高中数学常用逻辑用语《学案导学设计》人教B版选修1-11.1.1

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高中数学人教B版选修1-1：第一章常用逻辑用语1-1 1.2 第1课时

第一章 1.2第1课时一、选择题1．下列命题中是“p∧q”形式的命题是()A．28是5的倍数或是7的倍数B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根C．函数y＝a x(a>1)是增函数D．函数y＝ln x是减函数[答案] B[解析]选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．2．下列说法与x2＋y2＝0含义相同的是()A．x＝0且y＝0B．x＝0或y＝0C．x≠0且y≠0 D．x≠0或y≠0[答案] A[解析]因两个非负数的和等于0，故每个加数都为0，即x2＝0且y2＝0，所以x＝0且y＝0.3．下列命题是真命题的是()A．5>2且7>8B．3>4或3<4C．7－1≥7D．方程x2－3x＋4＝0有实根[答案] B[解析]虽然p3>4假，但q3<4真，所以p∨q为真命题．4．有下列命题：①2012年10月1日是国庆节，又是国际音乐日；②10的倍数一定是5的倍数；③2是偶数或3不是质数；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] C[解析] ①属p ∧q 型，用“且”．②是简单命题，无联结词．③属p ∨q 型，用“或”．④属p ∨q 型，用“或”．故选C.5．下列为假命题的是( )A ．3是7或9的约数B ．两非零向量平行，其所在直线平行或重合C ．菱形的对角线相等且互相垂直D ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝0且y ＝0[答案] C[解析] 菱形的对角线互相垂直但不一定相等．6．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)[答案] C [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －3y ＝－x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1， ∴P (1，－1)，故选C.二、填空题7．若p 2是8的约数，q2是12的约数．则“p ∨q ”为________；“p ∧q ”为________．(填具体的语句内容)．[答案] 2是8的约数，或者是12的约数 2既是8的约数，又是12的约数8．用“p ∨q ”、“p ∧q ”填空．命题“a 2＋1≥1”是________形式．[答案] “p ∨q ”[解析] a 2＋1≥1即为a 2＋1>1或a 2＋1＝1.三、解答题9．下列语句是命题吗？如果是命题，请指出命题的构成形式：(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或内切圆；(3)正弦函数y ＝sin x (x ∈R )是奇函数并且是周期函数．[解析] (1)是p ∧q 形式命题．其中p 向量有大小，q 向量有方向．(2)是p∨q形式命题．其中p矩形有外接圆，q矩形有内切圆．(3)是p∧q形式命题．其中p正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数，q正弦函数y＝sin x(x ∈R)是周期函数.一、选择题1．下列命题，其中假命题的个数为()①5>4或4<5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”．A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]①②③都是真命题，故选A.2．下列命题中既是p∧q的命题，又是真命题的是()A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根和是1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形[答案] D[解析]有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形既是p∧q的命题，又是真命题．3．对于函数①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．判断如下两个命题的真假：命题甲：f(x＋2)是偶函数；命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是()A．①②B．①③C．②D．③[答案] C[解析]f(x)＝|x＋2|，则f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，排除选项A、B；f(x)＝cos(x－2)在(－∞，2)上不具有单调性，排除D，故选C.4．(2013～2014学年度东营高二检测)命题p：函数y＝log a(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有( )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真[答案] C[解析] 对于命题p ：当x ＝－1时，y ＝log a a ＝1，故命题p 为真；对于命题q ：将函数y ＝f (x )的图象向右平移3个单位，得到函数y ＝f (x －3)的图象，故函数y ＝f (x －3)的图象关于点(6,0)对称，∴命题q 为假，故选C.二、填空题5．(2013～2014学年度南京高二检测)命题p ：x 2＋2x －3>0，命题q ：(x －2)(x －3)<0.若p 且q 为真，则x 的取值范围是____________．[答案] (2,3)[解析] 由(x ＋3)(x －1)>0，得x >1或x <－3，∴p 真：x >1或x <－3.由(x －2)(x －3)<0，得2<x <3，∴q 真：2<x <3.若p 且q 为真，则⎩⎨⎧x >1或x <－32<x <3， ∴2<x <3.6．设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是减函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数m 的取值范围是________．[答案] m ＝0或m ≥1[解析] ①是真命题则m ≥0，②是真命题则 0<m <1，若①真②假，则m ＝0或m ≥1；若②真①假，则m 不存在，综上，m ＝0或m ≥1.三、解答题7．命题p ：二次函数y ＝(5－3)x 2＋(3－2)x ＋(2－5)的图象与x 轴相交，命题q ：二次函数y ＝－x 2＋x －1的图象与x 轴相交，判断由p 、q 组成的新命题p ∧q 的真假．[解析] p ：二次函数y ＝(5－3)x 2＋(3－2)x ＋(2－5)的图象与x 轴相交，易知图象过(1,0)，故p 为真．q ：二次函数y ＝－x 2＋x －1的图象与x 轴相交，而Δ＝－3<0，故q 为假，所以p ∧q 为假命题．8．已知a >0，设命题p 函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q 不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．[解析] ∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p a >1；又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，∴Δ<0且a >0，即a 2－4a <0，∴0<a <4，∴q 0<a <4.而命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，那么p 、q 中有且只有一个为真，一个为假．(1)若p 真，q 假，则a ≥4；(2)若p 假，q 真，则0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．9．(2013～2014学年度黄冈高二检测)已知命题p ：函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域为R ，命题q ：函数y ＝xa 2－2a －3在x ∈(0，＋∞)上是减函数，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．[解析] 命题p ：函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域为R ，即ax 2－ax ＋1>0对一切实数x恒成立，其充要条件为a ＝0或⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a <0， ∴0≤a <4.命题q ：函数y ＝xa 2－2a －3在x ∈(0，＋∞)上是减函数，得a 2－2a －3<0，所以－1<a <3. 由题意知，命题p 、q 有且只有一个是真命题，当p 为真，q 为假时， ⎩⎨⎧ 0≤a <4a ≤－1或a ≥3，∴3≤a <4. 当p 为假，q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4－1<a <3⇒－1<a <0，综上可得，实数a的取值范围是－1<a<0或3≤a<4.。

