二次函数图象与字母系数的关系课件
二次函数的图象和性质(第1课时 )九年级数学上册课件(人教版)
然后描点、连线，得到图象如下图.
y
-4 -2 O 2 4
-2 4 6 8
由图象可知，这个函数 具有如下性质： 当x＜-1时，函数值y随x
x
的增大而增大； 当x＞-1时，函数值y随x 的增大而减小； 当x=-1时，函数取得最 大值，最大值y=3.
练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
( C) A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
4．【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛 物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( B )
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点 P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的 说法如下，
6．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函 数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( D)
A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
7．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( B)
(1)求 b、c 的值；
解：把 A(0，3)，B－4，－92的坐标分别代入
y＝－136x2＋bx＋c，得 c－＝1336，×16－4b＋c＝－92，解得bc＝＝398.，
(2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否有公共点？ 若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
二次函数系数与图像的关系
二次函数系数a ，b ，c 与图像的关系二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像确定后，解析式中的系数a ，b ，c 也随之确定，反之，根据所给字母系数a ，b ，c 的符号，也可以判断抛物线的开口方向和位置．这一知识点在中考也属于必考知识点，在选择题第10题考察，难度中等，综合性较强．那么，字母系数a ，b ，c 又是分别对图像有着怎样的影响，下面我们来一一归纳：一、a 的作用1．决定开口方向：0>a 开口向上；0<a 开口向下； 2．决定开口的大小：∣a ∣越大，抛物线的开口越小．二、b 的作用与抛物线的对称轴和a 有关，b 与a 的符号共同决定抛物线的对称轴 1．b 与a 同号．⇔<-02ab对称轴在y 轴的左边．如图一，对称轴在 y 轴的左边，所以b 与a 同号，因为抛物线开口向下，所以0<a ，则0<b ； 2．b 与a 异号．⇔>-02ab对称轴在y 轴的右边．如图二，对称轴在 y 轴的右边，所以b 与a 异号，因为抛物线开口向下，所以0<a ，则0>b ；3．0=b ．顶点在y 轴上． 简记：左同右异三、c 的作用：由抛物线与y 轴的交点坐标决定 1． 0>c ⇔抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； 2． 0<c ⇔抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 3． c = 0⇔抛物线过原点．图一 图二四、抛物线与x 轴的交点个数决定ac b 42-的符号 1．抛物线与x 轴有两个交点042>-⇔ac b ； 2．抛物线与x 轴有一个交点042=-⇔ac b ； 3．抛物线与x 轴没有交点042<-⇔ac b ．五、b a ±2的符号由对称轴所在位置来决定1．判断b a +2的符号，需要判断抛物线的对称轴与1的大小关系； ①如果对称轴在1的右面，则12>-ab，如果抛物线开口向上，则0>a ，不等式就可转化为a b 2>-，移项可得02>+b a ；②如果对称轴在1的左面，则12<-ab，如果抛物线开口向上，则0>a ，不等式就可转化为a b 2<-，移项可得02<+b a ；例如：在图三中，抛物线对称轴在1=x 的左侧，则12<-ab，因为开口向下，所以0<a ，两边同时乘以a ，不等号方向改变，则有02<+b a ．根据这一方法，很容易推出图四中02>+b a ．2．判断b a -2的符号，需要判断抛物线的对称轴与1-的大小关系； ①如果对称轴在1-的右面，则12->-ab，如果抛物线开口向上，则0>a ，不等式就可转化为a b 2->-，移项可得02>-b a ；图三 图四1-=x 1-=x ②如果对称轴在1-的左面，则12-<-ab，如果抛物线开口向上，则0>a ，不等式就可转化为a b 2-<-，移项可得02<-b a ．例如：在图五中，抛物线对称轴在1-=x 的左侧，则12-<-ab，因为开口向下，所以0>a ，两边同时乘以a ，不等号方向不变，则有02<-b a ．根据这一方法，很容易推出图六中02>-b a ．六、其他情况（解析式c bx ax y ++=2中x 取特殊值）1．当1=x ，则c b a y ++=，所以抛物线c bx ax y ++=2必过),1(c b a ++，在图像中找到这个点的位置．如图七，抛物线c bx ax y ++=2与1=x 的交点位置在第一象限，所以0>++c b a ．当1-=x 时，c b a y +-=图五 图六2．当2=x ，则c b a y ++=24，所以抛物线c bx ax y ++=2)24,2(c b a ++，在图像中找到这个点的位置．c bx ax y ++=2与2=x 的交点位置在第四象限024<++c b a ．当2-=x 时，c b a y +-=24，用同样的方法即可判断符号；3．当3=x ，则c b a y ++=39，所以抛物线c bx ax y ++=2)39,3(c b a ++，在图像中找到这个点的位置．c bx ax y ++=2与3=x 的交点位置在第四象限，所以39+b a 当3-=x 时，c b a y +-=39，用同样的方法即可判断符号．以上总结的知识点，在考试中也经常考察，在中考也有直接考察；这一部分知识点属于二次函数性质中非常重要的部分，必须熟练掌握．下面给出几道例题，供大家试试身手：例1：二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，用<，>，=填空：a 0，b 0，c 0， b a -2 0， ac b 42- 0，c b a ++ 0， c b a +- 0，xy例2：已知，二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点M （cb，a ）在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限xy。
最新人教版初中数学九年级上册《22.1.4(第1课时)》精品教学课件
次函数的性质填空：
x=0时， y=c.
