浅谈极限思想在数学解题中的应用
三 、利用极 限思想求行列式 的值
＋ ｂ ａ ｂ Ｏ Ｏ … Ｏ ｌ 口 ＋ｂ
Ｏ … Ｏ
【 参考文献 】
化繁为简 ，事半功倍 的效果 。
【 项 目基 金 ：陕 西铁 路 工 程 职 业 技 术 学 院 科 研 项 目
Ｋ Ｙ ２ ０ １ ７ — ０ ２ ６】
０ Ｏ
Ａ ． １ ｏ ｇ （ ） ＜ ０ Ｂ ． ０ ＜ ｌ ｏ ｇ （ 功＜ ｌ ｃ ． １ ＜ ｌ ｏ ｇ ） ＜ ２ Ｄ 。 ｌ ｏ ｇ （ ＞ ２
： ０
０
’ Ｉ ’ 。 】 知 （ ） 为 关于 的 连续 幂函 ０ １ ＋ ｂ ｂ ｘ
０ ０ １ ＋
数学 家柯 西对极 限做出 的明确定义 。极 限思想逐 渐能突破 解题 常 规 ，巧解 数学 问题 ，因此被 广泛 应用 于解 决 函数 、线性 代数 、平 面
分 析 ： 当 ｍ 一 ， ￣ ｙ － ＋ ｍ 一 ， ￣ｘ ｙ － － ） ｍ ２ ， ｌ ｏ ｇ （ ｘ ｙ ） － ￣ ２ ， 可 以 排 除 Ｂ ． 此 可知极 限思想贯穿数学 的整个历史 中 ，是一种灵活 的
当 ｜ ） ． ｏ ， 由 题 栽 ｏ ‘ ， 此 帅 ｏ ＋ ｉ ｆ ［ ０ ＜ ｍ ＜ ｌ ， ￣ ｔ Ｊ ｌ ｏ ｇ （ ） ， 排 除 ｃ ，
＋ｂ ｈ １ ０ ０ — ． ． ０ ０ ０ ０
从 我国古 代名言 ： “ 一尺之棰 ，日取其半 ，万世不竭”
中渗透着 的极限思想 ，到刘徽 的 ‘ 割 圆术 ’，再 到法 国
＋６ ｈ ０
当ａ ６ 时， 先 令， （ ） ＝ ｌ １ ０
１ ０
的 值。
例 ３ ． 求 ｎ 阶行 列式Ｄ
Ｏ Ｏ Ｏ ０
． ． ．
［ １ ］ 汪 晓 彤． 极 限 思 想在 解 题 中的应 用 ［ Ｊ ］ ． 数 学 通
报， ２ ０ ０ ８ （ ４ ） ： ３ ５ ．
Ｏ １
０ ０
－
＋ ６ ａ ｂ
ｌ ａ＋
通过验证 ，此结果 与展开行列式所得 的计算结果相
、
利用极 限思 想判 断参数 的取 值范围
同。该题利用极 限思想发掘问题 中的有用信息 ，利用连
解题方 案。
例１ ． 已知 不等式ｍ ２ ＋（ Ｃ Ｏ Ｓ ２ ０— ５）ｍ ＋ ４ ｓ ｉ ｎ ２ ０≥０ 恒 成 续 函数及 函数极 限的性质 ，避开 了复杂 的计算 ，优化 了
Ａ，Ｂ；当ｍ 趋于ｌ 时 ，不 等式不 一定 成立 ，排除 Ｄ，因 要想学好数学并且能 自如应对 应试考 试 ，深 入了解 和灵 此答 案为 Ｃ 。 由此 可 以看 出极 限思想 是 特殊 值 法 的延 活应用极 限思想是必要 的。数 学的发展必须突破常量研
伸 。该题利用极 限思想 ，着眼于 问题 的极 限状态 ，减 少 究 的传统 范围 ，在曲与直 ，变与不变的问题上大胆运用
了计算量 ，迅速准确 获解 。
极 限思想 。在初 等数学里 ，圆面积是用一系列边数无线
增 多的内接或外 接正多边形面积的极限来定义 的；在高
二 、利用极 限思想判 断函数值 的范围
例２ ． 已知０ ＜Ｘ ＜ Ｙ ＜ｍ＜１ ，则有 （ ）。
等数学里 ，同样 用类似的办法来定义 曲边梯形 的面积 ， 并 对其求 极限 ，进而给 出定积分 的概念及几何 意义。 由 数 学思维方法 ，将极限思想应用到数学解题 中可 以达 到
誊 界ｌ 文 化 与 教 育
浅谈极 限思想在数学解题 中的应用
徐 艳 华
摘要：极 限思想是一种 重要 的数 学思想，它是 一种 用有 限认识 无限 ，从 近似认识精确 ，从 量变认识质 变的思想。灵活地借助极 限思想 ，可 以简化计算过程 ，优化解题 方案 ，探 索解题新方 法。
关键词 ：极限 思想 ；数 学解题 ；应 用 极 限思想是社会 实践的产物 。早在远古 已经萌 芽 ，
创新期 干 １ ｊ ， ２ ０ １ １ （ ２ ） ： ７ ３ — ７ ４ ．
—
ｎ
作者简介：徐艳 华 （ １ ９ ９ １ 一 ），女 ，河南鹿 邑人 ，助教 ，硕 士 ，陕西铁 路工程职业技 术 学院基础课部 ，研 究方向 ：
小波分析。
一
７ ６—
［ ２ ］ 明清河． 数 学分 析的思想 与方 法［ Ｍ ］ ． 济 南： 山东大
