清华大学高等数值分析作业李津1——矩阵基础
高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析
高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析1．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021.已知πβα=+，2πβα=-，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）.A. 00⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．定义运算a b ad bc c d =-,则符合条件120121z ii i +=--的复数z 对应的点在( )A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限 3．矩阵E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数4． 若行列式212410139xx =-，则=x ．5．若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则x y -=_______． 7．矩阵1141⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值为 ． 8．已知变换100M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ； 10．已知，，则y= ．11．若2211x xx y y y=--，则______x y +=12．计算矩阵的乘积=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110n m y x ______________ 13．已知矩阵A －1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201，B －1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则 (AB)－1 = ；七、解答题14．已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-，求2M . 15．已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A .16．[选修4—2：矩阵与变换]已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的特征值和特征向量． 17．已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点（-1,2）变换成（9,15），求矩阵M ．18．（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程．19．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．20．选修42：矩阵与变换已知矩阵M ＝12b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e 1＝23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）求矩阵M ；（2）求曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程．21．求直线x ＋y ＝5在矩阵0011⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的图形．22．已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵． 23．求点A(2，0)在矩阵1002⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到的点的坐标． 24．已知N=0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭,计算N 2.25．已知矩阵M ＝1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N ＝0113-⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵MN ；（2）若点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P 的坐标． 26．已知矩阵20 01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1125-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵1-A B 27．已知矩阵A =10-⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦，B =01⎡⎢⎣ 26⎤⎥⎦，求矩阵1A B -.28．求使等式 2 4 2 03 50 1M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M ． 29．已知矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 12有一个属于特征值1的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12α. (Ⅰ) 求矩阵A ； (Ⅱ) 若矩阵B =⎪⎭⎫⎝⎛-1011，求直线10x y ++=先在矩阵A ，再在矩阵B 的对应变换作用下的像的方程.30．