x b1
2a1 y
x b2 2a2
a1 _＞__ 0 b1_＞__ 0 c1_＞__ 0
a2_＞__ 0 b2_＜__ 0
c2_＝__ 0
对称轴在y轴 左侧，x＜0
O
x 开口向上，a＞0
x b1 ＜0 2a1
x b2 ＞0
2a2 对称轴在y轴 右侧，x＞0
探究新知 【思考4】 如何画二次函数y 1 x2 6x 21的图象？
2
x
…3 4 5 6 7 8
y 1 (x 6)2 +3 …
2
7.5
5
3.5
3
3.5 5
y
方法一：描点法
10
1. 利用图象的对称性列表
9… 7.5 …
2.然后描点画图，得到 图象如右图.
5
y
1 2
x2
-
6x
21
O
5
10 x
1 [(x2 12x 62 ) 62 42] 2
1 [(x 6)2 6] 2
1 (x 6)2 3. 2
探究新知
y 1 x2 6x 21 2
(1)“提”：提出二次项系数；
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
y 1 (x 6)2 3 2
【提示】配方后的表达式通常称 为配方式或顶点式.
(2) y 5x2 80x 319; 直线x=8 8, 1
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线x=1.25
5 4
,
9 8
(4) y x 12 x.
二次函数图象与字母系数的关系
(5)抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的 正负：
（1，a+b+c）, （-1，a-b+c）,
（2，4a+2b+c）, （-2，4a-2b+c）,
(6)判断2a+b与2a-b的正负经常由对称轴与±1的 关系决定；
已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象， 判断以下各式的值与0的关系 (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；
③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个
数是 ( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
如图，已知二次函数y ax2 bx c的图像 经过点（1，2），下列结论：①2a b 0 ②abc 0③a c 1④b2 8a 4ac,其中 正确的有
二次函数 图象与字母系数的关系
1.关于抛物线与a、b、c以及b²-4ac的符号关系： (1)开口方向由a决定；
(2)对称轴位置由a、b决定，“左同右异”：
对称轴在y轴左侧时，a、b同号，
对称轴在y轴右侧时，a、b异号；
(3)与y轴的交点由c决定，“上正下负”，
c为0时图象经过原点. (4)抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点由b²-4ac决定：
若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、 四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图 象是 ( C )
人教版九年级上 二次函数的图像和字母系数之间的关系(20张ppt)
当堂检测
1．抛物线 y＝x2－6x＋5 的顶点坐标为 A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
(A )
解 析 配方：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以顶点坐 标为(3，－4)，故选 A.
当堂检测
1．抛物线 y＝x2－6x＋5 的顶点坐标为 A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
抛物线有最低点，当 x 抛物线有最高点，当 x＝
最值 ＝－2ba时，y 有最小值， －2ba时，y 有最大值，
y 最小值＝4ac4－a b2.
y 最大值＝4ac4－a b2.
