专题二第2讲知能演练轻松闯关

1．若cos(3π－x )－3cos(x ＋π2)＝0，则tan(x ＋π
4
)等于( )
A ．－1
2 B ．－2
C.12
D ．2 解析：选D.由cos(3π－x )－3cos(x ＋π2)＝0，得tan x ＝13.所以tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝13
＋1
1－1
3
＝2.
2．(2012·安徽淮北一模)已知cos2α2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π4＝52，则tan α＋1
tan α＝( )
A ．－8
B ．8 C.18 D ．－18
解析：选A.∵cos2α
2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2
⎝⎛⎭
⎫22sin α＋22cos α
＝cos α－sin α＝5
2，
∴1－2sin αcos α＝54，即sin αcos α＝－1
8
.
则tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2
αsin αcos α＝1
－1
8
＝－8.
故选A.
3．(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知α满足sin α＝12，那么sin(π4＋α)sin(π
4
－α)的值为( )
A.14 B ．－14 C.12 D ．－12
解析：选A.sin(π4＋α)sin(π4－α)＝sin 2π4cos 2α－cos 2π4sin 2α＝12sin(π2＋2α)＝12cos2α＝1
2
(1－2sin 2α)
＝1
4
，选A. 4．(2012·河南省豫东、豫北十校阶段性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，
b ，
c ，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝15
4
，则b ＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：选C.依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×1
4
＝4a 2，所以b
＝c ＝2a ，sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b 2×b ×154＝15
4
，所以b ＝2，
选C.
5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( ) A ．5 海里 B ．5 3 海里 C ．10 海里 D ．10 3 海里
解析：选C.如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而
CD ＝CA ＝10.在直角三角形ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是5
0.5
＝10(海里/小时)．
6．(2011·高考江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ
终边上一点，且sin θ＝－25
5
，则y ＝________.
解析：r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－25
5，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8. 答案：－8 7．(2012·西城区期末考试)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，
B ＝π4，sin
C ＝5
5
，则c ＝________，a ＝________.
解析：根据正弦定理得：b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin C
sin B
＝2 2，再由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－
2ac cos B ，即a 2
－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)． 答案：22 6
8．(2012·高考江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝
⎛⎭⎫2α＋π
12的值为________． 解析：∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π
12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝
⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4
＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－2
2⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1＝12225－7250＝17250. 答案：17250
9．(2012·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝2，c
＝2，cos A ＝－2
4
.
(1)求sin C 和b 的值；
(2)求cos ⎝
⎛⎭⎫2A ＋π
3的值． 解：(1)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝14
4
.
又由a sin A ＝c sin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74.
由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2
＋b －2＝0.
因为b >0，故解得b ＝1.
所以sin C ＝7
4
，b ＝1.
(2)由cos A ＝－24，sin A ＝14
4
，
得cos2A ＝2cos 2A －1＝－3
4，
sin2A ＝2sin A cos A ＝－7
4
.
所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝－3＋218
. 10．(2012·高考山东卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .
(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；
(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .
解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，
所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C
cos C
， 所以sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C . 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π，
所以sin(A ＋C )＝sin B ， 所以sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．
(2)因为a ＝1，c ＝2，a ，b ，c 成等比数列，所以b ＝ 2. 由余弦定理得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34
.
因为0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝7
4
，
故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝7
4
.
11．(2012·福州市质检)如图，在△ABC 中，已知B ＝π
3
，AC ＝4 3，D 为BC 边上一点．
(1)若AD ＝2，S △DAC ＝2 3，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值． 解：(1)∵S △DAC ＝23， ∴12
·AD ·AC ·sin ∠DAC ＝23， ∴sin ∠DAC ＝1
2
.
∵∠DAC <∠BAC <π－π3＝2π
3
，
∴∠DAC ＝π
6
.
在△ADC 中，由余弦定理，得
DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π
6，
∴DC 2＝4＋48－2×2×43×3
2
＝28，
∴DC ＝27.
(2)∵AB ＝AD ，B ＝π
3
，
∴△ABD 为正三角形．
在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin 2π3＝DC
sin (π
3
－C )， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin(π
3
－C )，
∴△ADC 的周长为
AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin(π
3
－C )＋4 3
＝8(sin C ＋32cos C －1
2
sin C )＋4 3
＝8(12sin C ＋3
2
cos C )＋4 3
＝8sin(C ＋π
3)＋43，
∵∠ADC ＝2π3，∴0<C <π3，∴π3<C ＋π3<2π
3，
∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π
6
时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3.。