w力学-第04章刚体定轴转动
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第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
刚体定轴转动1基本概念
r 0 .2 4 ( m s
该点的切向加速度
a r 0 .2 (
) 2 .5 ( m s
)
6
) 0 . 105 m s
2
该点的法向加速度
a n r
2
4 2 0 .2
ms 2 31 . 6
作业：P31 1- 5 1-7 (1) 作业要求： 1、习题解答要有解题步骤，若需作图的则按规定要求画图，画图必须
用铅笔和直尺，要有原始公式和数据代入过程，最后所求的物理量 要写单位。
2、布置的习题写在单行作业本的纸上，并在纸的右上角写上班级、 学号、姓名，每班的学习委员收作业时将班上同学交的作业纸
按学号顺序排好后再交给老师。
15
质点运动
转动： 刚体上所有的点都绕同一直线做圆周运动。 转动分为定轴转动和非定轴转动
刚体的定轴转动：
1、转动平面： 垂直于固定转轴的平面
转轴
转动平面
2、刚体的定轴转动的特点: ⑴.各质元都绕转轴在各自的转动平面上 做圆周运动
⑵.各质元运动的线量 v , a 不同，
但角量 , , , a 均相同
与 方向相同，为加速运动，否则为减速运动。
8
匀速转动和匀变速转动的概念 匀速转动： 0 , 为恒量， 0 t 匀变速转动: 当刚体做定轴转动的角加速度 时，刚体做匀变速转动。 为恒量
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
9
补充：矢量乘法公式 点乘（标积）：A B A B cos( A , B ) 叉乘（矢积）： A B C 大小 方向
大学物理刚体的定轴转动
2l
l
17
例 一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为
的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。 解： 建立如图坐标，取质元
dm dx
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
o
xl dm m dx
x
细杆受的阻力矩
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 mgl
2
18
例 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的
令 J miri2
刚体绕Z轴转动的转动惯量
即
M z J ----刚体的定轴转动定律
说明
1. 上式是矢量式（力矩只有两个方向）。
2. M、J、是对同一轴而言的。
3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。
4. 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。
8 8
3、转动惯量的计算
转动惯量： J miri2
l
r
dr
d
dm g
M
dM
l
0
mg l
r
cosdr
mg
l 2
cos
16
M J 1 ml2
3
3g cos
2l
(2) d d d d 3g cos dt d dt d 2l
分离变量积分 g cos d l d
02
03
(3g sin ) l
300 , 3g 900 , 3g
i
质量连续分布的刚体： J r2dm
质量为线分布： dm dl
面分布： dm ds
体分布： dm dV
1）总质量
转动惯量与下列因素有关： 2）质量分布 3）转轴位置
9
✓ J与质量分布有关：
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
理论力学第4节 刚体的定轴转动和平面运动微分方程
圆盘质心 加速度
aC
2M 3mR
FN
2）如果作用于圆盘的力偶矩 M
圆盘连滚带滑，所受摩擦力为
3 2
fmgR
时，则
F mgf
aC fg
2(M mgfR) mR2
0
d
dt
maC F
FN mg
1 mR 2 M FR
2
纯滚动 应满足
M C aC
mg F
FN
F f FN
M
3 2
fmgR
解得
F
2M 3R
，M
3 2
RF
，aC
2M 3mR
讨论
M
1）为使圆盘作纯滚动，应满足
作用于圆盘 的力偶矩
M
3 2
fmgR
C aC mg F
• 刚体绕定轴转动的运动微分方程：绕定轴转动的刚 体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作 用在刚体上的所有外力对转轴力矩的代数和。
例11-5 如图所示一均质圆盘质量 m = 100kg，半径 r = 0.5m，转速 n 擦因数 f = 0.6。开始加制动闸，使闸块对轮
dt
J C
n
M C (Fi(e) )
i1
式中 M 为刚体的质量，aC 为质心的加速度，J C为刚 体对通过质心Cz轴的转动惯量。
MaC
F (e) R
y
d(JC)
dt
JC
n
M C (Fi(e) )
i1
d
dt
d 2
刚体的定轴转动
角动量守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
30
例 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心 O 并与 纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于水平位 置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量 均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多 大速率向细杆端点爬行? 解: 碰撞前后系统角动量 守恒
rj
j
内力矩之和 0
mi ri
2
令
J mi ri
2
M ij M ji
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
——刚体转动惯量
M J
2–6 J
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
35
4、质量为m的不太大的整个刚体的重力势能
E P yg d m g y d m
Y y yc C
dm
mg
结论：
ydm
m
m gyc
O m X
一个不太大的刚体的重力势能 和它的全部质量集中在质心时所具 有的势能一样。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
4
转轴
转轴 Z
ri vi
O 转动平面
Δmi
Ｐ
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
5
3.刚体定轴转动的特点
• 各质点都作圆周运动；
大学物理课件：刚体定轴转动
M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得： k
d
2
设 为两飞轮啮合后共同角速度：
