x y z y x xL L y p z p z p x p y p z p y p x p z p z p z p x p y p z p p z p x i x p y p i L ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ，，，，， 类似地，可以说明：,0,,,p x x xz y z y z y z y z z y y y z L i x L x L x x L y p z p x x y p z p y p x z p x xy p x y p x y p x y p x y p x y p L x i z L x i y L ααβγγαβ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧⎡⎤=E ⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+=--+=⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，x 如：同理：，等：，p 2222,,,0,0x y z i p L L L L L L L L αβγγ∧∧∧∧∧∧∧∧∧⎡⎤=E ⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦补充：,12()12121()21()212A B A B B A i A B B A A B B A dxA B dx B A dx A B dx B A dx B A dx A B dx A B ψϕψϕψϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧*∧∧∧∧***∧∧∧∧**∧∧∧∧*∧⎛⎫+ ⎪⎝⎭-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰均为厄米算符，证明：①为厄米算符②为厄米算符证：①12B A dxA B B A i A B B A dxi A B dx B A dx i B A dx A B dx i A B B A dxi A B B A dxi ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ*∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧*∧∧∧∧****∧∧∧∧*∧∧∧∧*∧∧∧∧⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为厄米算符②A B B A ∧∧∧∧⎛⎫- ⎪⎝⎭为厄米算符1. 两个算符具有共同本征函数组的条件。
武汉大学物理学院2020-2021学年第一学期高等量子力学考试试题
武汉大学物理学院2020-2021学年第一学期考试试题(B卷)年级专业科目高等量子力学姓名学号分数1.(15分) 设算符f=x+ap的某个本征态为|x0⟩,对应的本征值为x0.其中x,p分别为坐标,动量算符,a为实数常量.a)计算exp(-ipλ/ℏ)f exp(ipλ/ℏ),其中λ是实数.b)证明exp(-ipλ/ℏ)|x0⟩是f的本征态,并求出对应的本征值.c)证明f的本征态可以取任意实数.2.(20分)系统的哈密顿量与时间无关,其所有的本征态{|ϕn⟩}和本征值E n已知。
已知薛定谔图像的波函数|ψ(t)⟩的初态为|ψ0⟩。
a)求⟨ϕn|ψ(t)⟩随时间的变化;b)由上面的结果求初态为本征态|ϕi⟩的波函数随时间的演化.c)由上面的结果推导出演化算符.3.(20分) 设一个自选系统的哈密顿量与时间有关,其形式为H=−μβcos(ωt)σx,其中σx为泡立算符的x分量,μ,β,ω为常数.a)写出这个系统演化算符满足的方程.b)求出这个系统的演化算符.4.(15分) 在一个三维粒子的系统中,设x⃗ ,p分别为粒子的坐标，动量算符。
a)对算符p⃗⋅x⃗做转动变换，设转轴为n⃗,转角为φ.b)对含时算符exp(i|p|2t)做时间反演变换.5.(15分) 已知两个费米子的态|ϕ⟩=ϕ1+ϕ2+|0⟩.其中|0⟩为真空态,ϕi+是单粒子态的产生算符,且他们产生的单粒子态不正交.ψ(x),ψ+(x).求⟨ϕ|n(x)|ϕ⟩.6.(15分) 设一维系统的哈密顿量为H=T+v0δ(x−x0),其中T是动能算符,v0是常数.已知一维自由格林函数为G±(E,x,x′)= c0 exp(±ik|x−x′|),其中k=√2mE/ℏ,c0为常数,a)求出常数c0.b)利用一维自由格林函数求出系统的全格林函数.。
量子力学第七章
第七章 近似方法7.1 粒子处于宽度为a 的一维无限深势阱中，若加进微扰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤-='a x ab ax b H 220ˆ当当计算粒子的能量和波函数的一级修正值。
