【武汉大学】量子力学第3章xin (1)
量子力学 第三章
2 2a 4a
3
二、动量算符
动量算符是 i ，它的本征函数用 （r ）表示 p
本征方程为
i（r ） p （r ） p
它的三个分量方程为 i （r ） px（r ） p x i （r ） p y（r ） p y i （r ） pz（r ） p z
ˆ 有确定值，这个确定值就是 H 的本征值。
ˆ 的本征函数 （r ） 当体系处于 P 所描写的状态时，体系 P ˆ 的本征值。 的动量有确定值，这个确定值就是 P
ˆ 当体系处于 F 的本征函数 所描写的状态时，它表示的 ˆ 力学量F 有确定值，这个确定值就是 F 的本征值。
表示力学量的算符的本征值必须是实数。 五、算符的一般性质和运算 1、两个算符的和 设
ˆ 符 F 就可以由其经典表示式 F（P，r ） 将动量 P 换成
例如，确定角动量 L 的算符， r P L
ˆ L r i） ir （
四、算符与它所表示的力学量的关系
ˆ H E 当体系处于 所描写的状态时，体系的能量有确定值 E ˆ 当体系处于 H 的本征函数所描写的状态时，体系的能量
m
Pl （cos） 是一个缔和勒让德多项式
m
1 m 2 2 d Pl （） l （ ） 1 （ 2 1 l ） l m 2 l！ d
m
l m
N lm 是归一化常数,可以通过归一化条件求出,即
0
2
0
Y（，）Y（，） dd 1 sin
Nlm
（l m） 2l 1 ！ （ ） （l m） 4 ！
u
ˆ ˆ ˆ ˆ 是任意函数，如果 Fu Gu Mu ，算符 M 称为
量子力学第三章
当 x a 或x 0，方程中含有 x 项
因 (x) 及 E 有限
( x) 0
（3）
从物理考虑，粒 子不能透过无穷 高的势壁
13
一维无限深势阱 方程（1）
当 0 xa
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
束缚态：0<E<V0
0, V ( x) V0
d 2 k 2 0 dx 2 2mE k
General Solution
V(x)
x a/2 x a/2
I
V 定理3：设 V x 具有空间反演不变性， x V x 。
4
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
宇称
空间反射：空间矢量反向的操作。
r r
(r , t ) (r , t )
归一化条件
A 2
a
17
一维无限深势阱
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
推导:
| n x | dx
2
a 2
0
| n | dx | n | dx | n | dx
2 2 2 0 a
ˆ 定义：空间反射算符，又称宇称算符 P ：
ˆ (r , t ) (r , t ) P
5
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
量子力学第三章
2 III
0
I II
C1e x C2e x
Asin(x )
III B1e x B2e x
（3）使用波函数标准条件
I C1ex
2
2
2 (VE)
I (a) li m C1ea 0
所以 I 0
同理： III0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是
第11页，本讲稿共59页
综合 I 、II 结果，最后得：
m 2 2 2 Em 8a2
I III 0m来自II A sin m
2a
I III 0 II A cos m
2a
x x
对应 m = 2 n
m 0 的偶数
对应 m = 2n+1
m 奇数。
第12页，本讲稿共59页
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
2 d 2
[ 2 dx 2 V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x )
2 d 2
[ 2 dy 2 V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y )
( r ,t) ( r ,t)
称波函数具有正宇称（或偶宇称）；
( r ,t) ( r ,t)
称波函数具有负宇称（或奇宇称）；
（3）如果在空间反射下
( r ,t) ( r ,t)
，
则波函数没有确定的宇称。
第16页，本讲稿共59页
（四）讨论
一维无限深 势阱中粒子 的状态
1 2d 2 1 2d 2 1 2d 2
量子力学第三章
上式之和恒等于零，所以ρ得各次幂得系数分别等于零，即
[s(s-1)-( +1)]b0 = 0 → s(s-1)- ( +1) = 0
l s l 1
S = - 不满足
s ≥1 条件，舍去。
s = +1
高阶项系数：
[(ν+ s + 1)(ν+ s )- ( + 1)]bν+1+(β-ν-s)bν = 0
截断。Βιβλιοθήκη e / 2令最高幂次项的 νmax = nr
则
bnr bnr
1
0
0
于是递推公式改写为
因为 分子
bnr 1
nr l 1
(nr l)(nr 2l
2) bnr
0
注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+ + 1
bnr 0 所以 nr l 1 0
nr l 1 n
2 2
(
1 r2
) r
(r 2
r
)
1 s in
(sin
)
1 sin 2
2
2
Zes2 r
E
2
2r
2
(r 2 r
) r
Lˆ2
2r 2
Zes 2 r
E
此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式：
Lˆ2
2
1
sin
(sin
1
) sin2
2
2
2.求解 Schrodinger 方程
（2）能级简并性 当 E < 0 时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无
穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。
量子力学讲义第三章讲义详解
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= 是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
量子力学第3章
类似 I 中关于 n = m 的讨论可知：
HRB EGNEERING UNIVERSITY 2009
( n 0 ,1, 2 , )
第三章 一维定态问题
综合 I 、II 结果，最后得：
（量子力学）
m 2 2 2 Em 8a 2
两种情况：
cos(a ) sin 0 sin(a ) cos 0
( 3) (4)
由（4）式
sin 0 cosa 0 cos 0 sina 0
I.
