三角形--讲义
三角形优质讲义
三角形的单元复习学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容三角形中的边、线、角的关系及其应用课型一对一教学目标1.熟悉三角形的边、角相关概念.2.能熟练的利用三角形的边、三线、角相关性质解决问题.重、难点三角形中三线，内外角相关计算问题知识导图导学一：三角形三边关系知识点讲解1：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即|两边之差|<第三边<两边之和例1. [单选题] 下列能组成三角形的线段是（）A.1,2,3B.4,6,11C.5,6,7D.12，25,45例 2. [单选题] 已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A.1 B. 5 C.2 D. 1例3. [单选题] （2014广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A. 17B. 15C. 13D. 13或17 【学有所获】判断给定线段能否围成三角形：只要最短的两边之和大于第三边即可组成三角形确定三角形第三边的取值范围：|两边之差|<第三边<两边之和等腰三角形问题：如果给出两边长，第三边边长分情况讨论，注意最后要建议这三边能为围成三角形。
我爱展示1.判别下列各组线段哪些能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由。
(1) 15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm(3) 3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm2.[单选题] 在1，2，3，4，5这五个数中，任取三个组成三角形，方法有（）种A.1B.2C.3D.43.三角形三边长分别为1，x，8，若x为正整数，则x的值为4.[单选题] 已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为（）． A.11 B.16 C.17 D.16或17导学二：三角形的高、中线与角平分线知识点讲解1例1. 如图，AD为三角形ABC的边BC上的中线，△ABC面积为20，则△ABD面积为多少？【学有所获】三角形中线把三角形分成等面积的两半例2. 在△ABC中，∠BAC为90度，AD为BC上的高，AB=4，BC=5，求AC与AD的比。
《全等三角形》讲义
《全等三角形》讲义一、全等三角形的定义两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形。
“完全重合”意味着它们的形状和大小完全相同，对应边相等，对应角也相等。
例如，我们将一个三角形沿着某条直线对折，如果对折后的两部分能够完全重合，那么这就是一个全等三角形。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这是全等三角形最基本的性质之一。
如果两个三角形全等，那么它们对应的三条边的长度是相等的。
比如，三角形 ABC 全等于三角形DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等同样，如果两个三角形全等，它们对应的三个角的度数也是相等的。
还是以上面的例子来说，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的周长相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也必然相等。
4、全等三角形的面积相等由于全等三角形的形状和大小完全相同，所以它们所覆盖的面积也是相等的。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么可以得出这两个三角形全等。
3、 ASA（角边角）当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。
例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，∠C ＝∠F，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么这两个三角形全等。
三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心
．O A BDC2016届高三数学讲义————三角形的“五心”————（Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． （2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． （3）性质垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等． 内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R= 2sin c C(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下:连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R ．又90ABD Ð=°(直径所对的圆周角是90°),AB=c, ADB CÐ=Ð(同弧AB 所对的圆周角相等),∴AD= sin AB ADB Ð,即2R sin c C =, R=2sin cC ． 延伸①:正弦定理由于R=2sin cC ,同理易证2sin 2sin 2sin cbaR C B A===,变形得到变形得到正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C===(每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理2222cos a b c bc A =+- （222cos 2b c a A bc+-=）ABC OA BCD证明过程如下：作CD ^AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同求．