循环小数
循环小数的判断方法
循环小数的判断方法
循环小数是指在十进制下，无限循环地重复出现一些数字的小数表示形式。
例如，1/3在十进制下表示为0.3333...，其中3无限循环出现。
判断一个小数是否为循环小数可以采用以下方法：
1. 观察法：观察小数的数字是否出现循环的模式。
如果数字在小数点后不停地重复出现，那么它就是一个循环小数。
举个例子，0.3333...和0.142857142857...就都是循环小数，因为它们的数字模式不断重复出现。
2. 除法法：通过将分子除以分母来计算小数。
如果出现余数重复出现的情况，那么这个小数就是循环小数。
例如，将1除以3得到的小数是0.333
3...，当我们计算余数时，会发现重复出现的余数是1，这就表明这个小数是循环小数。
3. 分数法：将一个小数转换为分数形式，并判断分母是否含有因子2和因子5以外的素因子。
如果分母仅包含2和5的素因子，那么这个小数是有限小数，否则就是循环小数。
像0.6和0.75这样的小数都可以转换为有限的分数，因为它们的分母只包含2和5的因子。
但是像0.3333...和0.142857142857...这样的小数无法转换为有限分数，因为它们的分母含有因子3和7的素因子。
使用这些方法，我们可以判断一个小数是否为循环小数。
这有助于我们理解和处理循环小数在数学和科学中的应用。
无限小数和循环小数的例子
无限小数和循环小数的例子
无限小数是指小数点后的小数部分无穷无尽的小数。
例如：1.23456789...，这是一个无限小数。
它的小数部分不断重复，永远不会停止。
循环小数则是指小数点后的小数部分按一定的规律重复出现的小数。
例如：1.3333333...，这是一个循环小数。
它的小数部分按照“3”的规律不断重复，循环不息。
在数学中，无限小数和循环小数都有其独特的性质和意义。
无限小数常常用于表示一些无法精确表示的数，如圆周率π；而循环小数则常常用于简化一些复杂的小数表示形式，如分数。
需要注意的是，不是所有的无限小数都是循环小数，也不是所有的循环小数都是无限小数。
例如：1.123456789...是一个无限但不是循环小数，而1.3333333...则是一个循环但非无限小数。
循环小数公式
循环小数公式循环小数是数学中一个挺有趣的概念，咱今天就来好好聊聊循环小数的公式。
先说说啥是循环小数。
比如说，1÷3 算出来是0.3333……，这后面的 3 一直没完没了，像这样小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，就是循环小数啦。
那循环小数的公式是啥呢？咱先来看个简单的例子。
比如把 1÷3 写成循环小数，就是 0.3（3 循环），那这要怎么表示成公式呢？我们可以这样写：设这个循环小数是 x ，那x = 0.3333……，10x =3.3333……，用 10x - x ，也就是3.3333…… - 0.3333……，得到 9x = 3 ，所以 x = 1/3 。
其实啊，这就是循环小数化成分数的一个基本方法。
再比如说 0.12（12 循环），设x = 0.121212……，100x = 12.121212……，100x - x = 99x = 12 ，所以 x = 12/99 = 4/33 。
我想起之前教过的一个小朋友，他对循环小数那叫一个头疼。
有一次做作业，遇到一道把循环小数 0.27（27 循环）化成分数的题，他愣是想了半天没整明白。
我就坐在他旁边，一点点引导他。
我问他：“咱们假设这个数是 x ，那 100x 是多少呀？”他眨巴着眼睛，一脸迷茫。
我就耐心地给他解释：“你看啊，100 个 0.27 不就是27.2727……嘛。
”他好像有点开窍了，接着我又带着他做减法，算出 99x 等于 27 ，最后得出x 等于27/99 ，约分一下就是3/11 。
他弄明白后，那高兴的样子，眼睛都亮了。
在实际应用中，循环小数的公式也很有用哦。
比如说在一些工程计算或者科学实验中，需要把测量得到的循环小数转化为精确的分数形式，才能进行更准确的计算和分析。
总之，循环小数的公式虽然看起来有点复杂，但只要多练习，多琢磨，就能轻松掌握啦。
就像那个小朋友，后来遇到循环小数的题，都能做得又快又准。
《循环小数》
02
循环小数的范围通常表示为 0.ABC（其中ABC是循环部分 ）或ABC（其中ABC是循环部 分）。
03
循环小数一定是无限小数，但 无限小数不一定是循环小数。
循环小数的运算性质
乘法运算
两个循环小数相乘，其结果的小数部分也是一个循环小数。