高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案

q ”，那么
1 时，mx 2 − x + 1 = 0 无实数根； 4
1 ，则 mx 2 − x + 1 = 0 无实数根，真命题； 4
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．（1）若 m ⋅ n < 0 ，则方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根；（2）若 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0，则 m + n ⩽ 0 ．解：（1）逆命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根，则 m ⋅ n < 0 ，假命题；否命题：若 m ⋅ n ⩾ 0 ，则方程 mx2 − x + n = 0 没有实数根，假命题；逆否命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 没有实数根，则 m ⋅ n ⩾ 0 ，真命题．（2）逆命题：若 m + n ⩽ 0 ，则 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0 ，真命题；否命题：若 m > 0 且 n > 0，则 m + n > 0 ，真命题；逆否命题：若 m + n > 0 ，则 m > 0 且 n > 0 ，假命题．
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B．故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ，故实数 m 的取值范围是 [9, +∞)．
2.若则命题的四种形式描述：若则命题命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论．逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题为“若 q ，则 p ”．否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”．逆否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命

人教版高二数学选修11第一章《常用逻辑用语》教案2(有答案)

选修1-1 第一章《常用逻辑用语》§1.2.2 充要条件【知识要点】●p是q的充分条件同时p又是q的必要条件则称p是q的充要条件．●充要性的证明注意分清充分性及必要性进行证明．【例题精讲】【例1】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．点评：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便【例2】设有非空集合A、B、C，若“a∈A”的充要条件是“a∈B且a∈C”，则“a∈B”是“a∈A”的（）A．充分而不必要条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：选B【例3】ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是（）A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1 或a＜0【例4】设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件?【基础达标】1．不等式的解集为R的充要条件是（）A．B．C．D．2．p是q的充要条件的是（）A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解3．设A、B、C三个集合，为使A(B∪C)，条件A B是（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．x∈R，|x|(1＋x)是正数的充分必要条件是（）A．|x|＜1 B．x＜1C．x＜－1 D．x>－1且x≠05．三个实数a、b、c不全为零的充要条件是（）A．a、b、c都不是零B．a、b、c中至多有一个是零C．a、b、c中只有一个是零D．a、b、c中至少有一个不是零6．p：x－4＝0，q：，则p是q的．7．在平面直角坐标系中，点(x2＋5x，1－x2)在第一象限的充要条件是．1~5：BDADD6．充分不必要条件7．0<x<1【能力提高】8．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．9．已知，求证的充要条件是．10．集合，若“a=1”是“”的充分条件，求b的取值范围．§1.3.1 简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”【知识要点】●如果用p，q，r，s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：p或q 记作p∨q 当且仅当p、q同为假时为假p且q 记作p∧q 当且仅当p、q同为真时为真非p 记作⌝p 与p的真假性相反●常见词语的否定【例题精讲】【例1】命题“方程的解为”，使用逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了联结词“或”C．使用了联结词“非”D．使用了联结词“且”答案：B说明：常见的表示是用“或”还是“非”，要根据实际情况定，比如“x=1，y=2．