学 出版社， ２ ０ ０ ４ ： １ ３ － １ ５ ．
…
分 析；当 ≠ ６ 时， 可用 数学 归纳 法证明 ： — Ｏ ｎ ＋ ｌａ （ 证明 略） ；
—
［ ３ ］ 张 忠志． 极 限思想在代 数 中的应用 ［ Ｊ ］ ． 中国科教
的效果 。
一
数 而且当 ≠ ６ 时， 有， （ ） ：
口一
当 ： ： ｂ 时 根 据连 续函 数的 性 囊 有：
， （ ６ ＝ ， ㈤＝
所以当 ＝６时，Ｄ ＝ ＋１ ） ｂ 。
＝
＝
＋
几 何 、立 体 几何 等问 题 ，以达 到化 难 为简 ，节省 时 间
立 ，则 实数ｍ的取值范 围 （ ）。
Ａ． Ｏ≤ ｍ ≤ ４ Ｂ． １≤ ｍ ≤ ４
四 、 总 结
极 限思想 简而言之就是无 限接近 的思想 。它能够将
Ｃ ． ｍ≥４ 或 ｍ≤０ Ｄ ． ｍ≥ １ 或 ｍ≤０
分 析 ：当ｍ趋 于 ∞时 ，左边 结果 大 于０ ，可 以排 除 复杂的数学问题简单化 ，具有较强 的＿ ［ 具性 和实用性 。
浅谈极限思想方法在小学数学中的应用
认识 精确 ，从量 变 中认识 质变 的一种数学 思想方法 ，它是事物 转化 的重要环 节 ，了解它有重要意义 。 极 限思想在小学数学 中
其实在说 的过程 中学生就 已经打开 自己的脑门 ，思维处 于
积极 状态 ， 学生通过 自己创造性 的思维 明白题意 ，已 “ 知其然” ， 但学习数 学并 非仅此而已 ，而是 要使学生 “ 知其所 以然 ” 。一年 级应用题分 为 “ 求合起是 多少” 的加法 应用题和 “ 去掉一部 分 求还剩 多少 ”的减法应用 题 ，让学生较 透彻地理解并不难 ，只
（ 三 ）多 说
关系不大 ，但我在教学求 两种事物 的总数和求其 中一种 事物的
数量的应用 题 （ 特别是文 字应用题 ） 时 ，让学生边 听题边操 作
边理解 ，或 以游戏 的形式 出现 ，效果很 好 。这样就将具体 的实
为让学生 弄懂题意 ，教师应将 说 的机 会和时 间让给学生 ， 当老 师在 “ 灌输 ”知识 时 ，学 生的思维 多处于消极 状态 ，因此 教师 应设计 一些学生 感兴趣 的问题激 活学 生的思维 ，并且要 鼓
物与抽象 的文字联 系起来 ，将学生 的外 在行为和 内在思 维联系
起来 了 ，岂能无效？实 际上这是学 生从 解图画应用题 向不借 助 任何实 物独 立完成文 字应用题 的一 种很 好的过渡方式 ，大大降 低 了今后教学应用题和学习应用题的难度。 （ 六） 多练
多练 即对学 生进 行多种形 式 的解 应用 题的训 练。 “ 学 以致
教学 时 ，可 向学生提 问 ：图上 画了什 么？苹果 分为几 堆 ？左边 和右 边各有几个 ？此外 网上还 画了什么 ？数错 ，不 看问题是一 年级 学生解 应用题 中常犯 的毛 病 。如果重 视学生 的观察训练 ， 效果会好得 多。这 样可让学生初步感知应用题 由ｉ个部分 组成 ，
极限思想在数学中的地位与作用及求极限的方法
高等数学解题方法探究极限——极限思想在高等数学中的地位和应用引言：数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一．正是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立统一事物提供了研究的方法．有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并积累了一定的经验．而对于无限个对象的研究，却往往不知如何下手。
于是将对无限的研究就转化成对有限的研究？就成了解决无限问题的毕经之路．反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决．这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想?极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这个结果。