解 （1）能量的一级修正公式为τϕϕd H E nn n 00'ˆ*'=⎰ 代入ax n a n πϕsin20=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤-='a x a b a x b H 220ˆ当当得 'n E xdx a n a b xdx a n a b a a a ππ220sin 2sin 22⎰⎰+-= 2cos sin 212aa x n x a n x a n n a ab ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅-=ππππ aa a x n x a n x a n n a ab 2cos sin 212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅+ππππ022122212=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-=ππππn n a a b n n a a b 可见能量的一级修正为零。
（2）波函数的一级修正为0'''kkn kn A ψψ∑=90 式中 00'000*0'ˆkn kn kn nk knE E H E E d H A-≡-'=⎰τψψ 注意到 222202ma n E nπ=， ax n a n πψsin20= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤-='a x a b a x b H 220ˆ当当∴ )(2222222kn H n ma A kn kn -'=' π其中 dx HH nk akn0*00ˆψψ'='⎰dx a x k a x n a b dx a x k a x n a b a a a ππππsin sin 2sin sin 220⎰⎰+=dx ax n k a b dx a x n k a b dxax n k a b dx a x n k a b a a a a a a ππππ)cos()cos()cos()cos(222200+--+++--=⎰⎰⎰⎰2)sin()(2)sin()(2)sin()(2)sin()(ππππππππn k n k b n k n k b n k n k b n k n k b +++--+++---=]2)sin()(12)sin()(1[2ππππn k n k n k n k b ---++=∴ 2)sin()(1[1422222πππn k n k k n b ma A kn ++-⋅='91)(]2)sin()(1n k n k n k ≠---ππ∴ ⨯-='∑≠a xk k n a b ma n k n ππψsin )(12422222]2)sin()(12)sin()(1[ππππn k n k n k n k ---++⨯ 其中当n k +及n k -为偶数时为零。
量子力学第七章习题解答
即
h h 2 2 2 λ − cos γ − (cos α + cos β ) = 0 4 4
2
h λ − = 0 (利用 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1) 4
2
2
⇒
a h 设对应于 S n = 的本征函数的矩阵表示为 χ 1 ( S n ) = ， b 2 2
由归一化条件，得
a 2 2 1 = χ 1 χ 1 = (a , b ) = a + b b 2 2 2 cos α + i cos β 2 2 a + a =1 1 + cos γ
+ * *
2 2 a =1 1 + cos γ
取
1 + cos γ a= 2
，得
b=
cos α + i cos β 2(1 + cos γ )
ˆ 在这些本征态中， 测量 S z 有哪些可能值？这些可 ˆ 能值各以多大的几率出现？ S z 的平均值是多少？
ˆ ˆ 解：在 S z 表象， S n 的矩阵元为
ˆ = h 0 1 cos α + h 0 − i cos β + h 1 0 cos γ Sn 1 0 i 0 0 − 1 2 2 2
⇒
b1 a1 = ⇒ a b 1 1
b1 = a1
χ 1+/ 2 χ 1 / 2 = 1 ，得 由归一化条件 a * * 1 (a1 , a1 ) = 1 a 1
即
2 a1 = 1
2
∴
a1 =
1 2
b1 =
武汉大学量子力学2013年期末试卷
武汉大学物理科学与技术学院2012－2013(二)《量子力学》课程期末考试试题A卷学号： 姓名： 专业： 得分：一、单选题 每题 分，共 分由氢原子理论知，当大量氢原子处于 的激发态时，原子跃迁将发出（ ）。
一种波长的光 两种波长的光 三种波长的光 连续光谱根据玻尔氢原子理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为（ ）。
下列各组量子数中，可以描述原子中电子的状态的一项是（ ）。
， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，一价金属钠原子，核外共有 个电子。
当钠原子处于基态时，根据泡利不相容原理，其价电子可能取的量子态总数为（ ）。
