初中奥数讲义_直角三角形的再发现附答案
人教版九年级数学下册知识讲义-28.2解直角三角形的应用(附练习及答案)-
初中数学解直角三角形的应用学习目标一、考点突破1. 弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、方位角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应。
2. 能够恰当地把实际问题转化为数学问题，从而利用直角三角形的知识解决实际问题。
二、重难点提示重点：将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。
难点：如何添作适当的辅助线构造直角三角形。
考点精讲常见应用问题类型1. 仰角和俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角。
2. 方位角：指北（或指南）方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方位角。
北西南东ABCDO60°70°30°45°3. 坡度和坡角：坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ＝h∶l。
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，且i＝hl＝tanα。
BChlα【核心突破】（1）仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”。
（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平线。
（3）工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比为坡度（或坡比），坡度是坡角的正切，坡度越大，坡面越陡。
【重要提示】仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北（南）方向而言的。
典例精讲例题1如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图。
已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A. 10.8米B. 8.9米C. 8.0米D. 5.8米思路分析：延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA 中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到。
直角三角形性质应用讲义及答案
直角三角形性质应用（讲义）一、知识点睛1. 直角三角形两锐角 ，且任一直角边长小于 ．2. 勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 ；勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是 三角形．3. ①直角三角形斜边上的中线等于 ；②如果一个三角形 ，那么这个三角形是直角三角形．4. ①30°角所对的直角边是 ；②在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 ．5. 常用直角三角形的三边关系A C B45°1130°234211BCA BCAB CA6. 等面积法ABCC B Aa 2+b 2=c2ABC C BAβαC A B 30°CB A CBA2mmD h C BAc bay x二、精讲精练1. 下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2=49，②x -y =2，③2xy +4=49，④x +y =9．其中说法正确的是（ ） A ．①③ B ．①②③ C ．②④ D ．①②③④2. 如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，F 为BC 上的一点且BC =4CF ，试说明△AEF 是直角三角形．3. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点，求证：AD 2+DB 2=DE 2．ABCDE4. 在△ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长是_______．FE DC B A5.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A．10 B．45C．10或45D．10或2176.直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边长是5，则另一直角边长等于（）A．13 B．12 C．10 D．57.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.58.△ABC周长是24，M是AB的中点，MC=MA=5，则△ABC的面积是．9.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）A．3B．23C．33D．43EDCBAPDCB A23423410. 如图，四边形ABCD 中，∠DAB =∠DCB =90o ，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点．MN 、AC 的位置关系如何？证明你的猜想．11. 如图，在Rt △ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边BC 上的高，DE⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （除∠C 外）相等的角的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．512. 如图，已知DE =m ，BC =n ，∠EBC 与∠DCB 互余，求BD 2+CE 2的值．BCDE13. 在△ABC 中，∠C =90°，AB =6，∠B =30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ）A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．214. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ，若BD =1，则AC 的长是（ ） A ．23 B ．2 C ．43 D ．4NMCD BAFEDCB AEDA15. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A =150°，这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A ．300a 元 B ．150a 元 C ．450a 元 D ．225a 元CBA30m20m16. 放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在绿城广场上放风筝，如图他在A 处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D 处，此时风筝线AD 与水平线的夹角为30°．为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了离A 处6米的B 处，此时风筝线BD 与水平线的夹角为45°．已知点A 、B 、C 在同一条直线上，∠ACD =90°．求DC 的长度．ABCD30°45°17. 已知，在△ABC 中，∠A =45°，AC =2，AB =3+1，则边BC 的长为 ．CBAP CBA18. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离是（ ）A ．365B ．1225C ．94D ．33419. 如图所示，等边△ABC 内一点P 到三边距离分别为h 1，h 2，h 3，且h 1+h 2+h 3=3，其中PD =h 1，PE =h 2，PF =h 3，则△ABC 的面积S △ABC =（ ）A ．23B ．33C ．103D ．12320. 如图，△ABC 中，∠C =90°，两直角边AC =8，BC =6，在三角形内有一点P ，它到各边的距离相等，则这个距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．无法确定21. 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4=_______．l321S 4S 3S 2S 1P FEDCBACBA22. 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD 、CE 相交于点F ，若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40°23. 在锐角△ABC 中，∠BAC =60°，BN 、CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN 、MP 、NP ，则结论：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ；④::AN AB =AM AC ，一定正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、回顾与思考______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________【参考答案】 一、 知识点睛1.互余，斜边长2.平方和，平方，a 2+b 2=c 2，直角3.斜边的一半，一边上的中线等于这边的一半4.斜边的一半，30°二、精讲精练1．B 2．（略） 3．（略） 4． 42或32 5．C 6．B 7．A 8．24 9．D 10．MN ⊥AC ，证明（略） 11．BABCD EFPNM CBA12．m2+n2，证明（略）13．D14．A15．B 16．8m，求解（略）17．2 18．A19．B20．B 21．4 22．B 23．C。