正文：一、极限理论在数学分析中的地位1.建立概念的极限思想极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。
可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。
在几乎所有的数学分析着作中，都是先介绍函数理论和极限的思1想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。
如：（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限。
（3）函数在上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。
2.解决问题的极限思想极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。
浅谈极限对数学的意义
浅谈极限对数学的意义文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-浅谈极限对数学的意义极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以概念为基础、极限理论(包括)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限的思想由来已久.公元前三世纪,古代伟大的科学家阿基米德，利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、面积，而公元前五世纪，我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这其中就用到了极限思想。
这些早期的极限思想还很原始与朴素，但为其后极限的发展奠定了基础。
说到极限的作用，就不得不提到微积分。
可以说极限就是微积分的基础，而微积分的发展是建立在极限理论发展之上的。
而微积分对现代文明的贡献之大毋庸置疑。
由此极限的重要性可见一斑。
现在任何一所大学的数学系的学生都会先学极限，之后再学微积分。
但历史上微积分却比极限产生的早，可以说微积分是一个早产儿。
这个早产儿在实际中应用的非常好，但是在理论上却是模糊不清。
由此还引发了第二次数学危机。
拯救危机的方法就是清晰的定义极限。
十七世纪，微积分出现了。
领军人物是两个伟大的智者。
一个家伙叫牛顿，而另一个叫莱布尼茨。
牛顿通过对力的研究发明了微积分，虽然现在看来这样的微积分还很原始，仅仅涉及一重，只有一个变量。
但是它的意义是无可估量的。
而莱布尼茨则通过对切线的研究，得到了微积分。
他不仅发明了微积分，而且现代微积分很多符号都是他定义的，他在理论方面的研究价值巨大。
可是无论是牛顿，还是莱布尼茨，都有一些基本的理论问题无法解决。
而这些问题也困扰了他们一生。
到底是什么样的问题呢？首先我们要来了解微积分是什么。
例说极限思想在数学解题中的妙用
例说极限思想在数学解题中的妙用作者：张锋道来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期极限思想是高中数学中的一种重要数学思想，在解题中切不可忽视其应用.对于某些数学问题，若能灵活运用极限思想，从其极端情形入手，就可以避开一些抽象复杂的运算，降低解题的难度，还可以优化解题的思路，收到事半功倍的效果.下面举例说明，极限思想在解题中的妙用.一、妙用极限思想求解数量变化范围例1若α∈[π6，π2），则直线2xcosα+3y+1=0的倾斜角的取值范围是A.[π6，π2）B.[5π6，π）C.（0，π6]D.（π2，5π6]解析因为斜率k=-23cosα，又α∈[π6，π2），所以当α→π2时，cosα→0，k→0（从负值趋于零），所以倾斜角→π，因此选B.一、妙用极限思想求解估算问题例1如图1三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，且侧面A1B1BA⊥底面A1B1C1，P 为棱B1B上一动点（不与点B1、B重合），则直线C1P与平面A1B1BA所成角的范围是A.