则x+y=3成立”中的x=1，y=2所用的联结词为且．【例2】分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：1．p：李明是高中一年级学生q：李明是共青团员2．p：q：是无理数【例3】命题“非空集合A∩B中的元素既是A中的元素也是B中元素”是形式；命题“非空集合A∪B中的元素是A的元素或是B的元素”是形式．分析：x∈A∩B则x∈A且x∈B，填p且q．x∈A∪B则x∈A或x∈B．填p或q．答：填p且q；p或q．【例4】命题①梯形不是平行四边形；②等腰三角形的底角相等；③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形；④60是5或2的公倍数，其中复合命题有（）A．①③④B．③④C．③D．①③分析：②是简单命题，其余的均为复合命题．选A．【例5】分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．(1)8或6是30的约数；(2)矩形的对角线垂直平分；(3)方程x2－2x＋3＝0没有实数根．分析：分清形式结构，判断简单命题真假，利用真值表再判断原复合命题真假．解：(1)p或q；p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真)．“p或q”为真．(2)p且q；p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)．“p且q”为假．(3)非p；p：x2－2x＋3＝0有实根(假)．非p为真．点评：将简易逻辑知识负载在其它知识之上．【基础达标】1．命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“非”2．以下判断正确的是（）A．若p是真命题，则“p且q”一定是真命题B．命题“p且q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p且q”是假命题时，则命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，则命题“p且q”不一定是假命题3．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么（）A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真值相同4．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真5．如果命题“p或q”是真命题，那么（）A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q的真值是相同的，即同真同假C．命题p与命题q中只有一个是真命题D．命题p与命题q中至少有一个是真命题6．下列命题中：；（2）集合是的子集；（1）11（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．其中为真命题的序号依次为．7．有下列四个命题：（1）40能被3或5整除；（2）不存在实数x，使x2＋x＋1＜0；（3）对任意实数x，均有x＋1＞x；（4）方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根；其中假命题为_ ．(只填序号)1~5：BBBBD6．①②7．(4)【能力提高】8．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．（1）p：3是无理数，q：3是实数；（2）p：4＞6，q：4＋6≠10．解：(1)p或q：真；p且q：真；非p：假．(2)p或q：假；p且q：假；非p：真．9．已知命题p、q，写出“p或q”、“p且q”、“非p”并判断真假．（1）p：2是偶数，q：2是质数；（2）p：0的倒数还是0，q：0 的相反数还是0．(1)p或q：2是偶数或质数，真命题p且q：2是偶数且是质数，真命题非p：2不是偶数，假命题．(2)p或q：0的倒数还是0或0的相反数还是0，真命题．p且q：0的倒数还是0且0的相反数还是0，假命题．非p：0的倒数不是0，真命题．10．写出命题“5>2且4>6”的否定，并判断其真假，由此分别讨论“p或q”、“p且q”的否定形式．§1.4.1 全称量词与存在量词及其否定【知识要点】●短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题叫全称命题．●短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题叫特称命题．●【例题精讲】【例1】下列真命题的个数（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【例2】下列命题中真命题的个数是（）(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，(x－1)2+1≥1；(3)有的无理数的平方是无理数A．0B．1C．2D．3答案：C【例3】下列特称命题中假命题的个数是（）(1)∃x∈R，使2x2+x+1=0；(2)存在两条相交直线垂直于同一个平面；(3)∃x∈R，x2≤0A．0B．1C．2D．3答案：C【例4】下列全称命题的否命题中，假命题的个数是（）(1)所有能被3整除的数能被6整除；(2)所有实数的绝对值是正数；(3)∀x∈Z，x2的个位数不是2A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【例5】命题：∃x∈N，x3 ≤x2的否定是．