直角三角形的性质(二)
直角三角形的概念
直角三角形的概念直角三角形是几何学中的一个重要概念，它是指一个三角形中有一个内角等于90度的三角形。
直角三角形的特性和性质十分独特，对于解题和实际应用中都有着重要的作用。
本文将从直角三角形的定义、性质、应用以及解题技巧等方面进行论述。
1. 直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形中有一个内角等于90度的三角形。
直角三角形的顶点处于直角的位置，另外两条边被称为直角边和斜边。
直角边的长度可以不等，根据直角边的长度和斜边的长度可以确定直角三角形的其他性质。
2. 直角三角形的性质（1）勾股定理：直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方。
即a^2 + b^2 = c^2，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
（2）正弦定理：直角三角形中，直角边和斜边的比例满足正弦函数的关系。
即sinA = a/c，sinB = b/c，其中A和B分别为直角边所对应的角，a和b分别为直角边的长度，c为斜边的长度。
（3）余弦定理：直角三角形中，斜边和直角边的比例满足余弦函数的关系。
即cosA = b/c，cosB = a/c，其中A和B分别为直角边所对应的角，a和b分别为直角边的长度，c为斜边的长度。
（4）判别直角三角形：根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足a^2 + b^2 = c^2的关系，那么这个三角形就是直角三角形。
3. 直角三角形的应用（1）三角函数的计算：在解决与角度和长度有关的问题中，直角三角形的性质可以帮助我们计算三角函数的值，包括正弦、余弦和正切等。
（2）测量工程：直角三角形的性质在测量工程中有着广泛的应用。
例如，利用斜边和某个角的正弦函数，可以通过斜边的长度和对应角的值来确定其他边的长度。
（3）图形的构造：直角三角形可作为图形的构造元素。
在绘制图形或设计建筑等方面，直角三角形的性质和比例可以帮助我们合理地规划和设计。
4. 直角三角形的解题技巧（1）根据已知条件确定角度和边长关系：根据问题中给出的条件，利用直角三角形的性质，确定不同角度和边长之间的关系。
直角三角形的性质和判定(二)
3. 有一个人在一个斜坡上向上走了10米，他所在 有一个人在一个斜坡上向上走了10米 10 的位置的高度就相应的上升5 的位置的高度就相应的上升5米，那么这个斜坡的 倾斜角为＿ 倾斜角为＿ ＿ ＿ ＿ 4.在△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B, ∠C，的 4.在 ABC中 分别是∠ ∠C， 对边， ∠B︰ 1︰ 是确定a 对边，且∠A︰∠B︰∠C= 1︰2︰3，是确定a和c 的关系 5.在△ABC中， ∠B =∠C， AD⊥BC，E为AC的中 5.在 ABC中 =∠C， AD⊥BC， AC的中 AB=6，则求DE 点。AB=6，则求DE
如图所示， ABC中 6 如图所示，在△ABC中，AB=AC, ∠ BAC=120°, °
EF为线段 的垂直平分线， 为线段AB的垂直平分线 为线段 的垂直平分线， 求证：2 BF= FC 求证：
7.在△ABC中,EB,CF分别是两边上的高，D为 在 ABC中,EB,CF分别是两边上的高， 分别是两边上的高 BC中点 试证明△DEF为等腰三角形 中点， BC中点，试证明△DEF为等腰三角形
8，在△ABC中,BD、CE分别是两边上的高，M ， ABC中,BD、CE分别是两边上的高， 分别是两边上的高 BC中点 试判定△MDE的形状 中点， 的形状， 为BC中点，试判定△MDE的形状，并说明理由
如图在△ABC中，BD平分∠ ABC,DE∥BC.且 如图在△ABC中 BD平分∠ ABC,DE∥BC.且 平分
∠ EDB=25°, ∠ A=40°,试判定△ADE是否为直角 ° ° 试判定 ADE是否为直角
三角形，并说Leabharlann 理由 三角形，如图，AC=AD， 是直角， 2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上 述条件标注在图中，你能说明BC BD相等 BC与 述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等 吗？
直角三角形的性质与定理
直角三角形的性质与定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度（直角）。
在本文中，我们将讨论直角三角形的性质和一些重要的定理。
一. 直角三角形的定义直角三角形是指一个角为90度的三角形。
直角三角形的另外两个角总和为90度。
直角三角形的边可以被称为斜边、邻边和对边。
二. 直角三角形的性质1. 斜边：直角三角形的斜边是直角三角形中最长的一条边，它位于直角的对面。
2. 邻边：直角三角形中与直角相邻的边被称为邻边。
在直角三角形中，邻边可以相互垂直。
3. 对边：直角三角形中与直角相对的边被称为对边。
对边和斜边之间的关系可以通过正弦、余弦和正切等三角函数来表示。
三. 直角三角形的定理1. 勾股定理：勾股定理是最著名的直角三角形定理，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。
勾股定理可以用公式表示为：c^2 = a^2 + b^2，其中c是斜边的长度，a和b是邻边的长度。
2. 直角三角形的角度关系：在直角三角形中，直角对应的角度为90度，其他两个角的大小可以通过三角函数来计算。
例如，正弦函数sin(theta)=对边/斜边，余弦函数cos(theta)=邻边/斜边，正切函数tan(theta)=对边/邻边。
3. 边长比：在直角三角形中，两个邻边的比例始终保持一致。
例如，如果一个直角三角形的一个邻边长为3，另一个邻边长为4，那么它们的比例为3:4。
四. 直角三角形的应用直角三角形的性质和定理在数学和实际生活中都有广泛的应用。
它们可以用于测量和计算，例如在建筑、地理和物理等领域。
此外，在几何学中，直角三角形也是其他几何形状的基础，它们的关系和性质可以帮助我们理解和推导更复杂的图形。
总结：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度。
直角三角形具有斜边、邻边和对边等性质。
勾股定理是直角三角形最重要的定理之一，描述了直角三角形中三条边之间的关系。
直角三角形的角度关系可以通过三角函数来计算。
直角三角形的性质和定理在实际生活和数学中都有广泛的应用。
直角三角形的特殊性质
直角三角形的特殊性质直角三角形是几何学中最基础、最重要的三角形之一。
它具有许多独特的性质和特征，本文将深入探讨直角三角形的特殊性质。
一、直角三角形的定义和性质直角三角形是指一个角为90度的三角形。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。
除此之外，直角三角形还有以下特殊性质：1. 直角三角形的两条直角边相等由于直角三角形中的直角为90度，根据垂直平分线定理，直角三角形的两条直角边相等。
