利用MATLAB求解离散动态规划问题
基于Matlab的动态规划问题
基于Matlab的动态规划问题
基于Matlab的动态规划问题
郑怡;赵海良;徐永
【期刊名称】《重庆理⼯⼤学学报（⾃然科学版）》
【年(卷),期】2008(022)005
【摘要】介绍了动态规划的基本理论,包括动态规划的基本概念和基本思路,并利⽤Matlab对动态规划中的资源分配问题进⾏了分析,然后⽤Matlab语⾔进⾏了程序设计和计算,使复杂问题简单化,避免了繁琐的计算,从⽽使问题能更⽅便地得到解决.
【总页数】4页(152-155)
【关键词】动态规划;资源分配问题;Matlab语⾔
【作者】郑怡;赵海良;徐永
【作者单位】西南交通⼤学数学系,成都,610031;西南交通⼤学数学系,成都,610031;西南交通⼤学数学系,成都,610031
【正⽂语种】中⽂
【中图分类】O153
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Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题标题：Matlab求解线性规划和整数规划问题引言概述：Matlab是一种功能强大的数值计算软件，广泛应用于各个领域的数学建模和优化问题求解。
本文将介绍如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题，并结合实例详细阐述求解过程。
一、线性规划问题的求解1.1 定义线性规划问题：线性规划是一种优化问题，目标函数和约束条件均为线性函数。
通常包括最大化或最小化目标函数，并满足一系列约束条件。
1.2 确定决策变量和约束条件：根据问题的实际情况，确定需要优化的决策变量和约束条件。
决策变量表示问题中需要求解的未知量，约束条件限制了决策变量的取值范围。
1.3 使用Matlab求解线性规划问题：利用Matlab提供的优化工具箱，使用线性规划函数linprog()进行求解。
通过设置目标函数系数、约束条件和边界条件，调用linprog()函数得到最优解。
二、整数规划问题的求解2.1 定义整数规划问题：整数规划是在线性规划的基础上，决策变量限制为整数值。
整数规划问题在实际应用中更具有实际意义，例如资源分配、路径选择等。
2.2 确定整数规划问题的特点：整数规划问题通常具有离散性和复杂性，需要根据实际情况确定整数规划问题的特点，如整数变量的范围、约束条件等。
2.3 使用Matlab求解整数规划问题：Matlab提供了整数规划函数intlinprog()，通过设置目标函数系数、约束条件和整数变量的范围，调用intlinprog()函数进行求解。
三、线性规划问题实例分析3.1 实例背景介绍：以某公司的生产计划为例，介绍线性规划问题的具体应用场景。
3.2 定义决策变量和约束条件：确定决策变量，如产品的生产数量，以及约束条件，如生产能力、市场需求等。
3.3 使用Matlab求解线性规划问题：根据实例中的目标函数系数、约束条件和边界条件，调用linprog()函数进行求解，并分析最优解的意义和解释。
基于MATLAB的动态规划常用算法的实现
基于MATLAB的动态规划常用算法的实现
孙宝;王希云
【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(007)004
【摘要】运用MATLAB编程实现了动态规划的逆序、顺序、双向混合算法,并分别应用于求解几类典型问题,验证了该方法的有效性,同时表明该程序对求解动态规划多类典型问题是通用的,丰富了MATLAB优化工具箱,具有一定的应用价值.【总页数】5页(P26-30)
【作者】孙宝;王希云
【作者单位】太原科技大学数学系,山西太原030024;太原科技大学数学系,山西太原030024
【正文语种】中文
【中图分类】O221.3
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matlab 离散微分
