分式不等式地解法讲义

不等式的解法1．一元二次不等式的解法(1)含有未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解法(如下表所示)设a ＞0，x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两实根，且x 1＜x 2(3)对于一元二次不等式的解法需注意： ①x －a x －b ≥0(a ＜b )的解集为：{x |x ≤a 或x ＞b }；x －a x －b≤0(a ＜b )的解集为：{x |a ≤x ＜b }． ②从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在x 轴上方的点的横坐标的集合．③三个“二次”的关系常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点．处理其中某类问题时，要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析．具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系．2．解一元二次不等式的方法：(1)图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集． (2)公式法步骤：①先化成标准型：ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)，且a ＞0； ②计算对应方程的判别式Δ； ③求对应方程的根；④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集． 3．解绝对值不等式的基本思想1）解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，把带有绝对值号的不等式等价转化为不含绝对值号的不等式求解，常采用的方法是讨论符号和平方，例如：(1)若a ＞0，则│x │＜a ⇔－a ＜x ＜a ⇔x 2＜a 2；(2)若a ＞0，则│x │＞a ⇔x ＜－a ，或x ＞a ⇔x 2＞a 2； (3) |f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )；(4)|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )(无论g (x )是否为正)．常用的方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方． 2）常见绝对值不等式及解法：(1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；(3)|x －a 1|＋|x －a 2|＞(＜)b ，用零点分区间法．4．一般分式不等式的解法：(1)整理成标准型f xg x ＞0(或＜0)或f xg x≥0(或≤0)． (2)化成整式不等式来解：①fxg x ＞0⇔f (x )·g (x )＞0 ②f xgx＜0⇔f (x )·g (x )＜0③f xg x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f x g x 0g x 0④f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg xg x(3)再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集．★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1 一元二次不等式的解法 题型1.解一元二次不等式[例1] 不等式2x x >的解集是( )A ．(),0-∞ B. ()0,1 C. ()1,+∞ D. ()(),01,-∞+∞【解题思路】严格按解题步骤进行[解析]由2x x >得(1)0x x ->,所以解集为()(),01,-∞+∞,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当2x =±时满足不等式,故选D.【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.[例2]已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-,求220cx x a -+->的解集.【解题思路】由韦达定理求系数[解析] 由220ax x c ++>的解集为11(,)32-知0a <,11,32-为方程220ax x c ++=的两个根,由韦达定理得11211,3232c a a-+=--⨯=,解得12,2a c =-=,∴220cx x a -+->即222120x x --<,其解集为(2,3)-.【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由 韦达定理求系数【新题导练】1.不等式（a －2）x 2+2(a －2) -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.（-∞,2] B.（-2,2] C.（-2,2） D.（-∞,2)解析：∵可推知-2＜a ＜2,另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，∴-2＜a ≤2. 选B2. 关于x 的不等式(m x -1)( x -2)＞0，若此不等式的解集为{x |＜x ＜2}，则m 的取值范围是A. m ＞0B.0＜m ＜2C. m ＞D. m ＜0解析：由不等式的解集形式知m ＜0. 答案：D 考点2 含参数不等式的解法 题型1：解含参数有理不等式例1：解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++> 【解题思路】比较根的大小确定解集解析：∵2(3)30x a x a -++>，∴()()30x x a -->⑴当3,3a x a x <<>时或，不等式解集为{}3x x a x <>或； ⑵当3a =时，不等式为()230x ->，解集为{}3x x R x ∈≠且； ⑶当3,3a x x a ><>时或，不等式解集为{}3x x x a <>或【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根的判别式讨论(0,0,0∆>∆=∆<).③根据根的大小讨论(121212,,x x x x x x >=<).题型2：解简单的指数不等式和对数不等式 例2. 解不等式log a (1－x1)＞1 (0,1)a a >≠【解题思路】借助于单调性进行分类讨论解析(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a xx11011由此得1－a ＞x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a-11＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a xx 11011 由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a-11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a-11}.