已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ,求矩阵A 的特征值.参考答案1．A【来源】2012-2013学年湖南省浏阳一中高一6月阶段性考试理科数学试题（带解析） 【解析】试题分析：根据题意，由于根据新定义可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，那么由2πβα=-,πβα=+sin cos cos sin cos cos sin s ()cos sin sin cos cos sin sin cos()in ααβαβαβαβααβαβαβαβ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A. 考点：矩阵的乘法点评：此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用，属于基础题．考查知识点比较多有一定的计算量 2．D【来源】2012-2013学年河北省邢台一中高二下学期第二次月考理科数学试题（带解析） 【解析】 试题分析：按照所给法则直接进行运算，利用复数相等，可求得复数对应点所在象限．根据题意，由于120121z ii i +=--，即可知z （1-i ）-（1-2i ）（1+2i ）=0，∴z （1-i ）=5 设z=x+yi ，∴z （1-i ）=（x+yi ）（1-i ）=5，（x+y ）+（y-x ）i=5，x+y=5，y-x=0,那么考点：复数点评：主要是考查了复数的基本概念和代数形式的混合运算，是高考常考点，也是创新题，属于基础题。
基础矩阵
基础矩阵及其求法同一三维场景在两个不同视点处得到的两幅二维图像之间的几何关系——极几何以及极几何的代数表示——基础矩阵。
两幅图像可以是由两个摄像机在不同位置同时采集的，也可以是同一摄像机顺序采集的，例如摄像机相对场景移动。
对于这两种情况，几何上认为是相等的。
一般地，同一世界坐标系下的同一物体的图像间存在一种几何上的对极约束关系。
在立体视觉中，可以利用图像点的匹配来恢复这种几何关系，反过来，也可以利用这种几何关系来约束匹配，使得对应点的搜索范围由二维平面降低到对应一维极线，使得匹配的鲁棒性、精度都得到很大提高。
对极几何关系在数学上可以用基础矩阵F 来表示，因此，对极几何问题就转化为对基础矩阵F 的估计问题。
精确地计算F 对于标定、寻找精确匹配和三维重建都有重要意义。
2.1 基础矩阵假设在一个立体视觉系统中，有两个摄像机，如图2.1所示，设C和C’分别为两个摄像机的光心，两个摄像机获得的图像分别为I和I’，M为三维空间中任意一点，m和m’是点M 在两个图像上的像点（投影点），称m和m’为一对对应点。
连接光心C和C’的直线称为基线。
空间点M和两个光心C和C’共面，设它们所在的平面为π，该面称为极平面。
极平面与图像平面的交线l和l’称为极线。
因为m（m’）也同时在平面π和像平面I（I’）上。
从这里可以看出，寻找m（m’）的对应点m（m’）时，不必在I（I’）整幅图像中寻找，只需在m（m’）在I（I’）的极线上寻找即可。
这就提供了一个重要的极线约束，将对应点的搜索空间从二维降到了一维。
当三维空间点M移动时，产生的对所有极线都穿过极点e(e’)，极点是极线与图像平面的交点。
图2.1两幅图像间的对极几何2.1.1 参考坐标系为了描述基础矩阵，首先需要定义四个参考坐标系：图像坐标系、成像平面坐标系、摄像机坐标系和世界坐标系。
摄像机采集的数字图像在计算机内可以存储为数组，数组中的每一个元素（称为像素，pixel）的值即是图像点的亮度。
第1章--1(矩阵与数值分析)
，而
a1010.2718, kn3 n4 ，所以它是
e2.7182 8的1具8 有2 4位有效字的近似值。
如果取近似值 b 2 .7 1 8 2 1 0 1 0 .2 7 1 8 2 ，因
eb0.000091103 2
b 也只是 e 的具有4位有效数字的近似值。 同样我们可以分析出 a1010.271作8为 x0.02718 28
以求解20阶线性方程组为例，如果用Cramer法则求解， 在算法中的乘、除运算次数将大于
21！（约9.7×1020次）
使用每秒一亿次的串行计算机计算,完成运算耗时约30万年!
Cramer算法是“实际计算不了”的。为此，人们研究出著 名的Gauss消去法，它的计算过程已作根本改进，使得上述 例子的乘、除运算仅为3060次，这在任何一台电子计算机上 都能很快完成。
特别地,当 n时2,
f(x 1 ,x 2 ) f(a 1 ,a 2 ) x f1 A x 1 a 1 x f2 A x 2 a 2
现将上述估计式应用到四则运算.
(1)加法
fx1,x2x1x2
x1 x2 (a1 a2 ) x1 a1 x2 a2
两个近似数相加，其运算结果的 精度不比原始数据的任何一个精度高。
的绝对误差界和相对误差界。
解：ea0.000 28 ，因1此8 其绝2对误差界为：
e a 0.0003
相对误差界为： ea 0.00030.00011103705.0002。
a 2.718
此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不唯一。 我们要注意它们的作用。
“四舍五入” 时误差界的取法
当准确值 位x数比较多时，常常按四舍五入的原则取
b0
，则有 x1 baab bb
清华大学 李津老师 数值分析第二次实验作业
就不再赘述了。 二、实际计算 生成十个不同的(最好属不同类型或有不同性质的)的 m n 矩阵，这里 m, n 100 ， 用你选择的算法对其做 SVD,比较不同方法的效果(比如计算小气一直和对应左右奇异向量的 误差，效率等)，计算时间和所需存储量等，根据结果提出对算法的认识。 1.误差 在实验中，我们取 m=200，n=100，利用 orth()函数生成了正交矩阵������、������，再生成 了不同奇异值分布的奇异值矩阵������，再通过������ = ������������������，计算出不同的待分解矩阵。 各矩阵奇异值分不如下表所示 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 奇异值个数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 奇异值分布 10 → 1 20 → 1 30 → 1 40 → 1 50 → 1 60 → 1 70 → 1 80 → 1 90 → 1 100 → 1