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘，绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速
惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！ 2.由上述结果看出：
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m（ l ）2 2
JO
+m（ l ）2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体，如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ，则对任
一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转
动惯量为：
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和 ：
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消：
M ij M ji
注意：内力矩对刚体 动力学效应无贡献；
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨 机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在 绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动 摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质
第四章 刚体的定轴转动
c
mg
解 : ( 1)棒在任意位置时的重力 矩
l M mg cos 2
M J 1 2 ml 3
3g cos 2l
1 1 2 d (2) mg cos ml 2 3 dt 1 d d 1 2 d ml 2 ml 3 d dt 3 d
分离变量积分
A
O
x
l
A
l
dx
h A
x
l
dx
B
O x l
dx
A l A x
O
x l
dx h A
l
dx
B
O x l
dx
解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如棒的质量线 密度为，这长度元的质量为dm=dx。 （1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有
J 0 r dm l / 2 x dx
合力矩。合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。
在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。
二、定轴转动的转动定律
取刚体内任一质元i，它所受合外力为 F ， 内力为 f 。 i i
只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。 ( , ) z 对mi用牛顿第二定律：
Fi f i mi ai
= 2m。组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边 缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体 A和B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长
度不变。已知r =10cm 。
求：（1）组合轮的角加速度； （2）当物体上升h=0.4m时，组合轮的角速度。
1 2 J 2
线动量
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m
则根据牛顿运动定律和转动定律得：
mg T ma① 2分
Tr J ② 2分
由运动学关系有： a r ③
2分
由①、②、③式解得：
J
m(g
a)r2
a
④
又根据已知条件
S
1 2
at 2
a
v0＝0
2S t2
⑤
将⑤式代入④式得： J mr2 ( gt 2 1)
2S
T
r
a
T mg
2分 2分
5.5 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 M 的定滑轮，绳的
I合外力 t0 F合外 dt
'
t1
L2
0
4.4刚体定轴转动中的功和能
一 、绕定轴转动刚体的动能
Δm1,Δm2,,Δmi ,,ΔmN
r1, r2 , , ri, ,rN v1,v2 ,,vi ,,v N
Δmi 的动能为
Eki
1 2
Δmiv i 2
1 2
Δmiri2 2
z
O ri
vi
•P Δmi
求 解
它由此下摆
M rc mg
刚体获 得角加速度 M
r
O r
A
F
M r
F
2. 力 F 对z 轴的力矩
(力F 在垂直于轴的平面内)
M z (F) Fr sin
Fh
Fτr
(力不在垂直于轴的平面内)
z F//
F
h r
A
F
F Fn
M z (F) Fr sin Fh Fτr
力对定轴 力矩的 矢量形式 M Z r F M Z rF
在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
一、刚体运动的基本形式
➢平动
（ translational motion）
A
A
B
A
B
B
在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行
特点：在任意时刻，刚体中所有点的位移、速度、加速度都相同
刚体平动
质点运动 用质心代表刚体的平动
F外 mac （质心运动定理）
三.转动惯量（moment of inertia ）
定义 J mkrk2 质量不连续分布 k
r
J r 2dm 质量连续分布
V
❖转动惯量的物理意义: 刚体转动惯性大小的量度
❖确定转动惯量的三个要素:
(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
J 与刚体的总质量有关
例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
h Cz
式中: J c 关于通过质心轴的转动惯量
m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离
J z 是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量
3） 垂直轴定理
z
对于薄板刚体, J z J x J y
薄板刚体对 z 轴的转动惯量 J z
x
xi
0 yi
mi
y
等于对 x 轴的转动惯量 J x与对 y 轴的转动惯量 J y 之和
m1g T1 m1a
m1 a
T2 m2 g m2a
转动定律 T1R T2R J
线量与角量关系 a R
J 1 MR2 2
m1g
a m1 m2 g
m1
m2
1 2
M
10/83已知：
J
1 2
mR2, F
10N, m
8.0kg, R
0.050m
求： ?
T1 ? T2 ?
