清华大学高等数值分析 第一次实验作业

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迭代次数
图9
m=100时，Lanczos法求解Ax=b的收敛曲线
高等数值分析实验作业一
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Lanzcos 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002）
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||rk||/||b||
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迭代次数
图12 m=10时，Minres法求解Ax=b的收敛曲线
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Minres 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002）
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迭代次数
图13
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m=50时，Minres法求解Ax=b的收敛曲线
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Lanzcos 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002)
m=10 m=50 m=100 m=400 m=800
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迭代次数
图6 对于b由m个特征向量线性表示时，Lanczos法求解Ax=b的收敛曲线
3. 当 A 只有 m 个不同特征值时， 对于大的 m 和小的 m， 观察有限精度下 Lanczos 方法如何收敛。 解：分别构建 m = 10、50、100、400、800 五个矩阵 A，分别求解 Ax=b，收敛 曲线如图 5 所示：
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Lanzcos 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002)
m=10 m=50 m=100 m=400 m=800
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Lanzcos 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002)
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迭代次数
图4
Lanczos法求解病态问题的收敛曲线
结论：对于良态正定问题， Lanczos法和CG法收敛性一样，相对残差的2范数随 迭代步数的增加而减小；对于病态正定问题 Lanczos法较CG法收敛的要慢一点， 而且收敛曲线更加不平滑，震荡较严重，相对残差的2范数同样没有最优性。 事实上，Lanczos法主要是解对称不定问题，针对这类问题才显现出它的优 越性，这也从侧面表明，对称正定问题不适合用Lanzcos法求解。
800
1000
1200
迭代次数
图16
m=500时，Minres法求解Ax=b的收敛曲线
结论：对于 Lanczos 方法，随着负特征值的增多，收敛曲线的峰点个数增多，振 荡越来越严重，发生近似中断的次数越来越多；然而，对于相同的 A，Minres 方法的相对残差没有出现峰值， 随着迭代数增加而单调下降。 收敛性态比 Lanczos 好，但代价是计算时间的急剧增大。
高等数值分析实验作业一
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CG法收敛曲线 (阶数 n=1002)
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迭代次数
图2 CG法求解病态问题的收敛曲线
结论：对于良态问题，CG法收敛较快，相对残差的2范数随迭代步数的增加而减 小；对于病态问题CG法收敛的很慢，而且收敛曲线不平滑，震荡非常严重，相 对残差的2范数没有最优性。
2
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||rk||/||b||
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-2
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迭代次数
图8
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m=50时，Lanczos法求解Ax=b的收敛曲线
Lanzcos 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002）
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||rk||/||b||
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CG法收敛曲线 (阶数 n=1002)
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||rk||/||b||
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140
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迭代次数
图1 CG法求解良态问题的收敛曲线
（3）CG法求解Ax=b，A病态： 利用matlab编程实现CG算法。b = ones(1002,1)，x0 = zeros(1002, 1)。计算 每一步迭代的残差rk相对于初始残差的2范数。相对残差2范数的对数值与 迭代步数的关系曲线如图2所示：
Minres 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002）
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-2
||rk||/||b||
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-4
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-10
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100
200
300
400
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600
700
800
900
迭代次数
图14
m=100时，Minres法求解Ax=b的收敛曲线
高等数值分析实验作业一
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Minres 算法的收敛曲线 (阶数 n=1002）
结论：理论上，b 仅由 A 的 m 个不同特征向量的线性组合表示时，Lanczos 方法 必然 m 步收敛。但由于 A 的阶数为 1002，是比较大的，精度方面的限制导致计 算得到的 m 个特征向量并不都线性无关，所以，m = 800 时只需 20 步迭代。
高等数值分析实验作业一
5. 构造对称不定矩阵，验证 Lanczos 方法的近似中断，观察收敛曲线中的峰点 个数和特征值的分布关系； 观测当出现峰点时， MINRES 方法的收敛形态怎样。 解：分别构建负特征值个数为 m =10、50、100、200、500 的矩阵 A，分别计算 Ax = b 的解，Lanzcos 方法的收敛曲线如图 7-图 11 所示，Minres 的收敛曲线如 图 12-图 16 所示：
高等数值分析实验作业一
end
Lanczos 法 lanczos.m
function [T,Q,x,k,Errs,tiao]=Lanczos(A,b,x0,Err) x=[]; tiao=[]; [m,n]=size(b); if m<n b=b'; end [m,n]=size(x0); if m<n m=n; x0=x0'; end size(b) size(A*x0) r=b-A*x0; r_zeros=r; q=r/norm(r); q0=0; beta0=0; T=[0]; k=1; Q=[q]; Errs=[norm(r,2)/norm(b,2)]; while 1 disp('k=');disp(k); T=[T,zeros(k,1);zeros(1,k),0]; r=A*q-beta0*q0; T(k,k)=q'*r; r=r-T(k,k)*q; T(k+1,k)=norm(r,2); beta0=T(k+1,k); T(k,k+1)=beta0; q0=q; q=r/beta0; Tk=T(1:k,1:k) ; if k==1 disp('Ìø¹ý´Ë²½') tiao=[tiao,k]; else [L,U]=LanczosLU(Tk); bk=norm(r_zeros,2)*[1;zeros(k-1,1)];
高等数值分析实验作业一
附件：主要算法代码
CG 法 CG.m
function [x,Error,i,flag]=CG(A,b,x,ErrSet,uplimit) [m,n]=size(b); if m<n b=b'; end [m,n]=size(x); if m<n x=x'; end r=b-A*x; p=r; i=1; temp_rkrkplus=r'*r; Error=sqrt(temp_rkrkplus)/norm(b,2); while 1 temp_AP=A*p; temp_rkrk=temp_rkrkplus; temp_pAP=p'*temp_AP; if abs(temp_pAP)<1e-12 disp('¶ñÐÔÖжϣ¡') break; end a=temp_rkrk/(temp_pAP); x=x+a*p; r=r-a*temp_AP; temp_rkrkplus=r'*r; beta=temp_rkrkplus/temp_rkrk; p=r+beta*p; Err=sqrt(temp_rkrkplus)/norm(b,2); %/(norm(b)+temp_AP); if Err<ErrSet disp('Method converge£¡') disp(i) flag=1; break; end Error=[Error,sqrt(temp_rkrkplus)/norm(b,2)]; if i>uplimit flag=0; break end end end