字母
关键点回顾
1.a>0 时，开口向上；2.a<0 时，开口向下. a
|a|越大，抛物线的开口程度___越__小___，|a|越小，抛物线的开口程度___越__大___.
y
1、点（1,a+b+c） a+b+c>0
2、点 (-1,a-b+c) a-b+c=0
●
-2 -1 o 1 2
x
3、点 (2,4a+2b+c) 4a+2b+c>0
4、点 (-2,4a-2b+c) 4a-2b+c<0
…………… ……………
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，下列结论：
() A．1 B．2 C．3 D．4
C
由－12<0，得抛物线开口向下，①正确；关系 式写成了顶点形式，因此对称轴为直线 x＝－1，顶点坐标
为(－1，3)，②错误；③正确；由－12<0，当 x>1>－1 时， y 随 x 的增大而减小，④正确．故选 C.
二次函数图像与字母系数符号的判定(公开课)
3
以a为字母系数的判定准则
讲解如何根据字母系数a的值，判定二 次函数图像的开口方向和是否与x轴相 交。
以c为字母系数的判定准则
探讨字母系数c对二次函数图像的平移 和纵坐标的影响，以及如何利用这些 准则来绘制相应的函数曲线。
结论与总结
1 准确判定二次函数图像
总结前面的内容，强调各个字母系数对二次函数图像的判定作用，确保掌握判定准则并 准确绘制图像。
2 应用二次函数图像
介绍二次函数图像在实际应用中的重要性，如何运用二次函数图像进行问题建模和分析。
二次函数图像与字母系数 符号的判定(公开课)
本公开课将介绍二次函数图像的定义和表达方式，以及字母系数的含义和作 用。同时，将探讨判定二次函数图像的准则，并针对不同字母系数提供相应 的判定规则。
函数图像的定义与表达方式
了解二次函数图像的基本定义和不同表达方式，包括顶点形式、标准形式以 及因式分解形式。善用这些形式可以更好地分析和理解二次函数。
字母系数的含义和作用
深入探讨二次函数中的字母系数a、b、c的含义和作用，并解释它们对二次函 数图像的影响。了解字母系数的作用有助于准确判定二次函数图像的特征。
判定二次函数图像的准则
1
以b为字母系数的判定准则
2
详细说明字母系数b对二次函数图像
的位置和对称轴的影响。掌握这些准பைடு நூலகம்
则有利于更准确地绘制二次函数图像。
二次函数图象与各项系数的关系课件PPT
决定抛物线与y轴的交点位置
2021/3/10
5
二次函数的图象与各项系数之间的关系
.
二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠０）
（1）a
决定抛物线的开口方向和大小
（2）b （3）c
联合a决定对称轴 x b 的位置
2a
决定抛物线与y轴的交点位置
（4）b2-4ac
决定抛物线与x轴交点的个数
2021/3/10
2021/3/10
15
2、抛物线y=ax2＋bx＋c如下图，⊿ ＞0 并且ac ＜ 0的是（
）
y
yyBiblioteka yxAO
x
O
x
O
x
B
C
D
2021/3/10
16
2、抛物线y=ax2＋bx＋c如下图，⊿ ＞0 并且ac ＜ 0的是（
）
y
y
y
y
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
分析： ⊿ = b2-4ac b2-4ac>0 说明抛物线与x轴有两个交点，排除选项B和D
2021/3/10
17
类型二：由二次函数图象位置判断式子符号
3、二次函数y=ax2＋bx＋c的 图象如图所示，则下列说法：
①abc ＜0 ②②4ac-b2＞0 ③③2a+b=0 ④④4a+c＞2b ⑤⑤8a+c＜0 ⑥⑥当x=3时，y ＜0 ⑦正确结论有（填序号）：
2021/3/10
18
3、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象 如图所示，则下列说法：
分析：此题可用排除法解决 a＜0 说明抛物线开口向下，排除选项C
二次函数的图象与各项字母系数之间的关系(课堂PPT)
•(0,c)
x
0
• x 0 (0,0)
• x 0 (0,c)
交点在x轴上方 c>0
经过坐标原点 交点在x轴下方
c=0
c<0
8
4.二次函数图象与x轴交点的个数和△的关系
y
y
• • 0
(x1,0)
(x2,0)
0
•x (x,0) 0
•
x
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0
你真棒 29
谈收获
30
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A )
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac=0
C.b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图
像如图所示，则点M（b,c/a)在( D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（1）a （2）b
y
（3）c
（4）2a+b （5）2a-b, （6）b2-4ac
-1 0
x 12
（7）a+b+c
（8）a-b+c
（9）4a+2b+c
（10）4a-2b+c
19
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
2020
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
y
O
x
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图所示，则点P(a,bc)在第__三__象
限.
