空间解析几何第四章课件
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空间解析几何28965-PPT文档资料25页
§7．7 平面及其方程
一、平面的点法式方程
法线向量、 平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ， 所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}， n
M 1M3{2， 31}， 可取
一、平面的点法式方程
法线向量、 平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ， 所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}， n
M 1M3{2， 31}， 可取
高等数学-01空间解析几何(课件
向量的数量积
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示 为向量，通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个 向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程，可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示 为向量，通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个 向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程，可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
高数空间解析几何学平面与空间直线的方程PPT课件
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解 za2x2y2
上半球面,
(xa)2y2a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
20
2、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
空间曲线的参数方程
z z ( t )
当 给 定 tt1时 ， 就 得 到 曲 线 上 的 一 个 点 (x1,y1,z1)， 随 着 参 数 的 变 化 可 得 到 曲 线 上 的 全
空间直角坐标系中表示母线平行于 z轴的柱
面 ， 其 准 线 为 xo面 y上 曲 线 C （.其他类推）
实 例
y2 z2 b2 c2 1 椭圆柱面 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面
// z轴
x2 2pz 抛物柱面 // y轴
9
3、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
1
一般研究空间曲面主要考虑两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
2
例 1 求 与 原 点 O 及 M 0 ( 2 ,3 ,4 ) 的 距 离 之 比 为 1 : 2 的
点 的 全 体 所 组 成 的 曲 面 方 程 .
得方程 f x 2 y 2 ,z 0 ,
y坐 o 标 面 上 z的 已 知 曲 线 f(y ,z ) 0 z 绕 轴 旋
转 一 周 的 旋 转 曲 面 方 程 .
同 理 ： yo 坐 标 z面 上 的 已 知 曲 线 f(y,z)0 绕 y轴 旋 转 一 周 的 旋 转 曲 面 方 程 为
第四 章空间解析几何
O
P1
Q1
Q2
y
P2
x
由于△M1NM2是直角三角形，∠M1NM2是直角， 所以
|M1M2|2＝|M1N|2＋ |NM2|2
又△M1PN也是直角三角形且
|M1N|2＝|M1P|2＋ |PN|2
所以
而
|M1M2|2＝|M1P|2＋ |PN|2＋|NM2|2
|M1P| ＝ |P1P2| ＝ |x2－x1|
设所求单位向量为bmnp由于它在xoy平面上且是单位向量所以满足于是垂直液体密度所指一方的液体的质量流向单位时间内经过这区域的单位向量计算为垂直于向量各点处的流速均为常的一个区域液体在区上面积为设液体流过平面体积为所以这柱体的高为的夹角夹角就是高与地面的垂线的的斜柱体这柱体的斜斜高为的液体组成一个底面积单位时间内流过这区域的质量为所指一方的液体域流向从而单位时间内这区432向量的向量积定义45给定向量a与b的向量积crossproduct或称外积exteriorproduct叉积crossproduct是满足下面条件的一个向量记为bsinabab分别垂直于a和b且abab符合右手规则图415
(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c (4)a+(-a)=0
则称向量c 为向量 a与 b的差．记作：a-b ．即若b+c=a ，
则 a-b=c．求向量的差的运算称为向量的减法．
设给定两向量a 与 b，若从点O 作两向量OA=a ， OB=b ，则由定义可知，以向量b 的终点B 为起点， 向量 a的终点A 为终点的向量BA 就是向量 a与b 的差 A (图4-9)。
一、向量的概念 在实际中经常遇到两种量，一种是用数表示 的量，叫做数量或标量，如质量、温度、体积等。 另一种是要用数量和方向才能表示的量，即既有大 小、又有方向的量，叫做向量(vector)或矢量，如 速度、力等。 向量常用有向线段来表示。有向线段的长度表 示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向， 以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记 做 AB（图4－5）。也可用黑体字母来表示，如向量 a,b,x等。
空间解析几何基础34页PPT
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M (x,y,z),O(0,0,0)
d OM x2y2z2.