二、内心（1）定义：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心． （2）性质角平分线的性质：到角两边距离相等．角平分线的性质：到角两边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．延伸①：内角平分线定理如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有(=)A B B D A C D C =上左下左上右下右证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,则E DAC Ð=Ð． ∵BAD DAC Ð=Ð,∴E BAD Ð=Ð,AB BE ==c ． 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴BD=DCAB EB AC AC =,得证． 延伸②：外角平分线定理如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有()AB BDAC DC=同上IK H EF D ABCMABDCEcb cAB CDEFcb cA FBDCE证明过程如下：作CE//AB 交AD 于E,则AEC EAF Ð=Ð．∵EAF EAC Ð=Ð,∴AEC EAC Ð=Ð,AC AE =． 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴BD =DCAB AB ACCE=,得证．得证．延伸③：三角形内角平分线长公式如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有2bccos 2cos2211b+c +b c A AAD =（或）证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,BF ^AE 交其于F ．由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB,∴bcAD AC DE BE ==． 又+DE=AE AD ,即bb+cAD AE =．而△ABE 为等腰三角形, BF ^AE, ∴22sin =2csin 2AAE AF AB BAF ==Ð,∴2bccos 2cos 2211b+c +b cA AAD =（或）．延伸④：内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S ，则有，则有2r=a+b+cS（即面积的（即面积的22倍除以周长） 证明过程如下：连接OA,OB,OC ． ∵相切，∴OF AB ^，即S △AOB = 11cr 22AB OF ·=，同理，同理S △AOC = 1br 2，S △BOC = 1ar 2．又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1(a+b+c)r 2,∴2r=a+b+cS．．O A F BDCE（1）定义：三角形三条中线的交点．三角形三条中线的交点． （2）性质中线性质:将三角形面积等分成两部分．将三角形面积等分成两部分． 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有:::2:1A G G CB G G EC G G F === 证明过程如下：作BH//FC 交AD 延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB ，∴,2GD DH GH GD == 又∵BH//FG ，F 为AB 中点，∴G 也为AH 中点，即2AG GH GD ==， ∴:2:1AG GC =，其他同证．，其他同证． 延伸:三角形中线长公式如图,AD 为△ABC 的中线,则有则有221b +c +2bccos 2AD A =证明过程如下:作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ， ∴1,=2AD DE AD AE=即，∵BE//AC ，∴ABF A Ð=Ð．作AF ^EB 交其交其 延长线于F ．又AB=c ，∴BF=AB cos ABF Ð=cos c A ，AF=sin c A ， 故EF=cos c A b +．∴12AD AE ==222211(cos )(sin )b +c +2bccos 22c A b c A A ++=四、垂心（1）定义：三角形三条高的交点．：三角形三条高的交点． （2）性质斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂任何三个为顶点的三角形的垂 心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．AFBEDCBCD EFGAG FE CBD H（1）定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的圆心)．（2）性质每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆．三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有 一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等． （Ⅱ）三角形“四心”与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小．在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．的数学美感．一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC△的重心．如图⑴．的重心．如图⑴．A'GCAB【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC l =++，(0)l Î+¥，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心．的重心． 