下列哪种论述不是定态的特点（ ）几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化几率流密度矢量不随时间变化任何力学量的平均值都不随时间变化定态波函数描述的体系一定具有确定的能量在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的（ ）能量是量子化的，而动量是连续变化的能量和动量都是量子化的能量和动量都是连续变化的能量连续变化而动量是量子化的在极坐标系下 氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为（ ）在极坐标系下 氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为（ ）和 是厄密算符 则（ ）必为厄密算符 − 必为厄密算符必为厄密算符 − 必为厄密算符氢原子能级的特点是（ ）相邻两能级间距随量子数的增大而增大能级的绝对值随量子数的增大而增大能级随量子数的增大而减小相邻两能级间距随量子数的增大而减小一维自由粒子的运动用平面波描写 则其能量的简并度为（ ）下列波函数为定态波函数的是（ ）drr r R D rdr r R C r r R B rr R A nl nl nl nl 222222)(.)(.)(.)(.和 和设ψ 和ψ 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态 ψ ψ 的几率分布为（ ）设ψ δ ，在 − 范围内找到粒子的几率为（ ））用波尔 索末菲 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ）（ ）ωω ω射线康普顿散射证实了（ ）电子具有波动性 光具有波动性 光具有粒子性 电子具有粒有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是（ ）波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波2*12*1*21*212222112*1212222112*121222211222211.2...ψψψψψψψψψψψψψψψψC C C C C C D C C C C C C C C C B C C A ++++++++微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包单个微观粒子具有波动性和粒子性都对力学量算符在自身表象中的矩阵表示是（ ）以本征值为对角元素的对角方阵 一个上三角方阵一个下三角方阵 一个主对角线上的元素等于零的方阵波函数 、 为任意常数，（ ）与 描写粒子的状态不同与 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是 与 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是 ： 与 所描写粒子的状态相同戴维森和革末的电子晶体衍射实验的实验证实了（ ）电子具有波动性 光具有波动性光具有粒子性 电子具有粒子性下面哪个实验现象不能说明电子自旋的存在（ ） 原子光谱精细结构 反常塞曼效应光的康普顿散射 斯特恩 盖拉赫实验体系处于ψ 态中 则ψ（ ）是角动量平方算符、角动量 分量算符的共同本征函数是角动量平方算符的本征函数 不是角动量 分量算符的本征函数 不是角动量平方算符的本征函数 是角动量 分量算符的本征函数 不是角动量平方算符的本征函数 也不是角动量 分量算符的本征函数下列实验哪个不能证明辐射场的量子化（ ）、光电效应 、原子光吸收、黑体辐射 、电子晶体衍射对易关系 等于−全同粒子体系中 其哈密顿具有交换对称性 其体系的波函数是对称的 是反对称的 具有确定的对称性 不具有对称性二、两个电子的自旋取向分别在 和 轴的正向，请问系统处于两电子自旋三重态态的几率有多大 分 ？三、三维转子的哈密顿为其中 和 都是转动惯量，分如下两种情况求体系能量本征值、 分、 不为 ，但相对 是小量，给出能量本征值近似值，精度达到 的一次方。
量子力学解答(7章)
课
后
法 2：设 f (λ ) = e
答
e iλσ z σ y e −iλσ z = σ y cos 2 λ + i[σ z , σ y ] sin λ cos λ − σ y sin 2 λ
iλσ z
σ x e −iλσ ，则f(0)=σx对参数λ求导,得：
z
Байду номын сангаас
f ′(λ ) =
df (λ ) = ie iλσ z [σ z , σ x ]e −iλσ z = −e iλσ z 2σ y e −iλσ z , 则f ′(0) = −2σ y dλ
f (0) = σ x , f ′(0) = −2σ y ，得： A = σ x , B = −σ y
即： e
iλσ z
σ x e − iλσ = σ x cos 2λ − σ y sin 2λ ，
z
案
网
= σ x (cos 2 λ − sin 2 λ ) + i (2iσ y ) sin λ cos λ
∞
证 2：设 y (λ ) = e
,则
案
dy d2y = iσ z e iσ zλ ，注意到 σ z2 = 1 ，有 2 = −σ z2 e iσ zλ = − y ，方程 dλ dλ
网
ww
⎛ e iλ e iλσ z = ⎜ ⎜ 0 ⎝
0 ⎞ ⎟。 e −i λ ⎟ ⎠
w.
dy dλ = iσ z ，得 A=1, B = iσ z ,于
ww
w.