例 1 求 证 以 M 1(4 ,3 ,1 )、 M 2(7 ,1 ,2 )、 M 3(5 ,2 ,3 )
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
以下给出两例常见的曲面.
例 1 建 立 球 心 在 点 M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )、 半 径 为 R
的 球 面 方 程 .
解 设 M (x ,y ,z )是 球 面 上 任 一 点 ，
根据题意有 |M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 所求方程为 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5)
所表示的空间曲面称为二
次曲面,其中ai,bi,ci(i=1,2,3) 和d均为常数,且ai,bi不全 为零.
(1)球面 x2+y2+z2=R2 (R>0) (7.6)
面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M (x,y,z),O(0,0,0)
d OM x2y2z2.
例 1 求 证 以 M 1(4 ,3 ,1 )、 M 2(7 ,1 ,2 )、 M 3(5 ,2 ,3 )
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
以下给出两例常见的曲面.
例 1 建 立 球 心 在 点 M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )、 半 径 为 R
的 球 面 方 程 .
解 设 M (x ,y ,z )是 球 面 上 任 一 点 ，
根据题意有 |M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 所求方程为 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5)
所表示的空间曲面称为二
次曲面,其中ai,bi,ci(i=1,2,3) 和d均为常数,且ai,bi不全 为零.
(1)球面 x2+y2+z2=R2 (R>0) (7.6)
面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
高等代数与解析几何第4章全部课件
JJJJJJJG G G M1M 2 , v1, v2
异面,即
x2 − x1 X1 X 2
∆ = y2 − y1 Y1 Y2 ≠ 0
(2) L1与
L2
z2 − z1 Z1 Z2
相交的充分必要条件是向量
JJJJJJJG G G M1M 2 , v1, v2
共面,且
G v1
与
G v2
不平行,即
x2 − x1 X1 X 2
(3.3)
就表示一条直线 L(这两个平面的交线),称之为直线
的一般方程.这时,直线 L的一个方向向量为
G v
=
(
B1
C1 , C1
A1 , A1
B1 )
B2 C2 C2 A2 A2 B2
例3.4 已知一条直线的一般方程为
⎧x + 2y + 3z − 6 = 0 ⎨⎩2x + 3y − 6z −1 = 0
R3 的子集
空间中点轨迹ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方程组（1）的图象
2．对空间平面的描述
平面的一般方程
命题1.1 一次方程 Ax + By + Cz + D = 0 ( A, B,C不全为零)
的图象是空间中的平面。反之，任何平面都是 某个一次方程的图象。
平面的三点式方程
通过三个不共面的点
M1(x1, y1, z1), M 2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3, y3, z3 )
Π2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
定义这两个平面的夹角为它们的法向量 n1 = ( A1, B1,C1) 与 n2 = (A2, B2,C2 ) 之间的夹角(通常指锐角), 设这两平面 的夹角为 θ ,则
空间解析几何第四讲--平面及其方程
(1)2 22 (1)2 12 32
cos
1 60
两平面相交，夹角
arccos
1. 60
(2) n1 {2,1,1}, n2 {4,2,2} 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2 M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
例 8 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面 4 x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
M3 M2
即
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 4 6 0 2 3 1
一般情况 : 过三点 M k (xk , yk , zk ) (k 1, 2,3)
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形** • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z &#n2
cos
1 60
两平面相交，夹角
arccos
1. 60
(2) n1 {2,1,1}, n2 {4,2,2} 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2 M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
例 8 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面 4 x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
M3 M2
即
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 4 6 0 2 3 1
一般情况 : 过三点 M k (xk , yk , zk ) (k 1, 2,3)