【解析】【解析】 由题意()AP AB AC l =+ ，当(0)l Î+¥，时，由于()AB AC l +表示BC 边ABCDEFI a图⑴图⑴图⑵图⑵MPCBAO二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ×=×=×，则P 是ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】由PA PB PB PC ×=× ，得()0PB PA PC ×-= ，即0PB CA ×=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶．的垂心．如图⑶．PABC【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C l æöç÷=++ç÷èø ，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C l æöç÷=+ç÷èø，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C æöç÷+×=ç÷èø， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C××+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷．的垂心，如图⑷．图⑶图⑶ 图⑷图⑷ H FEM ABCO P三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC++=，则I 是ABC △的内心．的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+ ，IC IA AC =+ ，则由题意得()0a b c IA bAB cAC++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB ACæöç÷+=×+×=××+ç÷èø， ∴bc AB AC AI a b c AB ACæöç÷=+ç÷++èø．∵AB AB与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，量，∴AI与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC Ð． 同理可证：BI 平分ABC Ð，CI 平分ACB Ð．从而I 是ABC △的内心，如图⑸．的内心，如图⑸．【命题6】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB ACOP OA AB ACl æö=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．的内心． 【解析】【解析】 由题意得AB AC AP AB AC l æöç÷=+ç÷èø，∴当(0)l Î+¥，时，AP 表示BAC Ð的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹．的内心，如图⑹．图⑸图⑸图⑹图⑹ABCOPbacIA CBOCAB四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC == ，则O 是ABC △的外心．外心．【解析】 若222OA OB OC == ，则222O A O B O C == ，∴OA OB OC == ，则O是ABC △的外心，如图⑺．的外心，如图⑺．【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cl æö+ç÷=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心．的外心．【解析】 由于2OB OC + 过BC 的中点，当(0)l Î+¥，时，cos cos AB AC AB B AC Cl æöç÷+ç÷èø表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、命题4解释．），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻．的外心，如图⑻．图⑺图⑺M OB CAP图⑻图⑻。
三角形讲义
知识点一 三角形的有关概念三角形的定义：由 ①不在同一条直线上的②三条线段③首尾顺次相接（必须是封闭图形）所组成的图形叫做三角形。
三角形的边、角、顶点（相邻两边的公共点）三角形的表示方法三角形的分类：（1）按角分 三角形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧）（））（形一个内角是钝角的三角钝角三角形度的三角形都小于锐角三角形（三个内角斜三角形角形有一个内角是直角的三直角三角形90（2）按边分 三角形⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）（两边相等的三角形底边和腰不等的三角形等边三角形等腰三角形不等边三角形 例 下列关于三角形按边分类正确的是（ ）三角形的三边关系（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）应用1.给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形；②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形；(两短边之和大于最长边）③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形（两长边之差小于最短边）2.已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。
3.已知三角形两边长为a 、b(a ＞b)，求周长L 的范围：2a ＜L ＜2(a+b)。
4.证明线段之间的不等关系。