（0，π6）B.（π6，π3）C.（π6，π4）D.（π4，π2）解析用极限估算.取A1B1中点D，连C1D，则∠C1PD为直线C1P与平面A1B1BA所成角.因为C1D为常数，所以只要确定PD的变化范围.当P→B1时，∠C1PD→∠C1B1D=π3，且∠C1PD当P→B时，则∠C1PD→∠C1BD，且∠C1PD>∠C1BD.而在Rt△CBD中，∠C1DB=90°，C1D=32a，BD=52a，tan∠CBD=C1DBD=35>33=tanπ6，即∠C1BD>π6.所以π6二、妙用极限思想求解探索性问题例2已知数列{an}中，a1=1，且对于任意正整数n，总有an+1=anan-2，是否存在实数a，b，使得an=a-b（-23）n对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.解析如果存在实数a，b满足题设要求，则由an=a-b（-23）n，可得limn→∞an=a.对an+1=anan-2两边取极限，得a=aa-2，所以a=0或a=3.若a=0，则数列{an}是以1为首项，公比为-23的等比数列，显然，不可能对于任意正整数n都满足an+1=anan-2；若a=3，将a1=1代入an=a-b（-23）n，可得b=-3，此时，an=3+3×（-23）n，所以a2=133，这与a2=-1矛盾.所以满足题设条件的实数a，b 不存在.三、妙用极限思想求解曲线方程例3求离心率e=25，过（1，0）点且与直线l：2x-y+3=0相切于点P（-23，53），长轴平行于y轴的椭圆方程.解析按常规，设椭圆中心为（x0，y0），可得椭圆的方程，再列出过已知点P的切线方程，联立消参可求得椭圆方程.但按极限思想，将点P视为椭圆的极限情形，可利用曲线系方程求解.已知e=25，则a2=5b2.把点P（-23，53）看作长轴平行于y轴且离心率e=25的椭圆系（x+23）2+15（y-53）2=k，当k→0时的极限情形（点椭圆）.则与直线l：2x-y+3=0相切于该点的椭圆系，即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程（x+23）2+15（y-53）2+λ（2x-y+3）=0.又因为所求椭圆过（1，0）点，代入求得λ=-23.因此所求椭圆方程为x2+y25=1.四、妙用极限思想画出函数图象例4已知f（x）=xx2+1，试画出图象，并结合图象指出其值域.解析先研究其奇偶性与单调性，再画出图象.因为f（x）=xx2+1，所以定义域为R且为奇函数，又f ′（x）=1-x2x2+1，所以f（x）在（-∞，-1]上递减，[-1，1]上递增，[1，+∞）上递减，且有极小值f（-1）=-12，极大值f（1）=12，画图时很可能画成图2而出错，得出值域为R，它是很好的满足了单调性与奇偶性，但还不够，图象有问题.问题在哪儿呢？因为limx→-∞f（x）=0（即xlimx→+∞f（x）=0（即x>0，f（x）>0），所以图形应该为图3，x轴变成了渐近线.所以值域为[-12，12].总之，恰当运用极限思想，抓住问题的极端情形解题，不仅使复杂问题的解决简单化，而且也有利于培养学生的创造性思维及探究能力.。
极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中数学解题中的应用极限思想在高中数学解题中的应用极限思想作为一个重要的数学概念在高中数学教学中得到了培训，影响着后来数学解题的过程，也对提升高中数学解题水平比较有意义。
因此，如何应用极限思想在高中数学解题中显得尤为重要。
首先，要认识到极限中的关系。
极限的基本概念是“当x的值逐渐接近某个特定的值，y的值也会逐渐靠近某个特定的值”，换句话说，所谓的“靠近”，就是指每次减小x的值时，y的值也会靠近某个极限值。
根据极限的定义，某一极限存在时，x的关系可以抽象成一个方程，即极限=f（x）。
其次，要学会把握极限的推导过程，比如一些分式除以越来越小的常数，我们往往会把这样的分式将其多次连乘，并且把和分母相特殊的项放到分母里，最终将这样的分式简化成一个极限式。