−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
经过 matlab 计算，我们得到了两种算法对奇异值的估计误差表，如下所示
序号 svd 1 2 3 4 5 1.2135e-29 1.0336e-28 3.9976e-28 7.9768e-28 1.5711e-27
i 1
100
i
i
2.5232e-27 4.6720e-27 5.8535e-27 8.7958e-27 9.8885e-27
r
i 1
ui uis r
2 2
i 1
vi vis r
2 2
lansvd
svd
lansvd
2 1.6 2.1333 2 2.16 1.8 2.3429 2.15 2 2
清华大学高等数值分析试卷(汇编)
（一）对任意的 矩阵，都能用左乘和右乘（不一定相同的）初等反射阵（Householder阵）将其变为以下结构的矩阵吗？
(a)
(b)dip vt.浸；蘸 (b) (c)
△masterpiece n.杰作；名著其中 表示元素可以非0。对(a), (b), (c)形矩阵分别回答。
in search of寻找（提示：考虑方程组 ， ）
(c) ，且 。
（三）
（四）bathtub n.浴缸；澡盆写出与下述微分方程边值问题等价的Galerkin变分问题，
这里 已给定。
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清华大学研究生“高等数值分析”试题（2012.1.10）
姓名学号所在系
填空：（28分）
（一）设矩阵 ，则 ， 。
（二） 设 ，请给出一个 的奇异值分解 ，
其中 ， ， 。
对上面的 ，若 ，使 ，则 ，这里 。பைடு நூலகம்
（三）设 对称正定，用CG法求解 ，若第一、二步迭代搜索方向分别为 、 ，则2步后余量 沿方向（不计正负）___________。
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△hike vi. & n.远足；徒步旅行
（二）
（三）possess vt.拥有；具有；支配若用GMRES法解方程组 ， 非奇异， ，取 作为初值， ，从 开始Arnoldi过程，则必有 吗？为什么？这里 ， 为GMRES法第k步所得近似解， 。
（四）
（五）△nationalism n.民族主义；设用不动点迭代法 解非线性方程组， 为 的解，迭代函数 在 处Frechet可导且 矩阵，问此时迭代法是否局部超线性收敛？为什么？
textbook n.教科书；课本
高等代数矩阵练习题参考答案
第四章矩阵习题参考答案一、判断题1. 对于任意n阶矩阵A，B，有 A B A B .错.2. 如果A2 0, 则 A 0.11错. 如 A ,A20,但A 0.113. 如果 A A2E ，则 A 为可逆矩阵.正确. A A2 E A(E A) E，因此A可逆，且 A 1A E.4. 设A,B都是n阶非零矩阵，且AB 0，则A, B的秩一个等于n ，一个小于n.错.由AB 0可得r(A) r(B) n .若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾. 只可能两个秩都小于n.5．A, B,C为n阶方阵，若AB AC, 则 B C.1 12 13 2错.如A1 1,B2 1,C3 2，有AB AC,但B C.1 12 13 26．A为m n矩阵，若r(A) s,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使I s 0PAQ s.00正确. 右边为矩阵A的等价标准形，矩阵A等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则A* 也可逆.1 正确.由A可逆可得|A| 0，又AA* A*A |A |E .因此A*也可逆，且(A*) 1 1A.|A| 8．设A, B为n阶可逆矩阵，则(AB)* B* A*.正确. (AB )( AB)* | AB|E |A||B|E.又(AB)(B* A*) A(BB*) A* A|B|EA* |B|AA* |A||B|E .因此( AB)( AB)* ( AB)(B * A*) .由A, B为n阶可逆矩阵可得AB可逆，两边同时左乘式AB的逆选择题1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(B T B) ,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( B ) .(A) AB BA (B) AB BA (C) (AB)2(D) BAB(A) (D) 为对称矩阵，(B)为反对称矩阵， (C)当A, B可交换时为对称矩阵.2. 设A是任意一个n阶矩阵，那么( A )是对称矩阵.(A) A T A (B) A A T(C) A2(D) A T A3．以下结论不正确的是( C ).(A) 如果A是上三角矩阵，则A2也是上三角矩阵；(B) 如果A是对称矩阵，则A2也是对称矩阵；(C) 如果A是反对称矩阵，则A2也是反对称矩阵；(D) 如果A是对角阵，则A2也是对角阵.4．A是m k矩阵, B是k t矩阵, 若B的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是 (B ) (A) AB 的第j 行元素全等于零；( B) AB 的第j列元素全等于零；( C) BA 的第j 行元素全等于零；( D) BA 的第j列元素全等于零；5 ．