这一性质使得直角三角形具有对称性，并且可以方便地进行计算和推导。
2. 直角三角形的两条直角边与斜边之间存在特殊关系根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。
这一性质使得我们可以根据已知条件计算未知边长，或者利用已知边长计算出其余边长。
3. 直角三角形的两个锐角是互补角由于直角三角形的一个角为90度，而三角形内角和为180度，所以直角三角形的两个锐角是互补角。
这一性质在解决相关问题时很有用，可以通过求解其中一个角来确定另一个角的大小。
二、直角三角形的特殊比例直角三角形中存在一些特殊的比例关系，这些比例在解决相关问题时具有重要意义。
以下是两个常见的特殊比例：1. 正弦定理对于直角三角形中的一个锐角A，其对边的长度与斜边的长度之比称为正弦，记作sin(A)。
根据正弦定理，直角三角形中一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值，即sin(A) = cos(B)，其中A和B为两个锐角。
这一比例关系在解决三角函数问题时特别有用。
2. 余弦定理对于直角三角形中的一个锐角A，其邻边的长度与斜边的长度之比称为余弦，记作cos(A)。
根据余弦定理，直角三角形中一个锐角的余弦值等于另一个锐角的正弦值，即cos(A) = sin(B)，其中A和B为两个锐角。
余弦定理可以帮助我们计算三角形的边长或角度大小。
三、直角三角形的应用直角三角形的特殊性质和比例关系在实际应用中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 测量不可达的高度或距离由于直角三角形的特殊比例关系，我们可以利用已知的边长和角度大小，通过三角函数的运算来计算出高度或距离。
直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定直角三角形是一种特殊的三角形，具有独特的性质和判定条件。
本文将介绍直角三角形的定义、性质以及判定方法。
一、直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。
三角形的三个内角之和为180度，因此直角三角形的其他两个角的度数之和为90度。
二、直角三角形的性质1. 斜边、直角边和对角线的关系在直角三角形中，斜边是直角三角形的最长边，对应直角边是直角三角形的次长边，而对角线是直角三角形的最短边。
这是由勾股定理所决定的，即斜边的长度等于直角边长度的平方和的平方根。
例如，对于直角边长分别为a和b的直角三角形，斜边的长度为√(a^2 + b^2)。
2. 直角三角形的角度关系直角三角形中，直角边与斜边的夹角为90度，而直角边与非直角的两个角之和为90度。
这意味着直角三角形中的两个非直角角度互为余角，即一个角的余角等于另一个角本身。
例如，如果一个角为30度，则另一个角为60度，它们互为余角。
三、直角三角形的判定方法在给定三条边的长度时，我们可以通过以下方法判断是否为直角三角形：1. 勾股定理勾股定理是判定一个三角形是否为直角三角形的重要方法。
根据勾股定理，如果一个三角形的最长边的平方等于其他两边的平方和，则该三角形为直角三角形。
2. 角度判定在一个三角形中，如果两个角的度数之和为90度，则该三角形为直角三角形。
通过测量三角形的角度可以判断是否为直角三角形。
3. 边长关系在一个三角形中，如果两条边的长度满足a^2 + b^2 = c^2，则该三角形为直角三角形。
其中，a、b表示两个直角边的长度，c表示斜边的长度。
四、直角三角形的应用直角三角形的性质和判定方法在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑领域中，直角三角形的性质被用于测量和确定建筑物的角度和边长。
在航海和航空领域中，直角三角形的性质被用于计算飞行器和船只的航向和位置。
总结：直角三角形是一种具有独特性质的三角形，其中一个角为90度。
1.2直角三角形的性质和判定(II)同步练习含答案
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理要点感知直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a、b的平方和等于__________的平方.即a2+b2=c2.预习练习△ABC中,∠C＝90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.(1)若a＝5,b＝12,则c＝__________；(2)若c＝41,a＝40,则b＝__________.知识点勾股定理1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=10，BC∶AC=3∶4，那么BC=( )A.6B.8C.10D.以上都不对2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的斜边长为( )A.6B.8C.10D.123.已知一个三角形三个内角的比是1∶2∶1,则它的三条边的比是( )A.1∶2∶1B.1∶2∶1C.1∶2∶3D.1∶4∶14.如图,长方形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )A.2.5B.22C.3D.55.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合.若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A.1B.2C.3D.46.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为__________.7.等腰△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm，则BC边上的高是__________cm.8.一个直角三角形的斜边长比直角长边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________.9.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，CD⊥AB交AB于点D.求：(1)AC的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长.11.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )A.5B.6C.7D.2512.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )A.3B.23C.33D.4313.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图,则三角板的最大边的长为( )A.3 cmB.6 cmC.32 cmD.62 cm14.