例 1 具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（ ）A 、5，9，3B 、5，7，3C 、5，2，3D 、5，8，3例 2.若三线段a,b ，c 满足a ＞b ＞c ，若能构成一个三角形，则只需满足条件( )A.a+b ＞cB.b+c ＞aC.c+a ＞bD.b+c ≠a例 3 三角形的两边为3cm 和5cm ，则第三边x 的范围是_______例 4 如果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为________例 5 长度分别为12cm ，10cm ，5cm ，4cm 的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为（）A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 ★例 6 已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a>，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ ） A 、b L a 33>> B 、a L b a 2)(2>>+ C 、a b L b a +>>+22 D 、b a L b a 23+>>- ★例7 在△ABC 中，三边长分别为a 、b 、c ，且a>b>c ，若b=8，c=3，则a 的取值范围是（ ）A.5＜a ＜11B.8＜a ＜11C.3＜a ＜8D.5＜a ＜8★例8 若△ABC 的三边之长都是整数，周长等于12，则这样的三角形共有_____个。
第6讲 四年级 下册数学 三角形 讲义
知识点一：三角形的特性1、三角形的定义：由 围成的图形（每相邻两条线段的端点 ），叫三角形。
2、从三角形的 ，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
三角形只有 条高。
重点：三角形高的画法：一落二移三画四标3、三角形具有 。
如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
学生/课程年级 四年级 学科 数学 授课教师日期 时段 核心内容 三角形（第6讲）教学目标 1、认识三角形的特性，掌握三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180°2、认识三角形的分类，了解这些三角形的特点并能够辨认和区别它们3、培养应用数学知识解决实际问题的能力4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和第三边。
三角形任意两边之差第三边。
两边第三边〈两边。
判断三条线段能不能组成三角形，只要看两条边的和是不是大于。
5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。
知识点二：三角形的分类1、按照角大小来分：三角形，三角形，三角形。
2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。
3、等边△的三边，每个角是度。
（顶角、底角、腰、底的概念）4、三个角都是的三角形叫做锐角三角形。
5、有一个角是的三角形叫做直角三角形。
6、有一个角是的三角形叫做钝角三角形。
7、每个三角形都至少有两个；每个三角形都至多有1个；每个三角形都至多有1个。
8、两条边的三角形叫做等腰三角形。
9、三条边都的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。
10、等边三角形是三角形知识点三：三角形的内角和1、三角形的内角和是。
四边形的内角和是。
一个三角形中至少有两个，每个三角形都至多有一个；每个三角形都至多有一个。
可以根据最大的角判断三角形的类型。
最大的角是哪类角，就属于那类三角形。
最大的角是直角，就是直角三角形。
最大的角是钝角，就是钝角三角形。
2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成。
解三角形(讲义)
解三角形（讲义）➢知识点睛1.解三角形（1）在三角形中，由已知的边、角出发，求未知边、角的过程叫做解三角形．已知边指已知该边的长度，已知角指已知该角的三角函数值．解三角形时，往往会通过作高的方式将三角形分割为2个直角三角形进行研究；作高时，一般要保留已知三角函数值的角．（2）常见的可解三角形①2边1角②2角1边③3边④1边1角表达AB=mACAB+BC=n➢精讲精练1.如图，在△ABC中，AB=BC=11，tan B=12，则AC=________，sin C=________．2.如图，在△ABC中，AC=ABC=150°，BC=8，则AB=______，sinA=________．3.如图，在钝角三角形ABC中，∠CAB＞90°，AB=10，BC=14，∠C=45°，则AC=_______．4.如图，在△ABC中，tan B=12，∠C=45°，BC=12，则AB=_________．5.如图，在△ABC中，tan A=12，∠ABC=135°，BC=AB=___________．6.如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=6，则∠B的正切值为_________．7.如图，在△ABC中，BC∠C=45°，AB AC，则AC的长为_________．8.如图，在矩形ABCD中，AB=4，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF=12，则CE=_______．9. 如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC′，DC′与AB 交于点E ，连接AC′，若AD =AC′=2，BD =3，则点D 到BC′的距离为（）A ．2B ．7C D10. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA =CB ，CE =CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ，AD ，则两个三角形重叠部分的面积为________．第10题图第11题图11. 如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE =12∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC =2，则EF 的长为________．12. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =23，点E ，点D 分别是边AB ，AC 上一点，AE =3，AD =4，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 于点F ．若EF =2ED ，则AC 的长为__________．13. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =BC△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连接B′C ，则sin ∠ACB′=________．14.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB BC=4，点D是AB上一点，BD=2，点E是线段AC上一动点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在线段CD上，此时tan∠A′BC=__________．15.在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为__________．16.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为__________．【参考答案】1.5；4 52.3.4.5. 26.7. 28.9. B10.311.112.23 213.4 514.1 1815.16.52或53。
全等三角形经典讲义
全等三角形状元笔记【知识要点】1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)．【温馨提示】1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等．【方法技巧】1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，说明A与D，B与E， C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF是对应边．2．判定两个三角形全等的解题思路：专题一 三角形全等的判定1．如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ．求证：△ABE≌△CDF ．2．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是：__________； （2）证明：SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．专题二 全等三角形的判定与性质4．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）AB ．4C ．D ．55．【2013·襄阳】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，点D 落在点E 处，AE 的延长线交CB 的延长线于点M ，EB 的延长线交AD 的延长线于点N .求证：AM ＝AN .6．【2012·泸州】如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．NME D B CA专题三全等三角形的应用7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A．60° B．90° C．120° D．150°8．有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两端的距离，你能说说其中的道理吗？9．已知如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB ，这时只要量出AB′的长，就知道AB 的长，对吗？为什么？10．如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF于F ．求证：CE = CF11.已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + ADFA BECD12．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB13．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B14．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．DBACPEDCBA D CBA15．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：16．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．OEDCBAFEA17.已知:在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.18、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E，，在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；图1图2DCAB（2）证明：DC BE⊥．19．如图-1，ABC△的边BC在直线l上，AC BC⊥，且AC BC=；EFP△的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF FP=．（1）在图-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP关系；（2）将EFP△沿直线l向左平移到图-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP的关系，请证明你的猜想；（3）将EFP△沿直线l向左平移到图-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．