加法运算
两个循环小数相加，其结果的小数部分也是一个循环小数。
循环小数与分数的转换关系
循环小数可以表示为分数 形式
将循环小数转化为分数，可以通过确定循环 节的长度，将循环节作为分子，然后根据循 环节的长度确定分母，从而将循环小数转化 为分数。
分数可以转化为循环小数
将分数转化为循环小数，可以通过对分子进 行重复运算，从而得到一个循环小数。
循环小数与分数的运算关系
纯循环小数
定义
纯循环小数是一种特定的小数，其小数部分从小数点后 第一位开始循环。例如，1/3=0.333...中的"3"是无限循 环的。
特点
纯循环小数的循环节位数是有限的，且循环节的数字不 重复。
例子
0.333..., 0.444..., 0.555...等。
混循环小数
定义
混循环小数是一种特殊的小数，其小数部分从小数点后某一位开始循环，然后跳过几位后再继续循环。例如， 2/7=0.285714...中的"2857"是循环节，跳过了"3"。
循环小数
2023-11-04
目录
• 循环小数的定义 • 循环小数的性质 • 循环小数的分类 • 循环小数的实例 • 循环小数与分数的关系 • 循环小数的应用
01
循环小数的定义
定义及特性
循环小数是一种小数，其小数点后某一段数字不断重复出现 。
关于什么是循环小数
关于什么是循环小数在数学中，循环小数是基础学习知识之一，下面是unjs小编为您整理关于循环小数，欢迎阅读!循环小数循环小数，是指从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，可分为有限循环小数,如：1.123123123(不可添加省略号)和无限循环小数，如：1.123123123……(有省略号)。
前者是有限小数，后者是无限小数。
循环小数介绍循环小数英文名：circulating decimal两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。
一种，得到无限小数。
从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如 2.1666...*(混循环小数)，35.232323...(循环小数)，20.333333…(循环小数)等，被重复的一个或一节数字称为循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。
例如：2.966666... 缩写为 2. 96(6上面有一个点;它读作“二点九六，六循环”)35.232323…缩写为35.23(2、3上面分别有一个点;它读作“三十五点二三，二三循环”)循环小数可以利用等比数列求和(附链接：等比数列)的方法化为分数。
例如图中的化法。
所以在数的分类中，循环小数属于有理数。
循环小数一个“特殊”性质我们熟悉的七分之几化成循环小数为：以第一个分数为例：取它的循环节142857，共六位，从中间分成两段：142和857，对应相加!看看下图，发现了什么吗?没错!999!再试试其他几个循环小数的循环节，也是这样吗?我们再换一个分数。
比如1/11=0.090909……2/11=0.181818……3/11=0.272727…………循环节都是两位，分成两段，对应相加，9!再看一个：1/13=0.0769********……2/13=0.153846153846……3/13=0.230769230769…………第一个：循环节为076923，6位，分成两段， 076和923，对应相加：999!第二个：循环节为153846，6位，分成两段，153和846，对应相加，999!……再看一个长一点的：1/17=0.0588235294117647……2/17=0.1176470588235294……第一个：循环节为0588235294117647，16位，分成两段，05882352和94117647，对应相加，99999999!第二个：循环节为1176470588235294，16位，分成两段，11764705和88235294，对应相加：99999999!……一个调查：没错!7、11、13、17都是质数!其他质数呢?有没有兴趣试一试?特别是，有兴趣拿出一张大一点的纸，计算一下1/109吗?还有，背后的原因是什么呢?您会提出这个问题，并且试图解决吗? [关于什么是循环小数]。
循环小数计算题
循环小数计算题一、循环小数的概念1. 定义- 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