如图，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为( )A.6B.5C.6D.3615.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A.53B.52C.4D.516.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD的长等于__________.17.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__________.18.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD的长.19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于点E，交BC于点F，若AE=4，FC=3，求EF长.参考答案要点感知斜边c预习练习 13 91.A2.C3.A4.D5.D6.67.88.109.∵AD⊥AC，AC=20，AD=15，∴222015∴BD=BC-CD=32-25=7.10.(1)∵∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，∴AC=8 cm；(2)S△ABC =12BC·AC=12×6×8=24(cm2)；(3)∵S△ABC =12BC·AC=12CD·AB，∴CD=·BC ACAB=245cm.11.A 12.D 13.D 14.A 15.C 16.8 17.57 18.设DC=x，则BD=14-x.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理可得： (14-x)2+AD 2=152，x 2+AD 2=132.两式相减得(14-x)2-x 2=56.解得x=5. 在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD=12.19.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ， ∴BD=10 cm.∴∴20.连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC ，BD=CD=AD ，∠ABD=∠C=45°. ∵DE ⊥DF ， ∴∠FDC=∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，,,ABD C FDC EDB BD CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△EDB ≌△FDC. ∴BE=FC=3.∴AB=7，则BC=7. ∴BF=4.在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5.第2课时 勾股定理的实际应用要点感知 应用勾股定理解决实际问题时，应先根据题意画出几何图形，分析图形中各线段之间的数量关系，正确运用勾股定理求解.求边长时，一般有两种情况：一是直接运用勾股定理通过计算求解，二是借助勾股定理列方程求解.预习练习 (2019·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__________米.知识点1 直接利用勾股定理1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米3.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为( )A.5米B.3米C.(5+1)米D.3米4.假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )A.20千米B.14千米C.11千米D.10千米5.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.知识点2 利用勾股定理列方程求解6.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m7.在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m8.如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为__________米.9.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？10.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为( )A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米11.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B 取∠ABD=120°，BD=210 m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于( )A.1053 mB.2103 mC.703 mD.105 m12.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm13.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为__________mm.14.如图,一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪的距离为50 m,问这辆小汽车是否超速了？（中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不得超过70 km/h）15.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？16.两条公路OM、ON相交成30度角，在公路OM上，距O点80米的A处有一所小学，当拖拉机沿公路ON方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么拖拉机沿ON方向行驶时，是否会给小学带来噪声影响？若受影响，计算影响的时间.参考答案预习练习 101.A2.B3.C4.D5.4806.A7.B8.39.设BD=x米，则AD=(10+x)米，CD=(30-x)米，根据题意得(30-x)2-(x+10)2=202.解得x=5.即树的高度是10+5=15（米）.10.A 11.A 12.C 13.15014.小汽车超速了.理由：在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理得：22AB AC小汽车的速度是40÷2=20(m/s)=72(km/h).而规定速度为70 km/h,72>70，∴小汽车超速了.15.设AE=x km，则BE=(25-x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152.同理可得：DE2=(25-x)2+102.