【高二数学期末试题】高2010级二上数学期末试题及答案(理科)

2008—2009学年度第一学期期末六校联考

高二数学试题(理科)

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页。满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在机读卡的指定位置） 1．若直线1x =的倾斜角为α，则α（ ）

A ．等于0

B ．等于4π

C ．等于2

π

D ．不存在

2．“21x -<<”是“||1x >”成立的（ ）条件 A ．充要条件 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．既不充分也不必要

3．对于实数a 、b 、c ，下列说法错误的是（ ）

A ．0a b <<，则2

2a ab b >>

B ．若22

ac bc >，则a b >

C ．0a b <<，则

11a b

<

D ．若0b c <<，则

c b b c

< 4．直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:280l mx y ++=平行，则m 等于（ ）

A ．1

B ．23

-

C ．－2或1

D ．－2

5．已知22

1||12x y m m

+=--表示焦点在y 轴上椭圆，则m 范围为（ ）

A ．2m <

B ．1m <-或312

m << C ．1m <-或12m <<

D ．12m <<

6．圆2

2

221x y +=与直线sin 10(,,)2

x y R k k Z π

θθθπ?+-=∈≠+∈位置关系是（ ）

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．由θ确定

7．双曲线2

2

1x y -=右支上点P(a ，b )到其第一、

则a b +=（ ）

A ．1

2

-

B ．

12

C ．12

±

D ．2±

8．椭圆221259

y x +=与双曲线2

2115y x -=有公共点P ，则P 与双曲线二焦点连线构成三

角形面积为（ ）

A ．4

B ．

C ．5

D ．3

9．M 为抛物线2y x =上一点，N 为圆22(1)(4)1x y ++-=关于直线10x y -+=的对

称曲线C 上一点，则|MN|最小值为（ ）

A 1

B ．

14

- C ．

12

- D 1

10．圆224x y +=，A(－1，0)、B(1，0)动抛物线过A 、B 二点，且以圆的切线为准线，

则抛物线的焦点轨迹方程为（ ）

A ．22

1(0)53x y y +=≠

B ．22

1(0)43x y y +=≠ C ．22

1(0)54

x y y +=≠

D ．22

1(0)34

x y y +=≠

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．不等式2

20ax bx ++>解集为11

(,)23

-

，则a b -= . 12．设变量,x y 满足142x y x y y -≥-??

+≤??≥?

，则目标函数24z x y =+最大值为 .

13．已知正数,x y 满足21x y +=，则

11

x y

+最小值为 . 14．设双曲线22221x y a b

-=与22

221(0,0)x y a b a b -+=>>离心率分别为12,e e ，则当,a b 变

化时，12e e +最小值为 .

15．一个圆圆心为椭圆右焦点，且该圆过椭圆中心，交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为该椭圆

左焦点）是此圆切线，则椭圆离心率为 .

16．AB 为过抛物线焦点F 的弦，P 为AB 中点，A 、B 、P 在准线l 上射影分别为M 、N 、

Q ，则下列命题：①以AB 为直径作圆则此圆与准线l 相交；②MF ⊥NF ；③AQ ⊥BQ ；④QB ∥MF ；⑤A 、O 、N 三点共线（O 为原点），正确的是 . 三、解答题（本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

由点Q （3，a ）引圆C ：2

2

(1)(1)1x y ++-=二切线，切点为A 、B ，求四边形QACB

（C 为圆心）面积最小值. 18．（本小题满分13分）

（1）解不等式22

241

323

x x x x --≥--； （6分） （2）,a b R +

∈，2c a b >+

，求证c a c <<（7分）

19．（本小题满分13分）

△ABC 中，B （0，－2）、C （0，2）顶点A 满足3

sin sin sin 2

B C A +=. （1）求顶点A 轨迹方程；

（2）点P （x ，y ）在(1)轨迹上，求2x y μ=-最大、小值.

20．（本小题满分13分）

已知双曲线22

221x y a b

-=

离心率为1e >F 1、F 2，左准线l ，

能否在双曲线左支上找一点P ，使|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项？说明理由. 21．（本小题满分13分）

双曲线中心在原点，一条渐近线方程为y =

，准线方程为x = （1）求双曲线方程；

（2）若双曲线上存在关于1y kx =+对称的二点，求k 范围.

22．（本小题满分12分）

如图，已知⊙C 过焦点A （0，P ）（P ＞0）圆心C 在抛物线22x py =上运动，若MN 为⊙C 在x 轴上截得的弦，设|AM|＝l 1，|AN|＝l 2，∠MAN ＝θ （1）当C 运动时，|MN|是否变化？证明你的结论.

（2）求

21

12

l l l l +的最大值，并求出取最大值时θ值及此时⊙C 方程.