例如：0.333·s，5.32727·s等。
- 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。
例如在0.333·s中，循环节是“3”；在5.32727·s中，循环节是“27”。
二、循环小数的计算类型及题目解析1. 循环小数的加法- 题目：计算0.333·s+ 0.666·s- 解析：- 因为0.333·s=(1)/(3)，0.666·s=(2)/(3)。
- 所以0.333·s + 0.666·s=(1)/(3)+(2)/(3)=1。
2. 循环小数的减法- 题目：计算0.888·s - 0.333·s- 解析：- 由0.888·s=(8)/(9)，0.333·s=(1)/(3)=(3)/(9)。
- 则0.888·s-0.333·s=(8)/(9)-(3)/(9)=(5)/(9)。
3. 循环小数与整数的乘法- 题目：计算3×0.333·s- 解析：- 因为0.333·s=(1)/(3)。
- 所以3×0.333·s = 3×(1)/(3)=1。
4. 循环小数与小数的乘法- 题目：计算0.5×0.666·s- 解析：- 先把循环小数化为分数，0.666·s=(2)/(3)。
- 则0.5×0.666·s = 0.5×(2)/(3)=(1)/(2)×(2)/(3)=(1)/(3)。
5. 循环小数的除法- 题目：计算1÷0.333·s- 解析：- 由于0.333·s=(1)/(3)。
循环小数说课稿10篇
循环小数说课稿10篇循环小数说课稿1一、说教材：1、教材简析《循环小数》是五年级上册第三单元的内容，它是学生在学习除数是整数的除法、除数是小数的除法和商的近似值的基础上教学的。
这部分内容概念多，又比较抽象，是教学的一个难点。
教材的编排意图是：例1让学生直观地认识小数的循环现象，初步探索循环小数的特征，例2让学生进一步理解循环小数，研究循环小数的循环规律，并用描述性的语言归纳循环小数的意义，在此基础上学习循环节、有限小数、无限小数和循环小数的简写方法。
循环小数是小数除法的商的一种特殊情况，可以看成小数除法的深层次的研究，通过对商的研究，学生可灵活的处理小数除法的商，为学生用小数除法的相关知识解决生活中的问题打下坚实的基础。
2、教学目标（1）知识目标：初步理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，能正确区分有限小数和无限小数，了解循环节的概念和循环小数的简写方法。
（2）能力目标：培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高观察、分析、比较、判断、抽象概括能力。
（3）情感目标：感受数学与现实生活的紧密联系，激发探究欲望，增强学习数学的信心，初步渗透集合思想。
3、教学重、难点：理解循环小数的意义。
二、说教法：1、依据《数学课程标准》中"变注重知识获得结果为知识获得的过程"的教学理念，以学生的发展为立足点，以自主探索为主线，通过学生动脑、动手、动中、动眼充分感知，然后经过学生观察、比较、小组合作、交流展示来概括循环小数的意义，从而使学生从形象思维逐步过渡到抽象思维。
2、采用多媒体辅助教学，调动学生兴趣，通过趣味性、竞争性等多种形式巩固练习，使学生变苦学为乐学，把数学课上的有趣、有效。
三、说学法：为了更好地突出学生的主体地位，在整个教学过程中，使学生学会运用直观的教学手段理解掌握新知，学会有顺序地观察问题、对比分析问题、概括知识等方法，培养学生自主学习、合作交流、解决问题的能力。
四、说流程：本节课我安排了四个教学环节：（1）从生活现象中感知循环。
循环小数
循环小数化分数要两种类型可分：1.纯循环小数循环节有几位分母就写几个9，循环节是什么分子就写什么，如：0.33……＝3/9＝1/32.混循环小数循环节有几位分母就写几个9，不是循环节的有几位就在“9”后面加几个0，分子是第一个循环节前的数空大相应的倍数相减，如：0.833……＝83.33……－8.33……/90＝75/90＝5/6一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢？看下面例题。
把纯循环小数化分数：纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？把混循环小数化分数。
（2）先看小数部分0.353一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