sin 0 0
n a
2
则
cos 1
( n 0 , 1, 2 , )
1 2 ( n ) 2 2 a
( n 0 , 1 , 2 , )
2
En
2 2 2
( 2 n1)2 2 2 8 a 2
I III 0 n II n 1 2n 1 2 A sin( x ) A cos x A cos x A cos x n 2 a 2a
第三章 一维定态问题
cos 0 sina 0
II .
（量子力学）
则 sin 1
由（3）式
cos 0 2
cos a 0
( 3)
cos(a ) sin 0
1 a ( n ) 2
所以
于是波 函数：
1 ( n ) 2 a
2
sin a 0
a n
所以
因
E
2
2 E 2
n 2 a
量子力学导论第3章答案
第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如b a = ，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mE yx n n 222π =)(2222b n a n yx +,2,1, ,sinsin2==y x y x n n n n byn axn abyxππψ若b a =，则 )(222222y x n n n n maE yx +=π ay n a x n a y x nn yxππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n ）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如c b a ==，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cn b n an m n n n E z yxzy x ++=π ,,3,2,1,, ,sin sin sin 8==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n zy x πππψ当c b a ==时，)(2222222z y x n n n man n n E z y x ++=π ay n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsinsin sin 223⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x n n n ==时，能级不简并；z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
量子力学 第三章习题与解答
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμω μωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα22122p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学第三章
(dS = rdrd ) θ
(2)氢原子的磁矩为
M = ∫ dM = ∫
π ∞
0 0
∫
−
ehm
µ
πψnlm r2 sinθ drd θ
2
=− =−
=−
π ∞ ehm 2 ⋅ 2π ∫ ∫ ψnlm r 2 sinθ drd θ 0 0 2µ
ehm 2π π ∞ 2 ψnlm r2 sinθ drd dϕ θ 2µ ∫0 ∫0 ∫0
1
3 π a0
e−r / a0 ，求：
(1)r 的平均值；
e2 (2)势能 − 的平均值； r
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1) r = rψ2π ∞ −2r / a0 2 re r sinθ drdθ dϕ 3 πa0 ∫0 ∫0 ∫0
∫
=
1 2πh
∫
∞
−∞
i α − 1α x − h Px 2 e e dx π
2 2
=
1 2πh
α ∞ −2α x −h Px ∫−∞ e e dx π
1
2 2
i
= = = 1
1 2πh 1 2πh 2πh
α e π ∫−∞
∞
ip p2 1 − α 2 ( x+ 2 )2 − 2 2 2 α h 2α h
4 −2r / a0 2 e r dr 3 a0
ω(r) =
dω(r) 4 2 = 3 (2 − r )re−2r / a0 dr a0 a0
令
dω(r ) = 0， r1 = 0, ⇒ dr
r2 = ∞,
r3 = a0
当 r1 = 0, r2 = ∞时， (r) = 0 为几率最小位置 ω
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3.1-2 量子力学中常见的几类算符
(1) 线性算符 满足如下运算规律的算符
Aˆ(C11 C22 ) C1Aˆ1 C2 Aˆ2
pˆ i , 1ˆ, 微商运算, 积分算符都是线性算符 开方运算、对数运算就不是线性算符 (2) 逆算符
设 Aˆ 对 作用的结果为 即 Aˆ 若 Bˆ 有作用 Bˆ
则称 Aˆ , Bˆ 互为逆算符，记为 Bˆ Aˆ 1; Aˆ Bˆ 1
注：复共轭： 把算符表达式中的所有量换成复共轭量
如 pˆ* (i )* i pˆ
(3) 厄密共轭算符
定义内积 (2, 1) *2 (r ,t)1(r ,t)d
若
(2, Aˆ1) (Bˆ2,1)
因为 (2 , 1)* (1, 2 )
பைடு நூலகம்
在具有确定值 的状态 下，力学量 Fˆ的
期望值 F , 而且均方偏差 (F)2 等于零，