设A,B为n阶方阵，E为n阶单位阵，则以下命题中正确的是( D )(A) (A B)2A2 2AB B2(B) A2B2 (A B)(A B)(C) (AB)2A2B2(D) A2 E2 (A E)(A E)6．下列命题正确的是( B ) .(A) 若AB AC ，则 B C(B) 若AB AC ，且 A 0 ，则 B C(C) 若AB AC，且 A 0，则 B C(D) 若AB AC，且 B 0,C 0 ，则 B C7. A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则( B ) (A) 当 m n时， 必有行列式 AB 0； (B) 当 m n时， 必有行列式AB 0 (C)当n m时， 必有行列式 AB 0；(D)当n m 时， 必有行列式 AB 0.AB 为m 阶方阵，当 m n 时， r(A) n,r(B) n,因此 r(AB) n m ，所以 AB 0. 8．以下结论正确的是( C )(A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0,则 A 0； (B) 如果矩阵 A 满足 A 2 0 ，则 A 0；(C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的； (D)对任意方阵 A,B ，有 (A B)(A B) A 2 B 2C ).由(B) A 主对角线上的元素全为零11 ． n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充分必要条件是9．设1234是非零的四维列向量， A1234), A* 为 A 的伴随矩阵，已知Ax 0的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A* x 0 的基础解系为( C ).A ) 123B )C )234D )44由 Ax 0的基础解系为 (1,0, 2,0) T 可得 (4) 10 2 00,230.因此( A )，( B )中向量组均为线性相关的，D ) 显然为线性相关的，因此答案为可得4均为 A* x 0的解 .10. 设 A 是 n 阶矩阵， A 适合下列条件( C 时，A 必是可逆矩阵(A) A nA (B)A 是可逆矩阵(C)A n 0(A) A 1 (B) A 0 (C) A A T(D) A 012 ．A,B,C均是n阶矩阵，下列命题正确的是( A )(A) 若A是可逆矩阵，则从AB AC 可推出BA CA(B) 若 A 是可逆矩阵，则必有AB BA(C) 若 A 0 ，则从AB AC 可推出 B C(D) 若 B C ，则必有AB AC13．A,B,C均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若ABC E，则有( C )(A) ACB E ( B) BAC E (C) BCA E (D) CBA E14．A是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是( D )(A) 若A是可逆矩阵，则A*也是可逆矩阵；(B) 若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；(C) 若A*0，则A是可逆矩阵； (Ｄ) AA*A.15．设A是5 阶方阵，且 A 0，则A*( Ｄ )(A) A (B) A 2(C) A3(D) A416．设A*是 A (a ij )n n的伴随阵，则A*A中位于(i,j)的元素为(Ｂ ) n n n n(A)a jk A ki (B)a kj A ki (C)a jk A ik D a ki A kjk 1 k 1 k 1 k 1(A) A是B的伴随(B) B是A的伴随(C) B是A 的伴随应为A的第i列元素的代数余子式与A的第j 列元素对应乘积和a11L a1n A11L A1n17.设 A L L L, B L L L , 其中A ij 是a ij 的代数余子式，则( C )a n1L a nn A n1L A nnD 以上结论都不对A018．设A,B为方阵，分块对角阵 C 0A B0,则C*( Ｃ)利用 CC* |C | E 验证.19．已知 A4 6 ,B1 3 5 ，下列运算可行的是（ C ）1 2 2 4 6（A ） A B （B ） A B （C ） AB （D ） AB BA20．设 A, B 是两个 m n 矩阵， C 是n 阶矩阵，那么（ D ）21．对任意一个 n 阶矩阵 A ，若 n 阶矩阵 B 能满足 AB BA ，那么 B 是一个（ Ｃ ）（A ） 对称阵 （B ） 对角阵 （C ） 数量矩阵 （D ） A 的逆矩阵与任意一个 n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵 .22．设 A 是一个上三角阵，且 A 0 ，那么 A 的主对角线上的元素（Ｃ ）（A ） 全为零（ B ）只有一个为零（C ） 至少有一个为零（ D ）可能有零，也可能没有零1323．设 A 1 3，则 A 1 （ D ）2011 11(A)2（B ）3（C ）3（D ）2 11 1 1 11 1136362636a 1b 1c 1a 1 c 1 2b 124． 设 A a 2b2c 2，若 AP a2c 22b 2 ，则 P （ B ）a 3b 3c 3a 3 c 32b 3100100012 0 0(A)001 ( B ) 0 0 2（C ）020 （D ） 0 0 1020011000 1 0(A)B *(B)(C)BAAB(D)A B A *B B *0 * A B B *A 与单位矩阵等价 A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积1 a a L aa 1 a L a25．设 n(n 3) 阶矩阵 A a a1 L a ，若矩阵 A 的秩为 1，则a 必为( A )L L L L Laa a L1(A) 1(B )-1(C ) 11( D ) 21 nn1矩阵 A 的任意两行成比例26. 设 A,B 为两个 n 阶矩阵 ,现有四个命题 :①若 A, B 为等价矩阵 , 则 A,B 的行向量组等价 ; ②若 A, B 的行列式相等 ,即|A| |B|,则 A, B 为等价矩阵 ; ③若 Ax 0与Bx 0均只有零解 ,则A, B 为等价矩阵 ;④若 A, B 为相似矩阵 ,则 Ax 0与 Bx 0解空间的维数相同 . 以上命题中正确的是 ( D )(A) ①, ③.(B)②, ④. (C) ②, ③. (D) ③, ④.当B P 1AP 时， A, B 为相似矩阵。