【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.【新题导练】3.关于x 的不等式226320x mx m --<的解集为( )A.(,)97m m -B.(,)79m m -C.(,)(,)97m m-∞-+∞ D.以上答案都不对 解析:原不等式可化为()()097m mx x +-<,需对m 分三种情况讨论,即不等式的解集与m 有关.4.解关于x 的不等式：04)1(22<++-x a ax 解析：0)2)(2(<--x axaa a )1(222-=-当⇒>⇒>aa 221⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<22|x a x ； 当a a 2210<⇒<<∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 22|，当0<a ⇒>-+-⇒0)2)(2(x ax 2|2x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 Φ∈⇒=>⇒=x a x a 1;205.① ②考点3 分式不等式及高次不等式的解法[例5] 解不等式:22(1)(68)0x x x --+≥ 【解题思路】先分解因式,再标根求解[解析]原不等式(1)(1)(2)(4)0x x x x ⇔-+--≥,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下:所以不等式的解集为(,1][1,2][4,)-∞-+∞.【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系. 【新题导练】5.若关于x 的不等式0(3)(1)x ax x +>++的解集是(3,1)(2,)--+∞,则a 的值为_______解析:原不等式()(3)(1)0x a x x ⇔+++>,结合题意画出图可知2a =-.6. 解关于)0(11)1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式解：①若)251()2511(2150∞++--+<<，，，则原不等式的解集为 a a ； ②若)251(215∞+++=，，则原不等式的解集为a ； ③若)251()1251(215∞++--+>，，，则原不等式的解集为 a a 7.（ 广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试）解不等式.2)21(242>⋅-+x x x．解析：2)21(2242>⋅-+x x21422222>⋅∴-+x x即212322>-x 得65>x 所以原不等式的解集为}65|{>x x考点4 简单的恒成立问题题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围例1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 【解题思路】结合二次函数的图象求解[解析]当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意;当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420a a >⎧⎨-⨯<⎩,解得12a >综上,所求实数a 的取值范围为1(,)2+∞【名师指引】不等式20ax bx c ++>对一切x R ∈恒成立000a b c =⎧⎪⇔=⎨⎪>⎩或2040a b ac >⎧⎨∆=-<⎩ 不等式20ax bx c ++<对任意x R ∈恒成立000a b c =⎧⎪⇔=⎨⎪<⎩或2040a b ac <⎧⎨∆=-<⎩ 题型2.转化为二次函数的最值求参数的取值范围【解题思路】先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.[解析] (1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立.令2235()31()24g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-. 【名师指引】()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥;【新题导练】8.不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______． [解析]：不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立,即 014)2(2>-+++a x x a 对一切∈x R 恒成立 若2+a =0,显然不成立若2+a ≠0，则⎩⎨⎧<∆>+002a ∴2>a9.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．0B ． –2C ．-52 D ．-3解析：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－,若a 2－≥12，即a ≤－1时，则f （x ）在〔0，12〕上是减函数，应有f （12）≥0⇒－52≤x ≤－1若a 2－≤0，即a ≥0时，则f （x ）在〔0，12〕上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，故a ≥0若0≤a 2－≤12，即－1≤a ≤0，则应有f （a2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－恒成立，故－1≤a ≤0． 综上，有－52≤a,故选C ．★ 抢 分 频 道 ★基础巩固训练1. 不等式2560x x -++>的解集是__________解析:将不等式转化成2560x x --<，即()()160x x +-<.]2. 若不等式20x ax b --<的解集为{|23}x x <<,则不等式210bx ax -->的解集为 __________..解析:先由方程20x ax b --=的两根为2和3求得,a b 后再解不等式210bx ax -->.得11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭3. (广东省五校2008年高三上期末联考) 若关于x 的不等式2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解析： 2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，就是1= [()g x ]max ＜21a a ++ 所以(,1)(0,)a ∈-∞-⋃+∞4(08梅州)设命题P ：函数)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R ；命题q ：不等式ax x +<+121对一切正实数均成立。