即 (F )2 * (r )(Fˆ F )2 (r )d * (r )(Fˆ )2 (r )d 0
设算符 Fˆ线性厄密，上式可写成
(F )2 [(Fˆ ) (r )]*[(Fˆ ) (r )]d (Fˆ ) (r ) 2 d 0 (Fˆ ) (r ) 0
3.2-1 力学量在体系一个运动状态下的期望值 3.2-2 力学量的可能取值 3.2-3 力学量在体系一个运动状态下可能
取值的几率分布 3.2-4 表示力学量算符必须满足的条件 3.2-5 量子力学的第三条假设
3.2-1 力学量在体系一个运动状态下的期望值
坐标和动量的期望值 (及势能，动能，哈密顿量)
② 没有经典的力学量对应：设算符表示为 Fˆ
期望值仍为 F *Fˆd (*, Fˆ)
3.2-2 力学量的可能取值
某时刻在体系一个状态下测量力学量 Fˆ ，
测量值有一系列的可能取值，所有可能取值 构成可能值谱；可能取值有确定的几率分布。
力学量 Fˆ 有确定值的状态：
若测量时某取值m的几率为1，其它的均为零，记为 m
有 Aˆ Bˆ
记 Bˆ Aˆ 即 (2, Aˆ1) (Aˆ 2, 1)
即 *2 (r ,t)Aˆ1(r ,t)d [Aˆ 2 (r ,t)]*1(r ,t)d
(4) 么正算符 满足下面条件的算符
UˆUˆ Uˆ Uˆ 1ˆ; i.e. Uˆ Uˆ 1
性质：对任意两个矢量作用，不改变这两个矢量的内积
算符之和：
Cˆ (r , t) Aˆ(r , t) Bˆ(r , t) Cˆ Aˆ Bˆ
算符数乘：Cˆ (r , t) [ Aˆ(r , t)] Cˆ Aˆ
算符相乘：Cˆ (r , t) Aˆ[Bˆ(r ,t)] Cˆ Aˆ Bˆ
一般不满足交换律：Aˆ Bˆ BˆAˆ
算符相加满足：
(Uˆ 2 ,Uˆ 1) [U 2 (r , t)]*[Uˆ 1(r , t)]d [Uˆ Uˆ 2 (r , t)]* 1(r , t)d *2 (r , t)1(r , t)d (2 , 1)
故不改变矢量的模和相互正交矢量的正交性
(5) 厄密算符 Aˆ Aˆ
有 *2 (r ,t)Aˆ1(r ,t)d [Aˆ2 (r ,t)]*1(r ,t)d (29)
算符与通常 数运算规则 不同之处
交换律： Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ 结合律： ( Aˆ Bˆ ) Cˆ Aˆ (Bˆ Cˆ )
算符对易子： [ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
若 [ Aˆ, Bˆ ] 0 称 Aˆ, Bˆ 对易，此时 Aˆ Bˆ BˆAˆ
若 [ Aˆ, Bˆ ] 0 称 Aˆ , Bˆ 不对易
Aˆn nn ; Aˆm mm
代入到上面的积分式中，有：
仅证明 非简并情况
* m
(r
)
Aˆn
(r
)d
[ Aˆm (r )]*n (r )d
* m
(r
)nn
(r
)d
[mm (r )]*n (r )d
(n m )
* m
(r
)n
(r
)d
0
m n
* m
(r
)n
(r
)d
0
正交
§3.2 力学量用算符表示
r *(r,t)rˆ(r,t)d *(r,t)r(r,t)d p *(r,t) pˆ(r,t)d *(r,t)(i )(r,t)d
任意力学量的期望值为
F *(r,t)Fˆ(r,t)d (, Fˆ)
①有经典对应的力学量：F F r, p,t 其算符为 Fˆ F(rˆ, pˆ,t) F r , i ,t
(2, Aˆ1) (Aˆ2, 1)
两个性质：1) 厄密算符的本征值全是实数
设 Aˆ 的本征值方程为 Aˆ
取 2 1 代入到(29)式中，有：
*(r ) (r )d * *(r ) (r )d
*
实数
2) 厄密算符的相应于不同本征值的本征矢量必定正交
对于两个不同的本征值和本征矢量
对易子的恒等式
[ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ]; [ Aˆ, ] 0;
[ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ] [ Aˆ, Cˆ ]; [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ] [Bˆ, Cˆ ]; [ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ]Cˆ; [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] Aˆ[Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ]Bˆ; [ Aˆ,[Bˆ, Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ, Aˆ]] [Cˆ,[ Aˆ, Bˆ]] 0
第三章 量子力学原理(Ⅱ) 力学量算符及量子条件
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6
算符及其运算规则 力学量用算符表示 几个基本的力学量算符 量子条件 两个力学量同时有确定值的条件 体系的守恒量
§3.1 算符及其运算规则
3.1-1 黑伯特空间及算符 3.1-2 量子力学中常用的几类算符
3.1-1 算符的基本性质 运算: 作用于(波)函数
（1）单位算符
（2）零算符
（3）算符相等
（4）算符之和
（5）算符数乘和乘积 （6）交换律结合律
（7）对易关系
单位算符: 1ˆ(r , t) (r , t) 零算符： 0ˆ (r , t) 0 算符相等： Aˆ(r , t) Bˆ(r , t) Aˆ Bˆ