清华大学高等数值计算(李津)实践题目一(共轭梯度CG法_Lanczos算法与MINRES算法)
高等数值计算实践题目一1. 实践目的本次计算实践主要是在掌握共轭梯度法，Lanczos 算法与MINRES 算法的基础上，进一步探讨这3种算法的数值性质，主要研究特征值特征向量对算法收敛性的影响。
2. 实践过程（一）生成矩阵（1）作5个100阶对角阵i D 如下：1D 对角元：1,1,...,20,1+0.1(-20),21,...,100j j d j d j j ====2D 对角元：1,1,...,20,1+(-20),21,...,100j j d j d j j ==== 3D 对角元：,1,...,80,81,81,...,100j j d j j d j ====4D 对角元：,1,...,40,41,41,...,60,41+(60),61,...,100j j j d j j d j d j j =====-= 5D 对角元：,1,...,100j d j j ==记i D 的最大模特征值和最小模特征值分别为1iλ和in λ，则i D 特征值分布有如下特点：1D 的特征值有较多接近于i n λ，并且1/i i n λλ较小，2D 的特征值有较多接近于i n λ，并且1/i i n λλ较大， 3D 的特征值有较多接近于1i λ，并且1/i i n λλ较大，4D 的特征值有较多接近于中间模特征值，并且1/i i n λλ较大， 5D 的特征值均匀分布，并且1/i i n λλ较大（2）随机生成10个100阶矩阵j M ：(100(100))j M fix rand =g并作它们的QR 分解，得j Q 和j R ，这样可得50个对称的矩阵Tij j i j A Q DQ =，其中i D 的对角元就是ij A 的特征值，若它们都大于0，则ij A 正定，j Q 的列就是相应的特征向量。
结合（1）可知，ij A 都是对称正定阵。
（二）计算结果以下计算，均选定精确解(100,1)exact x ones =，初值0(100,1)x zeros =由ij exact kA x b =计算得到k b （算法中要求解的精度为10e -）。
北理工数值分析大作业
数值分析上机作业第 1 章1.1计算积分，n=9。
（要求计算结果具有6位有效数字）程序：n=1:19;I=zeros(1,19);I(19)=1/2*((exp(-1)/20)+(1/20));I(18)=1/2*((exp(-1)/19)+(1/19));for i=2:10I(19-i)=1/(20-i)*(1-I(20-i));endformat longdisp(I(1:19))结果截图及分析：在MATLAB中运行以上代码，得到结果如下图所示：当计算到数列的第10项时，所得的结果即为n=9时的准确积分值。
取6位有效数字可得.1.2分别将区间[-10.10]分为100,200,400等份，利用mesh或surf命令画出二元函数z=的三维图形。
程序：>> x = -10:0.1:10;y = -10:0.1:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.1')>> x = -10:0.2:10;y = -10:0.2:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长 0.2')>>x = -10:0.05:10;y = -10:0.05:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.05')结果截图及分析：由图可知，步长越小时，绘得的图形越精确。
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20130917题目
求证：在矩阵的LU 分解中，1
11n n T
n ij i j j i j L I e e α-==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
∑∑
证明：
在高斯消去过程中，假设0jj a ≠ ，若a=0，可以通过列变换使得前面的条件成立，这里不考虑这种情况。
对矩阵A 进行LU 分解，()()
()
()()1
11
1111L M n M M M n ---=-=••-………… ，
其中()1n T
n ij i j i j M j I e e α=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
∑ ，i e 、j e 为n 维线性空间的自然基。
()M j 是通过对单位阵进行初等变换得到，
通过逆向的变换则可以得到单位阵，由此很容易得到()M j 的逆矩阵为1n T n ij i j i j I e e α=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑。
故111n n T n ij i j n j i j L I e e I α-==+⎛⎫
⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∏∑
上式中的每一项均是初等变换，从右向左乘，则每乘一次相当于对右边的矩阵进行一次
向下乘法叠加的初等变换。
由于最初的矩阵为单位阵，变换从右向左展开，因而每一次变换不改变已经更新的数据，既该变换是从右向左一列一列更新数据，故
11n
n T