有限小数化成分数直接将小数点去掉，分母对应化成十百千万等。
再约分。
例如：0.333.....＝3/9=1/30.214214214214214....=214/999简单说每一个循环节为分子，循环节有几位数分母就写几个90.3333......循环节为3 0.214.....循环节为2140.52525252....循环节为52，所以0.525252...＝52/990.35....=35/99例如：0.333333……循环节为3则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……前n项和为：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
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1.从小数部分某一位起一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫循环小数。
2.循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
五、课后作业：
1、计算下面各题，哪些商是循环小数，在□里打“√”。
①5÷6②7÷8③23÷6
④3÷16⑤2.76÷9⑥70.7÷33
2、把下面小数按从大到小排序。
1Hale Waihona Puke 出示在我们平时接触到的一些自然现象或生活中哪些现象是按照一定顺序依次不断进行着的？
四季的排列顺序，
一个星期的七天的排列顺序，
一年12个月的排序，
……
我们所说的这么多现象有什么共同点？
像这样“依次不断重复出现”的现象叫做“循环”。
在数学中是不是也存在这样的“循环”的现象呢？
二、新课探索
1、出示：探究一
4．探究出现循环小数的原因
问：那么怎么会出现循环小数的呢？请大家以刚才的三题为例举例说明。
生1：横式上的结果0.333……，后面有无数个3。余数重复出现1，商就重复出现3，总也除不尽。
生2：它们都有数字重复出现。都有省略号。不同的是前面这个只有一个数字循环，后面这个有两个数字在循环。
探究二：
1.自学循环小数的简便写法。
1.2454545…还可以写成1.245（读作：1.245，45循环）
1.9266…还可以写成1.926（读作：1.926，6循环）
2.练习
0.2888…=，循环节是；
0.4242…=，循环节是；
0.501501…=，循环节是。
师：在用简便方法表示循环小数的时候，要找出这个循环小数的循环节，如果循环节只有一个数字就在这个数字上点一个点。如果循环节有几个数字，就在这几个数字的首尾两个数字上各点一个点。
①0.3 0.30 0.303 0.3
②6.424 6.424 6.424 6.424
3、超市搞促销，同样一箱8袋的牛奶（每袋486ml），光明牌买一箱送一箱，24.8元，伊利牌买一箱送2袋，24.5元，仅从价格考虑买哪种牌子比较合适？
教后记：
小学数学电子教案
执教：杨亦斌
年级
课题
日期
五年级
循环小数
教学目标
1、在除法计算中认识循环小数。
2、知道循环小数的概念，会使用简便方法表示循环小数。
3、会比较两个数或几个数的大小。
教材分析
教学重难点
掌握循环小数的概念，并用简便方法表示循环小数；
会正确的比较两个或几个数的大小
相关链接
课件内容
教学过程
一、新课导入：
0.3757 0.417417…
1.66666…5.7234242…
3.161616…4.373737
1.1380413804…0.50507…
问：这两个小数为什么不是循环小数？
如果在他们后面添上省略号呢？
2.判断：
(1)一个小数从某一位数起，一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫做循环小数。（）
(2)1.306306……=1.306。（）
0.3757
0.417417…
1.66666…
5.7234242…
3.161616…
4.373737
1.1380413804…
0.50507…
2、出示：练习二
判断：
⑴一个小数从某一位数起，一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫做循环小数。（）
⑵1.306306……＝ 。（）
⑶9.219219……，循环节是921。（）
(3)9.219219……，循环节是921。（）