若CE=DE，则x2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.16.过点A作AD⊥ON于点D，即点A到ON的最短距离为AD，已知在Rt△OAD中，∠O=30°，OA=80，可得AD=40＜50，故学校会受到拖拉机的影响；在D点两侧分别取两点E、F，使得AE=AF=50，在Rt△ADE中，AE=50，AD=40，可得DE=30，又易证Rt△ADE≌Rt△ADF，即DE=DF=30，即EF=60.又拖拉机的速度为18千米/时，故拖拉机经过EF段所用的时间t=0.0618×3 600=12（s）.答：拖拉机会给小学带来噪声影响，影响时间为12秒.第3课时勾股定理的逆定理要点感知直角三角形的判定定理(勾股定理的逆定理)：如果一个三角形的三边长a、b、c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是__________三角形.预习练习1-1三角形的三边长满足（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形1-2以下列数组为三角形的边长：①5,12,13；②10,12,13；③7,24,25；④6,8,10,其中能构成直角三角形的有( )A.4组B.3组C.2组D.1组知识点勾股定理的逆定理1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，2，32.已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知两条线段的长分别为2 cm、3 cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是( )A.1 cmB.5 cmC.5 cmD.1 cm与5cm4.如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对c +|a-8|+(b-15)2=0，则△ABC的形状是( )5.若a、b、c表示△ABC的三边，且满足17A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.在Rt△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是( )A.∠C=90°B.∠B=90°C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形7.在△ABC中，a=2，b=6，c=22，则最大边上的中线长为( )A.2B.3C.2D.以上都不对8.三角形三边长分别为4、8、43,则该三角形最小角与最大角依次是( )A.30°,60°B.30°,90°C.60°,90°D.45°,90°9.若在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC的度数是__________度.10.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面__________(填“垂直”或“不垂直”).11.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∠C=30°，求∠B的大小.12.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF、EFD.GH、AB、CD13.已知一个三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，则当n=__________时，这个三角形是直角三角形.14.如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10 cm,AD=8 cm,CD=6 cm.问这个零件是否合格？15.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,BC=3,AB=4,AD=12,CD=13.求四边形ABCD的面积.16.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.17.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数.参考答案要点感知直角预习练习1-1 C1-2 B1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.A8.B9.90 10.不垂直11.∵△ABC中，AB=2，BC=4，3，∴AB2+AC2=4+12=16=BC2.∴∠A=90°.∴∠B+∠C=90°.又∵∠C=30°，∴∠B=60°.12.B 13.214.合格.连接AC.∵AD2+CD2=82+62=102=AC2,根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,∴零件合格.15.连接AC.∵∠ABC=90°,在Rt△ABC中，BC=3,AB=4,∴在△ACD中,∵AC2+AD2=52+122=132=CD2, ∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36.16.证明：∵CD是AB边上的高，∴△ADC和△BCD都是直角三角形.∴AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2.∴AC2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.17.(1)根据旋转的性质，得AD=EC=4，BD=BE=3，AB=BC，∠DBE=∠ABC=60°，∠ADB=∠BEC.∴△ABC和△DBE均为等边三角形.∴DE=BD=3.∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2.故△DEC为直角三角形.(2)∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC=90°.又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED=60°.故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°.。
直角三角形的性质和判定(Ⅱ)优质课教案
直角三角形的性质和判定（Ⅱ）【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】一、知识与技能使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
二、过程与方法了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
三、情感、态度与价值观介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