matlab 离散微分离散微分是数学中的一个重要概念，它在信号处理、图像处理、机器学习等领域都有着广泛的应用。
在MATLAB中，我们可以通过一些简单的函数和操作来实现离散微分的计算和应用。
在MATLAB中，常用的计算离散微分的函数有diff和gradient。
diff函数可以用于计算向量或矩阵的差分，而gradient函数则可以用于计算向量或矩阵的梯度。
这两个函数的使用方法比较简单，只需要指定待计算的向量或矩阵作为输入即可。
下面我们以一个简单的例子来说明如何使用MATLAB进行离散微分的计算。
假设我们有一个包含一维离散数据的向量x，我们想要计算其一阶导数。
我们可以使用diff函数来实现这个计算，具体的MATLAB代码如下：```MATLABx = [1 2 4 7 11];dx = diff(x);```在上述代码中，我们定义了一个向量x，其中包含了5个离散数据点。
然后我们使用diff函数计算了向量x的一阶差分，并将结果保存在变量dx中。
运行这段代码后，我们可以得到变量dx的值为[1 2 3 4]，它表示了向量x的一阶导数。
除了使用diff函数，我们还可以使用gradient函数来计算向量或矩阵的梯度。
梯度表示了向量或矩阵在各个方向上的变化率。
具体的MATLAB代码如下：```MATLABx = [1 2 4 7 11];[dx, dy] = gradient(x);```在上述代码中，我们同样定义了一个向量x，然后使用gradient函数计算了向量x的梯度，并将结果保存在变量dx和dy中。
需要注意的是，由于向量x是一维的，所以梯度的计算结果也是一维的。
运行这段代码后，我们可以得到变量dx的值为[1 2 3 4]，变量dy 的值为[0 0 0 0]，它们分别表示了向量x在x轴和y轴方向上的变化率。
除了对向量进行离散微分的计算，我们还可以对矩阵进行离散微分的计算。
假设我们有一个包含二维离散数据的矩阵A，我们想要计算其梯度。
动态规划matlab仿真实例整理
动态规划在火力分配中地应用.1.问题描述设有m个目标，目标价值（重要性和危害性）各不相同，用数值A（K=1，K=，其n枚导弹突袭，导弹击毁目标地概率P2，..m）表示，计划用K为向目标发射地导弹数，问是常数，取决于导弹地特性与目标地性质；中题：做出方案使预期地突击效果最大.2.问题建模上述问题可以表述为约束条件为（为非负整数）3.算法描述），和（n=5am=4下面通过一个实例说明：设目标数目为4（），导弹为5K取值情况如下表所示：表1：A取值情况k4 2 3 1 K 目标 3 6 7 80.90.30.2将火力分配可分为4个阶段，每个阶段指标函数为：可能取值为0，1，2，3，4，5，将函数值带人如下表：表2函数值u0 0 0 0 01.79 1 1.81 1.452.362.51 23.16 2.64 3.792.81 4.66 3 4.153.612.93 4 4.89 5.19 4.4155.445.06 5.51动态规划问题基本方程为：c=0逐次向前推一级K=4K=3K=2K=1（）地最大值然后反推回去就可以获得最优地分配方案只需要求解4.Matlab仿真求解地最大值，对应取值为整数，可以采用动态规划地方法，获得与因为地最优方案function[p_opt,fval]=dynprog(x,DecisFun,SubObjFun,TransFun,ObjFun)%求解动态规划问题最小值函数k=length(x(1,:)) %判断决策级数x_isnan=~isnan(x)。
% 非空状态矩阵t_vubm=inf*ones(size(x))。
% 性能指标中间矩阵f_opt=nan*ones(size(x))。
% 总性能指标矩阵d_opt=f_opt。
%每步决策矩阵tmp1=find(x_isnan(:,k))。
% 最后一步状态向量tmp2=length(tmp1)。
% 最后一步状态个数for i=1:tmp2u=feval(DecisFun,k,x(tmp1(i),k))。
(整理)利用MATLAB进行离散控制系统模拟.