T2
R T1
➢转动（定轴、非定轴）
所有点都绕同一直线作圆周运动，该直线称转轴。
转轴
瞬时转轴 固定转轴
非定轴转动 定轴转动
转轴
定轴转动的特点：任意时刻，所有点都具有相同的角位移、 角速度、角加速度.这些角量也称刚体的角量。
+ ➢刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
刚体的平面运动
A• •
•A •
二.用角量描述刚体的定轴转动
已知定滑轮的转动惯量为J＝ 1 MR2
2
，其初角速度 0＝10.0 rad/s，方向垂直纸面向
里．求：(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向；
0
(2) 定滑轮的角速度变化到w＝0时，物体上升的高度；
R
(3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．
M
5解：(1) ∵ mg－T＝ma
TR＝J
m
通常规定：当刚体绕轴作逆时针转动时，这些角量皆取正值； 反之，作顺时针转动时，这些角量皆取负值。
匀变速定轴转动 0 t
当 c
0
0
t
1
2
t2
与质点的匀加速直 线运动公式相似
2 02 2 ( 0 )
4.绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度
dS r d
v r
切向分量
at
dv dt
r
d
dt
刚体的总动能
Ek
Eki
1 2
Δmi
ri
2
2
1 2
Δmiri2
2
1 J 2
2
结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其
角速度平方乘积的一半
二、力矩的功
力的累积过程——力矩的空间累积效应
•
根据功的定义
dA F dr Fcosds
F rd
Md
（力矩做功的微分形式）
d
B F
A
解：F T1 ma 解得： 2F 10rad / s
T2 ma
5mR 3
T1R T2R J T1 5 F 6N
a R
T1
2 5
F
4N
三、计算题
5．一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2.00 kg，半径为R＝0.100 m，一根不能伸长
的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m＝5.00 kg的物体，如图所示
角坐标和角位移
角位置： (t)
角位移： (t) (t0 )
d 是矢量，
参考方向
x
方向用右手螺旋法则确定。
角速度
d
d
d
dt
方向：右手螺旋法则确定。
O
r
P
转动平面
v
定轴转动----角速度仅有沿转轴的两个方向。
用正负号表示方向
z
z
0 0
角加速度
d
dt
角加速度方向与 d 相同。
加速转动 ,方向一致; 减速转动 , 方向相反
O
X
六、机械能与机械能守恒
刚体与质点组成的系统，机械能包括：
机械能 = 势能 + 平动动能 + 转动动能
机械能守恒条件：W外 W非保内 0 时
机械能 = 势能+平动动能+转动动能 = 恒量
E
(mghc
1 2
mv2Байду номын сангаас
1 2
J
2
)
恒量
刚体与质点组 成系统的机械 能守恒定律
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置
Md
(J
d )d
dt
Jd
d(1 2
J2 )
dEk
对于一有限过程
A
2 dA
1
2 d(1 J 2 )
2 1
1 2
J22
1 2
J12
Ek
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体 上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理
外力矩功是刚体转动动能改变的原因
比较:
T2r T1r J
，
T2 T1
1. 已知： 滑轮M（看成匀质圆盘）半径R
物体 m1 m2 求： a =?
解： m1g T m1a T m2 g m2a
a m1 m2 g m1 m2
M T2 T2
R T1
m1g m2 g (m1 m2 )a 对否？
m2
T1
T1 T2 否则滑轮匀速转动，而物体加速运动 m2g
f
ji
ri fij rj f ji
(ri rj ) fij rij fij 0
M ij
O
M ji
Mij M ji
rj
j
i f ji
dri
fij
二. 刚体定轴转动定律 转动惯量
rk
Fk
第 k个质元
Fk fk mk ak
fk
切线方向
Fk fk mk ak
在上式两边同乘以 rk Fk rk fk rk mkak rk mk rk rk
➢ 常用的几个转动惯量
5.19一质量为 m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴
的轴上，如图所，轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，
整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放
r
s s 后，在时间 t 内下降了一段距离 。试求整个轮轴的
转动惯量(用m 、r 、t 和 表示) 。
O
解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，
O
r'
dr
F
r .
P
对一有限过程
A 2 Md 1
若M=C
A M (2 1)
讨论 (1) 力矩的功就是力的功。
(2) 合力矩的功
A 2 Md (2
1
1 i
Mi )d
i
M d 2
1
i
i
Ai
(3) 内力矩作功之和为零。
三、刚体定轴转动的动能定理 —— 合力矩功的效果