初中奥数讲义_直角三角形的再发现附答案
直角三角形的再发现直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则有：1．同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC2，AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2．2．角的相等关系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD．3．线段的等积式：由面积得 AC×BC=AB×CD；由△ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB．以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识．注直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中．例题求解【例1】等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长5cm，一动点P在底边上从B向C以0．25cm／秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为．(江苏省常州市中考题)思路点拨为求BP需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程．【例2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，则AE的长为( ) A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青岛市中考题)思路点拨 从题设条件及基本图形入手，先建立AB 、AD 的等式．【例3】 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，DB 为BC 的中点，E 为AC 上一点，点G 在BE 上，连结DG 并延长交AE 于F ，若∠FGE=45°． (1)求证：BD ×BC ＝BG ×BE ； (2)求证：AG ⊥BE ；(3)若E 为AC 的中点，求EF ：FD 的值．（盐城市中考题）思路点拨 发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础．(1)证明△GBD ∽△CBE ；(2)证明△ABG ∽EBA ；(3)利用相似三角形，把求FDEF的值转化为求其他线段的比值． 【例4】 如图，H 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BH=BQ ，过B 作HC 的垂线，垂足为P ．求证：DP ⊥PQ ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 因∠BPQ+∠QPC=90°，要证DP ⊥PQ ，即证∠QPC+∠DPC=90°，只需证∠BPQ=∠DPC ，只要证明△BPQ ∽△CPD 即可．注 题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合应用可推出许多结论．因此，读者应不拘泥于给出的思路点拨，多角度探索与思考，寻找更多更好的解法，以培养我们发散思的能力．【例5】 已知△ABC 中，BC>AC ，CH 是AB 边上的高，且满足BHAHBC AC22，试探讨∠A 与∠B 的关系，井加以证明． (武汉市选拔赛试题)思路点拨 由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A 与∠B 的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件．注 构造逆命题是提出问题的一个常用方法，本例是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题，读者你能提出新的问题吗?并加以证明．学力训练1． 如图，已知正方形ABCD 的边长是1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上， 当BQ= 时，三角形ADP 与三角形QCP 相似． (云南省中考题)2． 如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DF ⊥CB 于E ，若BE=6，CE=4，则AD= ．3．如图，平行四边形ABCD 中，AB=2，BC=23，AC=4，过AC 的中点O 作EF ⊥AC 交AD 于E ，交BC 于F ，则EF= ． (重庆市竞赛题)4．P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( )A ．1条B ． 2条C ．3条D ．4条 (2001年安徽省中考题)5．在△ABC 中，AD 是高，且AD 2=BD ×CD ，那么∠BAC 的度数是( ) A ．小于90° B ．等于90° C ．大于90° D ．不确定 6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=3，AE ⊥BD 于E ，则EC=( )A ．27B ．25C ．215D ．2217．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：AG 2＝AF ×FC ．8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC ＝45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE 、BF 相交于H ，BF 、AD 的延长线相交于G ．求证；(1)AB=BH ；(2)AB 2=GA ×HE ． (青岛市中考题)9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，AE ×AD=16，AB=45 (1)求证：CE=EF ； (2)求EG 的长． (河南省中考题)10．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AC ⊥BD ，已知k AD BC ，则BDAC= ． (江苏省竞赛题)11．如图，在Rt △ABC 中，两条直角边AB 、AC 的长分别为l 厘米、2厘米，那么直角的角平分线的长度等12．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，∠C ＝90°，DE ∥AB ，且3DE=2AB ，AE=13，BD=9，那么AB 的长为 ．( “我爱数学”初中数学夏令营试题)13．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠C=90°，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1与∠2的大小关系是( )A ．∠1>∠2B ．∠1<∠2C ．∠1=∠2D ．无法确定 (天津市竞赛题)14．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 交AB 于点D ，有下列条件： ①∠A=∠BCD ；②∠A+∠BCD=∠ADC ；③ACBC CD BD =；④BC 2=BD ×BA ． 其中，一定能判断△ABC 是直角三角形的共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 (2003年河南省竞赛题)15．如图，在直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，DC=3，如果边AD 上的点P 使得以P ， A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是角平分线，DE ∥BC 交AC 于点E ，DF ∥AC 交BC 于点F ． 求证：(1)四边形CEDF 是正方形；(2)CD 2=AE ×BF ． (山东省竞赛题)17．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于D ，已知Rt △ABC 的三边长都是整数，且BD=113，求Rt △BCD 与Rt △ACD 的周长之比． (全国初中数学联赛题)18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线AD 交BC 边于D ，求证：BDBCAD AC 222=．19．如图，已知边长为a 的正方形ABCD ，在AB 、AD 上分别取点P 、S ，连结PS ，将Rt △SAP 绕正方形中心O 旋转180°得Rt △QCR ，从而得四边形PQRS ．试判断四边形PQRS 能否变化成矩形?若能，设PA= x ，SA=y ，请说明x 、y 具有什么关系时，四边形PQRS 是矩形；若不能，请说明理由． (山东省济南市中考题)20．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90° (1)当点D 在斜边AB 内时，求证：ABBDAD BC BD CD -=-222； (2)当点D 与点A 重合时，(1)中的等式是否存在?请说明理由； (3)当点D 在BA 的延长线上时，(1)中的等式是否存在?请说明理由．(全国初中数学竞赛题)。