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形** • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z &#n2
解析几何教案(四)
第四章 常见曲面§4.1柱面1.定义：在空间，由平行于定方向v 且与一条定曲线c 相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面，定方向v 叫柱面的方向，定曲线c 叫柱面的准线。
那族平行直线中的每条直线，都叫做柱面的母线。
(生成图见课件flash 动画)2.柱面方程： 设柱面曲线为c ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F ()1母线方向{}z y x v ,,= 点),,z y x M （在柱面上⇔ 点M 在过准线线某一点),,1111z y x M （的母线上⇔点M 的坐标满足过1M 的母线方程zz z y y y x x x 111-=-=- ()2 其中点),,1111z y x M （满足条件⎩⎨⎧==0),,(0),,(11121111z y x F z y x F ()3 由 ()1，()2，()3消去参数111,,z y x 得柱面方程0),,(=z y x F例1． 柱面的准线方程为⎩⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x 而母线方向数是1,0,1-，求这个柱面的方程。
解：设),,1111z y x M （是准线上任一点，那么过1M 的母线方程为101111z z y y x x -=-=-- ()* 且有⎩⎨⎧=++=++2221212121212121z y x z y x ()()54将()* 化成参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y t x x 111 ()6 代入()4及()5得()()()()⎩⎨⎧=-+++=-+++2221222222t z y t x t z y t x ()()87 从()7，()8消去t ，()02=-t z ∴ t z =，代入()7得()122=++y z x即012222=-+++xz z y x 为所求柱面方程。
例2 已知圆柱面的轴为21211-+=--=z y x，点()121，，-在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。
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F1 x Xt , y Yt , z Zt 0 F x, y, z 0 F2 x Xt , y Yt , z Zt 0
v
M1
二、柱面的方程
例1 柱面的准线方程为 求这柱面的方程.
x2 y 2 z 2 1 ，而母线垂直于平面x x y z 0
L:
y2+(z – 2)2 = 4 z
2 y 2 z 2 4 x 4 z 2 2 y 3 z 8 x 12 z
将其换成 一组射影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
y2 = – 4x
0
y
.
x
空间曲线作为射影柱面的交线 （空间曲线的画法）
r r1 t uv
x f t Xu y g t Yu z h t Zu
z
M1
M
0
y
x
二、柱面的方程
例3 P84 例7
求以
z 轴为对称轴，半径为 R 的圆柱面的参数方程.
课堂练习
P147
3
求过三条平行直线 l1 : x y z, l2 : x 1 y z 1 与 l3 : x 1 y 1 z 2
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
《解析几何》 －Chapter 4
§1 柱面
cylinder
Contents
一、柱面的概念 二、柱面的方程 三、柱面的判定定理 四、空间曲线的射影柱面
平面
圆柱面
x2 y 2 a2
F1 x, y 0 叫做空间曲线L对xoy面射影的射影柱面; F2 x, z 0 叫做空间曲线L对xoz面射影的射影柱面; F3 y, z 0 叫做空间曲线L对yoz面射影的射影柱面.
F1 x, y 0, 叫做空间曲线L在xoy面上的射影曲线. z0 F2 x, z 0, 叫做空间曲线L在xoz面上的射影曲线. y0
准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
y
双曲柱面
x2 z2 2 2 1 a b
z
o
y
x
抛物柱面
y 2 2 px
z y
o
x
在空间直角坐标系里，因为这些柱面与 xOy 坐标面的交 线分别是椭圆，双曲线与抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱
面，双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面. z z
z
y
O
o y x
2 y z 4 x 4 z 2 2 y 3 z 8 x 12 z 将其换成 一组射影柱面的交线
2 2
y2+(z – 2)2 = 4 z
L:
L：
y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4
.
(消去x )
L
y2 = – 4x
0
y
.
x
例4
x y z 1 求曲线 z 1 在xoy坐标面上的投影. 2
1 z 2, y 0 1 z 2, x 0 3 | x | ; 2
（2）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
3 | y | . 2
思考题
1 证明方程 ( x z)2 ( y z a)2 a2 表示的曲面是柱面.
2 求与两球面 ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 r 2
Ⅱ 母线l 的方向数：X , Y , Z
M1 C 分析： M1 x1, y1, z1 S M1 l
F1 x1 , y1 , z1 0 F2 x1 , y1 , z1 0 x x y y1 z z1 1 t X Y Z
准线
一、柱面的概念
说明：除平面外，柱面的母线方向（也称为柱面的方向）是 确定(两个）的，而柱面的准线不是惟一(无数个）的，每一
z 条与柱面的母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线.