再次，要学会利用极限的思想来解决实际问题，比如高中生求解一元二次方程，可以先进行联立方程求值，再使用极限的思想，当a，b极限的值为1的时候，极限的解为2a+db。
这样就可以轻松求出一元二次方程的解。
比如，当方程为：ax2+bx+c=0时，极限值为2a+db，从而得到方程的解。
最后，要保持极限思想的正确认识和理解，比如说，在一般条件下，极限的值及其对应的x的值是有限的，而不是无穷的，那么也就意味着，在一定的条件范围下，有些函数的极限就是有限的，所以，当c取不同值时，极限也就有所变化，从而达到解决数学问题的目的。
极限思想作为一个数学思想，最重要的还是要正确理解和运用。
极限思想是对极端情况的分析，也可以帮助我们在解决数学问题中节省不少时间和精力。
因此，广大高中生要加强极限思想的学习，用正确的思想来解决高中数学中的各种问题，从而提高数学解题的水平。
浅谈极限思想在数学解题中的应用_0
浅谈极限思想在数学解题中的应用极限思想是一种重要的数学思想，它是一种用有限认识无限，从近似认识精确，从量变认識质变的思想。
灵活地借助极限思想，可以简化计算过程，优化解题方案，探索解题新方法。
标签：极限思想；数学解题；应用极限思想是社会实践的产物。
早在远古已经萌芽，从我国古代名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”中渗透着的极限思想，到刘徽的‘割圆术’，再到法国数学家柯西对极限做出的明确定义。
极限思想逐渐成为一种重要的数学工具，它能突破解题常规，巧解数学问题，因此被广泛应用于解决函数、线性代数、平面几何、立体几何等问题，以达到化难为简，节省时间的效果。
一、利用极限思想判断参数的取值范围例1.已知不等式m2+（cos2θ-5）m+4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围（）。
A.0≤m≤4B.1≤m≤4C.m≥4或m≤0D.m≥1或m≤0分析：当m趋于∞时，左边结果大于0，可以排除A，B；当m趋于1时，不等式不一定成立，排除D，因此答案为C。
由此可以看出极限思想是特殊值法的延伸。
该题利用极限思想，着眼于问题的极限状态，减少了计算量，迅速准确获解。
二、利用极限思想判断函数值的范围例 2.已知0<x<y<m<1，则有（）。
三、利用极限思想求行列式的值通过验证，此结果与展开行列式所得的计算结果相同。
该题利用极限思想发掘问题中的有用信息，利用连续函数及函数极限的性质，避开了复杂的计算，优化了解题方案。
四、总结极限思想简而言之就是无限接近的思想。
它能够将复杂的数学问题简单化，具有较强的工具性和实用性。
要想学好数学并且能自如应对应试考试，深入了解和灵活应用极限思想是必要的。
数学的发展必须突破常量研究的传统范围，在曲与直，变与不变的问题上大胆运用极限思想。
在初等数学里，圆面积是用一系列边数无线增多的内接或外接正多边形面积的极限来定义的；在高等数学里，同样用类似的办法来定义曲边梯形的面积，并对其求极限，进而给出定积分的概念及几何意义。
探析数学思想的培养——以极限思想为例
探析数学思想的培养——以极限思想为例极限思想是数学思想的重要组成部分，它的应用广泛，从微积分、多元函数研究中大量应用；在计算机科学、物理学乃至经济学都有重要作用。
在数学思想培养方面，主要要求学生能同时把握数学技术和极限思想，以便在外部环境变化时能够更好地应对。
首先，在数学思想培养中，应将极限思想整合到课程设置中。
极限思想可以帮助学生更加灵活地运用数学技术处理复杂问题，在讨论中如何将极限思想引入数学的认知过程中，可以更好地指示学生去探索数学领域里的思维方式。
其次，可以通过实验、分析实际问题的例子，来让学生尝试在实际问题中使用极限思想，增强学生的应用能力，提升数学解决问题的能力。
此外，可以通过课外活动来锻炼学生，引导学生理解极限思想，而不是死记硬背概念。
例如，可以举办一些数学竞赛，让学生在比较有趣的环境中探索极限思想的应用。