A （E）B C （F）Pl l l图-1 图-2图-3全等三角形——角的平分线的性质状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，AC =3 cm ，求BE 的长．专题二 角平分线的性质的应用 4．如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A ．在AC 、BC 两边高线的交点处B ．在AC 、BC 两边中线的交点处C ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处D ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．21BAC B ∶∶∠∠6. 如图， ∠ B= ∠ C=90 °， M 是 BC 中点， DM 平分 ∠ ADC ，求证： AM 平分 ∠ DAB ．7. 如图，已知 △ ABC 的周长是 22 ， OB 、 OC 分别平分 ∠ ABC 和 ∠ ACB ， OD ⊥ BC 于 D ，且 OD=3 ， △ ABC 的面积是多少？8.如图，已知 ∠ 1= ∠ 2 ， P 为 BN 上的一点， PF ⊥ BC 于 F ， PA=PC ，求证： ∠ PCB+ ∠ BAP=180 º9.如图，△ ABC 中， P 是角平分线 AD ， BE 的交点． 求证：点 P 在∠ C 的平分线上．10. 如图，在 △ ABC 中， BD 为 ∠ ABC 的平分线， DE ⊥ AB 于点 E ，且 DE=2cm ， AB=9cm ， BC=6cm ，求 △ ABC 的面积．21NP F C BA11.如图， D 、 E 、 F 分别是△ ABC 的三条边上的点， CE=BF ，△ DCE 和△ DBF 的面积相等．求证： AD 平分∠ BAC ．。
三角形讲义
第十一章 三角形一．基础知识1、三角形的定义：不在 上的三条线段 连接而成的平面图形。
其表示方法是符号“△”后接着三个顶点字母。
三角形是边数最少的多边形。
2、三角形的有关重要线段:⑴三角形的三边：三角形的两边之和 第三边；两边之差 第三边；△ABC 的三边a 、b 、c 中，已知a 、b ，求c 的取值范围是： ＜c ＜ ；⑵三角形的高线、中线、角平分线：①三线都经过顶点;②都是 ;③除直角三角形的两条高线在三角形的两条 边上,钝角三角形的两条高线在三角形 ,其他各线均在形内;④三中线、三角平分线、三高线均交于一点：锐角三角形的高交于三角形 一点，直角三角形的高交于三角形的 点，钝角三角形的高的延长线交于三角形 一点。
⑤三角形的一条中线把三角形分成两个 相等的小三角形； ⑥三角形的角平分线所分得的两个角 。
⑦有高就有 度的角，三角形的各边与这边上的高的乘积相等，据此可以建立方程解题：如图4中有：AB ·CF=BC · = · ；3、三角形的稳定性的应用举例： ，四边形的不稳定性的应用举例： 。
4、三角形有关的角：⑴内角和等于 ；⑵外角：是三角形的一边与另一边的 的夹角，外角和等于 ；⑶内外角关系：三角形的一个外角等于 ，三角形的外角与之相邻的内角互为 ； 5、多边形：⑴定义：是 的几条线段 连接而成的平面图形；其表示方法为：多边形ABCDE ……应该按图形中的排列顺序书写字母。
叫正多边形；⑵对角线：多边形中不相邻的两个顶点之间的连线。
n 边形从一个顶点出发有 对角线，这些对角线把n 边形分成了 三角形，n 边形共有 条对角线；⑶n 边形的内角和等于 ，正n 边形的内角和还可以用 × 求得；所以可以据此建立方程求边数；⑷多边形的外角和都等于 ，正n 边形的每个内角度数为n︒-︒360180。
二．基本题型例1. a 、b 、c 为三角形的三边长，化简c b a c b a c b a c b a -+-+-----++例2.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简c -b -a +b -c a ++b -a -c =________________。
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三角形 讲义一、 基础知识（一）与三角形有关的线段1三角形： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形叫做三角形。
2三角形的边：组成三角形的三条线段是三角形的边。
3三角形的角：在三角形中，相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。
4三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。
5三角形的高、中线、角平分线的定义及性质。
6三角形具有稳定性。
（二）与三角形有关的角1三角形的内角和等于（180°）2三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
3三角形的外角和（360°）。
4.直角三角形的两个锐角互余。
（三）多边形及其内角和1多边形 ：一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的平面图形称为n 边形，又叫多边形。
2正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边也向等的多边形叫正多边形。
3多边形的对角线：在多边形中，连接两个不相邻角顶点的线段叫多边形的对角线，每个多边形有 )3(21 n n 条对角线。
4多边形的内角和：n 边形的内角和等于（（2）•180°）5四边形内角的特殊性：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。
6多边形的外角和：从多边形每个内角相邻的两个外角中，分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。
任意多边形的外角和等于 （360°）。
（四）三角形的分类按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分类：不等边三角形、等腰三角形 （包含底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）（五）镶嵌1、平面镶嵌：从数学角度看，用不重叠在一起的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。