实验利用MATLAB进行离散控制系统模拟本试验的目的主要是让学生初步掌握MATLAB软件在离散控制系统分析和设计中的应用。
1．连续系统的离散化。
在MATLAB软件中，对连续系统的离散化主要是利用函数c2dm( )函数来实现的，c2dm( )函数的一般格式为C2dm( num, den, T, method)，可以通过MATLAB的帮助文件进行查询。
其中：Num：传递函数分子多项式系数；Den：传递函数分母多项式系数；T：采样周期；Method：转换方法；允许用户采用的转换方法有：零阶保持器（ZOH）等五种。
2．求离散系统的相应：在MATLAB中，求采样系统的响应可运用dstep( )，dimpulse( )，dlsim( )来实现的。
分别用于求取采样系统的阶跃，脉冲，零输入及任意输入时的响应，其中dstep( )的一般格式如下：dstep( num, den, n)，可以通过MATLAB的帮助文件进行查询。
其中：Num：传递函数分子多项式系数；Den：传递函数分母多项式系数；N：采样点数；3．此外，离散控制系统也可以用simulink工具箱进行仿真，仿真界面如下图（采样周期可以在对应模块中进行设定）。
1．编制程序实现上面三个仿真程序。
2．把得到的图形和结果拷贝在试验报告上。
3．在第1个例子中，改变采样周期为0.25，重新运行程序，把结果和原来结果进行比较，并说明为什么？4．在第2个例子中，改变采样点数为70，重新运行程序，把结果和原来结果进行比较，并说明为什么？同样，改变采样周期T，观察不同周期下系统阶跃响应的动态性能，分析采样周期对系统动态性能的影响。
1.1）num=10;den=[1,7,10];t=0.1[numz,denz]=c2dm(num,den,t,'zoh');printsys(numz,denz,'z')得出结果：t =0.1000num/den =0.039803 z + 0.031521------------------------z^2 - 1.4253 z + 0.49659若t改为0.25:num=10;den=[1,7,10];t=0.25[numz,denz]=c2dm(num,den,t,'zoh'); printsys(numz,denz,'z')得出结果为：t =0.2500num/den =0.18012 z + 0.10062-------------------------z^2 - 0.89304 z + 0.173772）num=10;den=[1,7,10];t=0.25;i=[0:35];time=i*t;[numz,denz]=c2dm(num,den,t,'zoh'); yc=step(num,den,time);y_zoh=dstep(numz,denz,36);[xx,yy]=stairs(time,y_zoh);plot(time,yc,'r'),holdplot(xx,yy,'r'),hold;grid采样点数改为70：num=10;den=[1,7,10];t=0.1;i=[0:70];time=i*t;[numz,denz]=c2dm(num,den,t,'zoh'); yc=step(num,den,time);y_zoh=dstep(numz,denz,71);[xx,yy]=stairs(time,y_zoh);plot(time,yc,'r'),hold周期改为0.25：3num=[0.008,0.072];den=[1,-1.905,0.905];t=0.1;i=[0:35];time=i*t;[numz,denz]=c2dm(num,den,t,'zoh'); yc=step(num,den,time);y_zoh=dstep(numz,denz,36);[xx,yy]=stairs(time,y_zoh);plot(time,yc,'r'),holdplot(xx,yy,'r'),hold;gridSimulink 实现：仿真时间：10仿真时间700：3(3) 采样周期不同，得出的Z变换也不同，说明Z变换的结果随采样周期的变化而变化。
matlab遗传算法工具箱关于离散变量优化算例
1. 引言遗传算法是一种模拟自然选择与遗传机制的优化算法，被广泛应用于离散变量优化问题的求解。
在Matlab软件中，有专门的工具箱可以支持遗传算法的实现与应用，极大地方便了工程技术人员进行离散变量优化问题的研究与应用。
本文将介绍Matlab遗传算法工具箱在离散变量优化算例中的应用，并通过具体案例来展示其实际求解效果。
2. Matlab遗传算法工具箱介绍Matlab遗传算法工具箱是Matlab软件的一个重要工具箱，它提供了丰富的遗传算法函数和工具，方便用户进行遗传算法的实现和应用。
在离散变量优化问题的求解中，用户可以利用工具箱提供的函数对问题进行建模、参数设置、运行算法等操作，从而快速高效地求解问题。
3. 离散变量优化算例为了更好地展示Matlab遗传算法工具箱在离散变量优化中的应用效果，我们选取了一个经典的离散变量优化问题作为算例，具体问题描述如下：设有一组零件需要进行装配，零件的形状和尺寸有多种选择。
每种零件的装配工艺和成本不同，需要选择最佳的零件组合方案来满足装配要求并使总成本最低。
假设可供选择的零件种类有n种，每种零件有m个备选方案，且装配每种零件的成本已知。
问应选择哪些零件及其具体方案才能使得总装配成本最低？4. Matlab遗传算法工具箱的应用为了利用Matlab遗传算法工具箱求解上述离散变量优化问题，我们可以按照以下步骤进行操作：1) 利用Matlab的数据处理工具，将零件的备选方案数据以矩阵的形式导入Matlab环境；2) 利用工具箱提供的函数对遗传算法的参数进行设置，例如选择交叉方式、变异方式、群体大小、迭代次数等；3) 利用工具箱提供的函数对离散变量优化问题进行编码和解码，以便算法能够对离散变量进行操作；4) 利用工具箱提供的函数编写适应度函数，用于评价每个个体的适应度；5) 利用工具箱提供的主函数运行遗传算法，获取最优解及其对应的总装配成本。
5. 案例求解结果分析通过上述步骤，我们在Matlab环境中成功应用遗传算法工具箱求解了离散变量优化问题。
7-8MATLAB在离散系统中的应用
y(Z)=GB(Z)R(Z)=
(
z
z(0.368 − 1)(z 2
z −
+ z
0.264) + 0.632)
= 0.368z -1+z –2 +1.4z -3+1.4z -4+1.14z -5
+…
可绘制输出响应如图
1.4 1 0.4
123 45
图7-56闭環离散控制系统单位阶跃响应
如果用Matlab的dstep函数，可很快得到离 散输出y*(t)和连续输出结果y(t)
dend=conv([1 0],dd); [numdm,dendm]=minreal(numd,dend ); % [n1,d1]=series(numdm,dendm,numg ,deng); [num,den]=cloop(n1,d1); t=[0:0.1:20]; step(num,den,t)
S tep Res pons e
From: U(1) 1.4
1.2
1
Am plitude
To : Y(1 )
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
Tim e (s e c .)