第一章直角三角形的边角关系解直角三角形及其应用复习(含答案)
解直角三角形及其应用1.定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出全部未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2.直角三角形的边角关系：如图 :（3）边角之间的关系：3. 解直角三角形的四种基本种类：以下列图：已知直角三角形的两个基本元素（起码有一个是边），利用以上关系就能够求出其他的未知元素，此中适合地采用边角关系是重点。
应注意以下原则：（1）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”。
（2）尽量使未知元素在分子的地点上，以便利用乘法运算求未知元素。
（3）尽量使用原始数据：以减少偏差的累积，也可防止因为中间数占有错而产生新的误差。
4.几个常用观点：（1）仰角：在丈量时，从下向上看，视野与水平线的夹角叫仰角。
（2）俯角：在丈量时，从上向下看，视野与水平线的夹角叫俯角。
（3）坡度：（坡比）如图:坡面的铅直高度（h）和水平长度（l ）的比，叫做坡面的坡度。
（4）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
坡度越大，坡角越大，坡面越陡。
（5）方向角（如图）OA ：北偏东30°OB：东南方（南偏东45°）OC：南偏西70°OD：北偏西60°东西与南北方向线相互垂直。
5.运用解直角三角形的方法解决实质问题：基本思路：要擅长将某些实质问题中的数目关系归纳为直角三角形中的边角关系。
（即建立数学模型：直角三角形），才能运用解直角三角形的方法求解。
一般有以下几个步骤：（1）审题：依据题意画出正确的平面图或截面表示图，在图形中弄清已知和未知。
（2）将已知条件转变为表示图中的边、角关系，把实质问题转变为解直角三角形的问题。
（3）选择适合关系式解直角三角形。
典型例题例 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：（1） a＝ 8， b＝ 6（2） c＝ 16，∠ A ＝ 32°剖析：略解：例 2. 如图某公园进口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，能够将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A ，斜坡的起点为 C，现将斜坡的坡角∠ BCA 设计为 12°，求 AC 的长度（精准到 1cm）。
八年级数学直角三角形教师讲义带答案资料
直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理与其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理与其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。
三、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵是∠的平分线，F是上一点，且⊥于点C，⊥于点D，∴＝.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.图42.关于三角形三条角平分线的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果、、分别是△的内角∠、∠、∠的平分线，那么：①、、相交于一点I；②若、、分别垂直于、、于点D、E、F，则＝＝.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.四、勾股定理的证明与应用１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222+=a b c勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b =，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBA斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 与222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理与其逆定理的应用勾股定理与其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
初中数学 三角形模块5-3 直角三角形讲义(含答案解析)
第三部分直角三角形一、知识梳理：1.直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：222+=a b c （5）勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．2.直角三角形的判定：（1）有一个角是90°的三角形是直角三角形；（2）有两个角的三角形是直角三角形；（3）如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（4）勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足关系式：222+=a b c，那么这个三角形是直角三角形．二、题型练题型一直角三角形的两锐角互余例1.若直角三角形的一个锐角为15︒，则另一个锐角等于________．75°【分析】根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵另一个锐角为15°，∴另一个锐角为180°－90°－15°＝75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余．变式11.如图，直线a ∥b ，直线l 与a 、b 分别相交于A 、B 两点，过点A 作直线l 的垂线交直线b 于点C ，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）A.30°B.35°C.40°D.60°【答案】A【解析】【分析】由AC l ⊥及160∠=︒，可求得ACB ∠的度数，再由//a b 即可求出2∠的度数．【详解】∵AC l ⊥，160∠=︒∴90130ACB ∠=︒-∠=︒∵//a b∴230ACB ∠=∠=︒故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质及直角三角形的性质．题型二直角三角形斜边上的中线例2.如图在ABC ∆中，CF AB ⊥于F ，BE AC ⊥于E ，M 为BC 的中点，5EF ＝，EFM ∆的周长为13，则BC 的长是（）A .6B .8C .10D .12B 【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC ＝2MF ＝2EM ，所以MF ＝EM ，然后列式整理得到△EFM的周长＝BC＋EF，代入数据进行计算即可．【详解】解：∵在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，∴BC＝2MF，BC＝2EM．∴MF＝EM．∴△EFM的周长＝MF＋EM＋EF＝BC＋EF．∵EF＝5，△EFM的周长为13，∴BC＝13－5＝8故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握性质是解题的关键．变式22.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC=14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF=12AB=4，∵BC=14，D、E分别是AB，AC的中点，∴DE=12BC=7，∴EF=DE-DF=3，故选：B【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．