1傅里叶分析解析
1 傅里叶级数解析
级数,
即
f ( x) a0 2
(ak cos kx bk sin kx),
k 1
问题1: 系数 ak , bk为多少？
(1) 求a0 .
f
( x)dx
a0 2
dx
[
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)]dx
a0 dx 2
ak cos kxdx k 1
bk sin kxdx k 1
a0 2, 2
a0
1
f ( x)dx
(2) 求an .
f
( x)cos nxdx
a0 2
cos nxdx
[ak
cos
kx
cos
nxdx
bk
sin
kx
cos
nxdx
]
k 1
an cos2 nxdx
an,
an
1
f ( x)cos nxdx
(n 1,2,3,)
(3) 求bn .
f ( x)sin nxdx a0
现实世界中的周期现象 是多种多样的和复杂的 . 例如，在电子技术中常用
到的周期为 2 的矩形波，就是这样一个周期现象 .
早在18世纪中叶，丹尼尔.伯努利在解决弦振动 问题时就提出了这样的见解 : 任何复杂的振动 都可以分解成一系列谐振动之和 .
非正弦周期函数:矩形波
u( t )
1,
1,
当 t 0 当0 t
在区间[ , ]上正交,
三角函数系的正交性 所谓三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,,cos nx,sin nx, (2)
在区间[ , ]上正交, 是指(2)中任何两个不同函数
工程振动测试技术05第5章数字信号分析1傅里叶分析课件
来分离噪声。
5、倒频谱分析
倒频谱定义为功率谱函数的对数logGxx(f) 的功 率谱。若时间历程函数为x(t)，则倒功率谱为
lim 1
Gxx( f ) f
1 T T
T 0
x2 (t, f , f )dt
an
bn
2f1
傅里叶系数图
根据欧拉公式
ei2πnf1t cos 2πnf1t j sin2πnf1t
e j2πnf1t cos 2πnf1t j sin2πnf1t
得
e e j 2πnf1t
j 2πnf1t
sin2πnf1t
2
e e j 2πnf1t
j 2πnf1t
cos 2πnf1t
Cx ()
log Gxx( f
)e j2πfdf
2
若利用功率谱密度函数还不能把有关信号分析出 来，则对功率谱密度函数再作一次谱分析，就能把有 关信号分离出来，这就是倒频谱分析。
修理前、后的振幅谱 修理前、后的倒频谱
某机器的齿轮箱修理前后的振幅谱有一定差别， 但不突出，特性不明显。但倒频谱中可看到修理后， 振动信号大幅度地变小了。
傅立叶积分可看作傅立叶级数的推广，是非周期函数
在无限区间上的分解，得到的频率分量是连续频谱。
5.3 有限离散傅立叶变换
周期函数的傅里叶级数展开为
x(t ) X (nf1)e j2nf1t n
傅里叶变换对
1
X (nf1) T
T x(t)e dt j2nf1t
0
非周期函数的傅里叶积分为
x(t ) X ( f )e j2πftdf
近代光信息处理第1章傅里叶光学基础
第2节 第3节 第4节
第1章
由δ函数的定义容易得到
δ(x-xo , y-yo) exp [-i2(uxo+ vyo)] (3)
当 xo=0，yo= 0 时得到 δ(x, y) 1
(4)
上式的物理意义表示点源函数具有权重为 l 的最丰
富的频谱分量．因此光学中常用点光源来检测
g(x+xo, y+yo) exp[i2(uxo+vyo)]G(u,v) (11) 上式表示原函数的位移引起变换函数的相移.