学生可以通过解答较为复杂的问题，去理解极限的意义，并将其与数学知识进行有效结合，让极限思想在学生的脑海中更深入、更持久。
总而言之，在数学思想培养中，极限思想非常重要，它可以帮助学生统一概念，使学习更加有趣，激发学生的学习兴趣，提高数学技能和分析问题能力。
通过上述多种方式，极限思想可以更充分地发挥其作用，从而使学生更加深入地理解数学思想，实现数学思想的有效培养与运用。
在数学思想培养中，学生应开拓思维，积极主动地探究和思考，以便在运用极限思想时更加有效地处理问题。
学生应尝试不断尝试新的解题方法，以及针对某一具体问题分析不同角度，运用极限思想来解决问题。
另外，要培养学生的分析能力，帮助他们更好地把握数学理论和极限思想。
可以通过以下方法做到这一点：首先，老师应多采用案例教学的方式，分析实际问题，将极限思想和数学理论有机结合起来，让学生了解极限思想的应用。
其次，可以给出不定形问题，让学生自主分析，在同伴交流的情况下，对形式化的数学表达式和极限思想进行分析，探究不同情况下极限值的构建方式。
此外，可以教授学生如何运用数学工具软件进行数学建模，赋予其更大的创新空间。
极限思想在高中数学中的应用
n n
x cos x − sin x ≤0 x2
在
π x ∈ 0, 2
n
∑
i =2
n
n
图1 证 明： 如 图 1， 在 单 位 圆 圆 O 中， 设 = OD = cos x ，则 ∠AOB = x ， CB = sin x ， OC
ni
∑ i! ∏
i =2
其中每一项均为正值，当 n 增加时，不 但对应的项数增多，而且括号内的数值也增
1 + k > 2 时， 大，所以数列 n 单调递增。又当 k −1 1 1 1 1 1 1− <1 < 1 + < 2 + ∑ = 2 + 1 − < 3 ，所以 ， ，所以 n 2 k! 2 n 2 1 1 + 有 n 上界。 记 1 n 。
lim
0
n =0 n →∞ 2 n
，从而 sin x sin x cos 2 x = 1 ，所以 lim = 1。 cos x < < 1 ，又因为 lim x → 0 x x 基 于 这 个 证 明， 我 们 可 以 知 道， 尽 管 sin x f ( x) = x 在 x = 0 处没有定义，但在非常接近 0 sin x 的位置， x → 1 。 π f ( x) = x cos x − sin x, x ∈ 0, 例 4。已知函数 2 。 （1）求证： f ( x) ≤ 0 。 sin x π （2）若 a < x < b 在 x ∈ 0, 2 上恒成立，求的 a 最大值与 b 的最小值。 解：（1） 由 f ( x) = x cos x − sin x 得： π 0, f ' ( x) = − x sin x < 0 ，所以 f ( x) 在 2 上单调递减， 从而 f ( x) ≤ f (0) = 0 。 sin x （2）当 x > 0 时， a < x < b ⇔ sin x > ax且 sin x < bx 。 ( x) sin x − cx ， 则 g ' ( x) = cos x − c ， 故 令 g= 当 c ≤ 0 时， g ( x) > 0 对任意 x ∈ 0, π 2 恒成立。 π 当 c ≥ 1 时， 因 为 对 任 意 x ∈ 0, 2 ， π ' 0, 上单调递 g ( x) = cos x − c < 0 ，所以 g ( x) 在区间 2 减，从而 g ( x) ≤ g (0) = 0 对任意 x ∈ 0, π2 恒成立。 π 0, ， 当 0 < c < 1 时， 存 在 唯 一 的 x ∈ 2 ' g ( x0 ) = cos x0 −' c = 0 。 x) 0, π2 上的情况如下： g ( x) 与 g (在区间
高中数学：极限思想的应用
高中数学：极限思想的应用利用极限思想处理某些数学问题往往能化难为易。
引例两人坐在方桌旁，相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。
当最后桌面上只剩下一个位置时，谁放下最后一枚，谁就算胜了。
