解析几何第4章.
高等代数与解析几何1~4章习题答案(DOC)
高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ） 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝x x x x x x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000001000001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为：B =⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nn nn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。
解析几何第四版吕林根课后习题答案一至三章
第一章向量与坐标§1.1 向量的概念1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OA、、OC、、、OF、、BC、CD、、EF和FA中，哪些向量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的向量对是：图1-1.DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与AC方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：(1) AB、; (2) AE、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）；互为反向量的向量对是（1）和（4）。
§1.2 向量的加法1.要使下列各式成立，向量ba,应满足什么条件？（1-=+（2+=+（3-=+（4+=-E（5=[解]：（1）,-=+（2）,+=+（3≥且,=+ （4）,+=-（5）,≥-=-§1.3 数量乘向量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从向量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出向量→x ，→y ． 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线向量AL , BM ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线向量CN BM AL ,,构成一个三角形。
第4章 n维向量空间复习过程
第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.向量常用黑体小写字母 、、、b a 等表示,即n 维列向量记为n a a a 21 ,n 维行向量记为),,,(21n .行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T(1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求.x解（1）32 T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2 .)1,2,4,5(T（2）由,0253 x 得x )53(21])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21T T T .)8,2/7,1,2/5(T 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象.§4.2 向量组的线性相关性1、向量组的概念若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.例如，一个n m 矩阵mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211每一列mj j j j a a a 21 ),2,1(n j 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i 组成的向量组m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。
解析几何_吕林根_许子道_第四版_课后习题解答
解析几何_吕林根 许子道_第四版_课后习题解答第一章 矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆（3）直线； （4）相距为2的两点2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在矢量OA 、OB 、 OC 、OD 、OE 、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、EF 和FA 中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中，相等的矢量对是： 图1-1 .DE OF CD OE AB OC FA OB EF OA 和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC , 则在∆BAC 中，21AC. KL 与AC 方向相同；在∆DAC 中，21AC . NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝NM .4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB 、CD ; (2) AE 、CG ; (3) AC 、EG ;(4) AD 、GF ; (5) BE、CH . [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？E（1=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5=[解]：（1）b a ,-=+（2）b a ,+=+（3≥且b a ,-=+ （4）b a ,+=（5）b a ,≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM ,CN 可 以构成一个三角形.[证明]： )(21AC AB AL +=)(21BC BA BM +=)(21CB CA CN +=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
解析几何课件全册(第四版)
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）
a
(a)
0.
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有限个矢量a1, a2 ,an相加可由矢量的三角形求和 法则推广
自 任 意 点O开 始 ， 依 次 引OA1 a1 , A1 A2 a2 ,,
An1 An an ,由 此 得 一 折 线OA1 A2 An , 于 是 矢 量OAn
a0 1 a, |a|
a | a | a0
定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）第一分配律：
(
)a
a
a
（3）第二分配律：
(a
b)
a
b
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两个向量的平行关系
定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充
cab
a
B
b
O
A
这种求两个向量和的方法叫三角形法则.
定理1.2.1 如果把两个向量 OA、OB 为邻边
组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
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(a
b)
a
b
1) 当 0 或 ab 中有一个为零向量时，
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
解析几何-吕林根-课后习题解答一到五
第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.以下情形中的矢量终点各构成什么图形？〔1〕把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；〔2〕把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；〔3〕把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；〔4〕把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在以下各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解：§1.2 矢量的加法1.要使以下各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ 〔1=+ 〔2+=+ 〔3-=+ 〔4+=- 〔5= 解：§1.3 数量乘矢量1 试解以下各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解：2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ． 解：3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 解：4 在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD为梯形．解：6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解：8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体ABCDEFGH〔参看第一节第4题图〕中，证明→→→→=++AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.解,13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明 证明：§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，〔1〕设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解〔2〕设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)复习笔记-线性空间(圣才出品)
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第 4 章 线性空间
4.1 复习笔记
一、向量及其线性运算
1．向量
向量（又称矢量）是既有长度又有方向的量．
2．零向量
长度为零的向量，即始点与终点重合的向量，零向量的方向不确定，可按需要取任意方
向．
3．向量相等
如果能将向量
平行移动到向量
设
为空间一点，直线 PQ 垂直于坐标平面 XOY，
为垂足．设
OX 到 OQ 的夹角为
，OZ 到 OP 的夹角为θ（0≤θ≤π），
．
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称为点 P 的球面坐标，O 称为极点，直线 OZ 称为极轴，半平面 称为极半平面，极点，极轴与极半平面合称球面坐标系．
6．向量共线与共面
如果几个向量平行于同一直线，则称它们共线．如果几个向量平行于同一平面，则称它
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们共面．任意两个向量一定共面．
7．向量的线性运算
（1）向量与向量的加法
设α，β为空间两个向量．在空间任取一点 O，作
架（坐标系）．P 为空间一点，向量 在α，β，γ下的坐标 称为点 P 在标架
下的（仿射）坐标．此时，记 P 点为 P（x，y，z）．
注：O 称为原点，O 的坐标为
．
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5．坐标轴与坐标系
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通过 O 点，分别与α，β，γ同向的有向直线 OX，OY，OZ 称为坐标轴；平面 XOY，
2．坐标系 空间中三个不共面的向量α，β，γ称为空间的一个坐标系（或一组基）． 3．坐标
解析几何全册课件
两式相减，得
()a 0 ， 即 a 0，
a 0，故0，即.