命题：∀x∈R，x2－x+1> 0的否定是_．【例6】命题：“存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分”的否定是．答案：所有四边形的对角线互相垂直或平分．【例7】写出下列命题的否定．（1）所有自然数的平方是正数；（2）任何实数x都是5x－12=0的根；（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y>0；（4）有些质数是奇数．解：（1）存在自然数的平方是负数或0；（2）存在实数x，它不是5x－12=0 的根；（3）存在实数x，同时存在实数y，使x+y≤0；（4）任何质数都不是奇数．点评：简单全称命题及特称命题的否定，对于条件的否定仅否定全称量词及存在量词．【基础达标】1．下列命题为真命题的是（）A．所有的质数都是奇数B．有些三角形不是锐角三角形C．实数的平方都是正数D．存在一个三角形，它的内角和小于180°2．下列命题中假命题的个数是（）（1）有的梯形是等腰梯形；（2）有的菱形是正方形；（3）每个正方形都是平行四边形；（4）每个矩形都是正方形．A．0 B．1C．3 D．43．命题“原函数与反函数的图象关于直线y=x对称”的否定是（）A．原函数与反函数的图象关于直线y=－x对称B．原函数不与反函数的图象关于直线y=x对称C．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y=x对称D．存在原函数与反函数的图象关于直线y=x对称4．命题“对任意的x∈R，x3－x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2+1≤0B．存在x∈R，x3－x2+1≤0C．存在x∈R，x3－x2+1>0D．对任意的x∈R，x3－x2+1>05．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．⌝p：∃x∈R，sin x≥1B．⌝p：∀x∈R，sin x≥1C．⌝p：∃x∈R，sin x>1D．⌝p：∀x∈R，sin x>16．命题“”的否定为．7．命题“”的否定为．1～5：BBCCC【能力提高】8．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题：（1）能被4整除的整数能被2整除；（2）任何大于2 的偶数可表示为两个素数之和；（3）有些数的平方小于0．9．判断以下命题的真假：(1)∀x∈R，－x2+x－1<0；①真；②真；③真；④假10．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，并判断否命题的真假．（1）直线与x轴都有交点；（2）正方形都是菱形；（3）梯形的对角线相等；（4）存在一个三角形，它的内角和大于180°（1）全称命题：否命题为有些直线与x轴没有交点真命题（2）全称命题：否命题为有些正方形不是菱形假命题（3）全称命题：否命题为有些梯形对角线不相等真命题（4）特称命题：否命题为所有三角形内角和小于或等于180度真命题《常用逻辑用语》全章复习掌握四种命题，充要条件逻辑联结词“且”“或”“非”，全称量词与存在量词及其否定．会判断充要条件，并能证明．【例题精讲】【例1】分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．【例2】“若P＝{x|x|＜1}，则0∈P”的等价命题是．【例3】A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【基础达标】1．命题“若A∪B＝A，则A∩B=B”的否命题是（）A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B=AC．若A∩B≠A，则A∪B≠BD．若A∪B＝B，则A∩B＝A2．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．0个3．下列说法：（1）四种命题中真命题的个数一定是偶数．（2）若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题．（3）逆命题与否命题之间是互为逆否的关系．（4）若一个命题的逆否命题是假命题，则它的逆命题与否命题都是假命题．其中正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．x∈R，(1－x)(1＋x)是正数的充分必要条件是（）A．－1＜x＜1B．x＜1C．x＜－1D．x＜1 且x≠－15．下列说法正确的是（）A．x≥3是x＞5的充分而不必要条件B．x≠±1 是|x|≠1的充要条件C．若⌝p⇒⌝q，则p是q的充分条件D．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形6．集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}；则“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的条件．7．命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是的形式．命题“CA中的元素是I中的元素但不是A中的元素”是的形式．I1．A2．C3．C4．D5．B6．必要非充分条件7．p或q；p且q【能力提高】8．写出“∃x∈R，使得”的否命题．9．写出“∀x> 0，x2+x+2≥0”的否命题．10．用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．。

