数值分析综述-《数值分析与算法》徐士良
数值分析方法
数值分析方法数值分析方法是一种通过数学模型和计算方法来解决实际问题的技术。
它在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
数值分析方法的核心在于将连续的数学问题转化为离散的计算问题，通过数值计算来逼近解析解，从而得到问题的近似解。
本文将介绍数值分析方法的基本原理、常用技术和应用领域。
数值分析方法的基本原理是利用数值计算来逼近解析解。
在实际问题中，很多数学模型很难或者无法得到精确的解析解，这时就需要借助数值分析方法来求解。
数值分析方法的基本步骤包括建立数学模型、离散化、选择适当的数值计算方法、计算近似解并进行误差分析。
其中，离散化是数值分析方法的核心，它将连续的数学问题转化为离散的计算问题，从而使得问题可以通过计算机进行求解。
常用的数值分析方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等。
插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
数值积分是一种通过数值计算来逼近定积分的方法，常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。
常微分方程数值解和偏微分方程数值解是解决微分方程数值解的常用方法，常用的数值解方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
数值分析方法在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
在科学计算中，数值分析方法常用于模拟物理现象、计算数学模型等。
在工程设计中，数值分析方法常用于求解结构力学、流体力学等问题。
在经济分析中，数值分析方法常用于求解经济模型、金融衍生品定价等问题。
总之，数值分析方法已经成为现代科学技术和工程技术中不可或缺的一部分。
综上所述，数值分析方法是一种通过数学模型和计算方法来解决实际问题的技术。
它的基本原理是利用数值计算来逼近解析解，常用的方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等。
数值分析方法在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解数值分析方法的基本原理和应用价值。
数值分析综述报告
淮阴工学院《数值分析》考试──基于Matlab的方法综合应用报告班级：金融1121 姓名：婷婷学号： 1124104129成绩：数理学院2014年6月7日《数值分析》课程综述报告前言：数值分析也称计算方法，它与计算工具的发展密切相关。
数值分析是一门为科学计算提供必需的理论基础和有效、实用方法的数学课程，它的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关的理论。
正文：第一章 近似计算与误差分析1、产生误差的原因：①模型误差；②观测误差；③截断误差；④舍入误差。
2、四则运算的误差： ①加减法运算()()()****x y x y δδδ±=+②乘法运算()()()***************xy x y xy xy xy x y x y y y x x x y x y y x δδδ-=-+-≤-+-⇒=+③ 除法运算：()()()()()**********************2**x x xy x y y y yy xy x y x y x yyy x x yy y x yy x y y x x y y δδδ--=-+-=-+-=+⎛⎫⇒≈⎪⎝⎭3、科学表示法、有效数字、近似值的精度 任何一个实数都可以表示成如下的形式：其中：是正整数，是整数，如果是数的近似值并且则称该近似值具有位有效数字（significant digit ）。
此时，该近似值的相对误差为另一方面，若已知()()*1111021nr x a δ-≤+那么，()()***1112110.10211102r m n n m n x x x x a a a a δ----≤⨯=+≤即：*x 至少有n 位有效数字。
例： 3.141592653589793...π= 取其近似值如下： x*=3.14 x *=3.14159 x*=3.1415 x*=3.141**213100.314110.0016...0.005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**516100.314159110.0000026...0.000005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**314100.31415110.000092...0.0001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯**213100.3141110.00059...0.001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯第二章 线性方程组在科学计算中，问题的本身就是求解线性方程组，许多问题的求解需要最后也归结为线性方程组的求解，所以线性方程组的求解是科学计算中最常见的问题。
数值分析的所有知识点总结
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
数值分析课程介绍
1 课程基本情况
• 课程名称：数值分析、计算方法 • 课程性质：校级学位课、54学时、考试课 • 适用专业：全校理工类各专业 • 开课学院：计算机学院 • 授课教师：张卫国
课程介绍
2 数值分析课程的内涵