2、用相同的正多边形镶嵌（1）围绕一点镶嵌在一起的n个多边形的内角恰好是一个周角，则这种正多边形可以做平面镶嵌。
（2）用相同的正多边形镶嵌，只有正三角形、正方形、正六边形可以，其他正多边形都不可以。
3、利用多种正多边形进行镶嵌用两种不同的正多边形镶嵌：（1）3个正三角形和2个正方形（2）2个正三角形和2个正六边形用三种不同的正多边形镶嵌：正三角形、正八边形和正二十四边形就可以进行镶嵌。
（二）经典例题例1：已知三条线段的比是:①1:3:4;②1:2:3;③1:4:6;④3:3:6;⑤6:6:10;⑥3:4:5.其中可构成三角形的有( )毛A.1个 B.2个 C.3个 C.4个[考点透视]本例主要是考查三角形的三边关系：三角形的任意两边和大于第三边，任意两边的差小于第三边[参考答案]B例2：如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是( )A.6<L<15B.6<L<16C.11<L<13D.10<L<16[考点透视]本例同样是考查三角形三边的关系，只不过问题是周长的取值范围，这是本题的失分点，[参考答案]D例3：现有两根木棒,它们的长度分别为20和30,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 ( )A.10的木棒B.20的木棒;C.50的木棒D.60的木棒[考点透视]本例考查三角形三边的关系在实际生活中的应用，主要是考查学生的应用意识[参考答案]B（三）适时训练与三角形有关的线段过关训练1.下图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．2.下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形的两边之差大于第三边；（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.若三线段，c满足a＞b＞c，若能构成一个三角形，则只需满足条件( ).＞c ＞a ＞b ≠a4.若三角形三边满足a2220.则此三角形为( ).A.不等边三角形B.一般等腰三角形C.等边三角形、C都有可能5.现有两根木棒，它们的长分别为40和50，若要钉成一个三角形木架（•不计接头），则在下列四根木棒中应选取（）A．10长的木棒 B．40长的木棒 C．90长的木棒 D．100长的木棒6.下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．3，12，8 B．6，8，15C．2.5，3，5 D．6.3，6.3，12.67.已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（）A．12 B．12或15 C．15 D．15或188.三角形两边长为2和9，周长为偶数，则第三边长为( ).A.7B.8C.9D.109.等腰三角形的底边长为8 ，则腰长的范围是( )A．大于4 且小于8B．大于4 且小于16C．大于8 且小于16D．大于410.若三角形三边长是三个连续自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有()个.A．2 B．3 C．4 D．5 11.已知一个三角形的两边长分别是3和4，则第三边长x的取值范围是．•若x是奇数，则x的值是；这样的三角形有个；•若x•是偶数，•则x•的值是；这样的三角形又有个．12.△周长27，三边长为三个连续奇数，则最长边长为，最短边长为.13为△的三边，化简b-+---.a-+-cabaccb（）．14.如图，在△中，，D为上一点，试说明>1215．已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，•若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为多少？1 (＋＋)．16．已知：P为△内任意一点．求证：＋＋＞217．（综合题）已知a、b、c为△的三边长，b、c满足（2）2+│3│=0，且a为方程│4│=2的解，求△的周长，判断△的形状．答案1．解：图中共有8个三角形，分别是：△、△、△、△、△、•△、△、△．点拨：数三角形的个数，一定要按一定的次序去数．如按图形的形成过程数，按三角形的大小顺序数等，切忌盲目，造成重复和遗漏．2．B 点拨：说法（1）、（4）正确，故选B．3. B4. C5．B6．C7．C 点拨：由题设知，等腰三角形的三边长可能为3，3，6或6，6，3．但3+3=6，说明以3，3，6为边长构不成三角形．∴这个等腰三角形的周长为15，故选C．8. C9. D1011．1<x<7；3，5；2；2，4，6；3点拨：∵（4-3）<x<（4+3），∴1<x<7．∵若x是奇数，则x的值是3，5；∴这样的三角形有2个．∵若x是偶数，则x的值是2，4，6；∴这样的三角形有3个．12.11, 713.14．解：在△中，>，因，故>，即2>．（）．从而可知>1215．解：设第三条边长为c，其余两条边长分别为a和b，且a>b，则有为奇数，5，所以25为奇数，故c为偶数．又<c，故c>5，c的最小值为6．16.证明：∴＋＞，＋＞，＋＞，∴2(＋＋)＞＋＋，1 (＋＋)．∴＋＋＞217. 解：∵（2）2≥0，│3│≥0，且（2）2+│3│=0，∴2=0，3=0．即2，3．∵a为方程│4│=2的解，∴2或6．经检验，当6时，不满足三角形三边关系定理，故舍去．∴2，2，3．∴△的周长为7，△为等腰三角形．三角形的高、中线与角平分线过关训练一、填空题1．如下图，是△的角平分线，则∠∠1；E在上，且，则是△的；是△2的高，则∠∠90°，。
2．如下图，△中，边上的高是；在△中，边上的高是，在△中，边上的高是，以为高的三角形是。
3．如图10，是△的中线，6，4，则△和△的周长差为。
∠，∠2=∠3，则∠的角平分线为，∠的角平分4．如图11，已知∠1=12线为。