(4) 共扼(conjugation)
第1章
g*(x, y) G*(-u, -v)
(12)
6
目 录 2021/4/9
第1节 (5) 卷积 (convo1ution)
第2节 第3节 第4节
4、函数comb(x) 设X为实数常数，则有 (1/X)g(x) comb(x/X)
第1章
= (1/X) ∞- ∞g() comb[(x -)/X]d = (1/X) ∞- ∞g() ∞-∞[(x- )/X - n] d = ∞-∞ ∞- ∞g[X(/X)][x/X-/X-n]d(/X)
= ∞-∞g [X(x/X-n ]= ∞-∞g(x - nX) (44) 结果得到了以nX (n = 0，±1，± 2，…)为中心的 一系列重复出现的波形g(x - nX) ，这一现象称为 “复现”．
由δ函数导数的变换表达式(7)，上式内部的积分
∞-∞xkylexp[i2(ux+vy)]dxdy = (i2)-k-l δ(k, l)(u,v) 矩-l G (k,l) (0,0)
第1章
9
目 录 2021/4/9
1的傅里叶反变换过程
1的傅里叶反变换过程1. 任务介绍本文将深入探讨1的傅里叶反变换过程。
我们将介绍傅里叶变换的基本概念，并通过示例逐步演示1的傅里叶反变换过程。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，而傅里叶反变换则将频域信号转换回时域信号。
2. 傅里叶变换基础知识傅里叶变换的核心思想是将一个信号分解为一系列复杂振幅和相位的正弦和余弦波。
这些正弦和余弦波的频率范围从低频到高频，并且每个正弦和余弦波都有不同的振幅和相位。
傅里叶变换通过将信号从时间域转换为频域，使我们能够分析信号的频率成分。
傅里叶变换的数学表达式如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-iωt)] dt其中，F(ω)表示频域中的信号，f(t)表示时域中的信号，ω表示角频率，e^(-iωt)为欧拉公式。
3. 傅里叶反变换的定义傅里叶反变换是傅里叶变换的逆过程，它将频域中的信号转换回时域。
傅里叶反变换的数学表达式如下：f(t) = 1/(2π) * ∫[F(ω) * e^(iωt)] dω其中，f(t)表示时域中的信号，F(ω)表示频域中的信号，e^(iωt)为欧拉公式。
4. 1的傅里叶反变换示例为了更好地理解1的傅里叶反变换过程，我们将通过一个示例来演示每个步骤。
假设我们有一个频域信号F(ω)，它的值如下：F(ω) = {1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1}步骤1：求解反变换的积分根据傅里叶反变换的数学表达式，我们需要计算积分：f(t) = 1/(2π) * ∫[F(ω) * e^(iωt)] dω在这个例子中，我们需要计算频域信号F(ω)与函数e^(iωt)的乘积并进行积分。
步骤2：计算傅里叶反变换将频域信号F(ω)与函数e^(iωt)相乘并进行积分计算，得到1的傅里叶反变换f(t)。
计算的结果如下：f(t) = 1/(2π) * [1 * e^(iωt) + 2 * e^(2iωt) + 3 * e^(3iωt) + 4 * e^(4iωt)+ 5 * e^(5iωt) + 4 * e^(4iωt) + 3 * e^(3iωt) + 2 * e^(2iωt) + 1 * e^(iωt)]整理化简上述表达式得到：f(t) = 1/(2π) * [e^(iωt) + 2 * e^(2iωt) + 3 * e^(3iωt) + 4 * (e^(4iωt) +e^(-4iωt)) + 5 * e^(5iωt)]步骤3：化简傅里叶反变换为了使傅里叶反变换结果更简洁，我们可以进一步对傅里叶反变换表达式进行化简。
第一章 傅里叶分析
第一章主要内容
1、常用函数
2、卷积和相关 3、空间频率及空间频谱 4、傅里叶级数 5、傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论， 包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方 法和线性系统理论。
圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
1、一些常用函数
需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函
数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。 二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
x y Circ r0
2 2
应用
1 0 x 2 y 2 r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
1、一些常用函数 * 8）斜坡函数( Ramp function) 定义 应用
x x0 常用来表示边界透过率的灰阶变化。 0, x x0 b b ram p( ) x x0 x x0 b , b b b
( x n, y m) comb x comb y
n m
( x na, y mb)
1 x y comb comb ab a b
应用 常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
1、一些常用函数
二维高斯函数
Gauss( x x0 y y0 x x0 y y0 , ) Gauss( )Gaus( ) b d b d
光学_郭永康_第六章1傅里叶变换
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开
严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅
一 周期性 T (x d) T (x)
正弦光栅 黑白光栅
维 衍 射
尺寸D 有限
x
D , or
N
D
其他屏函数
1
2
d
屏
在一定的较大范围内的周期函数—准周期函数
(1) 正弦余弦式
x a
)
1 0
x x
a 2
a
2
傅 二维矩形函数
里 叶
rect(
x a
)rect(
y b
)
1 0
xa,y b 22
其它各处
变
圆函数 circ(
x2 y2 1 )
x2 y2 a
a
0 其它各处
换 对
1cos(2f0 x ) g( x )
x L 2 L
0
x 2
高斯函数 g(x) exp(ax2 )
一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种 分布的特征可用空间频率表明。把图象看作是由各种 方向、各种间距的线条组成。
2. 空间频谱（spatial frequency spectrum）
简谐振动是最简单的周期性运动，几个简谐运动可合 成一个较复杂的周期性运动。 傅里叶分析：已知一周期性运动，求组成它的各个简 谐运动频率及相应振幅的方法。 所得的频率及相应振幅的集合为该周期性运动的频谱。
阿贝成像原理 Abbe imaging principle
空间频谱滤波 spatial frequency filtering 光全息术 holography
CH 6-1
第一部分傅里叶分析习题解答及参考答案
第一章 傅里叶分析部份习题解答及参考答案[1-1] 试分别写出图X1－1中所示图形的函数表达式。
图X1-1 习题[1-1]各函数图形解：(a)−∧L x x a 0 (b) () ∧−−L x b a L x a 2rect(c) ()x L x a sgn 2rect (d) x L x cos 2rect[1-2] 试证明下列各式。
(1) += 21comb 21comb x x- (2) ()()x i e x x x πcomb comb 2comb +=(3)()()()x x N x N ππsin sin lim comb ∞→= (4) ()()xx x πωδωsin lim ∞→=(5)()()∫∞∞−=ωωπδd cos 21x x (6)()ωπδωd 21∫∞∞−±=x i e x解：(1)原式左端∑∑∞−∞=∞−∞=+−−=−−=m n m x n x 12121δδ 令()1−=m n=−+=∑∞−∞=m m x 21δ右端 (2)()∑∑∞−∞=∞−∞=−=−= n n n x n x x 2222comb δδ n 2只取偶数()()∑∞−∞=−=m m x x δcomb()()πδδππm m x e m x e x m im m x i cos 2comb ∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=当=m 奇数时，()()0comb comb =+xi ex x π；当=m 偶数时，令n m 2=，则12 cos =x π，并且有： ()()()∑∞−∞=−=+n n x x x 22e comb comb xi δπ 得证。
(3)由公式(1-8-7)知：()∑∞−∞=−=n nxex π2i comb上式可视为等比级数求和，其前N 项之和为：()()()()()x Nx e e e e e e e e q q a S x i x i x i Nx i Nx i Nx i x i Nx i N N ππππππππππsin sin 1111221=−−=−−=−−=−−−−−− 所以 ()()()x Nx S x N N N ππsin sin limlim comb ∞→∞→==得证。
1傅里叶分析解析
1傅里叶分析解析傅里叶分析是一种重要的数学工具，用于分析和描述周期性信号及其频谱。
在物理学、工程学和数学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍傅里叶分析的基本原理和方法，并探讨其在不同领域的具体应用。
傅里叶分析的基本原理是基于傅里叶级数展开定理，即任意周期信号都可以表示为一组正弦和余弦信号的叠加。
根据傅里叶级数展开定理，一个周期为T的连续信号f(t)可以表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0、an和bn是待定系数，ω=2π/T是信号的角频率。
为了求解这些系数，需要利用傅里叶变换的方法，将连续信号f(t)转化为连续频率域的表示。
傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，通过将信号分解为不同频率的正弦和余弦信号，得到信号在频域的幅度和相位信息。
在连续傅里叶变换中，信号f(t)的傅里叶变换F(ω)给出了信号在频率域的表示，其中：F(ω) = ∫[f(t)*exp(-jωt)]dt其中，j是虚数单位。
类似地，对于离散信号，可以使用离散傅里叶变换和离散傅里叶级数展开来进行分析。
离散傅里叶变换是对信号采样后的离散版本进行频域分析，而离散傅里叶级数展开则将离散信号表示为一组离散频率上的正弦和余弦波的叠加。
傅里叶分析的应用广泛，下面将介绍一些具体的应用。
1.信号处理：傅里叶分析在信号处理中有广泛的应用，例如，可以通过傅里叶变换将时域上的声音信号转换为频域上的频谱图，用于音频压缩、滤波和降噪等处理。
2.图像处理：傅里叶变换也可以应用于图像处理，将二维图像转换为频域上的频谱图，用于图像增强、去噪和特征提取等。
3.通信系统：傅里叶分析在通信系统中起到重要作用，例如，信号可以通过傅里叶变换转换为频谱图后，可以对信号进行调制、解调和信道编码等操作。
4.物理学：傅里叶分析在物理学中也有广泛的应用，例如，可以用于分析光谱、原子和分子结构以及量子力学等问题。
5.工程学：在工程学中，傅里叶分析可以用于分析和处理信号和系统的特性，包括控制系统、电路和通信系统等。