题型三直接考查勾股定理例3.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（）A.4B.5C.4或5D.5C【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边长和直角边长两种情况讨论．【详解】解： 直角三角形的两边长分别为3和4，∴①4是此直角三角形的斜边长；②当45=．综上所述，斜边长为4或5故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．变式33.如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=（）A. 2.5B.3C.2D.3.5【答案】C【解析】【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD=AC，根据BD=AB-AD即可算出答案．【详解】解：∵AC =3，BC =4，∴AB =5，∵以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，∴AD =AC ，∴AD =3，∴BD =AB -AD =5-3=2．故选C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．题型四勾股数例4.下列数组是勾股数的是（）A .2、3、4B .0.3、0.4、0.5C .6、8、10D .7、12、15C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．【详解】A ．22223134+=≠，此数组不是勾股数；B ．0.3、0.4、0.5不是整数，此数组不是勾股数；C ．222 6810+=，此数组是勾股数；D ．222 71219315+=≠，此数组不是勾股数；故选：C ．【点睛】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足222+=a b c ，则△ABC 是直角三角形．变式44.如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长是3、5、2、3，则最大正方形E 的边长是（）A.13B.C.47D.【答案】B【解析】【分析】设中间两个正方形的边长分别为x 、y ，最大正方形E 的边长为z ，根据勾股定理进行求解．【详解】设中间两个正方形的边长分别为x 、y ，最大正方形E 的边长为z ，由勾股定理得：x 2＝32+52＝34，y 2＝22+32＝13，z 2＝x 2+y 2＝47，即最大正方形E 的面积为：z 2＝47，边长为z 故选B ．【点睛】本题考查勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解题的关键．题型五勾股定理的证明例5.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中b a >，点E 在线段AC 上，点B D 、在边AC 两侧，试证明：222+=a b c ．见解析．【分析】首先连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AE b a =-，根据Rt ABC Rt DAE D @D ，易证90DAB ︒∠=，再根据ADE ABC ADFB DFCE S S S S D D =++四边形四边形，ADB DFB ADFB S S S ∆∆=+四边形，两者相等，整理即可得证．【详解】证明：连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AE b a=-ADE ABC ADFB DFCES S S S D D =++四边形四边形()1122ab ab b a b =++-⋅2ab b ab=+-2b =Rt ABC Rt DAE∆≅∆ AB AD c\==ADE BAC∴∠=∠90ADEDAE °??Q 90BAC DAE °\??即90DAB ︒∠=，∴AD AB⊥∴ADB DFBADFB S S S ∆∆=+四边形()()21122c a b b a =++⋅-222111222c b a =+-即有：2222111222b c b a =+-∴222+=a b c 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB 的面积是解本题的关键．变式55.勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦c 为边长所得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形EFGH 组成的，其中BF a =，AF b =．（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形ABCD 的面积是13，2BF =，求小正方形EFGH 的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形MNKT 由八个全等的直角三角形和正方形EFGH 拼接而成，记图中正方形MNKT ，正方形ABCD ，正方形EFGH 的面积分别为1S ，2S ，3S ．若12348S S S ++=，求边AB 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明可得结论；（2）由勾股定理可得AF 的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；（3）分别求出正方形MNKT ，正方形ABCD ，正方形EFGH 的边长，求出其面积，代入12348S S S ++=，进一步整理可得解．【详解】解：（1）∵Rt ABF Rt DAE Rt CDH Rt BCG∆≅∆≅∆≅∆∴BF AF DH CG a ====，AF DE CH BG b====∴小正方形EFGH 的边长=b a-又大正方形的边长为c∴正方形ABCD 的面积为2c ，4个全等直角三角形的面积和为2ab ，正方形EFGH 的面积为()2b a -，由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;2214()2c ab b a =⨯+-∴()222c ab b a =+-经过整理可得222c a b =+（2）∵大正方形ABCD 的面积是13，∴213c =∵2BF =，且222BF AF AB +=∴2221349AF AB BE =-=-=∴3AF =(负值舍去)∴321EF =-=∴小正方形EFGH 的面积为1；（3）∵正方形MNKT 由八个全等的直角三角形和正方形EFGH 拼接而成，∴AM AF b ==，MB BF a ==，∴正方形MNKT 的边长为a b +，∴正方形MNKT 的面积为()2a b +．而正方形ABCD 的边长为c ，正方形EFGH 的边长为()b a -，∴正方形ABCD 的面积为2c ，正方形EFGH 的面积为()2b a -，∴()()22248a b c b a +++-=，整理得，2348c =，∴4c =（负值舍去）【点睛】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．题型六勾股定理的实际应用例6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m ，顶端距离地面2m ，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m ，那么小巷的宽度为（）A .3.2mB .3.5mC .3.9mD .4mC【分析】如图，在Rt △ACB 中，先根据勾股定理求出AB ，然后在Rt △A ′BD 中根据勾股定理求出BD ，进而可得答案．【详解】解：如图，在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝1.5米，AC ＝2米，∴AB 2＝1.52＋22＝6.25，∴AB ＝2.5米，在Rt △A ′BD 中，∵∠A ′DB ＝90°，A ′D ＝0.7米，BD 2＋A ′D 2＝A ′B 2，∴BD 2＋0.72＝6.25，∴BD 2＝5.76，∵BD＞0，∴BD＝2.4米，∴CD＝BC＋BD＝1.5＋2.4＝3.9米．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．变式66.小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开10m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.16mB.20mC.24mD.28m【答案】C【解析】【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【详解】解：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，BC=10米，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，∴x2+102=（x+2）2，解得：x=24，∴AB=24．∴旗杆的高24米，故选：C ．