高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、1-2-1“且”与“或”

p∨qN⊆Z或{0}⊆N.
第一章常用逻辑用语
(选修1-1)
(3)p∧q35是15的倍数且是7的倍数，
p∨q35是15的倍数或是7的倍数． [说明] 解答这类题目的关键是要正确地使用联结词，
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并注意语法上的要求.
第一章常用逻辑用语
(选修1-1)
[例2] 判断下列命题的真假． (1)2≤2. (2)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边．
第一章常用逻辑用语
(选修1-1)
1．2
基本逻辑联结词
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第一章常用逻辑用语
(选修1-1)
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第一章常用逻辑用语
(选修1-1)
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第一章常用逻辑用语
(选修1-1)
1．知识与技能了解含有“且”“或”的新命题的含义，能判断复合命题的真假． 2．过程与方法
1 的取值范围为0，2∪[1，＋∞)．
第一章常用逻辑用语
(选修1-1)
[说明] 本题以函数为载体将函数、不等式、简易逻
辑有机地结合在一起，要求c的范围，可先由条件p、q分别求出c的范围；然后利用“p或q”为真，且“p且q”为假，确定c的范围．
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第一章常用逻辑用语
第一章常用逻辑用语
(选修1-1)
(2)用逻辑联结词“或”把命题p，q联结起来，就得到
一个新命题，记作 p∨q ，读作“ p或q ”．
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3．含有逻辑联结词“且”与“或”的命题的真假规律 (真值表)： p 真真 q 真假 p∧q 真假 p∨q 真真
假假
真假

高中数学第一章常用逻辑用语 1.1.1 命题学案新人教B版选修2-1(2021年最新整理)

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1。

1 命题1．了解命题的概念．（难点)2．理解命题的构成,并能指出命题的条件和结论．（重点)3．能判断一些简单命题的真假．（难点）[基础·初探］教材整理命题阅读教材P3,完成下列问题．1．命题:能判断真假的语句叫命题,命题一般用小写英文字母表示,如：p，q，r,…。

2．一个命题要么是真，要么是假．判断下列语句是命题的是________（填序号）．①求证错误!是无理数；②x2＋2x＋1≥0；③你是高二学生吗？④并非所有的人都喜欢苹果；⑤一个正整数不是质数就是合数．【解析】判断一个语句是否为命题,关键符合两点：①陈述句，②能判断真假．【答案】②④⑤［质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们"探讨交流：疑问1:________________________________________________________解惑:________________________________________________________疑问2:________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]命题的判断①一个数不是正数就是负数;②0是自然数吗？③22 016是一个很大的数;④4是集合｛2,3,4｝的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.【精彩点拨】判断语句是否为命题，要看是否符合两条：（1)是否为陈述句．（2）能否判断真假．【自主解答】②是疑问句，不是命题;③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大,不能判断真假，不是命题；⑤是祈使句，不是命题；①是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数；④是命题,为真命题．【答案】①④判断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：（1）一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．（2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．[再练一题］1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．（1)函数f(x)＝3x(x∈R）是指数函数；(2）x2－3x＋2＝0；(3)函数y＝cos x是周期函数吗?(4)集合{a，b,c}有3个子集．【解】(1）是命题，满足指数函数的定义，为真命题．（2)不是命题，不能判断真假．（3)不是命题，是疑问句，不能判断真假．（4）是命题．因为集合｛a，b，c}有23＝8个子集，所以集合{a，b，c｝有3个子集为假命题．命题真假的判断x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd;③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是________．【精彩点拨】【自主解答】①中Δ＝4－4(－k）＝4＋4k＞0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确,所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题．【答案】①②④1．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的,不存在模棱两可的情况．2．如果要判断一个命题为真命题,需要依据条件进行严格的推理论证,而要判断一个命题为假命题时,只要举出一个反例即可．[再练一题］2．判断下列命题的真假．（1）已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；（2）若x∈N，则x3＞x2成立；（3)若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．【解】（1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2。