This script computes the continuous-time unit %step response for the system in example % numg=[1];deng=[1 1 0]; [nd,dd]=pade(1,2) numd=dd-264 z^ 2 −1.368z + 0.368
假定离散系统如图7-54所示。输入为单位阶 跃，可用dstep函数求输出响应。
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利用MATLAB求解离散动态规划问题
三、动态规划求解函数-算例1求解过程分析
1. 阶段变量k： 将问题按工程分为4个阶段，即k = 1, 2, 3, 4 2. 状态变量sk ： 状 态 变 量sk 表 示 第k个 工 程 至 第4个 工 程 可 用 的 投 资 总 额 ， 显 然 有s1 = 60
穷举所有可能的结果，找出其中最优值及对应的策略
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二、穷举法：算例1-算法与程序
对 于上 述 问 题 ， 在 穷 举 求 解 时 应 注 意 投 资 额 不 多 于60万 元 的 约 束。稍加分析便知道60万元必须全部用完没有剩余，否则结果一 定不会是最优解。因此可以写出以下程序: 输入利润函数： V 1 = [0, 20, 50, 65, 80, 85, 85]; V 2 = [0, 20, 40, 50, 55, 60, 65]; V 3 = [0, 25, 60, 85, 100, 110, 115]; V 4 = [0, 25, 40, 50, 60, 65, 70];
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二、穷举法：算例2-算法与程序（续）
n = size(R, 1); Path = zeros(50, 5); Path(1 : 50, 1) = 1; Path(1 : 50, 5) = n; D = inf ∗ ones(50, 1); m = 1; for i = 1 : n; if R(1, i) ∼= inf for j = 1 : n if R(i, j) ∼= inf for k = 1 : n if R(j, k) ∼= inf Path(m, 2 : 4) = [i, j, k]; D(m) = 0; D(m) = D(m)+ R(1, i)+ R(i, j)+ R(j, k)+ R(k, n); m = m + 1; end ...
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三、动态规划求解函数-算例1求解过程分析（续）
5. 阶段值Vk ： 第k阶段的阶段值表示投资给第k个工程uk 时的利润 因此可写出以下阶段值函数： function u) V = ObjFun(k, s, 0 0 0 0 20 20 25 25 50 40 60 40 w= 65 50 85 50 80 55 100 60 85 60 110 65 85 65 115 70 w = −w; V = w(u/10 + 1, k);
输入参数： x是状态变量，一列代表一个阶段的状态 函数DecisFun(k, x, u)描述可行决策集 ObjFun(k, s, u)描述阶段值 TransFun(k, s, u)描述状态转移方程 输出变量： p opt =[序号组，状态变量组，最优决策组，阶段值组] fval也是一个列向量，表示最优值
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三、动态规划求解函数-算例1求解过程分析（续）
3. 决策变量uk ： 允许决策集：0 ≤ uk ≤ sk ，特别地，当k = 4，uk = sk 因此可写出以下可行决策集函数： function u = DecisFun(k, s, u) if k == 4 u = s; else u = 0 : 10 : s; end
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三、动态规划求解函数-算例1求解过程分析（续）
调用动态规划求解函数： [ p opt, fval ] = dynprog(s, DecisFun , ObjFun , TransFun ) 1 2 p opt = 3 4 fval = −160 对于fval，因为之前把阶段值转变为负值，这个结果是-160，而对 于我们的问题中应是160。 运用动态规划求解函数求解总共耗时0.017秒，相比穷举法耗时更 多，因为在阶段数和状态数较少时，求解函数不能体现出优势， 调用函数的过程涉及各种参数的传递和运算，这是相对比较耗时 的。 60 40 40 10 20 0 30 10 −50 0 −85 −25
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二、穷举法：算例1-算法与程序（续）
m = 1; J = zeros(84, 1); U = zeros(84, 4); for i = 1 : 7 for j = 1 : 7 for k = 1 : 7 for l = 1 : 7 if i + k + j + l == 10 J (m) = V 1(i) + V 2(j) + V 3(k) + V 4(l); U (m, 1) = i; U (m, 2) = j; U (m, 3) = k; U (m, 4) = l; m = m + 1; else continue; end ...