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( a b )a b
1) 当 0 或 a b 中有一个为零向量时，
显然成立，
除这些情况外，现分别按下面两种情况证明．
a 2)
b 和
平行．可以找到数
C
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连接AF，因为AP 是△AEF 的中线，所以有
1
1 又因为AF 是△ACD 的A中P 线1 ，所2以(A又有EAF),
1
A F1 2(A C A)D 1 2(e2e3),
而
11 A E 2A B 2e1,
从A 而 1 P 1 2 1 2 得 e 1 1 2 (e 2 e 3 ) 1 4 (e 1 e 2 e 3 ),
自任意 O开 点始，依O次 A 1 引 a1,A1A2 a2,,
An1An an,由此得一O折 A 1A2线 An,于是矢 O量 A n
a就是 n个矢a量 1,a2,,an的和，即
OAOA 1A1A2An1An .
A 1
A 4
A
A
3
2
A
n-1
O
A
n
这种求和的方法叫做多边形法则
§3.2 平面与点的相关位置 §3.4 空间直线的方程 §3.7 空间两直线的相关位置
第四章 柱面锥面旋转曲面 与二次曲面
§4.1 柱面 §4.4 椭球面
§4.2 锥面 §4.5 双曲面
§4.3 旋转曲面 §4.6 抛物面
第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3 二次曲线的切线 §5.4 二次曲线的直径 §5.5 二次曲线的主直径和主方向 §5.6 二次曲线方程的化简与分类
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第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y t x x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x , 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y t x x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：v u Y +=(与⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。
证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则，v M =', 即v M O OM ='-, 亦即v u Y =-(，v u Y +=( 此即为柱面的矢量式参数方程。
又若将上述方程用分量表达，即：{}{}{}Z Y X v u z u y u x z y x ,,)(),(),(,,+=⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=∴Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 此即为柱面的坐标式参数方程。
§ 4.2锥面1、求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程。
解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：zZ y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程，并消去t 得：044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x此为要求的锥面方程。
3、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。
解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）圆锥的轴l 与k j i ,,等角，故l 的方向数为1:1:1∴与l 垂直的平面之一令为1=++z y x平面1=++z y x 在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，该圆的圆心为)31,31,31(，故该圆的方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-+-1)32()31()31()31(2222z y x z y x 它即为要求圆锥面的准线。
对锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与顶点O 的母线为：zZy Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去t 得：0=++zx yz xy此即为要求的圆锥面的方程。
4、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。
解：轴线的方程为：142221-=-=-z y x , 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为： 0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x即： 01122=-++z y x 该平面与轴的交点为)937,920,911(，它与)1,2,3(的距离为： 3116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d∴要求圆锥面的准线为：⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+-+-011229116)937()920()911(222z y x z y x对锥面上任一点),,(z y x M ，过该点与顶点的母线为：442211--=--=--z Z y Y x X 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使,)1(10t x X -+=,)2(20t y Y -+=t z Z )4(40-+=, 将它们代入准线方程，并消去t 得：01299252516518525210412515122=+---+++++z y x zx yz xy z y x5、已知锥面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ，顶点A 决定的径矢为{}0000,,z y x =γ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：0()(1)v u v γγγ=+-与000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z=+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩式中，v u ,为参数。
证明：对锥面上任一点),,(z y x M ，令OM γ=，它与顶点A 的连线交准线于((),(),())M x u y u z u '=，即OM ()u γ'=。
//AM AM '，且0AM '≠（顶点不在准线上）AM vAM '∴=,00(())v u γγγγ-=-, 0()(1)v u v γγγ=+-此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示，即：000{,,}{(),(),()}(1){,,}x y z v x u y u z u v x y z =+-⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=∴000)1()()1()()1()(zv u vz z y v u vy y x v u vx x 此为锥面的坐标式参数方程，v u ,为参数。
§ 4.3旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程：（1）；111112x y z -+-==-绕1112x y z -==-旋转 （2）；1211x y z -==-绕1112x y z -==-旋转 （3）1133x y z -==-绕z 轴旋转；（4）空间曲线2221z xx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩绕z 轴旋转。
解：（1）设1111(,,)M x y z 是母线111112x y z -+-==-上任一点，过1M 的纬圆为： 111222222111()()2()0(1)(1)(1)(2)x x y y z z x y z x y z ---+-=⎧⎨++-=++-⎩又1M 在母线上。
111111112x y z -+-∴==- 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：22255224444480x y z xy yz xz x y z ++++-+---=此为所求的旋转面方程。
（2）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：111222222111()()2()0(1)(1)(1)(2)x x y y z z x y z x y z ---+-=⎧⎨++-=++-⎩因1M 在母线上， 1111211x y z -∴==- (3) 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：2225523122424242446230x y z xy yz xz x y z ++--+-+-+=此为所求的旋转面的方程。
（3）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过该点的纬圆为：1222222111(1)(2)z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩又1M 在母线上，所以：1111133x y z -==- （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：2229()10690x y z z +---=此为所求的旋转面方程。
（4）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：1222222111(1)(2)z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩又1M 在母线上，所以2112211(1)1(2)z x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：221x y +=211101z z x z ==≤∴≤≤即旋转面的方程为：221x y += (01)z ≤≤2、将直线01xy zβα-==绕z 轴旋转，求这旋转面的方程，并就,αβ可能的值讨论这是什么曲面？解：先求旋转面的方程式：任取母线上一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：1222222111(1)(2)z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩又11101x y z βα-== （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：222220x y z αβ+--=此即为所求旋转面的方程。