母线
v
准线
0
y
准线
x
二、柱面的方程
1 柱面的一般方程
F1 x, y, z 0 Ⅰ 准线方程 C： F2 x, y, z 0
o y
x
x
四、空间曲线的射影柱面
F x, y, z 0, F x, y 0, F x, y 0, F x, z 0, 1 1 2 L: 空间曲线 G x, y, z 0. F x, z 0, F y, z 0, F y, z 0, 2 3 3
z
o
x
y
一、柱面的概念
定义4.1.1 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一 定方向叫做柱面 族平行直线所生成的曲面叫做柱面（cylinder）， 的方向， 定曲线叫做柱面的准线（directrix）， 那族平行直线中的 每一条直线，都叫做柱面的母线.
v
准线
母线
一、柱面的概念
母线
v
z
y
l1
方程 F ( x, y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
x
zl 2
y
方程 G ( y, z ) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
, x2 y 2 z 2 r 2 外切的圆柱面方程.
3
证明曲面 F ( x
l
y y z z x , , ) 0 是一个柱面，它的母 m m n n l
x y z 线平行于直线 l m n
.
P
147-148
1,8(4)
的圆柱面的方程
椭圆柱面（直角坐标系）
x2 y2 2 1 2 a b
方程的形式与 柱面的图形特 征之间有联系 吗？ z
o
x
y
三、柱面的判定定理
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）
的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平
行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。
此定理讲叙,在三维空间
空间曲线作为射影柱面的交线
（空间曲线的画法）
z L:
2 y 2 z 2 4 x 4 z 2 2 y 3 z 8 x 12 z
将其换成 一组射影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z )
y2 = – 4x
0
y
x
空间曲线作为射影柱面的交线
（空间曲线的画法）
2 2 2
解 :
消去变量z后得 3 2 2 x y , 4
பைடு நூலகம்
在 xoy 面上的投影为 3 2 2 x y 4, z 0
x2 y2 z2 1 思考：曲线 1 在yoz坐标面上的 z 2
投影，和xoz面上的投影是 什么？
1 （1）因为曲线在平面 z 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
yz 5 ，
例2 已知圆柱面的轴为 x 1 求这个圆柱面的方程.
y 1 z 1，点 P 1, 2,1 在此圆柱面上， 2 2
二、柱面的方程
2 柱面的参数方程
准线参数方程为 r1 t f t , g t , h t , 母线的方向数为 X , Y , Z
CHAPTER 4 柱面，锥面，旋转 曲面与二次曲面
回忆：曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
v
M1
二、柱面的方程
例1 柱面的准线方程为 求这柱面的方程.
x2 y 2 z 2 1 ，而母线垂直于平面x x y z 0
L:
y2+(z – 2)2 = 4 z
2 y 2 z 2 4 x 4 z 2 2 y 3 z 8 x 12 z
将其换成 一组射影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
y2 = – 4x
0
y
.
x
空间曲线作为射影柱面的交线 （空间曲线的画法）
r r1 t uv
x f t Xu y g t Yu z h t Zu
z
M1
M
0
y
x
二、柱面的方程
例3 P84 例7
求以
z 轴为对称轴，半径为 R 的圆柱面的参数方程.
课堂练习
P147
3
求过三条平行直线 l1 : x y z, l2 : x 1 y z 1 与 l3 : x 1 y 1 z 2
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
《解析几何》 －Chapter 4
§1 柱面
cylinder
Contents
一、柱面的概念 二、柱面的方程 三、柱面的判定定理 四、空间曲线的射影柱面
平面
圆柱面
x2 y 2 a2
F1 x, y 0 叫做空间曲线L对xoy面射影的射影柱面; F2 x, z 0 叫做空间曲线L对xoz面射影的射影柱面; F3 y, z 0 叫做空间曲线L对yoz面射影的射影柱面.