数值分析是研究用计算机求解工程与实践中遇到的各种数 学问题的数值计算方法和理论。它既具有纯数学的抽象性 和严密性，又具有应用的广泛性与实验的技巧性。 数值分析的内涵可概括为“研究理论可靠、计算复杂性好、 能在计算机上实现的求解数学模型的方法”。其中，理论 可靠是指算法的稳定性（高）和收敛性（速度快），复杂 性好是指算法的时间和空间效率好，机器实现是指算法的 有限性及可操作性。
计算思维 三种科学方法
理论方法、实验方法、计算方法
科学思维
逻辑思维（公理、规则、结论）→推理，如数学 实证思维（重现、自洽、预见）→实验，如物理学
计算思维（能行、构造、模拟）→使自动，如计算机科学
计算思维
运用计算机科学的基础概念、问题求解、系统设计以及人类行 为理解等涵盖计算机科学之广度的一系列思维活动。（周以真）
[5]方法的进一步研讨.如加速算法、预测—校正技术等。
7 数学思维与计算思维
数学思维 严格套定义
如集合、向量空间等
思想方法：
综合（从已知条件出发，进行推导） 分析（从问题着手，看为解决问题，需要那些东西）
问题转化：
构造（构造一个函数、方程、辅助线、新定义来解决或证 明问题） 映射（将问题映射为一个模型或其它东西。如七桥问题））
数值方法已成为求解数学问题不可或缺的途径和手段。
课程介绍
3 数值分析研究的主要内容及数学模型
f ( xi ) p ( xi ) i 0,1, , n 函数插值 数值逼近 函数逼近与曲线拟合 min f ( x) ( x) p b n 数值积分与数值微分 f ( x)dx Ai f ( xi ) i 0 a 一元方程求根 f ( x) 0 矩阵计算与方程求根 线性方程组求解 Ax b 特征值与特征向量 Ax x dy 常微分方程数值解 dx f ( x, y ) y ( x0 ) y程讲解数值计算的基本理论与方法，涉及到工程与实践 中最常用到的7-8个数学问题（模型），各模型相对独立， 但过程大体相同，即
数值分析算法
数值分析算法
数值分析算法，也称数值计算算法，是一类应用于数值计算的方法，通常被用来求解数学建模和工程问题中的最优化问题，可精确解决复杂的常微分方程、动态系统以及许多其他科学和工程问题。
数值分析算法采用近似来解决有限元素，有限差分，动力学和蒙特卡洛方法等方法问题。
此外，数值分析算法通常用于解决函数最值、优化、拟合、积分以及其他数学建模问题。
它可以模拟实际环境中的自然现象，也可以用于解决工业制造中的问题，例如流体力学、热传导、电磁波传播等。
基于数值分析算法的应用可以分为三个类别：一类是基于网格的算法，包括有限元素法和有限差分法；第二类是基于函数拟合方法，比如多项式拟合、样条拟合等；第三类是基于概率方法，比如蒙特卡洛方法。
现在，数值分析算法的应用在不断拓展，许多新的技术和算法正在被研究，以更大范围应用于复杂的数学建模和工程问题。
比如，目前许多工业公司都采用数值分析算法解决实际问题，并且把它应用到设计、制造、模拟等各领域来解决实际应用问题。
另外，数值分析算法可以用于计算精确结果，可以大大减少人工计算的时间。
此外，数值分析算法还可以克服微分方程不适合求解解析解的问题，从而更好地解决复杂数学建模问题，使计算结果更加精确，为科学研究提供可靠的依据。
总的来说，数值分析算法是一类具有重要意义的算法，在工程领
域中越来越受到重视，可以为工程应用提供精确的数值计算结果，而这些结果可以用于设计和优化工程系统，提高企业的效益和工程技术水平。
以上就是基于数值分析算法的介绍，它在许多工程和科学研究领域具有重要意义，为人类提供了一种更有效的解决复杂数学建模问题的方法，可以更准确更快速地解决复杂的计算问题，使工程实践更加顺利。
几种常用数值积分方法的比较
. -学科分类号110.3420本科毕业论文题目几种常用数值积分方法的比拟姓名晓祥学号00院〔系〕数学与计算机科学学院专业数学与应用数学年级 2021 级指导教师雍进军职称讲师二〇一四年五月师学院本科毕业论文〔设计〕诚信声明本人重声明：所呈交的本科毕业论文〔设计〕，是本人在指导教师的指导下，独立进展研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要奉献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承当。
本科毕业论文作者签名：年月日师学院本科毕业论文(设计)任务书师学院本科毕业论文〔设计〕开题报告书开题报告会纪要贵州师学院数学与计算机科学学院指导教师指导本科毕业论文情况登记表师学院数学与计算机科学学院本科毕业论文〔设计〕穿插评阅表学院〔盖章〕：师学院本科毕业论文辩论记录表. -目录摘要 (1)Abstract (2)1 前言 (3)2 数值积分方法的根本思想 (4)3 几类常用数值积分方法的简单分析 (5)3.1 Newton—Cotes求积公式 (5)3.2 复化求积公式 (6)3．3 Romberg求积公式 (7)3．4 高斯型求积公式 (9)4 几类数值积分方法的简单比拟评述 (9)5 利用MATLAB编程应用对几类求积算法的分析比拟 (10)完毕语............................................................................................................................. 错误!未定义书签。
致 . (15)附录 (16). -摘要我们在求函数的积分时，往往因为原函数非常复杂以至于难以求出或用初等函数表示，这让我们计算起来非常困难，所以我们只能想方法求它的近似值，因此直接借助牛顿--莱布尼兹公式计算定积分的情况是非常少见的。
数值分析讲义