设两人都是高手，是先放者胜还是后放者胜？（G·波利亚称“由来已久的难题”）G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”：猜想（把问题极端化）如果桌面小到只能放下一枚硬币，那么先放者必胜。
证明（利用对称性）由于方桌有对称中心，先放者可将第一枚硬币占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置，先放者必胜。
从波利亚的精巧解法中，我们可以看到，他是利用极限的思想考察问题的极端状态，探索出解题方向或转化途径。
极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以避免复杂运算，探索解题新思路，现举五例说明极限思想的应用。
例1 已知0<x<y<a<1< span="">，则有（）</x<y<a<1<>（A）（B）（C）（D）（02年高考）分析当时，由题意，此时，故可排除（A）、（B），当时，由题意，此时，则，排除（C），故选（D）例 2 给出下列图象其中可能为函数的图象是。
分析这道模拟试题得分率很低，许多学生做这道题时感到无从下手，通过与部分学生访谈知道，大部分学生都是猜想结果，虽然有一些学生想到求函数的导数，但仍然不知如何处理。
其实，这道题若从极限角度考虑，问题便迎刃而解。
当时，时图象是上升的，排除④，再令a=b=c=0，y”>0不是恒成立的，排除②，选①③。
例3 已知数列{a n}中，a1=1，且对于任意正整数n，总有，是否存在实数a，b，能使得对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。
分析极限思想：如果这样的，b存在的话，则由，对两边取极限，得，解得若0，则数列{}应该是以1为首项，以为公比的等比数列。
浅谈“极限思想”在数学分析中的应用
浅谈“极限思想”在数学分析中的应用摘要：极限理论是近代数学的重要思想，而数学分析就是以极限定义为基础，以极限理论为工具的一门学科。
极限思想更是一种思维的模式，让我们的认知从不变到变，从量变到质变，从近似到精确。
本文将对极限思想在数学分析中的应用进行分析。
关键词：极限思想；极限理论；数学分析1.引言极限理论在数学分析中的应用最直接的体现就是解决数学分析中的问题，是数学分析最基础，却最重要的内容。
它以各种各样的形式出现，并贯穿于数学分析乃至高等数学的全部内容，是其核心之所在。
随着现代数学的发展与完善，极限是解决现代数学问题的关键、有效方法，这是由于极限理论可建立在较为普通的数学空间，促使数学求解方法由传统的有限范围转到现代的无限范围，同时也是从近似到精确的过程。
例如，极限理论包含的数学解题思路充分利用常量与变量之间的对立关系、无限与有限之间的内在联系，解释曲面面积、曲线长度等问题的出现原因，即数学家运用极限思维对应用数学教学进行深入阐述。
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念定义都离不开极限，几乎所有的数学分析著作都是先介绍函数极限的思想方法，然后给出导数、连续、定积分、级数的敛散性、重积分、多元函数的偏导数、曲线积分与曲面积分的概念。
下面我们将从导数，级数和积分三块内容来结合实例探讨极限思想的体现与应用。
2.极限思想在导数中的应用导数是微积分学中重要的基础概念，是函数的局部性质。
导数最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引人的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。
这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。
①瞬时速度：设一质点作直线运动，其运动规律为。
若为某一确定时刻，为临近于的时刻，则是质点在时间段（或）上的平均速度。
若时的平均速度的极限存在，则称极限为质点在的瞬时速度。
在计算诸如物质比热，电流强度，线密度等问题中，尽管它们的物理背景各不相同，但最终都归结于讨论形如的极限。