高中数学人教B版选修1-1：第一章常用逻辑用语1-1 1.3 第1课时

第一章 1.3 第1课时一、选择题1．(2013·福建理)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝3时，A ＝{1,3}，故A ⊆B ，若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，故为充分不必要条件．2．(2014·浙江文)设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD ，当四边形ABCD 中，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上可知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．3．(2014·广东文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 [答案] A[解析] 由正弦定理，得a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sin B ，故选A.4．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( )A ．x <0B ．x ≥0C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－13或x ≥3 [答案] C[解析] x ＝－1、3、5时，2x 2－5x －3≥0成立，而2x 2－5x －3≥0成立，x 不一定等于－1、3、5.5．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查不等式的性质及充分条件、必要条件的概念．如a ＝1，c ＝3，b ＝2，d ＝1时，a ＋c >b ＋d ，但a <b ，故由“a ＋c >b ＋d ”⇒/ “a >b 且c >d ”，由不等式的性质可知，a >b 且c >d ，则a ＋c >b ＋d ，∴“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件．6．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式的知识．由2x 2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，又因为x >12⇒2x 2＋x －1>0，而2x 2＋x －1>0⇒/ x >12，选A. 二、填空题7．用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空：(1)“m ≠3”是“|m |≠3”的________；(2)“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________；(3)“a >b ，c >d ”是“a －c >b －d ”的________．[答案] (1)必要不充分条件(2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件8．若x ∈R ，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值恒为正的充要条件是________________，恒为负的充要条件是______________．[答案] a >0且b 2－4ac <0 a <0且b 2－4ac <0三、解答题9．下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x＝1；q：x－1＝x－1；(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5；(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．[解析](1)充分不必要条件当x＝1时，x－1＝x－1成立；当x－1＝x－1时，x＝1或x＝2.(2)充要条件∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5.(3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形.一、选择题1．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]命题p：(x－1)(y－2)＝0⇒x＝1或y＝2.命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2.由q⇒p成立，而由p⇒/q成立．2．b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]若b＝c＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c＝ax2经过原点，若二次函数y＝ax2＋bx＋c过原点，则c＝0，故选A.3．命题p：不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R，命题q：0<a<1，则p是q成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 当a ＝0时，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R ；当⎩⎨⎧a >0Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1时，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R .综上所述，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R 时，0≤a <1，故选B.4．△ABC 中，sin A ＝sin B 是∠A ＝∠B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 在△ ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，故选C.二、填空题5．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )，都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的____________条件．[答案] 充分不必要[解析] 点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列，但是{a n }是等差数列却不一定就是a n ＝2n ＋1.6．直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直的充要条件是________．[答案] m ＝－2或3[解析] l 1⊥l 2⇔2(m ＋1)(m －3)＋(m －3)·2＝0⇔m 2－m －6＝0⇔m ＝－2或3.三、解答题7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：x >1，q ：x 2>1；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形．[解析] (1)由x >1⇒x 2>1，所以p ⇒q .∵x 2>1，∴x >1或x <－1，∴q ⇒/ p ，∴p 是q 的充分不必要条件．(2)△ABC 有两个角相等，则△ABC 是等腰三角形，不一定是正三角形，所以p ⇒/ q ；若△ABC 是正三角形，则三个角均相等，即任意两个角都相等，所以q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．8．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数都成立的必要条件是0<a <4.[证明] 要使ax 2－ax ＋1>0对任意实数x 都成立需考虑两种情况：①当a ＝0时，原不等式化为1>0，恒成立，符合题意；②当a >0时，使Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4.综上所述0≤a <4.显然0<a <4是ax 2－ax ＋1>0对任意实数x 都成立的必要条件．9．(2013～2014学年度宿州高二检测)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] 设A ＝{x |(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由p 是q 的充分不必要条件，即A B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1≥1，解得0≤a ≤12. 经检验知当a ＝0和a ＝12时均符合题意．故所求实数a 的取值范围是[0，12]．。