3
kh
da
w.
co
m
e iλσ z σ y e −iλσ z = σ y cos 2λ + σ x sin 2λ
量子力学讲义第7章
第七章 定态问题的近似解（本部分内容尽可能采用精讲多练的方法教学，减少课堂推导，增加例题训练）7.1 非简并态微扰论微扰论的基本精神 -- 对小量逐级展开一、非简并微扰论适用的条件①n n n E H t H ψψ==∂∂,0；②H H H H ''+= ,0要远小于00,H H为分立谱；③)0()0()0()0()0(0,,nn n n n E E H ψψψ= 已知或易求； ① 所研究的那个能级无简并。
二 、零级近似方程和各级修正方程为表征微扰程度，引入参数H H '→'≤λλ:1，按λ的幂次展开。
方程： n n n E H H ψψλ='+)(0设 ......)2(2)1()0(+++=n n nn E E E E λλ ......)2(2)1()0(+++=n n nn ψλλψψψ 代入方程：...)...)((...))(()2(2)1()0()2(2)1()0()2(2)1()0(0++++++=+++'+n n n n n n n n n E E E H H ψλλψψλλψλλψψλ 比较各级得：)0()0()0(00:n n n E H ψψλ=)0()1()1()0(01)()(:n n n n E H E H ψψλ-'-=-)0()2()1()1()2()0(02)()(:n n n n n n E E H E H ψψψλ+-'-=-……最后令λ=1，求得各级 )()(,m n m n E ψ。
三、n n E ψ, 的各级近似 1、一级近似用}{)0(nψ展开∑=ll l n n a )0()1()1()1(:ψψψ。
代入一级近似方程： )0()1()0()1()0(0)()(n n l ll n E H a E H ψψ-'-=-∑用)*0(k ψ左乘上式，利用kl l k d δτψψ=⎰)0()*0( 得,)1()1()0()1()0(kn n knk n k k E H a E a E δ+'-=-其中⎰''='H d H H n kkn~)0()*0(τψψ在0H 表象的矩阵元。
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和二级修正等；
而
(0) n
,
(1) n
,
分2别n( 2) ,是波函数的零级近似，
一级修正和二级修正等。
将(2)(3)式代回(1)式中得到
(Hˆ (0)
Hˆ (1)
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
)
(4)
(
E(0) n
E (1) n
E2 (2) n
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
)
展开得：
0
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到
0
:
Hˆ
(0)
(0) n
E(0) (0) nn
1
:
Hˆ
(0)
(1) n
Hˆ
(1)
(0) n
E(0) (1) nn
E(1) (0) nn
2
:
Hˆ
(
0)
(2) n
Hˆ
(1)
(1) n
E(0) (2) nn
E(1) (1) nn
E(2) (0) nn
第七章 原子光谱的精细结构
§7.1 定态微扰论 §7.2 变分法 §7.3 氢原子光谱的精细结构
§7.1 定态微扰论
思想
设能量本征值方程为 Hˆ E
若不能给出严格解
假定 Hˆ Hˆ (0) Hˆ Hˆ (0) Hˆ (1) 其中， 是一个小量 | | 1 Hˆ 称为微扰项
Hˆ (0) 的本征值和本征函数较容易计算出来,在此基础上， 可以把 Hˆ的 影响逐级考虑进去，得到接近精确解的近似解
, E (1) (1)
n
n
和
(2) n
,
E所n(2满) 足的方程，由此可解得能量和波函数的第一、
二级修正。
（二）能量和波函数的一级修正
将 n(按1)
展n(开0) ，得到
(1) n
a (1) (0) kn k
k 1
代回(6)式并利用(5)式得
[Hˆ
(0)
E(0) n
]
a (1) (0) kn k
(2) n mn
k 1
k 1
k 1
即
[
E(0) m
E(0) n
]am( 2n)
a H (1) (1) kn mk
E a (1) (1) n mn
E(2) n
mn
k 1
当 m n, 0
a H (1) (1) kn nk
E(2) n