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信息光学
二维冲激 函数的定义
INFORMATION OPTICS
类似普通函数的定义
( x x0 , y y0 ) ( x x0 ) ( y y0 )
0, ( x, y ) , x 0 , y 0时 x y 0时
(1.2.2)
或
一维阶跃函数
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1, x x0 1 step ( x x0 ) , x x0 2 0, x x0
Step(x)
(1.1.1)
x
二维阶跃函数
step( x x0 , y y0 ) step( x x0 )step( y y0 )
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第1章 傅里叶分析
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1.1 一些常用函数
1. 阶跃函数 2. 符号函数 3. 矩形（rect）函数 4. 斜坡函数三角状（tri或Λ）函数 5. sinc函数 6. 高斯函数 7. 圆域（circ）函数
信息光学 阶跃函数
(1.1.2)
信息光学 符号函数
INFORMATION OPTICS
一维符号函数
sgn( x) 0, -1,
1, x x0 sgn( x x0 ) x0 1, -1, x x0
(1.1.3)
x0
x0
二维符号函数
sgn( x x0 , y y0 ) sgn( x x0 )sgn( y y0 )
g n ( x, y )dxdy 1
lim g n ( x, y ) 0, x 0, y 0
n
｝
（1.2.4）
常用的表现形式有
2 2 2 ( x, y) lim n2 exp n x y n
（1.2.5） （1.2.6）
( x, y )dxdy 1
｝
（1.2.3）
普通函数序列极限形式的定义
( x, y ) lim g n x, y
n
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普通函数序列极限形式的定义
对函数序列中的任一函数 g n x, y 来说，都有
三角状（tri或Λ）函数
二维三角函数
x y x y tri , tri tri a b a b
（1.1.9）
2D:
( x) ( y )
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sinc函数
一维sinc函数
x sin a x sin c x a a
（1.1.14）
极坐标系中，圆域（circ）函数
r 1, r r0 circ r 0, 其他 0
（1.1.15）
r0 1，圆域函数为 circ r
圆域函数常用来表示 圆孔的透过率。
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1.2 脉冲函数
1.2.1 δ函数的定义与性质
2D:
（1.1.11）
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高斯函数
一维高斯函数的定义
2 x x Gaus exp a a
（1.1.12）
二维高斯函数的定义
2 2 x y x y Gaus Gaus exp a b a b
（1.1.10）
1D:
sin x sin c( x) x
sin c( x)
x
sinc函数 是光学中最重要的函数之一，与矩形函数 互为傅里叶变换
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sinc函数
二维sinc函数
x y x y sin c , sin c sin c a b a b
δ函数是描述物理学中质量或能量在空间或时间上高度集中的各 种现象，如点光源、点脉冲、点电荷等物理模型的数学工具。
类似普通函数的定义
一维冲激 函数的定义
0, x x0 时 ( x x0 ) , x x0时
( x)dx 1
｝
(1.2.1a) (1.2.1b)
（1.1.13）
，二维高斯函数用极坐标表示 a b 1
Gausr exp r 2
高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束
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圆域函数
x2 y2 circ r0
2 2 1 , x y r0 其他 0,
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三角状（tri或Λ）函数
一维三角状（tri或 ∧ ）函数
x x 1 , tri a a 0 x a 其他
（1.1.8）
( x)
1D:
( x) 1 x ,
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符号函数与阶跃函数的关系
(1.1.4)
sgn( x x0 ) 2step( x x0 ) 1
(1.1.5)
信息光学
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矩形（rect）函数
一维矩形函数
a x 1 , x rect 2 a 0 其他
rect(x)
(1.1.6)
1D:
rect(x)
x
信息光学
INFORMATION OPTICS
矩形（rect）函数
二维矩形函数
x y x y rect , rect rect a b a b
（1.1.7）
2D:
rect(x)rect(y)
矩形（rect）函数在时域中表示理想的低通滤波器，在空域 中表示一个狭缝、孔径的透过率