【点睛】本题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理列出方程．题型七勾股定理的逆定理例7.下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（）A .4，5，6B .7，24，25C .5，12，13D .1，2A【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．【详解】解：A 、∵222456+≠，∴三条线段不能组成直角三角形，故A 选项符合题意；B 、∵22272425+=，∴三条线段能组成直角三角形，故B 选项不符合题意；C 、∵22251213+=，∴三条线段能组成直角三角形，故C 选项不符合题意；D 、∵22212+=，∴三条线段能组成直角三角形，故D 选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟悉定理是关键．变式77.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，若AD 是ABC 的高，则AD 的长为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得AB 2，AC 2，BC 2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状，从而利用三角形面积求解．【详解】解：由题意可得：2222420AB =+=222215AC =+=2223425BC =+=∵222+AB AC BC =∴△ABC 是直角三角形又∵AD 是ABC 的高∴1122AC AB BC AD ⋅=⋅，11522AD ⨯，解得：=2AD 故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算是解题关键．题型八勾股定理的逆定理的应用例8.如图所示的网格是正方形网格，ABC ∆是（）三角形．A .锐角B .直角C .钝角D .等腰A【分析】根据勾股定理求出三边的长，再利用勾股定理逆定理可作判断．【详解】解：根据网格图可得：2224117AC =+=，2223110AB =+=，2224325CB =+=，222171025AC AB CB +=+>= ，ABC ∆∴是锐角三角形，故选：A ．【点睛】本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边分别为a 、b 、c ，①当a 2＋b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；②当a 2＋b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形；③当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 为直角三角形．变式88.甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75︒的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（）A.北偏西15︒B.南偏西75°C.南偏东15︒或北偏西15︒D.南偏西15︒或北偏东15︒【答案】C【解析】【分析】先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．【详解】解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；∵222241857632490030+=+==，∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，∵甲船的航行方向是北偏东75°，∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．题型九勾股定理与折叠问题例9.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝CD ＝4，AD ＝BC ＝8，∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，使点G 与点D 重合．（1）求证：AE ＝AF ；（2）求GF 的长．（1）详见解析；（2）3【分析】（1）根据翻折的性质可得AEF CEF ∠=∠，根据两直线平行，内错角相等可得∠=∠AFE CEF ，然后求出AEF AFE ∠=∠，根据等角对等边可得AE AF =；（2）根据翻折的性质可得AE CE =，设AE CE x ==，则8BE x =-，再根据勾股定理有：2224(8)x x =+-，于是有5AE AF ==，进而得到3GF FD ==．【详解】解：（1）由翻折的性质得，AEF CEF ∠=∠，矩形ABCD 的对边//AD BC ，AFE CEF ∴∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=；（2）由翻折的性质得，AE CE =，设AE CE x ==，则8BE x =-，在Rt ABE ∆中，222AE AB BE =+，2224(8)x x ∴=+-，解得：5x =，5AE ∴=，又由（1）可知，5AF =，853FD AD AF ∴=-=-=，由翻折的性质得，3GF FD ==．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出AE 的长度是解题的关键．变式99.如图，在Rt ABC 中，90,5,8ACB AC BC ∠=︒==，点D 是边BC 的中点，点E是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 长的最小值是（）A.2B.4-C.3D.4-【答案】B【解析】【分析】连接AD ，以D 为圆心，以CD 为半径画圆，交AD 于G ，根据题意可知点F 在D 上，当G 和F 重合时AF 有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可．【详解】解：连接AD ，以D 为圆心，以CD 为半径画圆，交AD 于G ，根据题意可知点F 在D 上，当G 和F 重合时AF 有最小值，∵点D 是边BC 的中点，∴142CD GD BC ===,在Rt △ACD 中AD =∴4AG AD GD =-=．故选：B【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F 的运动轨迹是解题的关键．题型十最短距离问题例10.如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它爬的最短距离是_____．25【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，根据题意得：20AC =，55515BC =++=，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：222AB AC BC =+，即2222015AB =+，∴25AB =，故答案为：25【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．变式1010.如图，正方形ABCD ，AB 边上有一点E ，3AE =，1EB =，在AC 上有一点P ，使为EP BP +最短．则最短距离EP BP +为_________．【答案】5【解析】【分析】连接DE ，交直线AC 于点P ，根据四边形ABCD 是正方形可知B 、D 关于直线AC 对称，所以DE 的长即为EP+BP 的最短距离，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】连接DE，交直线AC于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为EP+BP的最短距离，∵AE=3，EB=1，∴AD=AB=AE+BE=4，∴5==．故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题、正方形的性质以及勾股定理的运用，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．实战练11.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（）A0.5km A.0.6km B.0.9km C.1.2km【答案】D【解析】【详解】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得距离为1.2km.故选D视频12.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝4，BC ＝3，把Rt △ABC 绕着点A 逆时针旋转，使点C 落在AB 边的C ′上，C'B 的长度是（）A.1B.32C.2D.52【答案】A【解析】【分析】首先由勾股定理求出AB =5，再由旋转的性质得出4AC AC '==，从而可求出BC '的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝4，BC ＝3，∴222AB AC BC =+∴5AB ===由旋转的性质得，4AC AC '==∴541C B AB AC ''=-=-=故选：A ．