二、选择题5．下列说法中正确的是（）（1）平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线（2）三角形的中线、高和角平分线都是线段（3）一个三角形有三条高、三条角平分线和三条中线（4）三角形的中线是经过顶点和对边中线的直线A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（3）（4）C．（1）（4）D．（2）（3）6．如图12，∠>90°，⊥，交的延长线于D，⊥，交的延长线于E，⊥于点F，△中边上的高为（）A．B．C．D．7．至少有两条高在三角形的内部的三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能三、解答题8．如图13，是锐角△的高，是其中线，指出图中共有几个三个角形。
若按角分类没，分别是什么三角形？9．等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6和15的两部分，求此三角形的底边的长。
10．如下图所示，在△中，是边上的中线，6，5 ，求△的周长与△的周长差。
四、拓展创新11．如图15，已知是△的高，是角平分线，是中线，写出图中相等的角和相等的线段。
五、中考热身12．（2005·长沙）请在作出△的角平分线（要求保留作图痕迹）。
答案1．∠，∠，∠，中线，∠，∠，⊥2．△△△3．24．5．D6．C7．A8．图中共有6个三角形.其中△，△是锐角三角形；△，△，△是直角三角形；△是钝角三角形。
9．在△中，，是中线。
设2x，则，（1）当15时，6，即215，5，得10，1，满足两边之和大于等三边.（2）当6时，15，即26，2，15—2=13，4，故不能组成三角形。
∴三角形的腰长为10，底边长为1.10.△的周长—△的周长（）－（）————（—）+（－）—6—5=111.相等的角：∠∠，∠∠；相等的线段：.12.略三角形的稳定性应用与了解1．现在盖高楼时要用专门铁管搭起矩形脚手架，如图3，其主要作用是：使建筑厂人有地方立脚且能在上面施工，为什么矩形脚手架外，还要用较长的铁管斜着和遇见的每一根矩形的边都要加以固定?不加这些长的斜铁管行吗?不与每一根遇到的边固定行吗?2．矩形虽然不稳定，但它外形整齐，且容易向人们所需要的方向整齐地伸展；三角形稳定，但它有尖有棱，不易向人们所需的方向伸展，所以很多用钢条组合成的建筑（大桥、大型起重机、修建房屋的脚手架）都让这二者结合起来，用矩形作为外形，把矩形再加上——条或几条线化分为几个三角形，使其结构稳定而结实．你能再举出既达到美观实用，又能有很好的稳定性，且结实耐用的四边形（主要是矩形）与三角形相结合的例子吗?3．四边形的不稳定性是它的缺点，但我们仍可利用其”缺点”为我们服务。
课本中提到的菱形挂衣架、放缩尺是两个很好的例子．民间艺人做成的工艺品仙鹤可以做不同动作，其中仙鹤的长脖子能伸能缩很逗人喜爱?其脖子是用——些连结白勺平行四边形构成的，除此之外，你见过其他利用四边形不稳定性来为我们服务的例子吗?与三角形有关的角过关训练一、选择题:(每小题3分,共21分)1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形2.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60°3.已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的,则这个三角形各内角的度数分别为( )A.60°,90°,75°B.48°,72°,60°C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°4.已知△中,∠2(∠∠C),则∠A的度数为( )A.100°B.120°C.140°D.160°5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形6.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ中 ( )A.有两个锐角、一个钝角B.有两个钝角、一个锐角C.至少有两个钝角D.三个都可能是锐角7.在△中,∠12∠13∠C,则此三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形二、填空题:(每小题3分,共15分)1．三角形中最大的内角不能小于度，最小的内角不能大于度．2. 如图（1），∠∠∠∠∠∠；如图（2），∠∠∠∠∠∠．3.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是.4.在△中,若∠∠∠C,则此三角形为三角形;若∠∠B<∠C,则此三角形是三角形.5.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为.6.在△中,∠B,∠C的平分线交于点O,若∠132°,则∠度.7.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠35°,则∠的度数为.三、基础训练:(每小题15分,共30分)1.如图所示,在△中⊥于平分∠(∠C>∠B),试说明∠1(∠∠B).22.在△中,已知∠∠5°,∠∠20°,求三角形各内角的度数.四、提高训练:(共15分)如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠32°,∠28°,求∠P的度数.五、探索发现:(共15分)如图所示,将△沿折叠,使点C落到点C′处,试探求∠1,∠2与∠C的关系.六、中考题与竞赛题:(共4分)(2001·天津)如图所示,在△中,∠∠⊥⊥,∠158°,则∠度.答案一、1 2 3 4 5 6 7二、1. 60，602. 360°，360°3. 40°4.直角钝角5.36°或90°6.847.80°三、1.解:∵⊥,∴∠90°,∴∠90°-∠B,又∵平分∠,∴∠12∠12(180°-∠∠C),∴∠∠∠=90°-∠12(180°-∠∠C)=90°-∠90°+12∠12∠C=1 2∠12∠B=1(∠∠B).22.∠50°,∠55°,∠75.四、∠30°五、解:∵∠1=180°-2∠,∠2=180°-2∠,∴∠1+∠2=360°-2(∠∠)=360°-2(180°-∠C)=360°-360°+2∠2∠C.六、68.毛多边形的内角和过关训练填空1，十边形的内角和为度，正八边形的每个内角为度.2，已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为 .3，若一个多边形，则它是十边形。