n ij i j j i j L I e e α==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
∑∑。
数学证明：1n T
ij i j i j e e α=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑具有
,0
00n j j A -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和1,1000n j n j B -+-+⎛⎫
⎪⎝
⎭ 的形式，且有
+1,-11,10000=000n j j n j n j A B --+-+⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎝⎭⎝
⎭
而1
1n n T ij i j j k i j e e α-==+⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑∑具有1,1000n k n k B -+-+⎛⎫
⎪⎝⎭的形式，因此： 1
311111211121==n n n n n n T T T n ij i j n ij i j n ik i k j i j j i j k n i k n n T n i i n ik i i i k L I e e I e e I e e I e e I e ααααα---==+==+=-=+==+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭∏∑∏∑∑∑∑∑……11211n n n T T
k n ik i k
k k i k e I e e α--===+⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑#
20130924题目一
问：能否用逐次householder 相似变换变实矩阵A 为上三角矩阵，为什么？
解：
不能用逐次householder 相似变换变A 为上三角矩阵，原因如下：
A 记作：()
12=,,n A a a a ……， ，存在householder 阵1H s.t. 1111H a e α= ，则
()()()
111111111111111111111,,,0T T
h H AH H a A H e H A H e H A H h H A H ααα⎛⎫'''=== ⎪
⎪'⎝⎭
⎛⎫
''=+ ⎪ ⎪⎝
⎭
11H A H ''第一列的元素不能保证为1e 的倍数，故无法通过householder 变换实现上三
角化。
20130924题目二
问：能否用逐次householder 相似变换变实矩阵A 为上Hessenberg 矩阵，怎么做？
解：
可以用逐次householder 相似变换变A 为上Hessenberg 矩阵，方式如下： 记
0011
12
00021
22A A A a A ⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭
，其中0
21a 为n-1维向量。
设()1110=0H H ω⎛⎫
⎪
⎝⎭
，其中()0
12111=H a e ωα ，则()()()
()()0
000
111211
1211101
001111122121221111
12
1121
221
010=00T T T T A A A A H A H A H H H e H A H a A A
A a A ωωωαωω⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
⎝⎭⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
其中1
21a 为n-2×2阶阵，除最右一列以外都为0。
若11
12
21
22k k k k k A A A a A ⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭
中，21k
a 为(n-k-1)×(k+1)矩阵，且除最右一列外都为0，设1()k H ω+ 是对21k
a 做householder 变换对应的householder 阵，则
()()1
1
11121112
1
1111111121
2221
220
=0
k
k
k k k k k k k k k
k k k k k A A A A I I A H A H H H a A a A ωω+++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
如此，A n-2就是上Hessenberg 矩阵，即
()()22310231=n n n n n H A H H H A H H H QAQ -----==………… ，整个过程是通过
householder 变换得来，Q 是householder 阵的乘积，故是单位正交矩阵。
#
“高等数值分析”第三次书面作业
20130926题目
问：若对算子范数
，n n
R
⨯∆∈ ，s.t.1∆< ，证明：①n I +∆ 可逆；②
()
1
1
1n I -+∆≤
-∆
证明：
① 对于方程()0n I x +∆= ，移项得x x ∆=- ，两边取范数得x x x ∆=-=
而 x x ∆≤∆ ，故x x ≤∆，而01<∆<，所以，等号成立当且仅当
0x = ，即0x =，这就说明方程()0n I x +∆=只有0解，故n I +∆ 可逆；
② ()()
()()1
11
n n n n n n I I I I I I ---+∆+∆=⇒+∆=-∆+∆
()
()
()
1
1
1
n n n n n I I I I I ---+∆=-∆+∆≤+∆
+∆
()
1
1
11n n I I -+∆≤
=
-∆
-∆
#
事实上，更一般的结论是n I ±∆可逆，且()1
1
1n I -±∆≤
-∆
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