由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现 象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的， 计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、 截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是 通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观 测误差。
数值分析综述-《数值分析与算法》徐士良
第2章矩阵与线性代数方程组一般的线性代数方程组，A非奇异可根据Cramer法则求解方程唯一解但是它的计算量很大。
高斯消元法的算法时间复杂度是O(n3)，可以解一系列的线性方程；所占数据空间符合原地工作的原则。
但是算法对数值计算不稳定（当分母为0或很小时）。
可以用在计算机中来解决数千条等式及未知数。
不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。
解决高斯法中的不稳定性，在每次归一化前增加选主元（列选主元、全选主元）过程。
但是列选主元法仍不稳定，不适求解大规模线性代数方程组。
全选主元的高斯消去法，则在复杂度降低的同时能够避免舍入误差，保证数值稳定性。
高斯-约当消去法算法产生出来的矩阵是一个简化行梯阵式，而不是高斯消元法中的行梯阵式。
相比起高斯消元法，此算法的效率比较低，却可把方程组的解用矩阵一次过表示出来。
线性代数方程组的迭代解法简单迭代法：迭代格式发散但迭代值序列不一定发散，但收敛格式收敛，迭代值序列收敛于方程组的准确解与选取迭代初值无关。
雅可比迭代法: 计算公式简单，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。
但是收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。
高斯-赛德尔迭代法：较上面的迭代复杂，但是矩阵的条件相对宽松。
松弛法：需要根据经验去调整，收敛速度依赖松弛参数的选择，收敛条件的要求更宽松。
共轭梯度法：是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。
其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。
共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。
第3章矩阵特征值乘幂法计算绝对值最大的特征值：其收敛速度受限于最大与次大特征值比值绝对值的大小，实际应用中采用加速技术。
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第2章矩阵与线性代数方程组
一般的线性代数方程组，A非奇异可根据Cramer法则求解方程唯一解但是它的计算量很大。
高斯消元法的算法时间复杂度是O(n3)，可以解一系列的线性方程；所占数据空间符合原地工作的原则。
但是算法对数值计算不稳定（当分母为0或很小时）。
可以用在计算机中来解决数千条等式及未知数。
不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。
解决高斯法中的不稳定性，在每次归一化前增加选主元（列选主元、全选主元）过程。
但是列选主元法仍不稳定，不适求解大规模线性代数方程组。
全选主元的高斯消去法，则在复杂度降低的同时能够避免舍入误差，保证数值稳定性。
高斯-约当消去法算法产生出来的矩阵是一个简化行梯阵式，而不是高斯消元法中的行梯阵式。
相比起高斯消元法，此算法的效率比较低，却可把方程组的解用矩阵一次过表示出来。
线性代数方程组的迭代解法
简单迭代法：迭代格式发散但迭代值序列不一定发散，但收敛格式收敛，迭代值序列收敛于方程组的准确解与选取迭代初值无关。
雅可比迭代法: 计算公式简单，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。
但是收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。
高斯-赛德尔迭代法：较上面的迭代复杂，但是矩阵的条件相对宽松。
松弛法：需要根据经验去调整，收敛速度依赖松弛参数的选择，收敛条件的要求更宽松。
共轭梯度法：是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。
其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。
共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。
第3章矩阵特征值
乘幂法计算绝对值最大的特征值：其收敛速度受限于最大与次大特征值比值绝对值的大小，实际应用中采用加速技术。
求对称特征值的雅克比方法96：每进行一次选装变换钱都需要在飞对角线的元素中选取绝对值最大的元素，很费时间，雅克比过关法对此做了改进。
QR方法求一般实矩阵的全部特征值98下100下：重复多次进行QR分解费时，计算工作量很大。
一般先进行相似变换然后进行QR分解。
但是这样仍然收敛速度慢，一般是线性收敛。
实际应用中使用双重步QR变换将带原点的QR算法中相邻两步合并一步，加速收敛避免复数运算。
第4章非线性方程与方程组
二分法：每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。
优点是简单，但是不能计算复根和重根。
简单迭代法：直接的方法从原方程中隐含的求出x，从而确定迭代函数 (x)，这种迭代法收敛速度较慢，迭代次数多。
埃特金迭代法113中：对简单迭代进行改进，使在其不满足收敛条件下迭代过程也收敛，在其收敛时加快收敛速度，减少迭代次数降低时间复杂度。
牛顿迭代法：其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，收敛速度快。