F1 x, y 0, 叫做空间曲线L在xoy面上的射影曲线. z0 F2 x, z 0, 叫做空间曲线L在xoz面上的射影曲线. y0
准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
y
双曲柱面
x2 z2 2 2 1 a b
z
o
y
x
抛物柱面
y 2 2 px
z y
o
x
在空间直角坐标系里，因为这些柱面与 xOy 坐标面的交 线分别是椭圆，双曲线与抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱
面，双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面. z z
z
y
O
o y x
2 y z 4 x 4 z 2 2 y 3 z 8 x 12 z 将其换成 一组射影柱面的交线
2 2
y2+(z – 2)2 = 4 z
L:
L：
y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4
.
(消去x )
L
y2 = – 4x
0
y
.
x
例4
x y z 1 求曲线 z 1 在xoy坐标面上的投影. 2
1 z 2, y 0 1 z 2, x 0 3 | x | ; 2
（2）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
3 | y | . 2
思考题
1 证明方程 ( x z)2 ( y z a)2 a2 表示的曲面是柱面.
2 求与两球面 ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 r 2
Ⅱ 母线l 的方向数：X , Y , Z
M1 C 分析： M1 x1, y1, z1 S M1 l
F1 x1 , y1 , z1 0 F2 x1 , y1 , z1 0 x x y y1 z z1 1 t X Y Z
准线
一、柱面的概念
说明：除平面外，柱面的母线方向（也称为柱面的方向）是 确定(两个）的，而柱面的准线不是惟一(无数个）的，每一
z 条与柱面的母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线.
母线
v
准线
0
y
准线
x
二、柱面的方程
1 柱面的一般方程
F1 x, y, z 0 Ⅰ 准线方程 C： F2 x, y, z 0
o y
x
x
四、空间曲线的射影柱面
F x, y, z 0, F x, y 0, F x, y 0, F x, z 0, 1 1 2 L: 空间曲线 G x, y, z 0. F x, z 0, F y, z 0, F y, z 0, 2 3 3
z
o
x
y
一、柱面的概念
定义4.1.1 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一 定方向叫做柱面 族平行直线所生成的曲面叫做柱面（cylinder）， 的方向， 定曲线叫做柱面的准线（directrix）， 那族平行直线中的 每一条直线，都叫做柱面的母线.
v
准线
母线
一、柱面的概念
母线
v
z
y
l1
方程 F ( x, y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
x
zl 2
y
方程 G ( y, z ) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
, x2 y 2 z 2 r 2 外切的圆柱面方程.
3
证明曲面 F ( x
l
y y z z x , , ) 0 是一个柱面，它的母 m m n n l
x y z 线平行于直线 l m n
.
P
147-148
1,8(4)
的圆柱面的方程
椭圆柱面（直角坐标系）
x2 y2 2 1 2 a b
方程的形式与 柱面的图形特 征之间有联系 吗？ z
o
x
y
三、柱面的判定定理
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）
的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平
行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。
此定理讲叙,在三维空间
空间曲线作为射影柱面的交线
（空间曲线的画法）
z L:
2 y 2 z 2 4 x 4 z 2 2 y 3 z 8 x 12 z
将其换成 一组射影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z )
y2 = – 4x
0
y
x
空间曲线作为射影柱面的交线
（空间曲线的画法）
2 2 2
解 :
消去变量z后得 3 2 2 x y , 4
பைடு நூலகம்
在 xoy 面上的投影为 3 2 2 x y 4, z 0
x2 y2 z2 1 思考：曲线 1 在yoz坐标面上的 z 2
投影，和xoz面上的投影是 什么？
1 （1）因为曲线在平面 z 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
yz 5 ，
例2 已知圆柱面的轴为 x 1 求这个圆柱面的方程.
y 1 z 1，点 P 1, 2,1 在此圆柱面上， 2 2
二、柱面的方程
2 柱面的参数方程
准线参数方程为 r1 t f t , g t , h t , 母线的方向数为 X , Y , Z
CHAPTER 4 柱面，锥面，旋转 曲面与二次曲面
回忆：曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；