2008—2009学年度第一学期期末六校联考

高二数学答题卷(理科)

二、填空题

11._____________________ 12.____________________

13._____________________ 14.____________________

15._____________________ 16.____________________

三、解答题

17题（12分）

19题（13分）

21题（3分）

22题（12分）

2008—2009学年度第一学期期末六校联考

高二数学答案(理科)

一、选择题

1.C

2.D

3.C

4.A

5.B

6.C

7.B

8.D

9.C 10.B 二、填空题

11．－10 12．13 13．3+ 14． 151 16．②③④⑤ 三、解答题

17．由题知，Q 在直线x ＝3上运动，求S QACB 最小，即求切线长|QA|最小……（2分） ∴当Q 与C 距最小时|QA|最小…………（4分） 即QC ⊥直线x ＝3时，|MA|最小为4 …………（6分）

此时Q （3，1） |QA|===…………（10分）

∴(S QACB )min ＝|QA|·|AC|…………（12分）

18．（1）原不等式等价于2228023x x x x -++≥--…………（2分）

即

(4)(2)

0(3)(1)

x x x x -+≤-+…………（4分）

由标根法知[2,1)x ∈--∪(3,4]…………（6分）

（2）要证原式成立，即证a c <<

即证||a c -<2分）

即证22||a c -<

即证2

2

2

2a ac c c ab -+<-…………（4分） 即证22a ab ac +>

即证2a b c +<……………（6分）

由题设，此式成立，∴原命题成立，得证 …………（7分）

19．（1）由正弦定理知3

2||2||||22

R AC R AB BC R +=

?

∴3

||||||6||42

AC AB BC BC +=

=>=…………（3分） ∴A 轨迹为以B 、C 为焦点椭圆

∴A 轨迹方程为22

1(0)95

y x x +=≠…………（6分）

（2）P 在(1)轨迹上，设0

3cos x y θθ?=≠??=??

…………（8分）

∴3cos )μθθθ?=--…………（10分）

其中cos

??=

=

∴max μ=min μ=…………（12分） 当0x =时，3y =±，此时3μ=±不为最值

∴max μ=min μ=…………（13分）

20．设存在P 点在双曲线左支上，设P （x 、y ），则x a ≤-

设P 到右准线距为d 2，则由|PF 1|2＝d |PF 2|得 (ed )2＝d (ed 2)…………（3分）

∴ed ＝d 2

∴22

()()a a e x x c c

--=-…………（5分） 则2(1)a ac x a e c

+=≤--………………（7分）

∴

11(1)

e

e e +≤-- ∴2210e e --≤…………（9分）

解得[1e ∈ ∵1e > ∴(1,1e ∈

与题1e > ∴不存在这样的点…………（12分）

21．解一：（1）设双曲线方程为2

2

(0)2

y x λλ-=>…………（2分）

1

λ

=?=

∴双曲线方程为

2

21

2

y

x-=…………（4分）

（2）设双曲线上关于1

y kx

=+对称二点为M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中点为Q(x0，y0) 设MN的方程为

1

y x n

k

=-+代入

2

21

2

y

x-=

得22

2

12

(2)20

n

x x n

k k

-+--=…………（6分）

由

2

2

2

2

2

22

1

20

1

2

41

4(2)(2)0

k

n

k

n

n

k k

?

-≠

??

?>-

?

??=+-+>

??

且

2

k≠±……①（8分）又Q(x0，y0)在直线1

y kx

=+

∴

22

22

2

1

1212

nk nk

k k

-

=+

--

∴

2

2

21

3

k

n

k

-

=…………（11分）

代入①式得42

221310

k k

-+>

∴2

1

2

k>或2

1

11

k

<<

且

2

k≠±

∴(,

2

k∈-∞

∪(

11

-∪(0,)

11

∪()

2

+∞…………（13分）

解法二：（1）同上…………（4分）

（2）设双曲线上关于1

y kx

=+对称二点为M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中点为Q(x0，y0) 则Q在1

y kx

=+上且Q为弦中点，必满足

2

20

1

2

y

x->或

2

20

2

y

x-<

∵

2

21

1

1212

2

1212

22

2

1

22

1

2

y

x

y y y y

x x x x

y

x

?

-=

?-+

?

??=

?

-+

?-=

??

即0

222MN y k x ?

=…………（7分） ∵MN 关于1y kx =+对称，∴1MN k k

=-

由000

00011232

13y x k k x y y kx ??=-?-?=???????==+???

………………（10分） 由2200

12y x ->或2

2

0002

y x -<得

(1111k ∈-

∪(,2-∞-

∪()2

+∞…………（13分） 当0k =时方程1y =，此时不存在二点关于1y =对称，∴0k ≠

∴(,2k ∈-∞

∪(11-∪(0,)11

∪()2

+∞…………（13分） 22．（1）设11(,)C x y ，⊙C 方程为22211()()||x x y y AC -+-=

∴222

21111()()()x x y y x y P -+-=+-与0y =联立

得2211220x x x y p p -+-=…………（2分）

∴||MN =

=∵11(,)C x y 在抛物线上 ∴212x py =，代入|MN|

得||2MN p =

=为定值 ∴|MN|不变…………（4分）

（2）由(1)可设(,0)M x p -、(,0)M x p +

1l =

2l =6分）

∴22

2222

21121212l l l l l l l l ++===

2

2

====≤(9分) 当且仅当y p

=

时取等号，即x=

∴圆方程为222

()()2

x y p p

+-=………（10分）

当x=时，∠MAN为AM到AN的角

AM

p

K

p x

=

-()

AN

p

K

x p

=

--

∴tan1

1

AN AM

AN AM

K K

MAN

K K

-

∠==

+?

∴45

θ

∠=?

同理，x=时，∠MAN为AN到AM的角仍可得45

θ

∠=?……（12分）