【点睛】此题主要考查了旋转的性质和勾股定理的运用，运用勾股定理求出AB =5是解答此题的关键．13.下列各组数中不是勾股数的是（）A.3，4．5B.6．8．10C.5，12．13D.4，5，6【答案】D【解析】【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方．【详解】解：A 、32+42=25=52，是勾股数，此选项不符合题意；B 、62+82＝100=102，是勾股数，此选项不符合题意；C 、52+122＝169=132，是勾股数，此选项不符合题意；D 、42+52=41≠62，不是勾股数，此选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题主要考查了勾股数：满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2+b 2＝c 2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…14.满足下列条件的三角形：①三边长之比为3：4：5；②三内角之比为3：4：5；③n 2﹣1，2n ，n 2+1；1+1-，6．其中能组成直角三角形的是（）A.①③B.②④C.①②D.③④【答案】A【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形，若已知三边长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方；若已知三个角的度数，只要验证是否存在直角即可．【详解】①三边长之比为3:4:5；则有222(3)(4)(5)x x x +=，为直角三角形；②三个内角度数之比为3:4:5，则各角度数分别为31804512︒⨯=︒，41806012︒⨯=︒，51807512︒⨯=︒，不是直角三角形；③22222(1)(2)(1)n n n -+=+ ，∴是直角三角形；④116++=<，∴构不成三角形．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10=尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（）A.2223(1)x x -=- B.2223(10)x x -=-C.2223(1)x x +=- D.2223(10x)x +=-【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理列方程解答．【详解】解：设折断处离地面的高度为x 尺，则斜边为（10-x ）尺，根据勾股定理得：2223(10x)x +=-，故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意得到直角三角形确定三边的关系式是解题的关键．16.如图所示，将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm ，则h 的取值范围是（）A.0＜h ≤11B.11≤h ≤12C.h ≥12D.0＜h ≤12【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，先找出h的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度．17.某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿()方向航行．A.西南B.东北C.西北D.东南【答案】C【解析】【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而进行分析求解．【详解】解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30(海里)．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠1=45°，则∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答．18.如图，在 ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（）A.5B. 4.8C.3D.2.4【答案】B【解析】【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD，则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【详解】如图，连接BD．∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AB 2+BC 2=AC 2，即∠ABC =90°．又∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴四边形EDFB 是矩形，∴EF =BD ．∵BD 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即4.8，∴EF 的最小值为4.8，故选：B ．【点睛】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．19.如图，在四边形ABCD 中，1AB BC ==，CD =，AD =，AB BC ⊥，则四边形ABCD 的面积是()A. 2.5B.3C. 3.5D.4【答案】A【解析】【分析】如下图，连接AC ，在Rt △ABC 中先求得AC 的长，从而可判断△ACD 是直角三角形，从而求得△ABC 和△ACD 的面积，进而得出四边形的面积．【详解】如下图，连接AC∵AB=BC=1，AB ⊥BC∴在Rt △ABC 中，，111122ABC S =⨯⨯=∵，又∵(222+=∴三角形ADC 是直角三角形∴122ADC S == ∴四边形ABCD 的面积=12+2=52故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，遇到此类题型我们需要敏感一些，首先就猜测△ADC 是直角三角形，然后用勾股定理逆定理验证即可．20.某高速公路的同一侧有A ，B 两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AE =，3km BF =，12km EF =，要在高速公路上E 、F 之间建一个出口Q ，使A 、B 两城镇到Q 的距离之和最短，在图中画出点Q 所在位置，并求出这个最短距离．【答案】见解析，13km【解析】【分析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，连接QB ，此时QA+QB 的值最小．作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ACD 中，利用勾股定理求出AC 即可；【详解】解：作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，则点Q 为所建的出口；此时A 、B 两城镇到出口Q 的距离之和最短，最短距离为AC 的长．作AD BC ⊥于D ，则90ADC ∠=︒，AE ⊥MN ，BF ⊥MN∴四边形AEFD 为矩形∴12AD EF ==，2DF AE ==在t R ADC 中，12AD =，5DC DF CF =+=，∴由勾股定理得：13AC ===∴这个最短距离为13km ．【点睛】本题考查作图-应用与设计，轴对称-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．培优练21.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为300km 和400km ，又AB=500km ，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）海港C 受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有小时．【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7．【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面积法得出CD的长，从而可得海港C是否受台风影响；（2）根据勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【详解】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC•BC＝CD•AB∴CD＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED＝70（km）∴EF＝140km∵台风的速度为20km/h，∴140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7．【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．。