而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
缺点：初值的选择会影响收敛结果。
牛顿下山法：保证函数值稳定下降，且有牛顿法的收敛速度。
第5章代数插值法
Lagrange插值
Lagrange插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数问题。
★基本思想将待求的n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定函数，从而求出杆值多项式。
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。
这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。
此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差。
这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。
优点：简单，缺点：产生一堆数，不保证稳定性
Newton插值
Newton插值也是n次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。
易于使用编程实现。
★基本思想将待求的n次插值多项式Pn（x）改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件（1）确定Pn（x）的待定系数，以求出所要的插值函数。
Aitken插值法
实际中常需要精度（139下）要求来选取插值结点，埃特金逐步插值解决了此问题。
优点在于可根据精度的要去逐步提高插值的阶，在插值过程中只需要逐步将两个地阶的插值结果进行线性组合即可，计算比较方便。
Hermite插值
Hermite插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的,起其提法为:给定n+1个互异的节点x0,x1,……,xn上的函数值和导数值
不少实际的插值问题不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。
样条插值
样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。
由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。
它的基本思想（151）：在由两相邻结点所构成的每一个小区间内用低次多项式来逼近，并且在各结点的连接处是光滑的（连续可导）。
第6章函数逼近与拟合
采用最佳一致逼近多项式（181）迭代次数少，结果已经很优了。
均方逼近（183、184）：求最佳均方逼近多项式所形成的线性方程组的系数矩阵是高度病态的，舍入误差大，采用广义多项式就变得简单了。
一般多项式的基函数不一定是正交函数集系，应先对基函数进行正交化，如在最佳均方逼近中采用切比雪夫正交多项式。
最小二乘曲线拟合：（185）各观测数据与拟合曲线的偏差平方和最小，虽然降低了插值点处的准确性，但是拟合曲线更接近真实函数。
其应用十分广泛，不仅用于传统的测量平差，而且用于最小二乘拟合和最小二乘配置等现代平差理论之中；不仅在测绘领域中，而且在其他许多科学和工程技术领域都已得到广泛应用。
第7章数值积分与数值微分
梯形公式：会把函数图像当作成梯形并估算它的面积。
以下就是估算所用的公式
如果被积函数是一个凸函数（亦即有一个正值二阶导数），那么误差会是一个负数，也代表梯形公式的估算值高估了真实数字。
这可以利用一个几何图形代去表达：梯形不但覆盖曲线下的面积更超越其范围。
同样地，如果被积函数是一个凹函数，梯形公式就会低估其真实数字因为曲线下部份面积没有被计算在内。
如果被积函数中有拐点它的错误是比较难去估计。
辛普森法则（Simpson's rule）是一种数值积分方法，是以二次曲线逼近的方式取代矩形或梯形积分公式，以求得定积分的数值近似解。
其近似值如下：
牛顿-柯特斯：假设已知的值。
以点进行插值，求得
对应的拉格朗日多项式。
对该次的多项式求积。
该积分便可以作为的近似，而由于该拉格朗日多项式的系数都是常数（由决定其值），所以积函数的系数（即）都是常数。
提高了积分区间上插值多项式阶数，就提高了求积公式的阶数，有可能提高精度。
缺点：对于次数较高的多项式而有很大误差（龙格现象），不如高斯积分法。
复化公式：解决多个点但不稳定的问题，（198）尽量减小每一个求积小区间的长度。
变步长求积分：（199）合理选择步长，可满足精度要求也不会引起过多的误差积累和过大的计算工作量。
龙贝格求积法：它是在梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。
作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度. 在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。
这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。
高斯求积：高斯求积理论中的一个基本定理断言：只要把结点x0,x1，…，x m取为区间[α,b]上关于权函数ω(x)的m+1次正交多项式的零点，内插型求积公式（2）即达到最高代数精度2m+1。
这里[α,b] 可以是有限或无限区间，ω(x)为取正值的权函数。
许多有关数值积分的论著都列举出各种高斯型公式的结点和系数的数值。
可以证明：对每个连续函数，当结点个数趋于无穷时，高斯型公式所给出的近似值序列收敛到相应积分的精确值，而牛顿－科茨公式则不具有这种性质。