高中数学第一章常用逻辑用语1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”预习导学案新人教B版选修1-1

提示：A∩B＝{x|(x∈A)∧(x∈B)}．
2．或
思考3逻辑联结词“或”和日常语言中的“或者”相同吗？
提示：不相同，日常语言中的“或”是“不可兼有”的，而数学中的“或”是“可兼有但不必须兼有”．
思考4如何用“或”定义集合A与集合B的并集？
提示：A∪B＝{x|(x∈A)∨(x∈B)}．
1.2.1“且Байду номын сангаас与“或”
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解含有“且”“或”联结词的复合命题的概念及其构成形式，理解“且”“或”的含义．
2．会用真值表判断由“且”与“或”构成的新命题的真假.
1．且
思考1“且”与自然语言中的哪些词语相当？
提示：“且”与自然语言中的“并且”“及”“和”相当．
思考2如何用“且”来定义集合A和集合B的交集？

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第一章常用逻辑用语
§1.1 命题与量词
1.1.1 命题
一、基础过关
1．下列语句中是命题的是 ( )
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 45°＝1
C．x2＋2x－1>0
D．梯形是不是平面图形呢？
2．下列语句中是命题的为 ( )
①空集是任何集合的子集；
②若x>1，则x>2；
③3比1大吗？
④若平面上两条直线不相交，则它们平行；
⑤－22＝－2；
⑥x>15.
A．①②⑥ B．①②④
C．①④⑤ D．①②④⑤
3．下列说法正确的是 ( )
A．命题“sin(α＋β)＝sin α＋sin β (α，β是任意角)”是真命题
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C．“四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
4．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命
题中的假命题是 ( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a、b相交，则α、β相交
D．若α、β相交，则a、b相交
5．下列命题：
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③
互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．其中真命题有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
二、能力提升
7．下列命题：
①若xy＝1，则x、y互为倒数；
②对角线垂直的平行四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________．
8．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，
则q”的形式，则p是______________，q是________________．
9．给出下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，是真命题的是________．(填序号)
10．判断下列语句是否是命题，并说明理由：
(1)若x＋y是有理数，则x，y均为有理数．
(2)一条直线l与平面α不是平行就是相交．
(3)x2＋2x－3<0.
11．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假：
(1)等腰三角形的两个底角相等．
(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；
(3)正方形是矩形又是菱形；
(4)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．
三、探究与拓展
12．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数f(x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝
________(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形).
答案
1．B 2．D 3．D 4．D 5．A 6．B
7．①④
8．一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
9．②④
10．解 (1)当x＝2，y＝－2时，x＋y是有理数．为假，是命题．
(2)直线l与平面α的位置有三种：平行、相交和在平面内．为假，是命题．
(3)在x未赋值之前，不能判断其真假．不是命题．
11．解 (1)若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，真命题．
(2)若x＝2或x＝4，则x
2
－6x＋8＝0，真命题．
(3)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．
(4)若一个方程为x
2
－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．
12．x轴，－3－log2x(y轴，3＋log2(－x)或原点，－3－log2(－x)或直线y＝x,2x－3；答案不唯
一．)

高中数学 常用逻辑用语《 学案导学设计》人教B版选修1-11.1.1

高中数学人教B版选修1-1：第一章 常用逻辑用语1-1 1.2 第1课时