(完整版)八年级直角三角形(答案)
直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。
三、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 图42.关于三角形三条角平分线的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC 的内角∠BAC、∠ ABC、∠ACB的平分线，那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.四、勾股定理的证明及应用１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222a b c+=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b=+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理cba HG F EDCBAbacba ccabcab a bc c baED CBA如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
初中数学专题特训第十九讲：解直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习第十九讲解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：解的基础上结合表格进行记忆2、当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=sin A⑵若∠A+∠B=900，则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中，∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=h l=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（2012•贵港）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB 的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C，利用A点坐标为（2，1）可得到OC=2，AC=1，利用勾股定理可计算出OA，然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C，∵A点坐标为（2，1），∴OC=2，AC=1，∴OA=22OC AC+=5，∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （2012•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°=．思路分析：将cos45°=22，tan30°=33，sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（2012•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （2012•安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．6．思路分析：过C 作CD ⊥AB 于D ，求出∠BCD=∠B ，推出BD=CD ，根据含30度角的直角三角形求出CD ，根据勾股定理求出AD ，相加即可求出答案． 解：过C 作CD ⊥AB 于D ， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD ，∵∠A=30°，AC=23， ∴CD=3， ∴BD=CD=3， 由勾股定理得：AD=22AC CD =3，∴AB=AD+BD=3+3， 答：AB 的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 对应训练3．（2012•重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理． 专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出∠C=30°，求出BC=4，根据勾股定理求出AC ，相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵∠BAC=90°， ∴∠C=180°-90°-60°=30°， ∴BC=2AB=4，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC=22224223BC AB -=-=， ∴△ABC 的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23． 答：△ABC 的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，等边三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例 4 （2012•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=32千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；23≈1.73 6≈2.45） （2）求∠ACD 的余弦值． 考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ，根据AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45°2千米，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积；（2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB=BC=15千米，∠B=90° ∴∠BAC=∠ACB=45° AC=152千米 又∵∠D=90°∴AD=22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB+BC+CD+DA=30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC+18 6 ≈157（平方千米）（2）cos ∠ACD=CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用，与时事相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练 6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC 的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30，∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D，连接AD，使∠DAB=∠B，则AD=BD，∵∠BAC=75°，∴∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=30，∠CDA=30°，∴AD=60，CD=303，BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（2012•济南）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．解答：解：由图形知：tan∠ACB=21 63 ，故选A．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．2．（2012•滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A．不变B．缩小为原来的3C．扩大为原来的3倍D．不能确定2．A分析：由于△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角A的正弦函数值也不变．解答：解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．故选A．5．（2012•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，AD=CD==21 3tan303=36.33，在Rt△BDC中，BD=CD==7 3tan303=12.11，则AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2（米）。
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直角三角形的再发现
直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则有：
1．同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC2，
AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2．
2．角的相等关系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD．
3．线段的等积式：由面积得 AC×BC=AB×CD；
由△ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB．
以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识．
注直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中．
例题求解
【例1】等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长5cm，一动点P在底边上从B向C以0．25cm／秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为．
(江苏省常州市中考题)
思路点拨为求BP需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程．
【例2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，则AE的长为( ) A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青岛市中考题)
思路点拨 从题设条件及基本图形入手，先建立AB 、AD 的等式．
【例3】 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，DB 为BC 的中点，E 为AC 上一点，点G 在BE 上，连结DG 并延长交AE 于F ，若∠FGE=45°． (1)求证：BD ×BC ＝BG ×BE ； (2)求证：AG ⊥BE ；
(3)若E 为AC 的中点，求EF ：FD 的值．（盐城市中考题）
思路点拨 发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础．(1)证明△GBD ∽△CBE ；(2)证明△ABG ∽EBA ；(3)利用相似三角形，把求
FD
EF
的值转化为求其他线段的比值． 【例4】 如图，H 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BH=BQ ，过B 作HC 的垂线，垂足为P ．求证：DP ⊥PQ ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨 因∠BPQ+∠QPC=90°，要证DP ⊥PQ ，即证∠QPC+∠DPC=90°，只需证∠BPQ=∠DPC ，只要证明△BPQ ∽△CPD 即可．
注 题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合
应用可推出许多结论．因此，读者应不拘泥于给出的思路点拨，多角度探索与思考，寻找更多更好的解法，以培养我们发散思的能力．
【例5】 已知△ABC 中，BC>AC ，CH 是AB 边上的高，且满足BH
AH
BC AC
2
2，试探讨∠A 与∠B 的关系，井加以证明． (武汉市选拔赛试题)
思路点拨 由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A 与∠B 的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件．
注 构造逆命题是提出问题的一个常用方法，本例是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题，读者你能提出新的问题吗?并加以证明．
学力训练
1． 如图，已知正方形ABCD 的边长是1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上， 当BQ= 时，三角形ADP 与三角形QCP 相似． (云南省中考题)
2． 如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DF ⊥CB 于E ，若BE=6，CE=4，则
AD= ．
3．如图，平行四边形ABCD 中，AB=2，BC=23，AC=4，过AC 的中点O 作EF ⊥AC 交AD 于E ，交BC 于F ，则EF= ． (重庆市竞赛题)
4．P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( )
A ．1条
B ． 2条
C ．3条
D ．4条 (2001年安徽省中考题)
5．在△ABC 中，AD 是高，且AD 2
=BD ×CD ，那么∠BAC 的度数是( ) A ．小于90° B ．等于90° C ．大于90° D ．不确定 6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=3，AE ⊥BD 于E ，则EC=( )
A ．27
B ．25
C ．215
D ．2
21
7．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：AG 2
＝AF ×FC ．
8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC ＝45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE 、BF 相交于H ，BF 、AD 的延长线相交于G ．
求证；(1)AB=BH ；(2)AB 2
=GA ×HE ． (青岛市中考题)
9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，AE ×AD=16，AB=45 (1)求证：CE=EF ； (2)求EG 的长． (河南省中考题)
10．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AC ⊥BD ，已知k AD BC ，则
BD
AC
= ． (江苏省竞赛题)
11．如图，在Rt △ABC 中，两条直角边AB 、AC 的长分别为l 厘米、2厘米，那么直角的角平分线的长度等
12．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，∠C ＝90°，DE ∥AB ，且3DE=2AB ，AE=13，BD=9，那么AB 的长为 ．
( “我爱数学”初中数学夏令营试题)
13．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠C=90°，若AD=31AC ，CE=3
1
BC ，则∠1与∠2的大小关系是( )
A ．∠1>∠2
B ．∠1<∠2
C ．∠1=∠2
D ．无法确定 (天津市竞赛题)
14．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 交AB 于点D ，有下列条件： ①∠A=∠BCD ；②∠A+∠BCD=∠ADC ；③
AC
BC CD BD =
；④BC 2
=BD ×BA ． 其中，一定能判断△ABC 是直角三角形的共有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 (2003年河南省竞赛题)
15．如图，在直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，DC=3，如果边AD 上的点P 使得以P ， A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是角平分线，DE ∥BC 交AC 于点E ，DF ∥AC 交BC 于点F ． 求证：(1)四边形CEDF 是正方形；(2)CD 2
=AE ×BF ． (山东省竞赛题)
17．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于D ，已知Rt △ABC 的三边长都是整数，且BD=113
，求Rt △BCD 与Rt △ACD 的周长之比． (全国初中数学联赛题)
18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线AD 交BC 边于D ，求证：
BD
BC
AD AC 22
2=
．
19．如图，已知边长为a 的正方形ABCD ，在AB 、AD 上分别取点P 、S ，连结PS ，将Rt △SAP 绕正方形中心O 旋转180°得Rt △QCR ，从而得四边形PQRS ．试判断四边形PQRS 能否变化成矩形?若能，设PA= x ，SA=y ，请说明x 、y 具有什么关系时，四边形PQRS 是矩形；若不能，请说明理由． (山东省济南市中考题)
20．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90° (1)当点D 在斜边AB 内时，求证：
AB
BD
AD BC BD CD -=
-2
2
2； (2)当点D 与点A 重合时，(1)中的等式是否存在?请说明理由； (3)当点D 在BA 的延长线上时，(1)中的等式是否存在?请说明理由．
(全国初中数学竞赛题)。