y
o
x
二次函数图象与字母系数的关系
5.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，对称轴是直线x=1，则 下列四个结论错误的是（ D）
A.c>0
B.2a+b=0
C.b2-4ac>0 D.a-b+c>0
y 1
-1
o 1
x
二次函数图象与字母系数的关系
如图所示，则下列结论：①a，b同号；②当
x=1和x=3时，函数值相同；③4a＋b=0;④当
y=－2时，x的值只能取0；其中正确的个数
是（
）B
A．1 B．2 C．3 D．4
二次函数图象与字母系数的关系
15.(达州中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一 部分，对称轴是直线x=1.①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0； ③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若(-2，y1)， (5，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.上述4个 判断中， 正确的是( )
y
y
y
y
ox -3
A
ox -3
B
ox -3
C
ox -3
D
二次函数图象与字母系数的关系
8.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致 图象可能是（ C ）
y
y
y
ox
ox
ox
ox
A
B
C
D
二次函数图象与字母系数的关系
9.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如 果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的 图象可能是图所示的( )D
二次函数图象与字母系数的关系
(5)抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的正负： （1，a+b+c）, （-1，a-b+c）, （2，4a+2b+c）, （-2，4a-2b+c）,
(6)判断2a+b与2a-b的正负经常由对称轴与±1的关系决定；
二次函数图象与字母系数的关系
1.已知二次函数y=ax²+bx+c，如果a＞0， b＜0，c＜0，那么这个函数图象的顶点 必在（ D ） A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
对称轴在y轴左侧时，a、b同号， 对称轴在y轴右侧时，a、b异号； (3)与y轴的交点由c决定，“上正下负”， c为0时图象经过原点. (4)抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点由b²-4ac决定：①当b²4ac＞0时，与x轴有两个不同交点； ②当b²-4ac=0时，与x轴只有一个交点（顶点在x轴 上） ； ③当b²-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，并且对 称轴为直线x=1,那么abc，b2－4ac，2a＋b， a＋b＋c 这四个代数式中，值为正数的有 ( ) C A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
x=1
二次函数图象与字母系数的关系
7.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、 四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图 象是 ( C )
y O 1x A
y O1 x B
y O 1x C
y O 1x D
二次函数图象与字母系数的关系
10.同一坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx²+2x+2(m是常数，
且m≠0)的图象可能是（ ）
D
y
y
x
x
x
y x
y x
A
B
C
D
二次函数图象与字母系数的关系
• 14.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象
二次函数 图象与字母系数的关系
二次函数图象与字母系数的关系
已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象， 判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
二次函数图象与字母系数的关系
1.关于抛物线与a、b、c以及b²-4ac的符号关系： (1)开口方向由a决定； (2)对称轴位置由a、b决定，“左同右异”：
• A.1个
B.2个 CB.3个 D.4个
二次函数图象与字母系数的关系
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二次函数图象与字母系数的关系
二次函数图象与字母系数的关系
2满.如足图（所）示A ，二次函数y=ax²+bx+c的图象
A.a>0，b>0 ，b2-4ac>0
B.a<0，c>0 ，b2-4ac>0
C.a>0，b<0 ，b2-4ac>0
y
D.a>0，c<0 ，b2-4ac<0
o
x
二次函数图象与字母系数的关系
3.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如
C.①③
二次函数图象与字母系数的关系
• 17.(烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象 如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2.下列
结论：
• ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x ＞-1时，y的值随x值的增大而增大.
• 其中正确的结论有( )
• A.①②
B.①④
C.
①③B④ D.②③④
二次函数图象与字母系数的关系
16.(黔东南中考)如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论： ①abc<0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④b2-4ac>0. 其中正确的结论有( )
• A.①②③
B.①②④
④B
D.②③④