[inf , 5, 3, inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf inf , inf , inf , 1, 3, 6, inf , inf , inf , inf , inf inf , inf , inf , inf , 8, 7, 6, inf , inf , inf , inf inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , 6, 8, inf , inf inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , 3, 5, inf , inf R = inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , 3, 3, inf inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , 8, 4, inf inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , 3 inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , 2 inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , 2 inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , inf , 态规划问题
二、穷举法：算例2
例 6.1 最短路问题。如下图所示，其中小圆圈称为点，两点间的连线称 为弧，弧上的数字称为弧长，箭头表示前进方向。要寻找一条从 起点A到终点E的连通弧，使其总弧长最短。
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二、穷举法：算例2
试图利用MATLAB并用最简单易懂的方法解决讲义中所有例题与 练习
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二、穷举法：算例1
例 2.1 动 态 规 划 讲 义 第35页 习 题2， 设 国 家 拨 给60万 元 投 资 ， 供 四 个 工 程扩建使用，每个工程扩建后的利润与投资额的大小有关，投资 后的利润函数如下表所示。问如何投资使得总利润最大化？ 利润\投资 v1 (x) v2 (x) v3 (x) v4 (x) 0 0 0 0 0 10 20 20 25 25 20 50 40 60 40 30 65 50 85 50 40 80 55 100 60 50 85 60 110 65 60 85 65 115 70
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二、穷举法：优缺点
优点： 程序简单，容易理解；在阶段数量与状态数量并不很大时运算速 度快
缺点： 并未运用动态规划思想，对不同问题通用性低，程序需要较大改 动
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三、动态规划求解函数
function [ p opt, fval ] = dynprog(x, DecisFun, ObjFun, TransFun)
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三、动态规划求解函数-算例1求解过程分析（续）
6. 各阶段状态变量可能取值： 由已知： s1 = {60} s2 = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60} s3 = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60} s4 = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60} 因此状态变量可能的取值可以描述为： s = nan ∗ ones(7, 4); s(1, 1) = 60; s(:, 2) = [0 10 20 30 40 50 60] ; s(:, 3) = [0 10 20 30 40 50 60] ; s(:, 4) = [0 10 20 30 40 50 60] ;
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三、动态规划求解函数-算例1求解过程分析（续）
4. 状态转移方程Tk ： 显然有：sk+1 = sk − u 因此可写出以下状态转移函数： function s next = TransFun(k, s, u) s next = s − u;
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在 开 始 编 程 求 解 之 前 需 要 先 简 单 分 析 一下 题 目的 情 景 ， 以 便 简 化求解流程。稍加分析就能发现，其实这个问题只需要做三次决 策 ， 分别 在A、B和C阶 段 ， 行 进 到D阶 段 以 后 下一 步 自 然 就 只 能 到达E点，也就是终点。 根据以上分析以及最短路问题的特点，将各结点用数字标明如下 图：
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二、穷举法：算例2-算法与程序
在上面的带权的状态转移矩阵中，若两个结点间不能相互到达或 按着题给示意图的方向到达则留空，若能够到达，则表格中的数 值代表弧长。注意这里的到达关系是单项的，只能顺着题给示意 图的方向行进。 对应上面的状态转移矩阵，在MATLAB中对应初始化，其中inf代 表无穷大数，表示两个结点之间不能相互到达或不能按题给示意 图方向到达：