(4)0.666……，是循环小数。（）
3.把循环小数的简便形式改写成一般形式。
12.49=，7.518 =，
42.512 =，8.0479 =。
师：在改写成一般形式的时候，只要把循环节连续重复两次，再添上省略号。
小结：当两个循环小数不能直接比出大小的时候，可以先把循环小数展开后再比。
为什么横式中的商要用“…”表示呢？
这里的“…”表示省略了什么呢？
3)（针对第三题）
师：如果这道题继续除下去，商会怎样？为什么？
（请两、三位学生回答）
师：说得是否完整呢？请大家看看书上27页小熊猫是怎么介绍的？
学生看书自学
2)师：怎样判断一个小数是不是循环小数？
为什么要强调“从小数部分某一位起”呢？
3)师：这三个循环小数谁来说说它们是从哪一位起的哪些数字在依次不断重复出现的？
1.从小数部分某一位起一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫循环小数。
2.循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
五、课后作业：
出示：作业
（如右）
一、新课导入：
1、师：在我们平时接触到的一些自然现象或生活中哪些现象是按照一定顺序依次不断进行着的？
（如：四季、一个星期的七天的排列顺序、一年12个月的排序……）
2、师：我们所说地这么多的现象都有什么共同点?
（板书：依次不断重复出现）
师：像这样“依次不断重复出现”的现象我们把它叫做“循环”。（板书：循环）
问：在我们数学中是不是也存在这样“循环”的现象呢？
探究一：
0.3 3 31.9 2 6 61.24545
3）1.0 6）1 1.5 6 11）13.7
9611
填空
0.2888…=，循环节是；
0.4242…=，循环节是；
0.501501…=，循环节是。
在用简便方法表示循环小数的时候，要找出这个循环小数的循环节，如果循环节只有一个数字就在这个数字上点一个点。如果循环节有几个数字，就在这几个数字的首尾两个数字上各点一个点。
三、课内练习
1、出示：练习一
下面的数中，哪些是循环小数？将它们表示用简便形式表示出来：
师：循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字又叫什么？
书写循环小数比较麻烦，有没有简便写法呢？
请大家继续自学27页，看看小胖和小丁丁还告诉我们什么？
得到：循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
得到循环小数的简便写法：
0.3333…还可以写成0.3（读作：0.3，3循环）
1 0 5 5 2 7
95 42 2
1 0 1 6 50
91 244
1 4 0 60
3 655
4 0 50
（老师我发现这道题总是除不尽，商中的3总是不断重复出现。）
问：那么商中有多少个“3”呢？
在横式中可以怎样表示商呢？
（在横式中的商用省略号表示：1÷3=0.333…）
2)（针对第二题）
师：这道题又有什么特点？
从小数部分某一位起一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫循环小数。
怎样判断一个小数是不是循环小数？
为什么要强调“从小数部分某一位起”呢？
这三个循环小数分别是从哪一位起的哪些数字在依次不断重复出现的？
2、出示：探究二
循环小数有没有简便写法呢？
请大家继续自学27页看看小胖和小丁丁还告诉了我们了些什么？
循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
⑷0.666……，是循环小数。（）
3、出示：练习三
把循环小数的简便形式改写成一般形式。
=，
=，
=，
=。
在改写成一般形式的时候，只要把循环节连续重复两次，再添上省略号。
出示：练习四
比较下面两个数的大小。
（如右）
当两个循环小数不能直接比出大小的时候，可以先把循环小数写成一般形式后再比。
四、本课小结
出示：小结
选择一题算算结果。
1÷3=
11.56÷6=
13.7÷11=
根据学生的汇报情况出示课件
像0.333…，1.24545…，1.92626…这样的小数就叫它循环小数。
谁能试着说说看什么叫做循环小数？
从小数部分某一位起一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫循环小数。
说得是否完整呢？请大家看看书上27页小熊猫是怎么介绍的？