k 1
整理 后得：
[Hˆ (0)
E ] (0) (0) nn
0
(5)
[Hˆ (0)
E ] (0) (1) nn
[Hˆ (1)
E ] (1) (0) nn
(6)
[Hˆ (0)
E ] (0) (2) nn
[Hˆ (1)
E ] (1) (1) nn
E (2) (0) nn
(7)
(5)式是 Hˆ 的(0)本征值方程，(6)(7)式分别是
1
2
3
Hˆ
(
0)
(0) n
Hˆ
(0)
(1) n
Hˆ
(0)
(2) n
Hˆ
(1)
(0 n
)
Hˆ
(1)
(1) n
0
1 2
3
E (0) (0) nn
E (0) (1) nn
E (0) (2) nn
E (1) (0) nn
E (1) (1) nn
En( 2 )
(0) n
H (1) nn
(
(0) n
,
Hˆ
(1)
(0) n
)
能量一级修正
E (1) n
H
(1) nn
(
(0) n
,
Hˆ
(0) n
)
H
nn
能量一级近似
En
E(0) n
E (1) n
E(0) n
Hnn
(2) 波函数的一级修正
(1) n
当 m n,
a(1) mn
H (1) mn
E(0) n
E(0) m
(
(0) m
[Hˆ (1)
E ] (1) (0) nn
k 1
即
ak(1n)[
E(0) k
E ] (0) (0) nk
[Hˆ (1)
E ] (1) (0) nn
k 1
乘
(0后)* 对空间积分得
m
ak(1n)[
E(0) k
E(0) n
](
(0) m
,
(0) k
)
(
, ( 0)
m
Hˆ (1)
) ( 0)
(2) (0) nn
k 1
k 1
[
E(0) k
E ]a (0) (2) (0) n kn k
[Hˆ (1)
E (1) n
]
a E (1) (0) kn k
(2) (0) nn
k 1
k 1
乘
(0后)* 对空间积分得：
m
[
E(0) k
E(0) n
]ak( 2n)
(
(0) m
,
(0) k
非简并定态微扰论
（一）微扰体系方程 （二）能量和波函数的一级修正 （三）能量的二级修正 （四）实例
（一）微扰的体系方程
设 Hˆ (的0) 本征值为 ，En(本0) 征函数
满足
Hˆ
(
0
)
(0) n
E (0) (0) nn
(0) n
考虑 Hˆ的 影响，能级由 En(0)，状E态n由
(0) n
n
(0) n
k 1
H
kn
E(0) n
E(0) k
(0) k
kn
（三）能量的二级修正
将 n(2按) 展n(0开)
(2) n
a(2) (0) kn k
k 1
与 n(展1) 开式一起代入(7)式中得
[Hˆ
(0)
E(0) n
]
a (2) (0) kn k
[Hˆ (1)
E (1) n
]
a E (1) (0) kn k
此时体系的能量本征值方程为 Hˆ n E（n1n）
使用逐步近似求解
因为 En ,都n与微扰有关，可以把它们看成
是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：
En
E(0) n
E (1) n
2
E(2) n
(2)
n
(0) n
(1) n
2
(2) n
(3)
其中
E(0) n
,
E (1) n
,
分2E别n(2)是, 能量的零级近似，一级修正
,
Hˆ
(1)
(0) n
)
E(0) n
E(0) m
(1)
n
a(1) kn
k 1
(1)
H ( 0 )
kn
k
(0)
(0)
E E k1 n
k
(0) k
kn
波函数一级修正
(1) n
k 1
H kn
E(0) n
E(0) k
(0) k
kn
有
a(1) mm
0
波函数一级近似
n
(0) n
(1) n
)
a(1) kn
(
(0) m
,
Hˆ
(1)
(0) k)k 1源自k 1E (1) n
a(1) kn
(
(0) m
,
(0) k
)
E(2) n
(
(0 m
)
,
(0) n
)
k 1
[
E(0) k
E ( 0) n
]ak( 2n)
mk
a H (1) (1) kn mk
E (1) n
a E (1) kn mk
n
E (1) n
(
(0) m
,
(0) n
)
k 1
因为
(
(0) m
,
(0) n
)
mn
故
a(1) kn
[
E(0) k
E(0) n
]
mk
H
(1) mn
E (1) n mn
k 1
am(1n) [
E(0) m
E(0) n
]
H (1) mn
En(1)
mn
(1)能量一级修正
E (1) n
当 m n,
E (1) n