【教学重难点】1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
【教学过程】一、新课引入已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？二、探究定理（一）画一画：让学生动手画一个直角边长为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5．（二）做一做1．如图，以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间有什么关系。
正方形P Q R面积91625思考：（1）这三个正方形的面积分别为多少？你是怎么求的？（2）这三个正方形的面积之间满足一个什么等式？（3）正方形的面积等于边长的平方，那么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？（4）我们前面说过：在直角三角形中，我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？2．再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
这个三角形的三边也满足勾2+股2=弦2吗？（三）议一议对于任意的直角三角形也有这个性质吗？（四）猜一猜直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有a2＋b2=c2过渡语：猜想的结论是否正确须经过严格论证。
七年级(下)数学培优班--第10讲 直角三角形(二) 教师版
⑵ 若 3 为直角边长， 4 为斜边长，则另一条直角边长为： 42 32 7 ；
若 3 和 4 为两条直角边长，则斜边长为： 32 42 5 ； ⑶ 在 RtABC 中，∵ A 90 ，∴ b2 c2 a2 ，即 c2 a2 b2 .故 c 152 122 9 ．
SABCD
S△ABC
S△ACD
1 2
AB
BC
1 2
AC
C★★☆☆☆ ⑴ 如图1 ，已知 △ABC 中， ACB 90 ， A 30 ， CD 4 ， D 为 AB 的中点， 则 AC 的长是____________． ⑵ 如图 2 ，已知 Rt△ABC 中， ACB 90 ， CD 是高， A 30 ， BD 2 ， 则 CD ____________， AB ____________． ⑶ 如图 3 ，在矩形 ABCD 中， AB 2BC ，在 CD 上取一点 E ，使 AE AB ， 则 EBC 的度数为____________．
C
A
D
B
【分析】 设 AD x ，则 BD 8x ，列方程得 25 x2 49 8 x2 ，解得 x 5 ，故 BAC 60 ．
2
【例题5】 ★★★☆☆ 如图，一游人由山脚 A 沿坡角为 30 的山坡 AB 行走 600m ，到达一个景点 B ，再由 B 沿 山坡 BC 行走 200m 到达山顶 C ，若在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 45 ，则山高 CD 等 于____________．（结果用根号表示）
⑶ 如图 3 ，四边形 ABCD 中， B 90 ， AB 3 ， BC 4 ， CD 12 ， AD 13， 则四边形 ABCD 的面积为____________.
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直角三角形的性质（二）
编写时间：年月日执行时间：年月日总序第个教案
一、【教学目标】：
1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。
2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。
3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的
思维向多层次多方位发散。
培养学生的创新精神和创造能力。
4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。
从而培养学生发现问题
和解决问题能力。
二、【教学重点】与难点：
直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。
三、【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索.
四、【教学过程】：
（一）引入：
如果你是设计师：（提出问题）
2008年将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公
交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。
而这三个公交站点的位置正好构
成一个直角三角形。
如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？
（通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系，引
发学生的学习兴趣。
）
动一动想一想猜一猜（实验操作）
请同学们分小组在模型上找出那个点，并说出它的位置。
请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。
通过以上实验请猜想一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么
关系？
（通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的
关系。
）
（二）新授：
提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）
应用定理：
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，E、F分别AB、AC
的中点。
求证：DE=DF
分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即
可证得。
（上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化
使斜边重合，我们可以得到哪些结论？）
练习变式：
1、已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，F是BC
F
E
D C
B
A
B A 的中点。
求证：FD=FE
练习引申：（1）若连接DE ，能得出什么结论？
（2）若O 是DE 的中点，则MO 与DE 存在什么结论吗？ 上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的同侧。
如果共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论？
2、已知：∠ABC=∠ADC=90º，E 是AC 中点。
你能得到什么结论？
三）、小结：
通过今天的学习有哪些收获？
四）、作业：
五）、课后反思：
C。